마코위츠 모델

Markowitz model

금융 분야에서는 1952년 해리 마코위츠가 내놓은 마코위츠 모델이 포트폴리오 최적화 모델로, 해당 증권의 다양한 가능한 포트폴리오를 분석해 가장 효율적인 포트폴리오를 선정하는 데 도움을 준다. 여기서 HM 모델은 정확하게 '함께 움직이지 않는' 증권을 선택함으로써 투자자들에게 위험을 줄이는 방법을 보여준다. HM 모델은 기대 수익률(평균)과 다양한 포트폴리오의 표준 편차(분산)를 기반으로 하기 때문에 평균-분산 모델이라고도 불린다. 그것은 현대 포트폴리오 이론에 기초한다.

가정

마르코위츠는 HM 모델을 개발하면서 다음과 같은 가정을 했다.[1][2]

  1. 포트폴리오의 위험은 해당 포트폴리오의 수익 변동성에 기초한다.
  2. 투자자는 위험을 싫어한다.
  3. 투자자는 소비를 늘리는 것을 선호한다.
  4. 투자자의 효용 함수는 위험 기피와 소비 선호로 인해 오목하고 증가한다.[2]
  5. 분석은 단기간 투자 모델을 기반으로 한다.[2]
  6. 투자자는 주어진 위험 수준에 대한 포트폴리오 수익을 최대화하거나 특정 수익에 대한 위험을 최소화한다.[3]
  7. 투자자는 천성이 이성적이다.[2]

수익률과 리스크가 서로 다른 다수의 가능한 포트폴리오 중에서 최상의 포트폴리오를 선택하기 위해 아래 절에 자세히 설명되어 있는 두 가지 개별적인 결정을 내려야 한다.

  1. 효율적인 포트폴리오 집합의 결정.
  2. 효율적인 세트 중 최고의 포트폴리오 선택.

방법론

효율적인 집합 결정

주어진 위험에 대해 최대의 수익을 제공하는 포트폴리오 또는 주어진 수익에 대한 최소한의 위험을 제공하는 포트폴리오가 효율적인 포트폴리오다. 따라서 다음과 같이 포트폴리오를 선택한다.

(a) 수익률이 같은 포트폴리오 중에서 투자자는 위험도가 낮은 포트폴리오를 선호한다.

(b) From the portfolios that have the same risk level, an investor will prefer the portfolio with higher rate of return.

Figure 1: Risk-return of possible portfolios

As the investor is rational, they would like to have higher return. And as they are risk averse, they want to have lower risk.[1] In Figure 1, the shaded area PVWP includes all the possible securities an investor can invest in. The efficient portfolios are the ones that lie on the boundary of PQVW. For example, at risk level x2, there are three portfolios S, T, U. But portfolio S is called the efficient portfolio as it has the highest return, y2, compared to T and U[needs dot]. All the portfolios that lie on the boundary of PQVW are efficient portfolios for a given risk level.

The boundary PQVW is called the Efficient Frontier. All portfolios that lie below the Efficient Frontier are not good enough because the return would be lower for the given risk. Portfolios that lie to the right of the Efficient Frontier would not be good enough, as there is higher risk for a given rate of return. All portfolios lying on the boundary of PQVW are called Efficient Portfolios. The Efficient Frontier is the same for all investors, as all investors want maximum return with the lowest possible risk and they are risk averse.

Choosing the best portfolio

For selection of the optimal portfolio or the best portfolio, the risk-return preferences are analyzed. An investor who is highly risk averse will hold a portfolio on the lower left hand of the frontier, and an investor who isn’t too risk averse will choose a portfolio on the upper portion of the frontier.

Figure 2: Risk-return indifference curves

Figure 2 shows the risk-return indifference curve for the investors. Indifference curves C1, C2 and C3 are shown. Each of the different points on a particular indifference curve shows a different combination of risk and return, which provide the same satisfaction to the investors. Each curve to the left represents higher utility or satisfaction. The goal of the investor would be to maximize their satisfaction by moving to a curve that is higher. An investor might have satisfaction represented by C2, but if their satisfaction/utility increases, the investor then moves to curve C3 Thus, at any point of time, an investor will be indifferent between combinations S1 and S2, or S5 and S6.

그림 3: 효율적인 포트폴리오

투자자의 최적 포트폴리오는 무관심 곡선과 효율적인 국경선이 접하는 지점에서 발견된다. 이 점은 투자자가 얻을 수 있는 가장 높은 만족도를 나타낸다. 이것은 그림 3에 나와 있다. R은 효율적인 전선이 무관심 곡선 C에3 접하는 지점이며, 효율적인 포트폴리오이기도 하다. 이 포트폴리오를 통해 투자자는 최고의 리스크-리스크-리턴 조합(특정 리스크 양에 대해 가장 높은 수익을 제공하는 포트폴리오)뿐만 아니라 가장 높은 만족도를 얻을 수 있을 것이다. X라고 하는 다른 어떤 포트폴리오도 시장에서 이용할 수 있는 실현 가능한 포트폴리오를 벗어나 있는 것과 동일한 무관심 곡선에 놓여 있더라도 최적의 포트폴리오가 아니다. 포트폴리오 Y 역시 실현 가능한 시장 포트폴리오임에도 불구하고 실현 가능한 최상의 무관심 곡선에 놓여 있지 않기 때문에 최적의 것은 아니다. 다른 일련의 무관심 곡선을 가지고 있는 또 다른 투자자는 그들의 최고/최적 포트폴리오로서 몇 가지 다른 포트폴리오를 가질 수 있다.

지금까지 모든 포트폴리오를 위험증권으로만 평가해 왔으며, 포트폴리오에 무위험증권을 포함시키는 것도 가능하다. 무위험증권을 가진 포트폴리오를 통해 투자자는 더 높은 수준의 만족도를 달성할 수 있을 것이다. 이것은 그림 4에 설명되어 있다.

그림 4: 무위험 증권과 효율적인 프런티어 및 CML의 결합

R은1 정부 증권으로부터의 수익 즉, 정부 증권으로부터의 수익으로, 그러한 증권들은 모델링 목적으로 위험이 없다고 간주되기 때문이다. RPX는1 효율적인 변경에 접하도록 그려진다. RPX1 라인의 포인트는 무위험 증권과 효율적인 포트폴리오의 다른 비율의 조합을 보여준다. 투자자가 RPX1 라인의 포트폴리오에서 얻는 만족도는 포트폴리오 P에서 얻는 만족도보다 높다. P의 왼쪽에 있는 모든 포트폴리오 조합은 위험자산과 무위험자산의 조합을 나타내고, P의 오른쪽에 있는 모든 포트폴리오 조합은 무위험이자율로 차입된 펀드로 이루어진 위험자산의 매입을 나타낸다.

투자자가 자금을 모두 투자한 경우 무위험 금리로 추가 자금을 빌릴 수 있고 RPX에1 있는 포트폴리오 조합을 얻을 수 있다. RPX는1 CML로 알려져 있다. 이 선은 자본시장에서의 위험수익환수거래를 나타낸다. CML은 상향 경사진 선으로, 포트폴리오의 수익률도 높을 경우 투자자가 더 높은 리스크를 감수한다는 의미다. 포트폴리오 P는 가장 효율적인 포트폴리오로, CML과 Efficient Frontiner 둘 다에 위치하며, 모든 투자자는 이 포트폴리오 P를 달성하는 것을 선호한다. P 포트폴리오는 시장 포트폴리오로 알려져 있으며 가장 다각화된 포트폴리오이기도 하다. 자본시장의 모든 주식과 다른 유가증권으로 구성되어 있다.

위험부담이 없는 유가증권으로 구성된 포트폴리오 시장에서 CML은 평형상태를 나타낸다. 캐피털 마켓 라인은 포트폴리오에서 얻은 수익은 무위험 이자율과 위험 프리미엄이라고 말한다. 리스크 프리미엄은 리스크의 시장가격과 리스크의 수량의 산물이며 리스크는 포트폴리오의 표준편차다.

CML 방정식은 다음과 같다.

RP = IRF + (RMRF – I)σPM//

어디에,

RP = 포트폴리오의 예상 수익률
RM = 시장 포트폴리오의 수익률
IRF = 무위험이자율
σM = 시장 포트폴리오의 표준 편차

σP = 포트폴리오의 표준편차

(RM – IRF)/는M CML의 경사다. (RM – IRF)는 리스크 프리미엄의 척도 또는 리스크가 없는 포트폴리오 대신 리스크 포트폴리오를 보유하는 것에 대한 보상이다. σ은M 시장 포트폴리오의 위험이다. 따라서 경사는 시장위험 단위당 보상을 측정한다.

CML의 특징은 다음과 같다.

1. 접선 지점, 즉 포트폴리오 P는 위험 투자와 시장 포트폴리오의 최적 조합이다.

2. 리스크 없는 투자와 시장 포트폴리오 P로 구성된 효율적인 포트폴리오만이 CML에 있다.

3. CML은 리스크의 가격이 긍정적일 수밖에 없기 때문에 항상 상향 경사로 되어 있다. 합리적인 투자자는 그들이 그 위험에 대해 보상받을 것을 알지 못하는 한 투자하지 않을 것이다.

Figure 5: CML and Risk-Free Lending and Borrowing

Figure 5 shows that an investor will choose a portfolio on the efficient frontier, in the absence of risk-free investments. But when risk-free investments are introduced, the investor can choose the portfolio on the CML (which represents the combination of risky and risk-free investments). This can be done with borrowing or lending at the risk-free rate of interest (IRF) and the purchase of efficient portfolio P. The portfolio an investor will choose depends on their preference of risk. The portion from IRF to P, is investment in risk-free assets and is called Lending Portfolio. In this portion, the investor will lend a portion at risk-free rate. The portion beyond P is called Borrowing Portfolio, where the investor borrows some funds at risk-free rate to buy more of portfolio P.

Demerits of the HM model

1. Unless positivity constraints are assigned, the Markowitz solution can easily find highly leveraged portfolios (large long positions in a subset of investable assets financed by large short positions in another subset of assets)[citation needed], but given their leveraged nature the returns from such a portfolio are extremely sensitive to small changes in the returns of the constituent assets and can therefore be extremely 'dangerous'. Positivity constraints are easy to enforce and fix this problem, but if the user wants to 'believe' in the robustness of the Markowitz approach, it would be nice if better-behaved solutions (at the very least, positive weights) were obtained in an unconstrained manner when the set of investment assets is close to the available investment opportunities (the market portfolio) – but this is often not the case.

2. Practically more vexing, small changes in inputs can give rise to large changes in the portfolio. Mean-variance optimization suffers from 'error maximization': 'an algorithm that takes point estimates (of returns and covariances) as inputs and treats them as if they were known with certainty will react to tiny return differences that are well within measurement error'.[4] In the real world, this degree of instability will lead, to begin with, to large transaction costs, but it is also likely to shake the confidence of the portfolio manager in the model.[5]

3. 정보(공 분산 매트릭스, 특히나 자산 중에서 시장을 포트폴리오에서 완전한 결합 확률 분포)의 그 액수는 평균-분산 최적 포트폴리오를 계산하기 위해 필요한 자주 그리고 확실히(포트폴리오 투자 가능한 자산의 하위 집합의 반품에 대한 'views')주관적 측정을 위한 어떤 방을 가지고 있은 다루기 어렵다.[표창 필요한].

참조

  1. ^ a b c Rustagi, R.P. (September 2010). Financial Management. India: Taxmann Publications (P.) Ltd. ISBN 978-81-7194-786-7.
  2. ^ a b c d "Markowitz Model" (PDF).
  3. ^ "Markowitz".
  4. ^ Scherer, B. (2002). "Portfolio resampling: Review and critique". Financial Analysts Journal. 58 (6): 98–109. doi:10.2469/faj.v58.n6.2489.
  5. ^ Barreiro-Gomez, J.; Tembine, H. (2019). "Blockchain Token Economics: A Mean-Field-Type Game Perspective". IEEE Access. 7: 64603–64613. doi:10.1109/ACCESS.2019.2917517. ISSN 2169-3536.

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