스콜렘 정상형

수학 논리학에서 1차 논리학의 공식은 만능 1차 정량자만 있는 혼전 정상 형태라면 스콜렘 정상형이다.null

모든 1차 공식은 스콜레마이징(Skolemnization)이라는 과정을 통해 만족도를 변경하지 않으면서 스콜레임 정상 형태로 변환될 수 있다.결과 공식은 반드시 원래의 공식과 동등하지는 않지만, 그것과 동등하다: 원래 공식은 만족스러운 경우에만 만족한다.^[1]null

스콜렘 정상형식으로 환원하는 것은 형식 논리문장에서 실존적 정량자를 제거하는 방법이며, 자동화된 정리 프로베론의 첫 단계로 종종 행해진다.null

예

스콜레마이징의 가장 간단한 형태는 보편적 정량화의 범위에 속하지 않는 실존적으로 정량화된 변수에 대한 것이다.이것들은 단순히 새로운 상수를 만드는 것으로 대체될 수 있다.예를 들어 $\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \exists xP(x)}$은(는) $P{\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle P(c)}($으)로 변경할 수 있으며$$$,$ 여기서 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은(공식 내 다른 곳에서는 발생하지 않음)로 변경될 수 있다.null

보다 일반적으로 스콜레마이징은 모든 실존적으로$$계량화된 변수 y {\$displaystyle y}$을(를) $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, x ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle$ f$(x_{1},\ldots ,x_{n})$로 대체하여 수행되며 함수$$ $기호{\displaystyle }$ f ${\displaystyf}$가 $새로워진다$.이 용어의 변수는 다음과 같다.공식이 혼전 정상적인 형태라면, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ n$${\$displaystyle x_{1},\ldots,x_{n}}$는 보편적으로 정량화된 변수고, 그 $정량자$가 y ${\displaysty y}$보다 앞선다$.$ 일반적으로는 o에서 실존적 정량자를 제거하는 것으로 가정한다.rder, ${\displaystyle 즉}$ $\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ y ${\displaystyle \exists y}$ 이전의 모든 실존적 정량자가 제거되었고$$, $\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ y ${\displaystyle \exists y}$이(가) 그 정량자의 ${\displaystyle \mathrm{범위}}$에서 발생한다$$.이 과정에서 도입된$$ 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을 스콜렘 함수(또는 제로 아리티인 경우 스콜렘 상수)라고 하며, 이 용어를 스콜렘 용어라고 한다.null

예를 들어, 공식 $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle z}$. P${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \forall$ x$\exists$ y$\forall$ z$.$$P(x,y,z)}$은 실존적 ${\displaystyle \mathrm{정량자}}$ $\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ y ${\displaystyle \exists$ y$}$을(를) 포함하고 있기 때문에 스콜렘 정상 형태가 아니다$$$.$ 스콜레마이제이션은 $y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$y$}을(를)${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ )$${\$displaystystyf$$(x)$로 대체하며$,$ $여기$서$f$}은$$ y$\}$에 대한 정량화를 $제거$한다.${\displaystyle \mathrm{결과}}$ 공식은 $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ z${\displaystyle }$. P${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$, z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \forall x\forall z이다.$$P(x,f(x),z)}$. The Skolem term ${\displaystyle f(x)}$ contains ${\displaystyle x}$, but not ${\displaystyle z}$, because the quantifier to be removed ${\displaystyle \exists y}$ is in the scope of ${\displaystyle \forall x}$, but not in that of ${\displaystyle \forall z}$; since this formula는 혼전 정상적인 형태인데, 이는 정량자 목록에서 x ${\displaystyle x}$이(가) $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$보다 앞서고 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$은 그렇지$$ 않다고 말하는 것과 같다.이 변환에 의해 얻은 공식은 원래 공식일 경우에만 만족한다.null

스콜레마이징 작동 방식

스콜레마이징은 1차 만족도의 정의와 함께 2차 등가성을 적용하여 작업한다.등가성은 존재론적 계량자를 보편적 계량자보다 먼저 "이동"하는 방법을 제공한다.null

${\displaystyle \forall x{\Big (}R(g)(x)\exists yR(x,y){\Big )}\iff \exists f\exists f\f forall x{\R(x)\vee R(x,f)(x){\Big )}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을$($를) $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$에 매핑하는 함수다.

직관적으로 "모든 $x$에 ${\displaystyle \mathrm{대해<img\; alt="x"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.33ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="117">}}$ ${\displaystyle x$${\displaystyle \}}$ 문장은${\displaystyle }$"${\displaystyle R}$ (x , y ) {\$displaystyle{\displaystyle }$ R$(x,y$을 동등한 형태로 변환하는 "$y{\displaystyle }${\$displaystyle$ $x}$을$($를) $y{\displaystyle }$ ${\displaystyty y}$로 매핑하는$$ 함수 $f$가$$있다.${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$에는 $R{\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$)${\displaystyle R(x,f(x))}$ "이(가) 들어 있다.$$

1차 만족도의 정의는 함수의 기호에 대한 평가보다 암묵적으로 실존적으로 수량화되기 때문에 이 동등성은 유용하다.특히 공식을 true로 평가하는 공식의 자유 변수의 $모델{\displaystyle }$$$ M ${\displaystyle M}$과 평가 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 있으면 1차 공식 $formula{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$이(가) 만족스럽다$$.모델은 모든 기능 기호에 대한 평가를 포함하고 있으므로, 스콜렘 함수는 암묵적으로 실존적으로 수량화된다.${\displaystyle 위}$의 ${\displaystyle 예}$에서 $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ x${\displaystyle }$. R${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle$\$forall x.$${\displaystyle R}$$(x,f$${\displaystyle (}$$x)}$은(는) $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$. R ( x , f ( ) $\{\backslash$displaystyle $\forall$ x$)$와 $같은{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$ $f}$에 대한 평가를 포함하는 $모델{\displaystyle }$ M ${\displaystystyle$ M$}$이(가) 있는 경우에만 만족한다$.$$R(x,f(x))}$은(는) 자유 변수의 일부 평가에서 참이다$$(이 경우 없음).이것은 두 번째 ${\displaystyle \mathrm{순서}}$로${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle f}$.${\displaystyle x}$ .${\displaystyle R}$ ( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$) {\$displaystyle$ \$exists f\forall x$로 표현될 수 있다$.$$R(x,f(x$ 위의 동등성에 의해, 이것은 $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle y}$. R ${\displaystyle (,y}$ )${\displaystyle$\$forall x\exists y$의 만족도와 같다$.$$R(x,y)}$.

At the meta-level, first-order satisfiability of a formula ${\displaystyle \Phi }$ may be written with a little abuse of notation as ${\displaystyle \exists M\exists \mu ~.~(M,\mu \models \Phi )}$, where ${\displaystyle M}$ is a model, ${\displaystyle \mu }$ is an evaluation of the free variables, 그리고 $\models {\displaystyle }$ ${\displaystyle \models}$은(는) $\mu s$[\displaystyle \mu } 아래의 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 ${\$$displaystystyle \Phi$$}$이(가)가$$$$ 참임을 의미한다$.$ 1차 모델에는 모든 기능 기호에 대한 평가가 포함되어 있으므로 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\\\\\\\\\\$disclaptembollaptemption statesclapeption styprollowlease$$\d${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \exists M}$그 결과, 변수에 대한 실존적 정량자를 공식 전면의 함수보다 실존적 정량자로 교체한 후에도 이 공식은 여전히 이러한 실존적 정량자를 제거함으로써 1차 정량자로 취급될 수 있다.$\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle R}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$) ${\displaystyle \exists f\forall$x ${\displaystyle )}$를 치료하는 이 마지막 단계$.$$R(x,f(x)}$을(를$)$ $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle R}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle \forall x$로 표시.함수는 ${\displaystyle \mathrm{1차}}$ 만족도의 정의에서$$ $\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ M ${\displaystyle \exists$ M$}$에 의해 암묵적으로 실존적으로 수량화되기 $때문에$R($x,f(x)}$이(가) 완료될 수 있다$$.null

Correctness of Skolemization may be shown on the example formula ${\displaystyle F_{1}=\forall x_{1}\dots \forall x_{n}\exists yR(x_{1},\dots ,x_{n},y)}$ as follows.이 공식은 모델 $도메인$에서 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, x ${\displaystyle {}_{}}$ , x ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대해 가능한 각 값에 대해 $R{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$, ,$x$ ${\displaystyle n_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$)을 만드는 모델의 $도메인$에서 y$${\$displaystyle$y}에$$ 대한 값이 존재하는$$ 경우에만 $모델{\displaystyle }$ M$$${\displaystyleylean$ M$}$에 의해 충족된다.$_{1},\data.x_{n}y}$참$$.By the axiom of choice, there exists a function ${\displaystyle f}$ such that ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$. As a result, the formula ${\displaystyle F_{2}=\forall x_{1}\dots \forall x_{n}R(x_{1},$$\dots ,x_{n},f(x_{1},\dots ,x_{n}))}$ is satisfiable, because it has the model obtained by adding the evaluation of ${\displaystyle f}$ to ${\displaystyle M}$. This shows that ${\displaystyle F_{1}}$ is satisfiable only if ${\displaystyle F_{2}}$ is satisfiable as well.반대로 ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}가 만족스러우면$$ 이를 만족하는$$ 모델 $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$'}$이$($${\displaystyle {}_{}}$) 존재한다. 이 모델에는 $x{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$의 모든 값에 대해 $함수$ f$$${\$${\displaystyle \}}$에$$대한 $평가$가 ${\displaystyle {포함}_{}}$되어 $있다.$${\displaystyle ,}$, , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{n},f(x_{1},\dots ,x_{n})}}$이(가) 유지된다.As a result, ${\displaystyle F_{1}}$ is satisfied by the same model because one may choose, for every value of ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, the value ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$, where ${\displaystyle f}$ is evaluated according to ${\displaystyle M^{}}$${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ M$\text{'}\}.$

스콜레마이징의 사용

스콜레마이징의 사용 중 하나는 자동화된 정리 증명이다.예를 들어 분석 표고법에서는 선행 정량자가 실존적인 공식이 발생할 때마다 스콜레마이징을 통해 해당 정량자를 제거하여 얻은 공식이 생성될 수 있다.예를 들어, $\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ .${\displaystyle \mathrm{\phi }}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \exists x.$$\Phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})}$ occurs in a tableau, where ${\displaystyle x,y_{1},\ldots ,y_{n}}$ are the free variables of ${\displaystyle \Phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})}$, then ${\displaystyle \Phi (f(y_{1},\ldots ,y$$_{n}),y_{1},\ldots,y_{n}}$을(를) 테이블au의 동일한 분기에 추가할 수 있다$$.이 추가는 테이블라우의 만족도를 변경하지 않는다: $새로운{\displaystyle }$ 공식 모델에 f ${\displaystyle f$의 적절한 평가를 추가함으로써 이전 공식의 모든 모델을 확장할 수 있다.null

이런 형태의 스콜레마이징은 공식에서 자유로운 변수만 스콜레임 용어에 배치한다는 점에서 '클래식' 스콜레마이징보다 개선된 것이다.이것은 개선이다. 왜냐하면 tableau의 의미론들은 공식 자체에 없는 보편적으로 정량화된 변수들의 범위에 공식을 암묵적으로 배치할 수 있기 때문이다. 이러한 변수들은 스콜렘 용어에 있지 않지만, 스콜레마이징의 원래 정의에 따라 거기에 있을 것이기 때문이다.또 다른 개선사항은 변수 이름 변경까지 동일한 공식에 동일한 스콜렘 함수 기호를 적용하는 것이다.^[2]null

또 다른 용도는 1차 로직의 분해능 방법에 있다. 여기서 공식은 보편적으로 정량화된 것으로 이해되는 절들의 집합으로 표현된다. (예를 들어, 음주의 역설 참조)null

스콜렘 이론

일반적으로 자유 변수 x1와 함께 T{T\displaystyle}는 이론과 각 공식을,…, 음, y{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y}이 베{이\displaystyle}, T{T\displaystyle}이라고 불리는 Skolem 이론에서 입증할 수 있게. 한 Skolem 기능은 함수 기호 F{F\displaystyle}이다.[3]null

모든 스콜렘 이론은 완전한 모델이다. 즉, 모델의 모든 하부 구조는 기본적인 하부 구조다.스콜렘 이론 T의 모델 M을 고려했을 때, 특정 세트 A가 들어 있는 가장 작은 하부 구조를 A의 스콜렘 선체라고 부른다.A의 스콜렘 선체는 A보다 원자력 프라임 모델이다.null

역사

스콜렘 정상형태는 노르웨이의 수학자 고(故) 토랄프 스콜렘의 이름을 딴 것이다.null

참고 항목

• 스콜레마이징의 이중화인 허브랜드화
• 술어 펑터 논리

메모들

참조

• Hodges, Wilfrid (1997), A Shorter Model Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6

외부 링크

• "Skolem function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• PlanetMath.org에서 스콜레마이징
• 헥터 제닐에 의한 스콜레마이징, 울프램 데모 프로젝트.
• Weisstein, Eric W. "SkolemizedForm". MathWorld.