허스트 지수

허스트 지수는 시계열의 장기 기억의 척도로 사용된다. 그것은 시계열의 자기 상관과 관련이 있고, 값 쌍 사이의 지연이 증가함에 따라 시계열이 감소하는 속도와 관련이 있다. 허스트 지수와 관련된 연구는 원래 나일강의 변덕스러운 비와 가뭄 조건에 맞는 최적의 댐 사이즈를 결정하기 위해 수문학에서 개발되었다.^[1][2] "허스트 지수" 또는 "허스트 계수"라는 이름은 이러한 연구의 수석 연구원이었던 해롤드 에드윈 허스트(1880–1978)로부터 유래되었다. 계수에 표준 표기법 H를 사용하는 것도 그의 이름과 관련이 있다.

프랙탈 기하학에서 일반화된 허스트 지수는 H나 H에_q 의해 Beno andt Mandelbrot (1924–2010)^[3]에 의해 Harold Edwin Hurst와 Ludwig Ottto Hölder (1859–1937) 모두를 기리기 위해 표시되었다. H는 프랙탈 치수 D와 직접 관련이 있으며, 데이터 시리즈의 "mild" 또는 "wild" 랜덤성의 척도다.^[4]

허스트 지수를 "의존 지수" 또는 "장거리의존 지수"라고 부른다. 평균으로 강하게 후퇴하거나 방향으로 군집화하는 시계열의 상대적 경향을 정량화한다.^[5] 0.5–1 범위의 값 H는 장기 양의 자기 상관을 갖는 시계열을 나타내며, 이는 시계열의 높은 값이 다른 높은 값으로 이어질 수 있다는 것을 의미하며, 미래에서 오랜 시간 동안 값도 높은 경향이 있다는 것을 의미한다. 0~0.5 범위의 값은 인접 쌍에서 높은 값과 낮은 값 사이의 장기 전환을 갖는 시계열을 나타내며, 이는 단일 높은 값이 낮은 값을 따르고 그 이후의 값이 높은 경향이 있음을 의미하며, 이러한 높은 값과 낮은 값 사이의 전환 경향은 미래에서 오랫동안 지속된다. H=0.5의 값은 완전히 상관없는 시리즈를 나타낼 수 있지만, 사실^{[according to whom?]} 그것은 작은 시간에서의 자기 상관은 양수 또는 음수일 수 있지만 자기 상관계의 절대값이 지수적으로 빠르게 0으로 붕괴하는 시리즈에 적용할 수 있는 값이다. 이는 0.5 < H < 1>과 0 < H < 0.5>에 대한 전형적인 전력법칙 붕괴와는 대조적이다.

정의

허스트 지수 H는 다음과 같은 시계열의 시간 범위의 함수로 재조정 범위의 점증거동 측면에서 정의된다.^[6][7]

${\displaystyle \mathb {E} \왼쪽[{\frac {R(n)}{S(n)}}\오른쪽]=Cn^{H}{{\text{{}} }n\to \inflt \...}$

여기서;

• ${\displaystyle R(n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle R(n)}$은(는) 평균으로부터 첫 번째 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 누적$$ 편차의 범위임
• ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle S(n)}$은(는) 첫 번째 n 표준 편차의 시리즈(합)이다$$.
• ${\displaystyle \mathbb{E}}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ $displaystyle \mathb {E} \left[x\right]\,}$은(는) 예상 값이다.
• ${\displaystyle n}$ $[\displaystyle n}$은(는) 관측치의 시간 범위(시계열의 데이터 점 수)
• ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$은(는) 상수다.

프랙탈 치수에 대한 관계

자기 유사 시계열의 경우, H는 프랙탈 치수 D와 직접 관련이 있는데, 여기서 1 < D < 2, 예를 들어 D = 2 - H이다. 허스트 지수의 값은 0과 1 사이에 다양하며, 값이 높을수록 더 부드러운 추세, 덜 변동성, 덜 거칠음을 나타낸다.^[8]

보다 일반적인 시계열 또는 다차원 공정의 경우, 허스트 지수와 프랙탈 치수는 점증적으로 더 긴 기간에 걸친 구조를 나타내는 반면 프랙탈 치수는 점증적으로 더 짧은 기간에 걸친 구조를 나타내기 때문에, 허스트 지수와 프랙탈 치수는 독립적으로 선택할 수 있다.^[9]

지수 추정

그 문헌에는 장기 의존의 추정자들이 많이 제시되어 있다. 가장 오래되고 가장 잘 알려진 것은 만델브로트와 월리스가^[3][10] 대중화하여 허스트의 이전 수문학적 소견을 바탕으로 한 이른바 레스케이드 레인지(R/S) 분석이다.^[1] 대안으로는 DFA, Periodogram 회귀 분석,^[11] 집계된 분산,^[12] 로컬 위틀의 추정기,^[13] 파장 분석 등이 있으며,^[14][15] 시간 영역과 주파수 영역 모두 포함된다.

재조정 범위(R/S) 분석

허스트 지수를 추정하려면 먼저 관측치 시간 범위 n에 대해 축소된 범위의 의존성을 추정해야 한다.^[7] 전체 길이 N의 시계열은 길이 n = N, N/2, N/4, ...의 짧은 시계열로 나뉜다. 그런 다음 n의 각 값에 대해 평균 재조정 범위를 계산한다.

길이 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$ $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{X\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$X ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle$ X$=X_{1}, X_{2},\dots ,X_{n}\,}$의 (부분) 시계열에 대해 재조정 범위는 다음과 같이 계산된다$.$^[6][7]

1. 평균을 계산한다;

${\displaystyle m={\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,}$

2. 평균 조정 시리즈를 만든다.

${\displaystyle Y_{t}=X_{t}-m\quad{\text{}}}{}}}}}{}t=1,2,\dots,n\,}$

3. 누적 편차 영상 시리즈 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Z$}$ 계산$;$

${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}\quad{\text{}}}}}}}{{}t=1,2,\dots,n\,}$

4. $범위{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$ 계산$;$

${\displaystyle R(n)=\operatorname {max} \좌측(Z_{1}, Z_{n}\우측) \좌측(Z_{1}, Z_{2},\dots,Z_{n}\우측) \좌측(Z_{n}).}$

5. 표준 $편차{\displaystyle }$ S ${\displaystyle$ S$\};$

${\displaystyle S(n)={\sqrt{1}{n}\sum _{i=1}^{n}\왼쪽(X_{i}-m\오른쪽)^{2}}.}$

6. $재조정{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{범위}}$ $R{\displaystyle }$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ S${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$ )${\displaystyle R(n)/S(n)}$ 및 길이$$ n .${\displaystyle n.}$의 모든 부분 시계열에 대한 평균을 계산한다.

허스트 지수는 ${\displaystyle 전력}$ 법칙 $E{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle R}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle S}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle H^{}}$ ${\$를 적합시켜 추정한다.$=Cn^{H}}$ 데이터에 연결$$. 이는 ${\displaystyle \mathrm{로그}log}$[ ${\displaystyle R}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle S}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \log[R(n)/S(n)]}$을(를) 로그${\displaystyle \mathrm{nn}}${\$displaystyle \log$n$\}$의 함수로 표시하고$$ 직선을 맞추면 된다. 선의 기울기는 $H{\displaystyle }$ ${\\\displaystystyle H}$을(최대한 우도 방식으로^[16] 더 원칙적인 접근법)한다).$$ 그런 그래프를 상자 그림이라고 한다. 그러나 이 접근법은 권력-법률 지수의 편향된 추정치를 산출하는 것으로 알려져 있다. 작은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우 0.5 기울기에서 유의한 편차가 있다$$. Anis와 Lloyd는^[17] R/S 통계량의 이론적(즉, 백색 노이즈) 값을 다음과 같이 추정했다.

${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 오일러 감마함수다. Anis-Loyd 교정 R${\displaystyle /}$S 허스트 지수는 0.5에 $R{\displaystyle }$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle S}$ ( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle E\mathbb{}}$[ R${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ )${\displaystyle }$/ ${\displaystyle S}$(${\displaystyle n}$ ) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R(n)/S(n)-\mathb {E}[R(n)/S(n)]$의 경사를 더한 값으로 계산된다$.$

신뢰구간

지금까지 허스트 지수 추정자 대부분에 대해 점증적 분포 이론은 도출되지 않았다. 그러나 Weron은^[18] 가장 인기 있는 두 가지 방법, 즉 Anis-Loyd 교정 R/S^[17] 분석의 신뢰구간에 대한 대략적인 기능적 형태를 얻기 위해 부트스트래핑을 사용했다.

레벨	하한	상한
90%	0.5 - exp(-7.35 log(로그 M) + 4.06)	exp(-7.07 log(로그 M) + 3.75) + 0.5
95%	0.5 − exp(−7.33 log(log M) + 4.21)	exp(-7.20 log(로그 M) + 4.04) + 0.5
99%	0.5 − exp(−7.19 log(log M) + 4.34)	exp(-7.51 log(로그 M) + 4.58) + 0.5

DFA의 경우:

레벨	하한	상한
90%	0.5 - exp(-2.99 로그 M + 4.45)	exp(-3.09 로그 M + 4.57) + 0.5
95%	0.5 - exp(-2.93 로그 M + 4.45)	exp(-3.10 로그 M + 4.77) + 0.5
99%	0.5 - exp(-2.67 로그 M + 4.06)	exp(-3.19 로그 M + 5.28) + 0.5

여기서 $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M=log_{2$$}N}$과(와) $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은(는) 영상 시리즈 길이입니다$$. 두 경우 모두 길이 n> $[\displaystyle n]$의 하위 시리즈만 허스트 지수를 추정하기 위해 고려되었다. 더 작은 길이의 하위 시리즈는 R/S 추정치의 높은 분산을 초래한다.

일반화 지수

기본 허스트 지수는 E(X-X_t+τt)가 측정한 관측치 사이의 지연 함수로서 예상되는 변경 크기와 관련될 수 있다. 계수의 일반화된 형태의 경우, 여기서 지수를 q로 나타내는 보다 일반적인 용어로 대체한다.

H 추정에는 다양한 기법이 존재하지만 추정의 정확성을 평가하는 것은 복잡한 문제가 될 수 있다. 수학적으로, 하나의 기법에서 허스트 지수를 다음과 같이 추정할 수 있다.^[19][20]

H_q = H(q),

시계열로

g(t) (t = 1, 2,...)

구조함수_q $({\displaystyle \tau }$ )의 스케일링 속성으로 정의할 수 있다.$$

${\displaystyle S_{q}=\langle g(t+\tau )-g(t) ^{q}\angle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},\,}$

여기서 q > 0, $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$은(는) 시간 지연이며 평균은 시간 창을 초과함

$\displaystyle t\gg \tau,\,}$

일반적으로 시스템의 가장 큰 시간 척도.

사실상, 본질적으로, 시간에는 제한이 없으며, 따라서 H는 관측된 데이터에 근거하여 추정될 수 있기 때문에 결정적이지 않다. 예를 들어, 주식 시장 지수에서 볼 수 있는 가장 극적인 일일 상승은 항상 다음 날 동안 초과될 수 있다.^[21]

위의 수학적 추정 기법에서 함수 H(q)는 척도 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$에서 평균 일반화된 볼륨성에 대한 정보를 포함한다($$변동성을 정의하는 데는 q = 1, 2만 사용된다). 특히 H₁ 지수는 추세의 지속적(H₁ > ½) 또는 반반존적(H₁ < ½) 행동을 나타낸다.

BRW(갈색 소음, 1/f²)의 경우

H_q = ½,

및 분홍색 소음(1/f)

H_q = 0.

백색 노이즈의 허스트 지수는 치수에 따라 달라지며,^[22] 1D 및 2D의 경우 치수에 따라 달라진다.

H^1D_q^2D_q = -csv , H = -1

인기 있는 레비 안정 공정과 잘린 레비 공정의 경우 매개변수 α에 대해 다음과 같이 밝혀졌다.

H_q = q < α의 경우 q/α, q α의 경우_q H = 1이다.

다분해 변위 분석은^[23] 비역별 시계열에서$$ $H{\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$) ${\displaystyle H(q)}$을 추정하는 한 가지 방법이다. $H{\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$) ${\displaystyle H(q)}$이(가) q의 비선형 함수인$$ 경우 시계열은 다원적 시스템이다.

참고

위의 정의에서 두 개의 별도 요구사항은 마치 하나의 요구사항인 것처럼 함께 혼합된다.^[24] 다음은 (i) 증분의 역점성, 분포에서의 x(t+T)-x(t)=x(T)-x(0)이다. 이것이 오랜 자기 상관을 산출하는 조건이다. (ii) 확률적 과정의 자기 유사성은 분산 스케일링을 산출하지만 오랜 기억력에는 필요하지 않다. 예를 들어, 1점 밀도(단순 평균) 수준의 마르코프 프로세스(즉, 메모리 없는 프로세스)와 부분적인 브라운 운동 척도(단순 평균)는 둘 다 있지만, 쌍의 상관 관계 수준이나 그에 상응하여 2점 확률 밀도에서는 척도가 되지 않는다.^{[clarification needed]}

효율적인 시장에는 마팅게일 조건이 필요하며, 이것이 비스테이션적 증분을 생성하는 시간에 분산이 선형인 경우를 제외하고 x(t+T)-x(t)≠x(T)-x(0)이다. 마팅게일은 쌍의 상관관계 수준으로 마킹게일 시장을 이기기 위해 쌍의 상관관계를 사용할 수 없다는 것을 의미한다. 반면에 비선형 분산을 동반한 정지 증가는 쌍 상관관계 수준에서 시장을 박동할 수 있도록 하는 분절형 브라운 모션의 오랜 쌍 메모리를 유도한다. 그러한 시장은 반드시 "효율적"과는 거리가 멀 것이다.

레스케이드 범위와 디트렌딩된 변동분석을 이용한 허스트 지수를 이용한 경제 시계열 분석은 에코노피시스트 A.F.에 의해 수행된다. 바리비에라^[25] 이 논문은 장기적 의존성과 정보 효율성의 시간적 차이를 연구한다.

허스트 지수는 DNA의 장기 의존성 조사,^[26] 광대역 갭 소재 조사에도 적용됐다.^[27]

참고 항목

• 장기 의존성
• 변칙 확산
• 재조정 범위
• 디트렌드변동분석

구현

• R/S, DFA, Hurst 지수의 주기각 회귀 분석 및 파장 추정치를 계산하기 위한 Matlab 코드 및 해당 신뢰 구간은 RePEC: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html에서 확인할 수 있다.
• Python의 R/S 구현: https://github.com/Mottl/hurst 및 Python의 DFA 및 MFDFA: https://github.com/LRydin/MFDFA
• 실제 허스트 및 복합 허스트 계산용 매트랩 코드: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
• Excel 시트는 다음과 같은 용도로도 사용할 수 있다: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator

참조