메르텐스 함수

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숫자 이론에서, 메르텐스 함수는 모든 양의 정수에 대해 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu(k),}$

여기서 $\mu {\displaystyle (k}$) ${\displaystyle \mu(k)}$은 뫼비우스 함수다.그 함수는 프란츠 메르텐스를 기리기 위해 명명되었다.이 정의는 다음과 같이 양의 실수로 확장될 수 있다.

$[\displaystyle M(x)=M(\lfloor x\rfloor)]}$

덜 형식적으로 $M{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ M$(x)}$은 짝수 수의 주요 인자를 갖는 x까지의 제곱이 없는 정수의 개수(홀수 수를 뺀 값)이다$$.

첫 번째 143 M(n) 값은 (OEIS에서 순차 A0023211)이다.

M(n)	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11
0+		1	0	−1	−1	−2	−1	−2	−2	−2	−1	−2
12+	−2	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−3	−3	−2	−1	−2
24+	−2	−2	−1	−1	−1	−2	−3	−4	−4	−3	−2	−1
36+	−1	−2	−1	0	0	−1	−2	−3	−3	−3	−2	−3
48+	−3	−3	−3	−2	−2	−3	−3	−2	−2	−1	0	−1
60+	−1	−2	−1	−1	−1	0	−1	−2	−2	−1	−2	−3
72+	−3	−4	−3	−3	−3	−2	−3	−4	−4	−4	−3	−4
84+	−4	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−1	−1	0	1	2
96+	2	1	1	1	1	0	−1	−2	−2	−3	−2	−3
108+	−3	−4	−5	−4	−4	−5	−6	−5	−5	−5	−4	−3
120+	−3	−3	−2	−1	−1	−1	−1	−2	−2	−1	−2	−3
132+	−3	−2	−1	−1	−1	−2	−3	−4	−4	−3	−2	−1

메르텐스 함수는 평균값과 피크값 모두에서 양방향과 음방향으로 서서히 증가하며, n이 값을 가질 때 0을 통과하는 것으로 보이는 혼란스러운 방식으로 진동한다.

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... (sequence A028442 in the OEIS).

뫼비우스 함수는 -1, 0, +1 값만 취하기 때문에 메르텐스 함수는 느리게 움직이며, M(x) > x와 같은 x는 없다. 메르텐스 함수의 절대값이 x의 제곱근을 초과하는 x는 없을 것이라고 하면서 머텐스 추측이 더 나아갔다.머텐스 추측은 1985년 앤드류 오들리즈코와 헤르만 테 리엘에 의해 거짓으로 판명되었다.그러나 리만 가설은 M(x)의 성장에 대한 약한 추측, 즉 M(x) = O(x^{1/2 + ε})에 해당한다.M(x)에 대한 높은 값은 $적어도{\displaystyle \sqrt{}}$ x ${\$만큼 빠르게 증가하므로, 이는 M(x)의 성장 속도에 다소 엄격한 제한을 가한다$.$여기서 O는 큰 O 표기법을 가리킨다.

M(x)의 실제 성장률은 알려져 있지 않다.스티브 갠크에 대한 미발표된 추측은 다음과 같이 말하고 있다.

${\displaystyle 0<\limsup _{x\to \inflt }{{\frac {M(x)}{{\sqrt {x}(\log \log \log x)^{5/4}}}<\inflot .}$

이 추측에 대한 확률론적 증거는 Nathan Ng에 의해 제시된다.^[1]In particular, Ng gives a conditional proof that the function ${\displaystyle e^{-y/2}M(e^{y})}$ has a limiting distribution ${\displaystyle \nu }$ on ${\displaystyle \mathbb {R} }$. That is, for all bounded Lipschitz continuous functions ${\displaystyle f}$ on the reals we have that

${\displaystyle \lim _{Y\to \inflat }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{{0}^{{Y}f{\big (}e^-y/2}}M(e^{y}}{\big )}\,dy=\,dy=\int _{-\inf(x)\f(x)\,d\nu(x)}\.}$

표현

일체형으로서

오일러 제품을 사용하면

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta(s)}}=\pod _{p^{-s}=\sum _{n=1}^{\frac {\mu(n)}{n^{n^}}}}}}}},}$

여기서 $\zeta {\displaystyle (s}$) ${\displaystyle \zeta(s)}$은(는) Riemann zeta 함수로, 제품은 primes를 초과한다.그 후, 이 디리클레 시리즈를 페론의 공식과 함께 사용하여, 하나를 얻는다.

${\displaystyle {1}{2\pi i}\int _{c-i\inflt }^{c+i\inflt }{x^{s}}{s\s\}}}}{s\s\zeta(s)}\,ds=M(x),}}$

여기서 c > 1.

반대로 멜린 변형이 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta(s)}=s\int _{1}^{1}{\inflt }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}\,dx,}$

( )> 1 ${\displaystyle \operatorname {Re}(s)>1}$에 대한 보유

제2의 체비셰프 함수와 관련된 메르텐스 자신이 부여한 신기한 관계는 다음과 같다.

$[\displaystyle \cHB(x)=M\left({\frac {x}{2}}\오른쪽)\log 2+M\left({x}{3}\right)\log 3+M\left({\frac}{4}\right)\log 4+\cdots .}$

리만 제타 함수에 다중 비삼각형 0이 없다고 가정하면, 잔류 정리별로 "정확한 공식"을 갖는다.

${\displaystyle M(x)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

Weyl은 Mertens 함수가 대략적인 기능 차등 방정식을 만족시켰다고 추측했다.

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}{(2r)!}}}}{{t}^{2r-1}y\왼쪽({\frac {x}{t+1}\오른쪽)+x\int_{0}^{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}\,du=x^{-1}H(\log x),}}$

여기서 H(x)는 Hwubiside step 함수, B는 Bernouli 수이며 t와 관련된 모든 파생상품은 t = 0으로 평가된다.

뫼비우스 함수에 대한 합과 리만 제타 함수의 0을 합한 미량 공식도 형태에 있다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\gamma }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(1/2+i\gamma )}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}\,dx,}$

여기서 오른쪽의 첫 번째 합은 리만 제타 함수의 비경쟁적 0을 차지하며, (g, h)는 푸리에 변환에 의해 관련된다.

${\displaystyle 2\pi g(x)=\int _{-\infit }^{\h(u)^{iux}\,du.}$

Fary 시퀀스에 대한 합계로서

메르텐스 함수의 또 다른 공식은

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}_{n}e^{2\pi ia}}}$

여기서 $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 순서 n의 Fary 시퀀스다.

이 공식은 프래넬-란다우 정리의 증거에 사용된다.^[2]

결정요인으로서

M(n)은 n × n Redheffer 행렬의 결정인자로, j가 1이거나 i가 j를 나누는 경우 a가_ij 1인 행렬이다.

n-차원 하이퍼볼로이드 아래의 점 수를 합한 값

${\displaystyle M(x)=1-\sum _{2\leq a\leq x}1+{\underset {ab\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}1-{\underset {abc\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}}}1+{\underset {abcd\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}1-\cdots }$

Mertens 함수를 확장하는 이 공식은^{[citation needed]} Piltz divisor 문제를 고려하여 얻은 점증상 한계를 시사하는데, 이는 Dirichlet divisor 문제인 점증상 함수의 점증상 추정치를 계산하는 것을 일반화한다.

계산

이전에 언급한 두 가지 방법 모두 머텐스 함수를 계산하는 실제 알고리즘으로 이어지지 않는다.프라임 카운트에 사용되는 것과 유사한 체 방법을 사용하여, 모든 정수 x의 증가 범위까지 모든 정수에 대해 메르텐스 함수를 계산했다.^[3][4]

사람	연도	한계
메르텐스	1897	104
폰 스테르넥	1897	1.5×105
폰 스테르넥	1901	5×105
폰 스테르넥	1912	5×106
네우바우어	1963	108
코언 앤 드레스	1979	7.8×109
드레스	1993	1012
료엔과 반 데 룬	1994	1013
코트니크와 반 데 룬	2003	1014
허스트	2016	1016

x까지의 모든 정수 값에 대한 Mertens 함수는 O(x log x) 시간에 계산할 수 있다.조합 알고리즘은 O(x^2/3(log log x)^1/3 시간 내에 M(x)의 격리된 값을 계산할 수 있으며, 보다 빠른 비조합 방식도 알려져 있다.^[5]

10의 출력에서 M(x) 값은 OEIS: A084237을 참조하십시오.

알려진 상한

Ng는 Riemann 가설(RH)과 동일하다고 언급한다.

$[\displaystyle M(x)=O\왼쪽({\sqrt{x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log \log x}\right)\}$

양의 상수 > 0 ${\displaystyle C>0}$에 대해 다른 상한은 마이어, 몽고메리 및 사마라얀이 RH를 다음과 같이 가정하여 획득했다.

${\displaystyle {\begin{aligned} M(x) &\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61}}\right)\\ M(x) &\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right).\end{정렬}}}$

다른 명시적 상한은 다음과 같이 Kotnik에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aigned}M(x) &quot;{\frac {x}{4345},\{\text{{{0.58782\cdot x}{\log ^{11/9}(x)},\{x}685의 경우 {\text{}.\end{정렬}}}$

참고 항목

• 페론의 공식
• 리우빌 함수

메모들

참조

• Edwards, Harold (1974). Riemann's Zeta Function. Mineola, New York: Dover. ISBN 0-486-41740-9.
• Mertens, F. (1897). ""Über eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich". Kleine Sitzungsber, IIa. 106: 761–830.
• Odlyzko, A. M.; te Riele, Herman (1985). "Disproof of the Mertens Conjecture" (PDF). Journal für die reine und angewandte Mathematik. 357: 138–160.
• Weisstein, Eric W. "Mertens function". MathWorld.
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002321 (Mertens's function)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
• Deléglise, M. and Rivat, J. "Möbius 함수의 합계 계산"실험하다.수학. 5,291-295, 1996.https://projecteuclid.org/euclid.em/1047565447
• Hurst, Greg (2016). "Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture". arXiv:1610.08551 [math.NT].
• Nathan Ng, "Möbius 함수의 합계함수의 분포", Proc.런던 수학.Soc. (3) 89(2004) 361-389.http://www.cs.uleth.ca/~nathanng/RESIGH/mobius2b.pdf