정의 가능한 집합

수학 논리학에서 정의 가능한 집합은 해당 구조의 1차 언어에서 일부 공식을 만족하는 요소를 가진 구조 영역의 n-ari 관계다.관계를 정의하는 공식에서 참조할 수 있는 도메인의 요소인 매개변수를 포함하거나 포함하지 않고 집합을 정의할 수 있다.

정의

Let ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ be a first-order language, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ an ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-structure with domain ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle X}$ a fixed subset of ${\displaystyle M}$, and ${\displaystyle m}$ a natural number.다음:

• A set ${\displaystyle A\subseteq M^{m}}$ is definable in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ with parameters from ${\displaystyle X}$ if and only if there exists a formula ${\displaystyle \varphi [x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}]}$ and elements ${\displaystyle }$${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in X},$ 모든$$ 1, …에 ${\displaystyle {}_{}}$m ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in M$

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{m})\in A}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi [a_{1},\ldots ,a_{m},b_{1},\ldots ,b_{n}]}$

여기서 괄호 표기법은 공식에서 자유 변수의 의미적 평가를 나타낸다.

• 빈 집합의 매개 변수(즉, 정의 공식에 매개 변수가 없는 $경우{\displaystyle \mathcal{}}$)로$$M {\$displaystyle$ {\$mathcal$${M}$에서 정의할 수 있는 경우,$$A $집합$ {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {M$}$은(는) 매개 변수 없이$$ $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$mathcal {M$}$에서 정의할 수 있다.
• 함수는 M ${\$$displaystyle$ ${\$$mathcal${M$}(파라미터$ 포함)에서 그래프를 정의할 수 있는 경우($$파라미터 포함) $M{\displaystyle \mathcal{}}$ {\$displaystyle$ {\$mathcal {M}$에서 정의할 수 있다$.$
• 싱글톤 세트${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle \{a\}}$이(가) $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이 매개 변수 포함)에서 {\$displaystyle$ a$}$ $요소$를 $정의$할 수 있다$$$.$$$$$

예

순서 관계만 있는 자연수

=( ,<) ${\displaystyle {\mathcal {N}=(\mathb {N},<)}$을(를) 일반적인 순서와 함께 자연수로 구성된 구조로 한다.그런 다음 매개 변수 없이$$ $N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 모든 자연 숫자를 정의할 수 있다.숫자 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$은(는) $\phi {\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi (x)}$ 공식에 의해 정의되며$$$$, x보다 작은 요소는 존재하지 않는다.

${\displaystyle \varphi =\nexe \barphi,}$

그리고 >0 {\$displaystyle$ n$>0}$은(는) $\phi {\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi (x)}$ 공식에 의해 정의되며, x:보다$$작은 n {\$displaystyle n}$ 요소가$$ 정확히 $존재$한다는 것을 명시한다$$.

${\displaystyle \varphi =\exists x_{0}\cdots \exists x_{n-1}(x_{0}<x_{1}\land \cdots \land x_{n-1}<x\land \forall y(y<x\rightarrow (y\equiv x_{0}\lor \cdots \lor y\equiv x_{n-1})))}$

이와는 대조적으로, 일반적인 순서를 가진 정수로 된Z =( <) {\$displaystyle${\$mathcal$ {Z$}=(\mathb$ {Z}$,<)}$ 구조에서 매개변수가 없으면 특정 정수를 정의할 수 없다(아래 자동화에 대한 섹션 참조).

산술 연산이 있는 자연수

=(,+ ,,<) ${\displaystyle {\mathcal{N}}=(\mathb {N},+,\cdot$ , $)}$이(가) 자연 숫자와 일반적인 산술 연산 및 순서 관계로 구성된 1차 구조로 하자.이 구조에서 정의할 수 있는 집합을 산술 집합이라고 하며 산술 계층 구조로 분류한다.구조가 1차 논리 대신에 2차 논리학에서 고려되는 경우, 결과 구조에서 정의 가능한 자연수 집합은 분석 계층 구조로 분류된다.이러한 계층 구조는 이 구조에서의 정의 가능성과 계산가능성 이론 사이의 많은 관계를 드러내며, 기술 집합 이론에도 관심이 있다.

실수의 분야

$R{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle R\mathbb{},}$ ${\displaystyle 0,}$ 1,${\displaystyle }$+,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle${\$mathcal{R}}=(\mathb {R},0,1,+,\cdot )}$이(가) 실수의 필드로 구성된 구조다.통상적인 순서 관계는 구조물에 직접 포함되지는 않지만, 이들만이 제곱근을 갖는 실체들이기 때문에, 비부정 실체들의 집합을 정의하는 공식이 있다.

$[\displaystyle \varphi =\property y(y\cdot y\equiv x).}$

Thus any ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ is nonnegative if and only if ${\displaystyle {\mathcal {R}}\models \varphi [a]}$. In conjunction with a formula that defines the additive inverse of a real number in ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, one can use ${\displaystyle \varphi }$ to define$R{\displaystyle }$ ${\$: ,${\displaystyle b\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$ {$R}$에 대해$$b${\displaystyle }$- ${\displaystyle b-a}$이(가) 음수가 아닌$$ 경우에만${\displaystyle \mathrm{set}}$ b ${\displaystystyleq b}$을 설정하십시오.확대된 구조 $R{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\le }^{}}$= ${\displaystyle (R\mathbb{},}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$+,${\displaystyle }$⋅,${\displaystyle \le }$ ) ${\displaystyle {\$mathcal${R}^{\leq }=(\mathb {R},0,1,+,\cdot ,\leq )}$를 원래 구조의 정의 확장이라고 한다.동일한 매개변수 집합에서 원래 구조 위에 정의 가능한 경우에만 매개변수 집합에서 확대된 구조 위에 집합이 정의 가능하다는 점에서, 원래 구조와 동일한 표현력을 가진다.

$≤{\$의 이론에는 정량자 제거가 있다$$.따라서 정의 가능한 집합은 다항식 등가 및 불평등에 대한 해결책의 부울 조합이다. 이들을 반알제브라 집합이라고 한다.실선의 이 속성을 일반화하면 o-minimality 연구로 이어진다.

자동형 하에서의 비불변성

정의 가능한 집합에 대한 중요한 결과는 그것들이 자동화된 상태로 보존된다는 것이다.

Let ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ be an ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-structure with domain ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle X\subseteq M}$, and ${\displaystyle A\subseteq M^{m}}$ definable in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ with parameters from ${\displayst$$Yle X$ Let ${\displaystyle \pi }$: ${\displaystyle M}$→ M ${\displaystyle \pi$:$M\to M}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 ID인$$ M ${\$의 자동형이다${\displaystyle .<img\; alt="X"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.98ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="180">}$ 그러면${\displaystyle ,}$ 1 …에 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystystyle a_{1},\ldots, a_{m}\in},$.

${\displaystyle }$$({\displaystyle }$${\displaystyle 1_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$m${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \in }$ (${\displaystyle 1}$ ) $∈$ (${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ )${\displaystyle }$∈ (1 ) ,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle \pi }$( m${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$if (1 ) , π (1 ) \ (1 ) , π (1 ) , $display$ (${\displaystyle 1_{}}$ )${\displaystyle \in }$ A$$∈ $\$ (\$pi (1}),\$ldots $,\pi (a_{m})\in)$인 $경우$에만 $A$$}.$

이 결과는 때때로 특정 구조물의 정의 가능한 하위 집합을 분류하는 데 사용될 수 있다.예를 들어, Z의 경우)({\displaystyle{{Z\mathcal}}=(\mathbb{Z},<.)}위, Z{\displaystyle{{Z\mathcal}의 번역}}는 자기 동형 보전 공집합의 매개 변수 및 이것은 불가능할 동작을 정의 어떤 특정한 정수의 이 구조 없는 상태 매개 변수에 Z {\di$splaystyle {\mathcal{Z$ 실제로 어떤 두 정수라도 번역과 그 역순으로 서로 운반되기 때문에 파라미터가 없는$$ $Z{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$Z}$에서 정의 가능한 정수 집합은 빈 집합과 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$Z}}$그 자체뿐이다$$.대조적으로, 어떤 자동형성(번역)이 두 원소 사이의 "거리"를 보존하기 때문에$,$ $Z{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal{Z}}$의 요소들에는 정의 가능한 쌍(또는 고정 n > 1) 집합이 무한히 많다.

추가 결과

Tarski-Vaught 시험은 특정 구조물의 기초 하부 구조를 특성화하는 데 사용된다.

참조

• 힌만, 피터.수학논리의 기초, A. K. Peters, 2005.
• 표지판, 데이비드.모델 이론: 소개, 스프링거, 2002.
• 루딘, 월터수학 분석의 원리, 3번째 에드.맥그로힐, 1976년
• 슬라먼, 테오도르 A, W휴 우딘.수학 논리: 버클리 학부 과정.2006년 봄.