현대 포트폴리오 이론

현대 포트폴리오 이론(MPT) 또는 평균 분산 분석은 주어진 위험 수준에 대해 기대 수익이 최대화되도록 자산 포트폴리오를 구성하는 수학적 프레임워크입니다. 다양한 종류의 금융 자산을 소유하는 것이 한 가지 유형만 소유하는 것보다 덜 위험하다는 생각을 공식화하고 투자의 다양화를 확장한 것입니다. 그 핵심 통찰력은 자산의 위험과 수익을 그 자체로 평가하는 것이 아니라 포트폴리오의 전반적인 위험과 수익에 어떻게 기여하는지에 따라 평가해야 한다는 것입니다. 수익률의 분산(또는 그 변환, 표준 편차)은 자산을 포트폴리오로 결합할 때 다루기 쉽기 때문에 위험의 척도로 사용됩니다.^[1] 수익률의 과거 분산 및 공분산이 이러한 수량의 미래 예측 버전에 대한 프록시로 사용되는 경우가 많지만,^[2] 다른 보다 정교한 방법을 사용할 수 있습니다.^[3]

경제학자 Harry Markowitz는 1952년 수필에서 MPT를 소개했고,^[1] 이후 노벨 경제학상을 수상했습니다. Markowitz 모델을 참조하십시오.

1940년 Bruno de Finetti는 더 강력한 가정 하에 비례 재보험의 맥락에서 평균-분산 분석 방법을 발표했습니다^[4]. 이 논문은 잘 알려지지 않았고 2006년에야 영어권의 경제학자들에게 알려졌습니다.^[5]

수학적 모형

위험 및 기대수익

MPT는 투자자들이 위험 회피적이라고 가정하는데, 이는 동일한 기대 수익을 제공하는 두 개의 포트폴리오를 감안할 때 투자자들은 덜 위험한 포트폴리오를 선호할 것이라는 것을 의미합니다. 따라서 투자자는 더 높은 기대 수익으로 보상되는 경우에만 증가된 위험을 감수하게 됩니다. 반대로 더 높은 기대 수익을 원하는 투자자는 더 많은 위험을 감수해야 합니다. 정확한 절충안은 모든 투자자에게 동일하지 않을 것입니다. 투자자마다 개별 위험 회피 특성에 따라 상충 관계를 다르게 평가할 것입니다. 즉, 두 번째 포트폴리오가 예상 수익률 대비 더 유리한 위험을 가진 경우 즉, 해당 수준의 위험에 대해 더 나은 기대 수익을 가진 대체 포트폴리오가 존재하는 경우 합리적인 투자자는 포트폴리오에 투자하지 않을 것입니다.

모델 아래:

포트폴리오 수익률은 구성 자산의 수익률에 비례 가중치를 적용한 조합입니다.
포트폴리오 수익률 변동성 $\sigma _{p}$ σ p ${\displaystyle \sigma_{$ p}}는 모든 자산 쌍(i, j)에 대한 구성 자산의 상관 ρ의 함수입니다. 변동성은 투자와 관련된 위험에 대한 통찰력을 제공합니다. 변동성이 높을수록 위험이 높아집니다.

일반적으로:

예상수익률:

$\operatorname {E}(R_{p})=\sum_{i}w_{i}\operatorname {E}(R_{i})\quad$

$R_{p}$ ${\$ 는 $R_{p}$ 포트폴리오의 수익률이고, $R_{i}$ ${\$ 는 $R_{i}$ 자산 i의 수익률이고, $w_{i}$ ${\$ 는 $w_{i}$ 구성자산 $i$ $i$ 의 가중치입니다( $i$ 즉, 포트폴리오에서 자산 "i"의 비중), $\sum _{i}w_{i}=1$ ∑ $i는$ = 1 {\displaystyle \sum_{i}w_{i}=1})입니다.

포트폴리오 수익률 분산:

$σ$ $eq i}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$ ,

여기서 $\sigma _{i}$ σ i ${\displaystyle \$ sigma _{i}}는 $\rho _{ij}$ $\rho _{ij}$ 의 주기적 수익률의 (표본) 표준편차이고 $,$ ρ i j ${\displaystyle$ \rho _{ij}는 자산 i와 j의 수익률 간의 상관계수입니다. 또는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$σ$ p $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$ = $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$ ∑ i ∑ j wi $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$ h j σ $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$ i j ρ i {\displayst $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$ sigma _{p $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$ ^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$ sigma $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$ sigma _{j}\rho _{ij}},

여기서 ρ i $j$ = $1$ {\displaystyle \rho _{ij}= 1} for i = j {\displaystyle i=j}, 또는

$σ$ p $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}$ = $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}$ ∑ i ∑ j wi $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}$ h j σ i {\displayst $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}$ sigma _{p $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}$ ^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}$ sigma _{ij}},

where $\sigma _{ij}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$ is the (sample) covariance of the periodic returns on the two assets, or alternatively denoted as $\sigma (i,j)$ , ${\text{cov}}_{ij}$ or ${\text{cov}}(i,j)$ $displaystyle {\text{cov}}(i,j$

포트폴리오 수익률 변동성(표준 편차):

$\sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}$

두 개의 자산으로 구성된 포트폴리오의 경우:

$\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).$ 예상 수익률: $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).$ ⁡ $($ Rp $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).$ = $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).$ w $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).$ $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).$ ⁡(RA) + w B E ⁡(RB) = w A E ⁡(RA) + (1 - w A) E ⁡(RB $).$ {\displaystyle \operatorname {E} (R_{p}) = w_{ $A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{$ $A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).}$

포트폴리오 분산 : σ p 2 = $\sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}$ A $\sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}$ σ A 2 + w B 2 σ B 2 + w A w B σ A $\sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}$ σ B ρ AB {\displaystyle \sigma _{p}^{2}= w_{ $A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{$ $A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}}$

3개 자산 포트폴리오의 경우:

$\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})$ 예상 수익률: $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})$ ⁡ $($ Rp $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})$ = $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})$ w $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})$ ⁡(RA) + w BE ⁡(RB) + w CE ⁡(RC $)$ {\displaystyle \operatorname {E}(R_{p}) = w_{ $A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})}$

Portfolio variance: ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{$ $A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{$ $A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}+2w_{$ $A}w_{C}\sigma _{A}\sigma _{C}\rho _{AC}+2w_{$ $B}w_{C}\sigma _{B}\sigma _{C}\rho _{BC}}$

대수학은 행렬 표기와 관련된 양을 표현함으로써 훨씬 단순화될 수 있습니다.^[6] $N\times 1$ × $N\times 1$ ${\displaystyle N\times$ 1 $}$ $R$ R ${\display R}$ 에 N개의 위험 자산의 반환을 배열합니다 $R$ 여기서 첫 번째 요소는 첫 번째 자산의 반환, 두 번째 자산의 두 번째 요소 등입니다. 열 벡터 $\mu$ ${\displaystyle \mu$ $\Sigma$ 분산 및 공분산을 공분산 행렬 $\Sigma$ σ ${\$ displaystyle $\Sigma$ \Sigma }에 배열합니다. N개의 위험 자산 각각에 있는 가중치가 가중치 $벡터$ w ${\displaystyle$ w}의 해당 요소에 의해 주어진 위험 자산 포트폴리오를 생각해 보십시오. 그러면.

포트폴리오 예상 수익률: w $w'\mu$ $w'\mu$ {\ $displaystyle$ w $'\mu}$

그리고.

포트폴리오 분산: $w'\Sigma w$ σW {\ $displaystyle w'\$ Sigma w}

$Rf$ 이 $Rf$ {\ $displaystyle Rf}$ 인 위험 없는 자산에 투자한 경우 $Rf$ 가중치 벡터의 가중치는 1로 합산되지 않으며, 포트폴리오 기대 수익률은 $w'\mu +(1-w'1)Rf$ + $w'\mu +(1-w'1)Rf$ ( $w'\mu +(1-w'1)Rf$ - $w'\mu +(1-w'1)Rf$ $w'\mu +(1-w'1)Rf$ $w'\mu +(1-w'1)Rf$ ${\displaystyle$ w $'\mu$ + $($ 1 - w $'1)Rf}$ 가 됩니다 $w'\mu +(1-w'1)Rf$ 포트폴리오 분산에 대한 표현은 변경되지 않습니다.

다양화

투자자는 완벽하게 양의 상관관계가 없는 상품의 $-1\leq \rho _{ij}<1$ - $-1\leq \rho _{ij}<1$ ≤ ρ $ij$ < 1 ${\displaystyle -$ 1\leq \rho _{ij}< 1})을 보유함으로써 포트폴리오 위험(특히 $\sigma _{p}$ σ p ${\displaystyle \sigma$ _{p})을 줄일 수 있습니다. 즉, 투자자는 다양한 자산 포트폴리오를 보유함으로써 개인의 자산 위험에 대한 노출을 줄일 수 있습니다. 다양화를 통해 위험을 줄이고 동일한 포트폴리오 기대 수익을 얻을 수 있습니다. Markowitz는 최적의 투자 포트폴리오를 구성하기 위한 평균 분산 프레임워크를 처음 제안했으며, 그 이후로 프레임워크의 한계를 설명하는 다른 경제학자와 수학자들에 의해 강화 및 개선되었습니다.

모든 자산 쌍의 상관관계가 0인 경우(전혀 상관이 없음) 포트폴리오의 수익률 분산은 자산에 보유된 비율의 제곱에 자산의 수익률 분산을 곱한 값입니다(포트폴리오 표준 편차는 이 합계의 제곱근입니다).

모든 자산 쌍의 상관관계가 1인 경우(완벽하게 양의 상관관계가 있음) 포트폴리오 수익률의 표준 편차는 자산 수익률의 표준 편차를 포트폴리오에 보유된 비율로 가중한 합입니다. 주어진 포트폴리오 가중치와 주어진 자산 수익률의 표준 편차의 경우 모든 상관 관계가 1인 경우 포트폴리오 수익률의 가장 높은 표준 편차를 제공합니다.

무위험 자산으로 효율적인 프론티어

MPT는 평균 분산 이론으로 포트폴리오의 기대(평균) 수익률과 동일한 포트폴리오의 표준 편차를 비교합니다. 이미지는 수직 축에서 예상 수익률을 나타내고 수평 축에서 표준 편차(변동성)를 표시합니다. 변동성은 표준 편차로 설명되며 위험의 척도 역할을 합니다.^[7] 수익률 - 표준 편차 공간을 '기대 수익률 대 위험' 공간이라고 부르기도 합니다. 위험 자산의 가능한 모든 조합을 이 위험 예상 수익 공간에 표시할 수 있으며, 이러한 가능한 모든 포트폴리오의 집합은 이 공간의 지역을 정의합니다. 이 지역의 왼쪽 경계는 쌍곡선이고 ^[8]쌍곡선 경계의 위쪽 부분은 위험이 없는 자산(때로는 "마르코위츠 총알"이라고도 함)이 없는 효율적인 변경입니다. 이 상위 에지를 따르는 조합은 특정 수준의 기대 수익률에 대해 가장 낮은 위험이 있는 포트폴리오(무위험 자산 보유 포함)를 나타냅니다. 마찬가지로, 효율적인 프론티어에 기반한 포트폴리오는 주어진 위험 수준에 대해 가능한 최상의 기대 수익을 제공하는 조합을 나타냅니다. 쌍곡 경계의 상부에 접하는 접선이 자본 할당선(CAL)입니다.

효율적인 프론티어의 계산에는 행렬이 선호됩니다.
행렬 형태에서 주어진 "위험 허용 오차" $q\in [0,\infty )$ ∈ $q\in [0,\infty )$ [ $0$ , ∞) ${\displaystyle$ q $q\in [0,\infty )$ in [0,\infty]}에 대해 다음 식을 최소화하여 효율적인 프론티어를 찾습니다.

$w^{T}\Sigma w-q\times R^{T}w$

어디에

$w$ $w$ 는 $\sum _{i}w_{i}=1.$ $\sum _{i}w_{i}=1.$ $중$ $\sum _{i}w_{i}=1.$ 와 $\sum _{i}w_{i}=1.$ i의 $벡터$ 입니다 $.$ w $=$ 1. {\displaystyle \sum _{i}w $_$ {i}= 1.}(가중치가 음수일 수 있음);

$σ {\$ displaystyle \Sigma}는 포트폴리오의 자산 수익률에 대한 공분산 행렬입니다.

$q\geq 0$ ≥ $0$ {\displaystyle q $\$ geq 0}은(는) "위험 허용" 요소로, 0은 위험을 최소화하고 {\displaystyle \infty }은(는) 예상 수익률과 위험이 제한되지 않는 최전선에서 포트폴리오를 무한히 멀리 이끌어냅니다.

$R$ $R$ 은 $R$ (는) 예상 수익의 벡터입니다.

$w^{T}\Sigma w$ $T}\Sigma$ w $}$ 는 $w^{T}\Sigma w$ 포트폴리오 수익률의 분산입니다.

${\displaystyle$ $T}w}$ 은 $R^{T}w$ (는) 포트폴리오의 예상 수익률입니다.

위의 최적화는 표준 편차 대신 포트폴리오 수익률 분산을 수평으로 표시할 경우 프론티어의 기울기의 역수가 q가 되는 프론티어 상의 지점을 찾습니다. 프런티어 전체가 q에 대해 파라메트릭입니다.
해리 마코위츠(Harry Markowitz)는 위 문제를 해결하기 위한 특정 절차인 임계선 알고리즘(^[9]critical line algorithm)을 개발했는데, 이 알고리즘은 추가 선형 제약, 자산의 상한 및 하한을 처리할 수 있으며, 반-양의 확정 공분산 행렬과 함께 작동하는 것으로 입증되었습니다. Critical Line 알고리즘의 구현 예는 Visual Basic for Applications,^[10] JavaScript^[11] 및 기타 몇 가지 언어에 있습니다.
또한 MATLAB, Microsoft Excel, Mathematica 및 R을 포함한 많은 소프트웨어 패키지는 일반적인 최적화 루틴을 제공하여 잠재적인 주의 사항(수치 정확도 저하, 공분산 행렬의 긍정적인 정의 요구 사항...)으로 위 문제를 해결하는 데 사용할 수 있습니다.
효율적인 프런티어를 지정하는 대안적인 방법은 예상 포트폴리오 수익률 R $R^{T}w.$ $R^{T}w.$ 에 대해 매개 변수적으로 수행하는 것입니다 $R^{T}w.$ $R^{T}w.$ 이 버전의 $R^{T}w.$ 문제는 최소화해야 합니다.

$w^{T}\Sigma w$

의 대상이 되는

$R^{T}w=\mu$

매개 변수 $\mu$ $\mu$ 의 경우 $\mu$ 이 문제는 다음과 같은 선형 연립 방정식으로 이어지는 라그랑주 곱셈기를 사용하여 쉽게 해결할 수 있습니다.

${\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}$

2상호기금정리

위 분석의 한 가지 핵심 결과는 두 개의 상호 펀드 정리입니다.^[12]^[13] 이 정리는 효율적인 프런티어 상의 모든 포트폴리오는 프런티어 상에서 주어진 두 포트폴리오의 조합을 보유함으로써 생성될 수 있음을 의미하며, 후자의 두 가지 주어진 포트폴리오는 정리의 이름에 있는 "상호 펀드"입니다. 따라서 위험이 없는 자산이 없는 경우 투자자는 한 쌍의 효율적인 뮤추얼 펀드만 접근할 수 있더라도 원하는 효율적인 포트폴리오를 달성할 수 있습니다. 변경에서 원하는 포트폴리오의 위치가 두 뮤추얼 펀드의 위치 사이에 있다면 두 뮤추얼 펀드 모두 긍정적인 수량으로 보유됩니다. 원하는 포트폴리오가 두 뮤추얼 펀드에 걸쳐 있는 범위 밖에 있는 경우, 뮤추얼 펀드 중 하나는 단기(마이너스 수량으로 보유)로 매각되어야 하고, 다른 뮤추얼 펀드에 대한 투자 규모는 투자 가능 금액(다른 펀드에서 차입하여 자금을 조달하는 초과 금액)보다 커야 합니다.

무위험자산 및 자본배분라인

무위험 자산은 무위험 금리를 지불하는 (가상) 자산입니다. 실질적으로 단기국고증권(미국 재무부 증권 등)은 고정금리를 지급하고 채무불이행 위험이 예외적으로 낮기 때문에 무위험 자산으로 사용됩니다. 무위험 자산은 수익의 분산이 0이므로(따라서 무위험) 다른 자산과도 상관이 없습니다(정의에 따라 분산이 0이므로). 결과적으로 다른 자산이나 자산 포트폴리오와 결합할 때 수익률의 변화는 결합에서 차지하는 비중이 달라짐에 따라 위험의 변화와 선형적으로 관련이 있습니다.

무위험 자산이 도입되면 그림에 표시된 반선이 새로운 효율적인 프론티어입니다. 샤프 비율이 가장 높은 순수 위험 포트폴리오에서 하이퍼볼라와 맞닿아 있습니다. 수직 절편은 무위험 자산에 보유 자산의 100%를 보유한 포트폴리오를 나타내며, 하이퍼볼라와의 접선은 무위험 보유 및 보유 자산의 100%가 없는 포트폴리오를 나타내며, 이들 지점 사이의 지점은 양의 양의 위험 접선을 모두 포함하는 포트폴리오입니다. 포트폴리오와 무위험 자산; 그리고 유형 포인트를 넘어선 하프라인의 포인트는 무위험 자산의 마이너스 보유를 포함하는 포트폴리오와 투자자의 초기 자본의 100% 이상에 해당하는 유형 포트폴리오에 투자된 금액입니다. 이 효율적인 하프라인을 자본배분라인(CAL)이라고 하며, 그 공식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

E(R_{C})=R_{F}+\sigma _{C}{\frac {E(R_{P})-R_{F}}{\sigma _{P}}}.

이 공식에서 P는 Markowitz 총알과의 접선 시 위험자산의 하위 포트폴리오이고, F는 무위험자산이며, C는 포트폴리오 P와 F의 조합입니다.

도표에 따르면, 무위험 자산을 포트폴리오의 가능한 구성 요소로 도입함으로써 사용 가능한 위험-기대 수익 조합의 범위가 개선되었습니다. 왜냐하면 하프라인은 유형 포트폴리오를 제외한 모든 곳에서 가능한 모든 위험 수준에서 하이퍼볼라가 제공하는 것보다 더 높은 기대 수익을 제공하기 때문입니다. 선형 효율적인 위치의 모든 지점이 무위험 자산과 유형 포트폴리오의 보유 조합에 의해 달성될 수 있다는 사실은 단일 상호 펀드 정리로 알려져 있으며,^[12] 여기서 말하는 상호 펀드가 유형 포트폴리오입니다.

기하학적 직관

효율적인 프론티어는 이차 곡선의 문제로 묘사될 수 있습니다.^[12] 시장에는 자산 $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ ${\$ 가 있습니다 $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ 우리는 약간의 자금을 가지고 있으며, 포트폴리오는 우리의 자금을 자산으로 분할하는 방법입니다. Each portfolio can be represented as a vector $w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$ , such that $\sum _{i}w_{i}=1$ , and we hold the assets according to $w^{T}R=\sum _{i}w_{i}R_{i}$ .

마르코위츠 탄환

타원체는 일정한 분산의 등고선입니다. $x+y+z=1$ + $x+y+z=1$ + $x+y+z=1$ = 1 ${\$ displaystyle x+y+z = 1} 평면은 가능한 포트폴리오의 공간입니다. 다른 평면은 일정한 기대 수익의 등고선입니다. 타원체는 평면과 교차하여 일정한 분산을 갖는 포트폴리오의 타원을 제공합니다. 이 타원에서 최대(또는 최소) 기대 수익률의 점은 일정한 기대 수익률의 등고선과 *접하는* 점입니다. 이 모든 포트폴리오는 한 줄에 있습니다.

수익률의 표준 편차를 최소화하면서 기대 수익률을 극대화하고자 하므로 2차 최적화 문제를 해결하고자 합니다.

{\begin{case}E[w^{T}R]=\mu \\\min \sigma ^{2}=Var[w^{T}R]\\\sum _{i}w_{i}=1\end{cases}}

포트폴리오는 유클리드 공간

\mathbb {R} ^{n}

{\

의 점입니다

\mathbb {R} ^{n}

세 번째 방정식은

포트폴리오가

= 1

{\

displaystyle \sum_{i}w_{i}=1}인 ∑ i에 의해 정의된 평면에 있어야 한다는 것을 의미합니다.

w^{T}E[R]=\mu

번째 방정식은 포트폴리오가

w^{T}E[R]=\mu

[

w^{T}E[R]=\mu

= μ

{\displaystyle

w^{T

}

E[R] =\mu}로 정의된 평면에 있어야 한다는 것입니다. 두 번째 조건은 포트폴리오가

\sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}

에

\sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}

가까운 ∑

\sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}

i j

{\displaystyle \sum

_{

ij}w_{i}\

rho _{ij}w_{j} ρ ij의 등고선 표면에 위치해야 한다는 것입니다. 방정식이 2차이므로 이러한 각 등고선 표면은 타원체입니다(공분산 행렬

\rho _{ij}

ρ ij

{\displaystyle \rho_{

ij}}가 가역적이라고 가정하면). 따라서

\sum _{i}w_{i}=1

∑ i에 타원체 윤곽을 그리면 2차 최적화를 그래픽으로

해결

할 수 있습니다(w = 1

{\displaystyle \sum

_{i}

w_

{i}=1}). 그런 다음 평면 {w : w TE [R] = μ 및 ∑ i w = 1} {\displaystyle \{w:w^{T}E[R]=\mu {\text{ and }}\sum _{i}w_{i}= 1\}. 타원체 윤곽이 축소됨에 따라 결국 그 중 하나는 평면과 완전히 분리되기 전에 평면에 정확히 접하게 됩니다. 접선점은 이 수준의 기대 수익률에서 최적의 포트폴리오입니다.

$\mu$ $\mu$ 를 변화시킬 때 $\mu$ 접선점도 변하지만 항상 한 줄에 떨어집니다(이것이 두 상호 기금 정리입니다).

선을 $\mathbb$ R} \}에서 $\{w+w't:t\in \mathbb {R} \}$ { $\{w+w't:t\in \mathbb {R} \}$ + w $\{w+w't:t\in \mathbb {R} \}$ $\{w+w't:t\in \mathbb {R} \}$ : $\{w+w't:t\in \mathbb {R} \}$ ∈ R} ${\displaystyle \{w$ +w't:t\로 매개변수화 합니다. 우리는 선을 따라 다음을 발견합니다.

{\begin{case}\mu &=(w'^{T}E[R])t+w^{T}E[R]\\\sigma ^{2}&=(w'^{T}\rho w')t^{2}+2(w^{T}\rhow')t+(w^{)T}\rho w)\end{cases}}

(\sigma ,\mu )

σ

,

μ)

{\displaystyle (\

sigma,\mu )} 평면에서 쌍곡선을 제공합니다. 쌍곡선에는

\mu

\mu

축에

\mu

대해 대칭인 두 갈래가 있습니다. 그러나

\sigma >0

σ > 0

{\displaystyle \sigma

>0}인 분기만 의미가 있습니다. 대칭적으로, 쌍곡선의 두 점근선은

\mu _{MVP}

{\displaystyle \

mu_

{MVP

}

에서

\mu _{MVP}

\mu _{MVP}

\mu

{\

displaystyle \mu}

축의 점

\mu _{MVP}

MVP {\

displaystyle \mu_{MVP

}에서

\mu

교차합니다. 포인트

\mu _{mid}

{\

는 쌍곡선의 가장 왼쪽 지점의 높이로

\mu _{mid}

, 글로벌 최소분산 포트폴리오(글로벌 MVP)의 예상 수익률로 해석할 수 있습니다.

접선포트폴리오

무위험 자산 수익률의 변화 효과에 대한 예시. 무위험 수익률이 글로벌 최소분산 포트폴리오의 수익률에 근접함에 따라 유형 포트폴리오는 무한대로 빠져나갑니다. 소스에서 애니메이션 [2].

$\mu _{RF}<\mu _{MVP}$ 포트폴리오는 $\mu _{RF}<\mu _{MVP}$ < $\mu _{RF}<\mu _{MVP}$ $\mu _{RF}<\mu _{MVP}$ $\mu _{RF}<\mu _{MVP}$ ${\$ _ ${MVP}}$ 인 경우에만 존재합니다 $\mu _{RF}<\mu _{MVP}$

특히 무위험 수익률이 $\mu _{MVP}$ $\mu _{MVP}$ $\mu _{MVP}$ ${\$ 보다 크거나 같으면 $\mu _{MVP}$ 접선 포트폴리오는 존재하지 않습니다. 자본 시장선(CML)은 쌍곡선의 위쪽 점근선과 평행하게 됩니다. CML의 포인트는 아래에서 접근할 수 있지만 달성이 불가능합니다.

일반적으로 무위험 수익률은 글로벌 MVP의 수익률보다 작다고 가정하면 유형 포트폴리오가 존재합니다. 그러나 $\mu _{RF}$ 경우에도 $\mu _{RF}$ ${\$ 가 $\mu _{MVP}$ {\ $displaystyle \mu_{MVP}$ 에 $\mu _{RF}$ 아래에서 $\mu _{MVP}$ 접근함에 따라 유형 포트폴리오는 무한 수익률과 분산성을 가진 포트폴리오로 발산됩니다. 시장에는 유한하게 많은 자산만 있기 때문에 이러한 포트폴리오는 일부 자산을 많이 부족하고 다른 자산을 많이 갈망해야 합니다. 실제적으로 이러한 유형 포트폴리오는 불가능할 것입니다. 왜냐하면 공매도 제약으로 인해 자산을 너무 많이 줄일 수 없기 때문이고, 또한 가격 영향으로 인해 많은 양의 자산을 갈망하면 자산 가격이 포트폴리오에 의존하지 않는다는 가정을 깨고 가격이 상승하기 때문입니다.

비가역 공분산 행렬

공분산 행렬이 가역적이지 않으면 0이 아닌 벡터 v ${\displaystyle$ v $}$ 가 $v$ 존재하므로 $v^{T}R$ $v^{T}R$ 은 $v^{T}R$ 분산이 0인 랜덤 변수, 즉 랜덤 변수가 전혀 아닙니다.

∑ $\sum _{i}v_{i}=0$ = $0 {\$ displaystyle \sum_{i}v_{i}=0} 및 vTR = 0 {\displaystyle v^{T}R=0}이라고 가정하면 자산 중 하나를 동일한 가격과 동일한 수익률로 다른 자산을 사용하여 정확히 복제할 수 있습니다. 따라서 해당 자산을 살 이유가 없으며 시장에서 제거할 수 있습니다.

∑ $\sum _{i}v_{i}=0$ iv = $0 {\$ displaystyle \sum_{i}v_{i}=0} 및 vTR ≠ $\sum _{i}v_{i}=0$ {\ $displaystyle$ v^{T}R\n을 가정합니다. $eq 0$ 그러면 차익거래가 없다는 가정을 깨고 자유로운 돈이 있음을 의미합니다.

∑ $\sum _{i}v_{i}\neq 0$ 가 ≠ $\sum _{i}v_{i}\neq 0$ ${\$ displaystyle \ $sum_$ {i}v_{i}\n이라고 가정합니다. $eq 0$ 그러면 $\sum _{i}v_{i}=1$ 를 $∑$ $iv$ $=$ 1 {\displaystyle \sum _{i}v_{i} $=$ 1}로 스케일링할 수 있습니다. 이것은 $v^{T}R$ 가 $v^{T}R$ vTR {\ $displaystyle v^{T}R$ }을(를) 갖는 무위험 자산을 구성했음을 의미합니다 $v^{T}R$ 우리는 이러한 자산을 시장에서 제거할 수 있으며, 제거된 자산마다 하나의 무위험 자산을 구성할 수 있습니다. 차익거래가 없다고 가정하면 모든 수익률은 동일합니다. 여전히 시장에 남아 있는 자산의 경우 공분산 행렬은 되돌릴 수 없습니다.

자산가격결정

위의 분석은 개인 투자자의 최적 행동을 설명합니다. 자산 가격 결정 이론은 이러한 분석을 기반으로 하며, MPT는 이러한 맥락에서 올바르게 가격이 책정된 자산에 대해 필요한 기대 수익을 도출할 수 있습니다.

직관적으로 (합리적인 투자자가 있는 완벽한 시장에서), 만약 어떤 증권이 다른 증권에 비해 비싸다면(즉, 가격에 대한 위험이 너무 크다면), 그에 상응하여 수요가 감소하고 가격이 하락할 것이고, 저렴하다면 수요와 가격도 마찬가지로 증가할 것입니다. 이는 모든 조정이 중단될 때까지 계속될 것입니다 - "시장 균형" 상태입니다. 이 균형에서 상대적 공급은 상대적 수요와 같아집니다. 가격과 수요의 관계를 고려할 때, 위험 대 보상은 모든 증권에 걸쳐 "동일"하기 때문에 완전히 다각화된 포트폴리오에서 각 증권의 비율은 상응하게 동일합니다.

보다 공식적으로는 시장균형에서 모든 사람들이 위험자산을 서로 동일한 비율로 보유하고 있기 때문에(즉, 유형 포트폴리오가 부여하는 비율) 위험자산의 가격과 그에 따른 기대수익률, 유형 포트폴리오의 비율이 위험 자산이 시장에 공급되는 비율과 동일하도록 조정합니다.^[14] 예상 수익률의 결과는 다음과 같습니다.

체계적 위험 및 특정 위험

특정 위험은 개별 자산과 관련된 위험입니다. 포트폴리오 내에서 이러한 위험은 다각화(특정 위험 "취소")를 통해 감소할 수 있습니다. 특정 위험은 다양성, 고유성, 비체계성 또는 특이성 위험이라고도 합니다. 체계적 위험(일명 포트폴리오 위험 또는 시장 위험)은 모든 증권에 공통적으로 존재하는 위험을 말합니다. 아래 언급된 공매도를 제외하고 체계적 위험은 (한 시장 내에서) 분산될 수 없습니다. 시장 포트폴리오 내에서 자산별 위험은 가능한 범위 내에서 분산됩니다. 따라서 체계적인 위험은 시장 포트폴리오의 위험(표준 편차)과 동일시됩니다.

증권은 시장 포트폴리오의 위험-기대 수익 특성을 개선하는 경우에만 구매되기 때문에, 증권의 위험에 대한 관련 척도는 시장 포트폴리오에 추가되는 위험이지 고립된 위험은 아닙니다. 이러한 맥락에서 자산의 변동성과 시장 포트폴리오와의 상관관계는 역사적으로 관찰되고 따라서 제공됩니다. (자산의 수익률 순간의 확률적 특성을 모형화하여 자산의 가격을 매기는 자산 가격 결정 방법에는 여러 가지 접근법이 있습니다. 이를 일반적으로 조건부 자산 가격 결정 모델이라고 합니다.)

하나의 포트폴리오 내에서 롱 포지션과 숏 포지션을 모두 활용하는 전략을 통해 하나의 시장 내에서 체계적인 리스크를 관리할 수 있어 "시장 중립적인" 포트폴리오를 만들 수 있습니다. 따라서 시장 중립 포트폴리오는 더 넓은 시장 지수와 상관관계가 없을 것입니다.

자본자산가격결정모형

자산 수익률은 오늘 자산에 대해 지불한 금액에 따라 다릅니다. 지불된 가격은 자산이 추가될 때 시장 포트폴리오의 위험/수익 특성이 개선되도록 보장해야 합니다. CAPM은 투자자가 이용할 수 있는 무위험 수익률과 시장 전체의 위험을 감안할 때 시장의 자산에 대한 이론적 요구 기대 수익률(즉, 할인율)을 도출하는 모델입니다. CAPM은 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다.

\operatorname {E}(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})

베타, 베타는 전체 시장의 움직임에 대한 자산 민감도를 측정하는 것으로, 베타는 일반적으로 과거 데이터에 대한 회귀 분석을 통해 발견됩니다. 1을 초과하는 베타는 전체 포트폴리오 위험에 대한 자산의 기여도가 평균 이상이라는 의미에서 "위험성"을 의미하며, 1 미만의 베타는 평균보다 낮은 위험 기여도를 나타냅니다.
$(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})$ - $Rf$ ) ${\displaystyle(\operatorname {E}(R_{m})$ - R_{f})}은 시장 프리미엄으로, 시장 포트폴리오의 무위험 수익률에 대한 기대 초과 수익률입니다.

파생은 다음과^[14] 같습니다.

(1) 추가적인 위험 자산인 a가 시장 포트폴리오 m에 추가될 때 위험과 기대 수익에 미치는 점진적인 영향은 두 자산 포트폴리오에 대한 공식에서 다음과 같습니다. 이러한 결과는 자산 적정 할인율을 도출하는 데 사용됩니다.

업데이트된 포트폴리오 위험 = ( $(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])$ $(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])$ σ m $(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])$ + [ $(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])$ 2 $(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])$ σ a 2 + $(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])$ w $(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])$ w w $(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])$ ρ a $(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])$ σ $m$ ]) ${\displaystyle (w_{m}^{2}\$ sigma $_$ {m}^{ $2}+[w_{a$ }^{2 $}\$ sigma $_{a}^{$ 2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{a}\σ _{m}}}

따라서 포트폴리오에 위험이 추가됩니다 = [2 $[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]$ σ a $[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]$ ρ a m σ a m] ${\displaystyle [w_{a}^{2}\$ sigma _{a $}^{$ 2}+ $2w_{m}$ w_ ${$ a}\rho_{am}\sigma _{a}\sigma _{a}\σ _{m}}}

그러나 자산의 비중은 매우 낮을 것이기 때문에 전체 시장에서 $2$ ≈ 0 {\ $displaystyle w_{$ a}^{2}\approx 0}

즉, 추가 위험 = [ $[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]\quad$ ρ am $[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]\quad$ σ m $] {\displaystyle [2w_{m}w_{a$ }\ $rho_{am}\$ sigma _{a}\sigma _{m}]\quad }

업데이트된 예상 반환 = $(w_{m}\operatorname {E} (R_{m})+[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})])$ ( $(w_{m}\operatorname {E} (R_{m})+[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})])$ ⁡ $(Rm$ + [ $wA$ ⁡(Ra)] {\displaystyle(w_{m $}\$ operatorname {E}(R_{m})+[w_{a}\operatorname {E}(R_{a})}

따라서 추가 예상 수익률 = $[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})]$ [ $[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})]$ ⁡ $Ra)]$ ${\displaystyle$ [ $w_$ {a $}\operatorname {E}($ R_{a})}

(2) 자산 a의 가격이 올바르게 책정된 경우 시장 포트폴리오에 이를 추가함으로써 달성되는 위험 대비 기대 수익률의 투자자 개선은 적어도 (균형적으로 정확히) 시장 포트폴리오의 지분 증가에 해당 돈을 지출하는 이익과 일치할 것입니다. 투자자가 무위험 이자율인 $\operatorname {E} (R_{a})>R_{f}$ ${\display R_{f}}$ 로 차입한 자금으로 자산을 매입한다고 가정합니다. E $\operatorname {E} (R_{a})>R_{f}$ ⁡( $\operatorname {E} (R_{a})>R_{f}$ > $Rf {\displaystyle$ \ $operatorname {E}($ R_{a}) > $R_{f$

Thus: $[w_{a}(\operatorname {E} (R_{a})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]=[w_{a}(\operatorname {E$ $(R_{m})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

$[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]$ : $[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]$ [ $[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]$ ⁡ $[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]$ Ra)] = $[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]$ [E ⁡(Rm) - RF] ∗ [ρ am σ a σ m] / [σ m σ m] {\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})] = $R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

$[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]$ : $[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]$ [ $[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]$ ⁡ $[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]$ Ra)] = $[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]$ + $[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]$ [E ⁡(Rm) - Rf ] ∗ [σ am] / [σ m] {\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})] = $R_{f}+[\operatorname {E}(R_{m})-R_{f}]*[\sigma_{am}]/[\sigma$ $\rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})$ ${$ mm $ρ$ $\rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})$ $\rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})$ $=$ $σ$ $\rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})$ X Y /( $σ$ X $σ$ Y) $\rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})$ 로) {\displaystyle \rho_{X $Y$ } $=$ \ $sigma_{XY}/(\sigma_{X}\sigma_{Y$

$[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad$ $[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad$ ] $[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad$ [ σ m m ] ${\displaystyl$ igma $[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad$ _{am}] $[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad$ igma _{ $\beta$ $[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad$ uad $\beta$ }는 $언$ $[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad$ beta", β {\displaysty $[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad$ eta } 수익률이며, 이는 자산의 수익률과 시장의 수익률 간의 공분산을 시장 수익률의 분산으로 나눈 값입니다. 즉, 시장 포트폴리오 가치의 움직임에 대한 자산 가격의 민감도(베타(재무) § 시장 포트폴리오에 자산 추가 참조).

이 식은 다음 회귀식을 사용하여 통계적으로 추정할 수 있습니다.

\mathrm {SCL} :R_{i,t}-R_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}\,(R_{M,t}-R_{f})+\epsilon _{i,t}{\frac {}{}}

여기서_i α는 자산의 알파, β는_i 자산의 베타 계수, SCL은 보안 특성선입니다.

CAPM을 사용하여 자산의 예상 수익인 $E(R_{i})$ ${\displaystyle$ E $(R_{i$ 를 계산하면 이 비율을 사용하여 자산의 미래 현금 흐름을 현재 가치로 할인하여 자산의 정확한 가격을 설정할 수 있습니다. 위험이 높은 주식은 베타가 더 높고 더 높은 비율로 할인됩니다. 덜 민감한 주식은 베타가 더 낮고 더 낮은 비율로 할인됩니다. 이론적으로 자산의 관측 가격이 CAPM 파생 할인율을 사용하여 계산된 가치와 동일할 때 자산의 가격이 올바르게 책정됩니다. 관찰된 가격이 평가액보다 높으면 자산이 고평가됩니다. 너무 낮은 가격에 비해 저평가됩니다.

비평

MPT의 이론적 중요성에도 불구하고, MPT를 비판하는 사람들은 MPT의 금융 시장 모델이 실제 세계와 여러 면에서 일치하지 않기 때문에 이상적인 투자 도구인지 의문을 제기합니다.^[15]^[2]

MPT가 사용하는 위험, 수익률 및 상관 측정치는 기대 값을 기반으로 하며, 이는 미래에 대한 통계적 진술임을 의미합니다(수익률의 기대 값은 위의 식에서 명시적이며 분산 및 공분산의 정의에서 암시적임). 이러한 측정은 종종 고도로 치우친 분포(예: 로그 정규 분포)를 따르는 위험과 수익의 진정한 통계적 특징을 포착할 수 없으며 변동성 감소 외에도 수익률 증가를 유발할 수 있습니다.^[16] 실제로 투자자들은 자산 수익률과 변동성에 대한 과거 측정을 기반으로 한 예측을 방정식에서 이러한 값으로 대체해야 합니다. 이러한 기대 값은 과거 데이터가 생성되었을 때 존재하지 않았던 새로운 상황을 고려하지 못하는 경우가 매우 많습니다.^[17] 또한 물리학에서는 불변 특성을 활용하여 Markowitz 최적화와 다른 추세를 포착하는 최적의 접근 방식을 도출합니다. 불변 포트폴리오는 상관 행렬의 역수를 사용하여 정규화된 기대치를 변환하는 대신 상관 행렬의 제곱근의 역수를 사용합니다.^[18] 최적화 문제는 기대값이 불확실하고 상관관계가 있다는 가정 하에서 해결됩니다.^[19] Markowitz 솔루션은 기대 수익 간의 상관관계가 수익 간의 상관관계와 유사한 경우에만 해당합니다.

보다 근본적으로 투자자들은 MPT가 손실 가능성 측면에서 위험을 모델링하려고 시도하지만 손실이 발생할 수 있는 이유에 대해 아무 말도 하지 않기 때문에 과거 시장 데이터에서 주요 매개 변수를 추정하는 데 어려움을 겪고 있습니다. 사용된 위험 측정은 구조적인 것이 아니라 본질적으로 확률적인 것입니다. 이것은 위험 관리에 대한 많은 엔지니어링 접근 방식과 비교할 때 주요 차이점입니다.

옵션 이론 및 MPT는 원자력[발전소]에서 수행하는 확률론적 위험 평가와 적어도 한 가지 중요한 개념적 차이점을 가지고 있습니다. PRA는 경제학자들이 구조적 모델이라고 부르는 것입니다. 시스템의 구성 요소와 그 관계는 몬테카를로 시뮬레이션에서 모델링됩니다. 밸브 X가 고장날 경우 펌프 Y의 배압 손실이 발생하여 용기 Z로의 흐름이 저하되는 등의 문제가 발생합니다.
그러나 Black-Scholes 방정식과 MPT에서는 가격 변화에 대한 기본 구조를 설명하려는 시도가 없습니다. 다양한 결과는 단순히 확률이 주어집니다. 그리고 PRA와 달리 유동성 위기와 같은 시스템 차원의 특정 사건의 이력이 없다면 그 확률을 계산할 방법이 없습니다. 만일 원자력 기술자들이 이런 식으로 위험관리를 한다면, 그들은 같은 원자로 설계에서 몇 가지 유사한 사건이 발생하기 전까지는 특정 발전소의 붕괴 가능성을 계산할 수 없을 것입니다.

— Douglas W. Hubbard, The Failure of Risk Management, p. 67, John Wiley & Sons, 2009. ISBN 978-0-470-38795-5

수학적 위험 측정은 투자자의 진정한 우려를 반영하는 정도에서만 유용합니다. 실제로 아무도 신경 쓰지 않는 변수를 최소화하는 것은 의미가 없습니다. 특히, 분산은 비정상적으로 높은 수익률을 비정상적으로 낮은 수익률만큼 위험하게 계산하는 대칭적인 측도입니다. 손실 기피 심리 현상은 투자자들이 이득보다 손실을 더 우려한다는 생각으로, 우리의 직관적인 위험 개념이 본질적으로 비대칭적이라는 것을 의미합니다. 일관된 위험 측정과 같은 많은 다른 위험 측정이 투자자의 진정한 선호를 더 잘 반영할 수 있습니다.

현대 포트폴리오 이론은 수익률이 가우시안 분포를 따른다고 가정하기 때문에 비판을 받기도 했습니다. 이미 1960년대에 Benoit Mandelbrot와 Eugene Fama는 이 가정의 부적절성을 보여주었고 대신 보다 일반적인 안정 분포를 사용할 것을 제안했습니다. Stefan Mittnik과 Svetlozar Rachev는 이러한 환경에서 최적의 포트폴리오를 도출하기 위한 전략을 제시했습니다.^[20]^[21]^[22] 최근 Nassim Nicholas Taleb은 현대 포트폴리오 이론에 대해 다음과 같이 비판했습니다.

주식 시장이 폭락한 후(1987년), 그들은 두 명의 이론가인 해리 마코위츠와 윌리엄 샤프에게 상을 주었습니다. 그들은 가우시안 기반 위에 아름다운 플라톤 모델을 구축하여 현대 포트폴리오 이론이라고 불리는 것에 기여했습니다. 단순히 가우스 가정을 제거하고 가격을 확장 가능한 것으로 취급하면 뜨거운 공기가 남게 됩니다. 노벨 위원회는 인터넷에서 판매되는 돌팔이 치료제처럼 작동하는 샤프와 마르코위츠 모델을 시험해 볼 수도 있었지만, 스톡홀름의 아무도 이 모델에 대해 생각하지 않은 것 같습니다.
— Nassim N. Taleb, The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable, p. 277, Random House, 2007. ISBN 978-1-4000-6351-2

반대 투자자와 가치 투자자는 일반적으로 현대 포트폴리오 이론에 가입하지 않습니다.^[23] 한 가지 반대 의견은 MPT가 효율적 시장 가설에 의존하고 주가 변동을 위험의 대용으로 사용한다는 것입니다. 존 템플턴 경은 다양화를 개념으로 믿었지만, MPT의 이론적 기반이 의심스럽다고 생각했고, (전기 작가가 설명한 바와 같이) 결론을 내렸습니다. "과거 변동성과 같이 신뢰할 수 없고 관련성이 없는 통계 입력을 기반으로 포트폴리오를 구축하는 것은 실패할 수밖에 없다는 생각입니다."^[24]

일부 연구에서는 사용 가능한 투자 옵션 간에 자본을 균등하게 분할하는 "순수한 분산"이 일부 상황에서는 MPT보다 이점이 있을 수 있다고 주장했습니다.^[25]

Markowitz 모델은 특정 자산 세계에 적용될 때, 예를 들어 상관관계가 높은 자산 세계에서 발생할 수 있는 모델 불안정성에 대한 민감성 때문에 학계에 의해 부적절한 것으로 확인되었습니다.^[26]

확장

1952년 MPT가 도입된 이후, 특히 더 현실적인 가정을 사용하여 모델을 개선하려는 많은 시도가 있었습니다.

포스트모던 포트폴리오 이론은 위험의 비정규 분포적, 비대칭적, 지방 꼬리 측정을 채택함으로써 MPT를 확장합니다.^[27] 이것은 이러한 문제 중 일부에는 도움이 되지만 다른 문제에는 도움이 되지 않습니다.

Black-Litterman 모델 최적화는 위험과 수익의 입력에 대한 상대적이고 절대적인 '시점'을 통합하는 제약 없는 Markowitz 최적화의 확장입니다.

또한 기대 수익률이 불확실하다고 가정하여 모형을 확장하며, 이 경우의 상관 행렬은 수익률 간의 상관 행렬과 다를 수 있습니다.^[18]^[19]

합리적 선택이론과의 연관성

현대 포트폴리오 이론은 합리적인 선택 이론의 주요 공리와 일치하지 않으며, 특히 단조성 공리와 일치합니다. 만약 포트폴리오 X에 투자하면 확률이 1이고 포트폴리오 Y에 투자하는 것보다 더 많은 돈을 돌려줄 것이라면, 합리적인 투자자는 Y보다 X를 선호해야 한다고 말합니다. 이와 대조적으로 현대 포트폴리오 이론은 분산 회피라고 불리는 다른 공리를 기반으로 ^[28]하며 분산이 더 낮다는 근거로 Y에 투자할 것을 권장할 수 있습니다. Maccheroni et al.^[29] 에서는 단조성 공리를 만족시키면서 현대 포트폴리오 이론에 가장 근접한 선택 이론을 설명했습니다. 또는 평균 편차 분석은^[30] 분산을 적절한 편차 위험 측도로 대체함으로써 발생하는 합리적 선택 이론입니다.

기타 응용프로그램

1970년대에 MPT의 개념은 지역 과학 분야로 진출했습니다. Michael^{[citation needed]} Conroy는 일련의 중요한 작업에서 노동력의 성장과 변동성을 조사하기 위해 포트폴리오 이론적 방법을 사용하여 경제의 노동력을 모델링했습니다. 이어 경제 성장과 변동성 간의 관계에 대한 장문의 문헌이 이어졌습니다.^[31]

보다 최근에는 현대 포트폴리오 이론을 사용하여 사회 심리학에서 자아 개념을 모델링했습니다. 자아 개념을 구성하는 자아 속성이 잘 다양화된 포트폴리오를 구성할 때, 자아 개념이 다양화되지 않은 경우보다 기분과 자아 존중감과 같은 개인 수준의 심리적 결과가 더 안정적이어야 합니다. 이 예측은 사람을 대상으로 한 연구에서 확인되었습니다.^[32]

최근에는 정보 검색에서 문서 간의 불확실성과 상관 관계를 모델링하는 데 현대 포트폴리오 이론이 적용되고 있습니다. 질문이 주어지면 순위가 매겨진 문서 목록의 전체 관련성을 최대화하는 동시에 순위가 매겨진 목록의 전체 불확실성을 최소화하는 것이 목표입니다.^[33]

프로젝트 포트폴리오 및 기타 "비재무적" 자산

일부 전문가들은 MPT를 금융상품 외에 프로젝트 및 기타 자산의 포트폴리오에 적용합니다.^[34]^[35] MPT를 전통적인 금융 포트폴리오 외에 적용할 경우 다양한 유형의 포트폴리오 간의 몇 가지 차이점을 고려해야 합니다.

재무 포트폴리오의 자산은 실용적인 목적을 위해 지속적으로 분할되는 반면 프로젝트의 포트폴리오는 "풍부한" 것입니다. 예를 들어, 세 가지 주식에 대한 최적의 포트폴리오 위치는 44%, 35%, 21%라고 계산할 수 있지만 프로젝트 포트폴리오에 대한 최적의 위치는 단순히 프로젝트에 지출된 금액을 변경하는 것을 허용하지 않을 수 있습니다. 프로젝트가 모두이거나 아예 없거나 최소한 분리할 수 없는 논리적 단위가 있을 수 있습니다. 포트폴리오 최적화 방법은 프로젝트의 이산적 특성을 고려해야 합니다.
재무 포트폴리오의 자산은 유동적입니다. 언제든지 평가하거나 재평가할 수 있습니다. 그러나 새로운 프로젝트를 시작할 수 있는 기회는 제한적일 수 있으며 제한된 시간 내에 발생할 수 있습니다. 이미 시작된 프로젝트는 매몰 비용의 손실 없이는 포기할 수 없습니다(즉, 절반이 완료된 프로젝트의 복구/구원 값이 거의 또는 전혀 없음).

이 두 가지 모두 반드시 MPT 및 이러한 포트폴리오를 사용할 가능성을 제거하지는 않습니다. 이들은 단순히 일반적으로 금융 포트폴리오에 적용되지 않는 추가적인 수학적으로 표현된 제약 조건을 사용하여 최적화를 실행해야 할 필요성을 나타냅니다.

또한 현대 포트폴리오 이론의 가장 단순한 요소 중 일부는 거의 모든 종류의 포트폴리오에 적용할 수 있습니다. 주어진 수익률에 대해 어느 정도의 위험이 허용되는지를 문서화하여 투자자의 위험 허용치를 포착하는 개념은 다양한 의사결정 분석 문제에 적용될 수 있습니다. MPT는 위험의 척도로 역사적 분산을 사용하지만 주요 프로젝트와 같은 자산 포트폴리오는 "역사적 분산"이 잘 정의되어 있지 않습니다. 이 경우 MPT 투자 경계는 "자본 비용보다 적은 ROI의 가능성" 또는 "투자의 절반 이상을 잃을 가능성"과 같은 보다 일반적인 용어로 표현될 수 있습니다. 예측 및 발생 가능한 손실에 대한 불확실성 측면에서 위험을 고려하면 다양한 유형의 투자로 개념이 이전될 수 있습니다.^[34]

참고 항목

참고문헌

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외부 링크

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v t 금융시장
시장의 종류	1차시장 세컨더리 마켓 제3시장 제4시장
주식의 종류	보통주 골든쉐어 우선주 제한재고 추적재고
주식 자본	인가자본 발행주식 미결제 주식 자기주식
참가자	브로커 플로어 브로커 딜러간중개업자 브로커딜러 마켓메이커 트레이더 플로어 트레이더 독점거래자 정량분석기 투자자 헤저 투기꾼 임의자 스캘퍼 레귤레이터
거래장소	교환하다 증권거래소 목록 거래시간 장외(장외) 대체거래시스템(ATS) 다자무역시설(MTF) 전자통신망(ECN) DMA(Direct Market Access) 스트레이트 스루 처리(STP) 다크풀(사적교류) 교차망 유동성집적기
주식평가	알파 차익거래가격이론(APT) 베타. 버핏 지표(GDP 대비 자본) 장부가액(BV) 자본자산가격결정모형(CAPM) 자본시장선(CML) 배당할인모델(DDM) 배당수익률 이익수익률 EV/EBITDA Fed 모델 순자산가치(NAV) 보안특성선 SML(Security Market Line) T모델
거래이론 그리고 전략들	알고리즘 트레이딩 매수 및 보유 반대투자 달러 비용 평균화 효율적 시장 가설(EMH) 기초 분석 성장주 시장시기 현대 포트폴리오 이론(MPT) 모멘텀 투자 모자이크 이론 쌍거래 포스트모던 포트폴리오 이론(MPT) 임의 보행 가설(RMH) 섹터회전 스타일투자 스윙트레이딩 기술분석 트렌드 팔로우 값평균화 가치투자
관련용어	입찰-질문 스프레드 거래차단 교차상장 배당금 이중상장회사 듀폰 분석 효율적 프론티어 금융법 품질에 대한 비행 국채 그린스펀 퍼팅 머리 자르기 기업공개(IPO) 긴 마진 시장이상현상 시가총액 시장깊이 시세조종 시장동향 평균 회귀 운동량 오픈 아우트라이크 주문서 위치 공용 플로트 공모 랠리 반품 기반 스타일 분석 역주분할 주식환매 공매도 미끄러짐 사변 재고희석 증권거래소 주식시장지수 주식분할 거래 업틱룰 변동성 의결권이자 양보

v t 투자관리
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