지수 산포 모형

확률과 통계에서, 지수 분포 모델 등급(EDM)은 자연 지수 계열의 일반화를 나타내는 확률 분포의 집합이다.^[1][2][3]지수 분포 모델은 통계 이론, 특히 일반화된 선형 모델에서 중요한 역할을 한다. 왜냐하면 그들은 적절한 통계 추론에 대해 추론을 할 수 있는 특별한 구조를 가지고 있기 때문이다.null

정의

일변량 케이스

지수 분산 모델을 공식화하는 두 가지 버전이 있다.null

가법 지수 산포 모형

In the univariate case, a real-valued random variable ${\displaystyle X}$ belongs to the additive exponential dispersion model with canonical parameter ${\displaystyle \theta }$ and index parameter ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle X\sim \mathrm {ED} ^{*}(\theta ,\lambda )}$, if its확률밀도함수는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle f_{X}(x \theta ,\lambda )=h^{*}(\lambda ,x)\exp \eft(\theta x-\lambda A(\theta )\,\!)!}$

생식 지수 분포 모형

변환된 랜덤 변수 $Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle X\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\lambda }{}}$ ${\$ Y$={\frac {X}{\lambda }}}$의 분포를 $생식{\displaystyle }$ 지수 분산 모델 Y${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle D\mathrm{}(\mu }$ ,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaysty Y\sim \mathrmet{ED}(\mu ,\sigma ^{2})$라고 하며$$$,$ 에 의해 주어진다.

${\displaystyle f_{Y}(y \mu ,\sigma ^{2})=h(\sigma ^{2},y)\exp \left({\fracta y-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\}\,\,\,}$

with ${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{\lambda }}}$ and ${\displaystyle \mu =A'(\theta )}$, implying ${\displaystyle \theta =(A')^{-1}(\mu )}$.용어 분산 모델은 $\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$을 분산 파라미터로 해석하는 데서 유래한다.고정 파라미터 $\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 경우$$$E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{D}(\mu }$ ,${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}^{}}$ 2)${\displaystyle \mathrmatrm {ED}(\mu ,\sigma ^{2})$는 자연 지수 계열이다.null

다변량 케이스

다변량 사례에서 $n차원{\displaystyle \mathbf{}}$ 랜덤 변수 X ${\$은(는) 다음 형태의^[1] 확률밀도함수를 갖는다.

${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} {\boldsymbol {\theta }},\lambda )=h(\lambda ,\mathbf {x} )\exp \left(\lambda ({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {x} -A({\boldsymbol {\theta }}))\right)\,\!,}$

여기서 매개 변수 ${\$은(는) $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) 같은 차원을 갖는다$$$.$

특성.

누적생성함수

$Y{\displaystyle }$~ ${\displaystyle E\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{D}(\mu }$ ,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle Y\sim \mathrmat {ED}(\mu ,\sigma ^{2})$의 누적 생성 함수는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle K(t;\mu ,\sigma ^{2}=\log \operatorname {E} [e^{t]Y}]={\frac {A(\theta +\sigma ^{2}t)-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\,\!,}$

$\theta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1 (${\displaystyle {}^{}\mu }$) ${\displaystyle \theta =(A')^{-1}(\mu )}$

평균 및 분산

$Y{\displaystyle }$~ ${\displaystyle E\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{D}{}^{}\mu }$ ,${\displaystyle {}^{}}$ 2)의 평균 및 분산은 다음과$$ 같다$.$ [\$displaystyle Y\sim \mathrmat {ED}(\mu ,\sigma ^{2}).$

${\displaystyle \operatorname {E}[Y]=\mu =A'(\theta )\quad \operatorname {Var}[Y]=\sigma ^{2}A"(\theta )=\sigma ^{2}V(\mu )\,\,\!}$

단위 분산 함수 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle (\mu }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle V(\mu )=A"(A')^{-1}(\mu$ $)\}\}.$

생식

If ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ are i.i.d. with ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{i}}}\right)}$, i.e. same mean ${\displaystyle \mu }$ and different weights ${\displaystyle w_{i}}$, the weighted mea는 다시 E ${\displaystyle \mathrm{D}}$ ${\$를) 사용하여

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}Y_{w_{\bullet }}\심각 \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}:{w_{\bullet }}\,\,},}$

$w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ w ${\displaystyle i_{}}$ ${\$따라서 ${\$를 생식이라고 한다$$.null

단위 이탈도

$E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{D}(\mu }$ ,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathrm {ED}(\mu ,\sigma ^{2})$의 확률밀도함수는 단위$$ 이탈도 $d{\displaystyle (y}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle d(y,\mu )$의 단위로 표시할 수도$$ 있다.

${\displaystyle f_{Y}(y \mu ,\sigma ^{2})={\tilde{h}(\sigma ^{2},y)\exp \좌(-{\frac {d(y,\mu )}{2\sigma ^{2}}}\, 오른쪽)\,\,\,\,}$

where the unit deviance takes the special form ${\displaystyle d(y,\mu )=yf(\mu )+g(\mu )+h(y)}$ or in terms of the unit variance function as ${\displaystyle d(y,\mu )=2\int _{\mu }^{y}\!$${\frac {y-t}{V(t)}\,dt$

예

매우 일반적인 확률 분포는 EDM의 종류에 속하며, 그 중에는 정규 분포, 이항 분포, 포아송 분포, 음이항 분포, 감마 분포, 역가우스 분포, 트위디 분포 등이 있다.null

참조