척도 불변도

물리학, 수학, 통계학에서 척도 불변성은 길이, 에너지, 기타 변수의 척도가 공통 인수에 곱하여 보편성을 나타내더라도 변하지 않는 물체나 법칙의 특징이다.

이 변환의 기술적 용어는 팽창(확장이라고도 함)이며, 팽창은 더 큰 순응 대칭의 일부를 형성할 수도 있다.

• 수학에서 척도 불변성은 보통 개별 함수나 곡선의 불변성을 가리킨다. 밀접하게 연관된 개념은 함수나 곡선이 확장의 이산형 부분 집합에서 불변하는 자기 유사성이다. 랜덤 공정의 확률 분포가 이러한 종류의 척도 불변성 또는 자기 유사성을 표시하는 것도 가능하다.
• 고전적 장 이론에서, 척도 불변성은 확장하에서의 전체 이론의 불변성에 가장 일반적으로 적용된다. 그러한 이론들은 전형적으로 특징적인 길이 척도가 없는 고전적인 물리적 과정을 묘사한다.
• 양자장 이론에서, 스케일 불변성은 입자 물리학의 측면에서 해석을 가지고 있다. 스케일 인바리어스 이론에서 입자 상호작용의 강도는 관련 입자의 에너지에 따라 달라지지 않는다.
• 통계 역학에서 스케일 불변도는 위상 전환의 특징이다. 중요한 관찰은 위상 전환이나 임계점에 가까울 경우 모든 길이 척도에서 변동이 발생하므로 현상을 기술할 수 있는 명시적인 스케일-상변형 이론을 찾아야 한다는 것이다. 그러한 이론은 스케일 인바리어트 통계장 이론이며, 공식적으로 스케일 인바리어트 양자장 이론과 매우 유사하다.
• 보편성은 매우 다른 미세한 시스템이 위상 전환 시 동일한 행동을 보일 수 있다는 관찰이다. 따라서 많은 다른 시스템에서의 위상 전환은 동일한 기본 스케일 인바리어스 이론에 의해 설명될 수 있다.
• 일반적으로 무차원 수량은 척도 불변량이다. 통계에서 유사한 개념은 표준화된 모멘트인데, 이것은 변수의 척도 불변성 통계인 반면, 표준화되지 않은 모멘트는 그렇지 않다.

스케일 인바리어스 곡선 및 자체 유사성

수학에서는 변수 x의 재조정에서 함수 또는 곡선 f(x)의 스케일링 특성을 고려할 수 있다. 즉, 길이 또는 크기 재스케일링으로 취할 수 있는 일부 척도계수 λ에 대한 f(xx)의 모양에 관심이 있다. 모든 재조정에서 f(x)가 불변해야 하는 요건은 일반적으로 다음과 같이 간주된다.

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)}$

일부 지수 Δ의 선택 및 모든 확장에 대한 λ. 이것은 f가 Δ의 동질적인 함수인 것과 같다.

스케일 인바리어스 함수의 예로는 $단변수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ f$(x)=x^{n$가 있으며, 이에 대한 Δ = n은 명확하게 나타난다.

${\displaystyle f(\data x)=(\data x)^{n}=\data ^{n}f(x)~.}$

척도-변량 곡선의 예로는 자연에서 자주 나타나는 곡선의 일종인 로그 나선형(Logarithmic Spiral)이 있다. 극좌표(r, θ)에서는 Spiral을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}\ln(r/a)~.}$

곡선의 회전을 허용하면 모든 재조정 λ에 따라 불변한다. 즉, ((rr)는 ((r)의 회전 버전과 동일하다.

투영 기하학

단항체의 척도 불변성의 사상은 동종 다항식의 사상에 더 높은 차원으로 일반화하며, 보다 일반적으로 동종 함수에 일반화된다. 동질 함수는 투영 공간의 자연 거주자이며, 동질 다항식은 투영 기하학에서 투영 품종으로 연구된다. 투영 기하학은 수학의 특히 풍부한 분야로, 가장 추상적인 형태인 구성의 기하학은 끈 이론에서 다양한 주제와 연결된다.

프랙탈

때로는 프랙탈이 스케일 인바리어스라고 말하기도 하지만, 좀 더 정확히 말하면 자기 유사성이 있다고 해야 한다. 프랙탈은 일반적으로 분리된 값 집합 for에 대해서만 그 자체와 동일하며, 그 경우에도 프랙탈을 그 자체까지 일치시키기 위해 번역과 회전을 적용해야 할 수도 있다.

따라서 예를 들어, 코흐 곡선은 scales = 1로 스케일링하지만, 스케일링은 정수 n의 λ = 1/3ⁿ 값만 유지한다. 게다가, 코흐 곡선은 원점에서 뿐만 아니라, 어떤 의미에서는 "어디서나": 그 자체의 축소판도 곡선을 따라 쭉 찾을 수 있다.

일부 프랙탈은 한 번에 여러 개의 스케일링 인자를 가질 수 있다. 그러한 스케일링은 다중 프랙탈 분석을 통해 연구된다.

주기적인 외부 광선과 내부 광선은 불변 곡선이다.

확률적 공정에서 비늘 불변성

P(f )가 평균이고 주파수 f 에서 예상되는 전력인 경우, 노이즈 배율은 다음과 같다.

${\displaystyle P(f)=\lambda ^{-\Delta }P(\lambda f)}$

흰색 노이즈의 경우 Δ = 0, 분홍색 노이즈의 경우 Δ = -1, 브라운 노이즈의 경우 Δ = -2(그리고 보다 일반적으로는 브라운 모션)를 사용한다.

더 정확히 말하면, 확률적 시스템에서 스케일링은 가능한 모든 임의 구성 집합 중에서 특정 구성을 선택할 가능성 자체와 관련이 있다. 이 가능성은 확률 분포에 의해 주어진다.

척도상 변이 분포의 예로는 파레토 분포와 집페안 분포가 있다.

척도 불변 트위디 분포

트위디 분포는 지수 분포 모델의 특별한 경우로서 일반화된 선형 모델에 대한 오차 분포를 설명하는 데 사용되는 통계적 모델의 한 종류로서, 가법 및 생식 경련에 의한 폐쇄와 저울 변환에 의한 폐쇄가 특징이다.^[1] 여기에는 정규 분포, 포아송 분포 및 감마 분포, 복합 포아송-감마 분포와 같은 더 특이한 분포, 양의 안정 분포 및 극단적 안정 분포와 같은 여러 가지 공통 분포가 포함된다. 고유한 척도 불변성 트위디 랜덤 변수 Y는 E(Y) 전력 법칙을 의미하는 분산 변수(Y)를 나타낸다.

${\$$E}\,$ ($Y)]^{p$

여기서 a와 p는 양의 상수다. 평균 전력 법칙에 대한 이러한 분산을 물리학 문헌에서는 변동 스케일링으로,^[2] 생태 문헌에서는 테일러의 법칙으로 알려져 있다.^[3]

트위디 분포에 의해 관리되고 빈을 확장하는 방법에 의해 평가되는 무작위 시퀀스는 평균 전력 법칙에 대한 분산과 전력 법칙 자기 상관 사이의 양방향 관계를 보여준다. Wiener-Khinchin 정리는 또한 이러한 조건에서 평균 전력 법칙에 대한 분산을 나타내는 모든 시퀀스에 대해 1/f 노이즈도 나타낼 것임을 암시한다.^[4]

트위디 컨버전스 정리는 변동 스케일링과 1/f 노이즈의 광범위한 발현에 대한 가상의 설명을 제공한다.^[5] 본질적으로, 평균 전력 법칙에 대한 분산을 점증적으로 나타내는 지수 분포 모델은 트위디 모델의 매력 영역 내에 있는 분산 함수를 표현해야 한다. 유한 적분 생성 함수가 있는 거의 모든 분포 함수는 지수 산포 모델로 적합하며 대부분의 지수 산포 모델은 이 형식의 분산 함수를 나타낸다. 따라서 많은 확률 분포는 이러한 점근거동을 나타내는 분산 함수를 가지며, 트위디 분포는 광범위한 데이터 유형에 대한 수렴의 초점이 된다.^[4]

중심 한계 정리에는 가우스 분포와 표현 백색 노이즈의 수렴의 초점으로 특정 종류의 무작위 변수가 필요한 만큼, 트위디 수렴 정리에는 1/f 노이즈와 변동 스케일링을 표현하기 위해 특정 비 가우스 랜덤 변수가 필요하다.^[4]

우주론

물리적 우주론에서 우주 마이크로파 배경의 공간 분포의 동력 스펙트럼은 스케일 인바리어스 함수에 가깝다. 수학에서 이것은 스펙트럼이 힘 법칙이라는 것을 의미하지만, 우주론에서 "스케일 인바리어런트"라는 용어는 파동 수 k의 함수로서 원시적 변동의 진폭인 P(k)가 근사적으로 일정하다는 것을 나타낸다. 즉, 평평한 스펙트럼이다. 이러한 패턴은 우주 인플레이션의 제안과 일치한다.

고전장 이론의 척도 불변성

고전적 장 이론은 좌표에 따라 달라지는 장 또는 장 집합인 φ에 의해 일반적으로 기술된다. 그런 다음 φ에 대한 미분 방정식을 풀어서 유효한 장 구성이 결정되며, 이러한 방정식을 장 방정식이라고 한다.

이론이 스케일 인바리어스가 되려면, 이론의 필드 방정식은 좌표의 리스케일링에 따라 불변해야 하며, 필드의 특정 리스케일링과 결합되어야 한다.

$\displaystyle x\오른쪽 화살표 \rowda x~,}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\varphi ~.}$

매개변수 Δ는 필드의 스케일링 치수로 알려져 있으며, 그 값은 고려 중인 이론에 따라 달라진다. 이론에 고정된 길이 척도가 나타나지 않는 경우 척도 불변성은 일반적으로 유지된다. 반대로, 고정된 길이 척도의 존재는 이론이 척도-변수성이 아님을 나타낸다.

스케일 불변성의 결과는 스케일 인바리어트 필드 방정식의 해법이 주어진다면 좌표와 필드를 적절히 재조정함으로써 자동으로 다른 해답을 찾을 수 있다는 것이다. 기술적 용어로, 해결책인 x(x)에 따라, 사람은 항상 형태의 다른 해결책들을 가지고 있다.

${\displaystyle {\lambda }^{}}$ ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \lambda ^{\Delta ^}\varphi$(\$lambda$ x$)\}.$

필드 구성의 축소 불변도

특정 필드 구성인 φ(x)에 대해 스케일 인바리어스(scale invariant)가 되려면 다음이 필요하다.

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)}$

여기서 Δ는 필드의 스케일링 차원이다.

우리는 이 조건이 다소 제한적이라는 것에 주목한다. 일반적으로 스케일 인바리어스 장 방정식의 해법도 스케일 인바리어스가 되지 않을 것이며, 이 경우 대칭은 자연적으로 깨진다고 한다.

고전 전자기학

스케일 인바리어트 고전장 이론의 예는 전하나 전류가 없는 전자기학이다. 장들은 전기장과 자기장 E(x,t)와 B(x,t)이고, 장 방정식은 맥스웰 방정식이다.

전하나 전류가 없는 이 장 방정식은 파동 방정식의 형태를 취한다.

${\displaystyle \nabla^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}:{\frac {\partial^{2}\mathbf {E}{\partial t^{2}}:}$

${\displaystyle \nabla^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}:{\frac {\partial ^{2}\partial ^{B}{\partial t^{2}}:}$

여기서 c는 빛의 속도다.

이 필드 방정식은 변환 시 불변함

$\displaystyle x\오른쪽 화살표 \rowda x,}$

$\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

더욱이 맥스웰 방정식 E(x, t)와 B(x, t)의 해법으로 볼 때 E(x, t)와 B(x, t)도 해법이라고 한다.

질량이 없는 스칼라장 이론

스케일 인바리어스 고전장 이론의 또 다른 예는 질량이 없는 스칼라장이다(스칼라라는 이름은 스케일 불변성과 관련이 없다는 점에 유의한다). 스칼라 필드 φ(x, t)은 공간 변수 집합인 x와 시간 변수 t의 함수다.

먼저 선형 이론을 고려하라. 위의 전자기장 방정식처럼 이 이론에 대한 운동 방정식도 파동 방정식이다.

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}:{\frac {\fract ^{2}\varphi }{\barphi }{\preason t^{2}}-\varphi =0,}$

그리고 변형을 해도 변함없다.

$\displaystyle x\오른쪽 화살표 \rowda x,}$

$\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

massless라는 이름은 필드 방정식에${\displaystyle }$in$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \propto m^{2}\varphi }$라는 용어가 없는 것을 가리킨다. 그러한 용어는 흔히 '질량' 용어로 일컬어지며, 위의 변형 하에서 불변성을 깨뜨릴 것이다. 상대론적 분야 이론에서, 대량 척도 m은 물리적으로 다음 과정을 통해 고정된 길이 척도와 동등하다.

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{mc},}$

따라서 대규모 스칼라장 이론이 규모에 따라 달라지지 않는다는 것은 놀랄 일이 아니다.

φ⁴ 이론

위의 예에서 필드 방정식은 모두 필드에서 선형이며, 스케일링 치수인 Δ가 그다지 중요하지 않았음을 의미한다. 단, 보통 스칼라장 작용에 치수가 없어야 하며, 이는 φ의 스케일링 치수를 수정한다. 특히.

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}},}$

여기서 D는 공간 및 시간 치수의 결합된 수입니다.

φ에 대한 이 스케일링 치수를 고려할 때 스케일 인바리어스인 질량 없는 스칼라장 이론의 비선형 수정도 있다. D=4에 대한 질량 없는 φ⁴ 이론이 한 예다. 필드 방정식은

${\displaystyle {\frac{1}{c^{2}}{\frac {\fract ^{2}\barphi }{\barphi }{\barphi }-{2}\barphi +g\varphi ^{3}=0.}$

(주: φ이라는⁴ 이름은 φ의 네 번째 힘을 담고 있는 라그랑지아의 형태에서 유래한 것이다.)

D=4일 때(예: 3개의 공간 치수 및 1개의 시간 치수) 스칼라 필드 스케일링 치수는 Δ=1이다. 그런 다음 필드 방정식은 변환에서 불변한다.

$\displaystyle x\오른쪽 화살표 \rowda x,}$

$\displaystyle t\rightarrow \lambda t,}$

$\displaystyle \varphi (x)\오른쪽 화살표 \da ^{-1}\varphi (x)}$

요점은 매개변수 g는 차원이 없어야 하며 그렇지 않으면 고정된 길이 척도를 이론에 도입한다. φ⁴ 이론의 경우, D=4의 경우에 한한다. 이러한 변환에서 함수 φ의 인수는 변경되지 않는다는 점에 유의하십시오.

양자장 이론의 척도 불변성

양자장 이론(QFT)의 척도 의존성은 그 결합 매개변수가 주어진 물리적 과정의 에너지 척도에 의존하는 방식으로 특징지어진다. 이 에너지 의존성은 재생성 그룹에 의해 설명되며, 이론의 베타 기능으로 암호화된다.

QFT가 스케일 인바리어스(scale-invariant)가 되려면 연결 매개변수가 에너지 스케일과 독립적이어야 하며, 이는 이론의 베타 기능이 소멸됨으로써 나타난다. 그러한 이론은 또한 해당 재기성 집단 흐름의 고정점이라고도 한다.^[6]

양자전기역학

스케일 인바리어트 QFT의 간단한 예는 전하 입자가 없는 정량화된 전자기장이다. 이 이론은 실제로 결합 매개변수가 없으며(광자는 질량이 없고 비 상호작용이므로) 따라서 고전 이론과 매우 유사하게 스케일 인바리어스다.

그러나, 자연에서 전자기장은 전자와 같은 전하 입자와 결합된다. 광자와 전하 입자의 상호작용을 기술하는 QFT는 양자 전자역학(QED)이며, 이 이론은 스케일 인바리어스가 아니다. 우리는 QED 베타 기능에서 이것을 볼 수 있다. 이는 에너지가 증가함에 따라 전하(이론에서 커플링 매개변수)가 증가한다는 것을 말해준다. 따라서 충전된 입자가 없는 정량화된 전자기장은 스케일 인바리어스지만 QED는 스케일 인바리어스가 아니다.

질량이 없는 스칼라장 이론

자유 질량 정량화된 스칼라 장 이론에는 결합 파라미터가 없다. 따라서 고전 버전과 마찬가지로 스케일 인바리어스다. 이 이론은 신장파의 언어에서 가우스 고정점(Gaussian fixed point)으로 알려져 있다.

그러나 고전적인 질량 없는 φ⁴ 이론은 D=4에서 스케일 인바리어트(scale-invariant)이지만, 정량화된 버전은 스케일 인바리어스가 아니다. 커플링 파라미터 g의 베타 함수를 통해 이를 확인할 수 있다.

정량화된 질량 없는 φ은⁴ 스케일 인바리어스가 아님에도 불구하고 가우스 고정점 이외의 스케일 인바리어트 정량화된 스칼라장 이론이 존재한다. 한 예는 아래의 Wilson-Fisher 고정 지점이다.

등각장 이론

스케일 인바리어트 QFT는 거의 항상 완전한 정합성 대칭 하에서 불변하며, 그러한 정합성 QFT에 대한 연구는 정합성 장 이론(CFT)이다. CFT의 연산자는 위에서 설명한 고전적 분야의 스케일링 치수인 ,과 유사하게 스케일링 치수가 잘 정의되어 있다. 단, CFT에서 연산자의 스케일링 치수는 일반적으로 해당 고전 이론의 필드 치수와 다르다. CFT에 나타나는 추가 기여는 비정상적인 스케일링 치수로 알려져 있다.

규모 및 정합 이상 징후

위의 φ⁴ 이론 예는 해당 고전적 장 이론이 스케일-인바리(또는 일치 불변성)일지라도 양자장 이론의 커플링 매개변수가 스케일-인바리(scale-invariant)에 따라 달라질 수 있음을 보여준다. 이런 경우 고전적 규모(또는 등종적) 불변성은 변칙적이라고 한다. 양자 효과에 의해 척도 불변성이 깨지는 고전적 척도 불변장 이론은 이 이론을 섭동 이론을 통해 연구할 수 있는 한 우주 인플레이션이라 불리는 초기 우주의 거의 기하급수적인 팽창에 대한 탐구를 제공한다.^[7]

위상 전환

통계역학에서, 시스템은 위상전환을 거치면서, 그 변동은 스케일 인바리어트 통계장 이론에 의해 설명된다. D 공간 차원의 평형(즉, 시간 독립)에 있는 시스템의 경우 해당 통계장 이론은 공식적으로 D차원 CFT와 유사하다. 이러한 문제에서 스케일링 치수는 보통 임계 지수라고 하며, 원칙적으로 적절한 CFT에서 이러한 지수를 계산할 수 있다.

아이싱 모델

이 글에서 많은 사상을 연결시켜 주는 예는 강자성 물질의 단순한 모델인 Ising 모델의 위상 전환이다. 이것은 통계역학 모델로서, 또한 일치장 이론의 측면에서도 설명이 있다. 이 시스템은 D차원 주기 격자를 형성하는 격자 부위의 배열로 구성된다. 각 격자 부위와 연관된 것은 자기 모멘트, 즉 회전이며, 이 회전은 +1 또는 -1 값을 취할 수 있다(이 상태들은 각각 위아래로도 불린다).

요점은 Ising 모델이 스핀 스핀-스핀 상호작용을 가지고 있어 인접한 두 스핀이 정렬되는 것이 정력적으로 유리하다는 것이다. 반면에 열적 변동은 일반적으로 스핀의 정렬에 랜덤성을 도입한다. 어떤 임계 온도에서_c T , 자발적인 자화 현상이 일어난다고 한다. 이것은 T 아래에서는_c 스핀 스핀-스핀 상호작용이 지배하기 시작할 것이며, 두 방향 중 하나에 스핀들의 순 정렬이 어느 정도 존재한다는 것을 의미한다.

이 임계 온도에서 계산하고자 하는 물리적 수량의 종류에 대한 예로는 거리 r로 분리된 스핀들 사이의 상관관계가 있다. 일반적인 동작은 다음과 같다.

${\displaystyle G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }},}$

임계 지수의 예인$$$\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$의 특정 값.

CFT 설명

온도 T에서의_c 변동은 스케일 인바리어스(scale invariant)이므로, 이 위상 전환 시 Ising 모델은 스케일 인바리어스 통계장 이론에 의해 설명될 것으로 예상된다. 사실, 이 이론은 윌슨-피셔 고정점이며, 특정한 스케일 인바리어스 스칼라장 이론이다.

이 맥락에서 G(r)는 스칼라 필드의 상관 함수로 이해된다.

${\displaystyle \langle \phi (r)\r)\randle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta}}}}.}$

이제 우리는 이미 보여진 많은 아이디어들을 함께 맞출 수 있다.

이상에서 보면 이 위상 전환에 대한 임계 지수인 η도 변칙적인 차원이라고 본다. 왜냐하면 스칼라 영역의 고전적인 차원,

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}},}$

으로 수정되다

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2+\eta }{2}},}$

여기서 D는 Ising 모델 격자의 치수 수입니다.

따라서 등종장 이론의 이 변칙적인 차원은 Ising 모델 위상 전환의 특정 비판적 지수와 동일하다.

치수 D ≡ 4-102의 경우 η은 엡실론 확장을 사용하여 대략 계산할 수 있으며, η은 다음과 같은 것을 알게 된다.

${\displaystyle \eta }$= ${\displaystyle ϵ\frac{{}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{54}{}}$+ O (${\displaystyle {ϵ\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon ^{2}}:{54}}+O(\epsilon$^{$3}})}$.

물리적으로 흥미로운 3개의 공간적 차원의 경우 ε=1이 있기 때문에 이 확장은 엄격히 신뢰할 수 있는 것은 아니다. 그러나 반정량적 예측은 η이 3차원에서 수적으로 작다는 것이다.

반면 2차원의 경우 이싱 모델은 정확히 수용성이 있다. 특히 최소 모델 중 하나인 잘 이해되는 CFT 계열에 해당하며, η(및 다른 임계 지수)를 정확히 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\eta }_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$= ${\displaystyle {2_{}}_{}}$= 1 ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\${1$}{4$

슈람-루너 진화

특정 2차원 CFT의 비정상적인 치수는 무작위 보행의 일반적인 프랙탈 치수와 관련될 수 있으며, 여기서 무작위 보행은 Schramm-Loewner 진화(SLE)를 통해 정의된다. 위에서 살펴본 바와 같이, CFT는 위상 전환의 물리학을 기술하며, 따라서 특정 위상 전환의 중요한 지수를 이러한 프랙탈 치수와 연관시킬 수 있다. 예로는 2d 임계 Ising 모델과 보다 일반적인 2d 임계 Potts 모델을 들 수 있다. 다른 2d CFT를 SLE와 연관시키는 것은 연구의 활발한 영역이다.

보편성

보편성으로 알려진 현상은 다양한 물리적 시스템에서 볼 수 있다. 그것은 서로 다른 현미경 물리학이 위상 전이에서 동일한 스케일링 행동을 일으킬 수 있다는 생각을 표현한다. 보편성의 표준적인 예는 다음과 같은 두 가지 시스템을 포함한다.

• 위에서 설명한 Ising 모델 위상 전환.
• 고전 유체의 액체-무기 전환.

비록 이 두 시스템의 미시적 물리학은 완전히 다르지만, 그들의 비판적 지수는 같은 것으로 판명된다. 또한 동일한 통계장 이론을 사용하여 이러한 지수를 계산할 수 있다. 중요한 관찰은 위상 전환이나 임계 지점에서 모든 길이 척도에서 변동이 발생하므로 현상을 기술할 수 있는 스케일-인변성 통계장 이론을 찾아야 한다는 것이다. 어떤 의미에서 보편성은 그러한 규모의 변이 이론이 상대적으로 적다는 관측이다.

동일한 척도상 변이 이론에 의해 기술된 서로 다른 현미경 이론의 집합은 보편성 계급으로 알려져 있다. 보편성 등급에 속하는 시스템의 다른 예는 다음과 같다.

• 모래 더미에 눈사태가 났어 눈사태의 발생 가능성은 눈사태의 크기에 비례하는 권력형이며, 눈사태는 모든 규모의 눈사태가 발생하는 것으로 보인다.
• 크기 및 기간 함수로써 인터넷에서 네트워크 중단 빈도.
• 특정 논문의 인용 횟수의 함수로 모든 논문의 인용 네트워크에서 고려되는 저널 기사의 인용 빈도.^{[citation needed]}
• 강철에서 암석, 종이에 이르는 재료의 균열과 눈물의 형성과 확산. 찢어진 방향의 변화, 즉 골절된 표면의 거칠기는 크기 척도에 비례하는 파워 로프다.
• 균열과 눈물을 닮은 유전체의 전기적 고장.
• 골절된 암반을 통한 석유와 같은 질서 정연한 매체를 통한 유체 또는 크로마토그래피와 같은 여과지를 통한 수분 침투. 파워 로 스케일링은 유속을 골절 분포에 연결시킨다.
• 용액 내 분자의 확산, 그리고 확산 제한 집합 현상.
• (바위에 작용하는 중력과 함께) 흔들리고 있는 골재 혼합물에서 크기가 다른 바위의 분포.

주요 관찰은 이러한 모든 다른 시스템에 대해 그 행동이 위상전환을 닮았으며, 이를 설명하기 위해 통계역학 및 스케일 인바리어스 통계장 이론의 언어를 적용할 수 있다는 것이다.

기타 척도 불변성

힘이 작용하지 않는 뉴턴 유체 역학

어떤 상황에서 유체역학은 스케일 인바리어트 고전장 이론이다. The fields are the velocity of the fluid flow, ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$, the fluid density, ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$, and the fluid pressure, ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$. These fields must satisfy both the Navier–스토크 방정식과 연속성 방정식을 사용한다. 뉴턴 유체의 경우, 이것들은 각각의 형태를 취한다.

${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)}$

${\displaystyle {\frac {\reship \rho }{\reshold t}+\cdla \cdot \left(\rho \mathbf {u}\right)=0}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는) 동적 점성이다.

이러한 방정식의 척도 불변성을 추론하기 위해 유체 압력과 유체 밀도를 연관시키는 상태의 방정식을 명시한다. 상태의 방정식은 유체의 종류와 유체의 대상 조건에 따라 달라진다. 예를 들어, 우리는 등온 이상 기체를 만족시키는 것으로 간주한다.

${\displaystyle P=c_{s}^{2}\rho ,}$

$여기$서 ${\displaystyle c_{}}$ ${\$는 유체 내 음속이다. 이런 상태 방정식을 고려할 때, 나비에르–변환 시 스톡스와 연속성 방정식이 불변함

$\displaystyle x\오른쪽 화살표 \rowda x,}$

$\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{2}t,}$

${\displaystyle \rho \rightarrow \htarrow \da^{-1}\rho ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} \rightarrow \nothda ^{-1}\mathbf {u}}$

Given the solutions ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ and ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$, we automatically have that ${\displaystyle \lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$ and ${\displaystyle \lambda \$$rho(\lambda \mathbf {x},\lambda ^{2}t)$도 해결책이다$$.

액체 및 고형물의 숨겨진 비늘 불변성

Lennard-Jones 및 Yukawa 쌍-잠재적 모델을 포함하여 Molecular Dynamics 컴퓨터 시뮬레이션에 의해 연구된 일부 모델에는 "숨겨진 스케일 침입" 기준에^[8] 적합한 잠재적$$ 에너지 함수 $U{\displaystyle }$($){\displaystyle$U$({\mathbf{R})}$가 있다.

$<$$U({\mathbf{R}_{\rm {b})\\\Rightarrow \,U(\lambda {R}_{\rm${a$})<U(\lambda {\mathbf {R}_{\rm {b$

여기서 $R{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle a_{\mathrm{}}}$ ${\$과(와) ${\displaystyle R_{\mathrm{}}}$ b ${\$은 두 개의 동일한 밀도 구성의 전체 공간 좌표고$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda}$은 구성을$$ 다른 밀도로 균일하게 확장하는 매개변수이다. 숨겨진 척도 불변성은 다른 밀도로 균일하게 확장될 경우 잠재적 에너지에 따라 하나의 밀도로 구성 순서를 유지하는 것을 의미한다. 이는 오일러 균질 전위 에너지 함수가 있는 시스템(예: 역파워-법률 쌍 전위와 상호작용하는 입자 시스템)에만 엄격하게 적용된다. 숨겨진 척도 불변성이 대부분의 구성에 시사하는 경우, 이는 열역학 위상 다이어그램, 소위 "이소모르프"에 선들이 존재함을 의미하며, 감소된 단위에서의 구조와 역학은 좋은 근사치에 불변한다.^[9] 대부분의 금속과 반 데르 발스 보세 시스템은 액체 및 고체상에서의 대략적인 대칭을 따르는 반면에 공밸리 또는 수소 결합 시스템과 같은 강한 방향 결합을 가진 시스템은 그렇지 않다; 이온계 및 이극계 시스템은 중간 계급을 구성한다.^[10] 대부분의 시스템은 가스 단계의 숨겨진 규모 불변성을 준수하지 않는다. 이소모르프는 지속적인 과잉 엔트로피의 선이기 때문에, 이소모르프의 존재는 1977년 로젠펠드가 발견한 과잉 엔트로피 스케일링과 이것이 혼합물, 제한된 시스템, 분자 시스템 등에도 적용되는 이유를 크게 설명한다.^[11][12][13]

컴퓨터 비전

컴퓨터 비전과 생물학적 비전에서 스케일링 변환은 원근법 이미지 매핑과 세계에서 다른 물리적 크기를 가진 물체 때문에 발생한다. 이러한 영역에서 스케일 불변성은 영상 영역의 로컬 스케일이 변경될 때 불변으로 남아 있는 영상 데이터의 로컬 이미지 설명자 또는 시각적 표현을 말한다.^[14] 정규화된 파생 반응의 척도에 대한 국소 최대값을 탐지하는 것은 이미지 데이터로부터 척도 침입을 얻기 위한 일반적인 프레임워크를 제공한다.^[15][16] 애플리케이션의 예로는 BLOB 검출, 코너 검출, 능선 검출, 스케일 인바리어트 기능 변환을 통한 객체 인식 등이 있다.

참고 항목

• 역제곱 전위
• 동력법
• 스케일 프리 네트워크

참조

추가 읽기

• Zinn-Justin, Jean (2002). Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Oxford University Press. 양자 및 통계 분야 이론, 임계 현상에 대한 적용, 엡실론 확장 및 관련 주제에 대한 광범위한 논의.
• DiFrancesco, P.; Mathieu, P.; Senechal, D. (1997). Conformal Field Theory. Springer-Verlag.
• Mussardo, G. (2010). Statistical Field Theory. An Introduction to Exactly Solved Models of Statistical Physics. Oxford University Press.