안정론

모델 이론의 수학적 분야에서는 완전한 이론이 너무 많은 유형을 가지지 않으면 안정적이라고 한다. 분류이론의 한 가지 목표는 모든 완전한 이론을 분류할 수 있는 이론과 분류할 수 있는 모델이 너무 복잡한 이론으로 나누고, 이것이 가능한 경우 모든 모델을 분류하는 것이다. 대략적으로, 어떤 이론이 안정적이지 않다면, 그 이론은 분류하기에 너무 복잡하고 많은 반면, 어떤 이론이 안정적이면, 특히 그 이론이 슈퍼스타블이거나 완전히 초월적일 경우, 그 모델을 분류할 희망이 있을 수 있다.

안정성 이론은 완전히 초월적인 이론과 몰리 등급과 같은 몇 가지 기본 개념을 도입한 몰리(1965)에 의해 시작되었다. 안정적이고 미신적인 이론은 안정 이론의 많은 발전을 책임지고 있는 쉘라(1969년)에 의해 처음 소개되었다. 안정성 이론에 대한 결정적인 언급은 (Shelah 1990)이지만, 예를 들어 (Grossberg, Iovino & Lessmann 2002, 페이지 542)에서 전문가들조차 읽기 힘들다고 악명이 높다.

정의들

T는 어떤 언어에서는 완전한 이론이 될 것이다.

• 카디널리티의 모든 집합 A에 대해 A 이상의 완전한 유형 집합이 카디널리티 κ을 갖는 경우 T는 κ-stable(무한 추기경 κ)이라고 불린다.
• Ω-stable은 ℵ-stable의₀ 대체 이름이다.
• T는 일부 무한 추기경에게 κ안정성이 있다면 안정성이라 한다.
• T는 어떤 무한 추기경에게도 κ안정성이 없으면 불안정한 것으로 불린다.
• T는 모든 충분히 큰 추기경들에게 κ-stable이면 슈퍼스타블이라고 불린다.
• 완전히 초월적인 이론은 모든 공식에 몰리가 ∞ 이하의 순위를 갖는 그런 이론들이다.

여느 때처럼 모형의 완전한 이론이 그 속성을 가지고 있다면 어떤 언어의 모형은 이러한 속성 중 하나를 가지고 있다고 한다.

불완전한 이론은 모든 완성, 또는 동등하게 모든 모형이 이 속성을 가지고 있는 경우 이러한 속성 중 하나를 가지도록 정의된다.

불안정한 이론

대략적으로 말하면, 어떤 이론은 순서가 정해진 자연수 집합을 인코딩하는 데 사용할 수 있다면 불안정하다. 좀 더 정확히 말하면 모델 이론에서 사하론 셀라의 불안정한 공식 정리는 셀라의 불안정한 이론들을 헤아릴 수 없이 무한의 하프 그래프의 무반성으로 특징짓는다. Shelah defines a complete theory as having the order property if there exist a model ${\displaystyle M}$ of the theory, a formula ${\displaystyle \phi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$ on two finite tuples of free variables ${\displaystyle {\bar {x}}}$ and ${\displaystyle {\bar {y}}}$$$, and, a system of countably many values ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$ and ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}}$ for these variables such that the pairs ${\displaystyle {\bigl \{}({\bar {x}}_{i},{\bar {y}}$$_{i})\mid M\models \phi ({\bar {x}}_{i},{\bar {y}}_{j}){\bigr \}}}$ form the edges of a countable half graph on vertices ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$ and ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}}$. Intuitively, the existence of these half graphs allows one to construct the comparison operation of an infinite o모델 내에서 등가성$({\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$)${\displaystyle \iff ({\stackrel{}{}}_{}\models }$ ${\displaystyle \varphi ,{}_{}{\stackrel{}{}}_{}}$j${\displaystyle {}_{}}$j )${\displaystyle }${(m ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ϕ, y j ${\displaystyle j_{}}$ ) ${\$ j$)\$을 통해 요란하게 울려퍼졌다.왼쪽 $오른쪽$ 화살표 ${\bigl (}M\models \phi({\bar {x}_{i},{\bar {y}_{j}}{bigr$ $)\}\}\}\}\}.$ 쉘라의 불안정한 공식 정리(1990, 페이지 30–31)는 완전한 이론이 순서 속성을 가지고 있는 경우에만 불안정하다고 기술하고 있다.

어떤 헤아릴 수 없는 카디널리티의 불안정한 이론 T의 모델 수는 가능한 최대 숫자 2이다^κ.

예:

• 세트 이론이나 페이노 산술과 같이 가장 충분히 복잡한 이론은 불안정하다.
• 순서 집합으로 간주되는 합리적 숫자의 이론은 불안정하다. 그것의 이론은 끝점이 없는 밀도 높은 총질서의 이론이다. 보다 일반적으로 모든 무한 총질서의 이론은 불안정하다.
• 자연수의 덧셈 이론은 불안정하다.
• 무한 부울 대수는 불안정하다.
• a가 단위가 아닌 요소인 경우, 무한히 순서가 정해진 완전한 형태의 힘을 가할 수 없기 때문에 그룹이 아닌 모노이드들은 불안정하다. 유사한 이유로 필드가 아닌 모든 통합 도메인은 불안정하다.
• 많은 불안정한 영약 집단들이 있다. 한 예는 정수에 대한 무한 차원 하이젠베르크 그룹이다: 이것은 모든 자연수 i에 대해 원소_i x, y_i, z에 의해 생성되며, 이_i 두 발전기 중 x와_i y가 모든 i에 대해 정류자 z를 가지고 있다는 것을 제외하고 통근하는 관계를 가지고 있다. a가_i xx₀₁ 원소라면...xy_i−1i 그러면 a와_i a는_j 정확히 i < j를 할 때 정류자 z를 가지기 때문에, 그들은 정의 가능한 관계 하에서 무한의 총질서를 형성하기 때문에 집단이 불안정하다.
• 진짜 폐쇄된 필드는 무한하고 총질서가 정해져 있기 때문에 불안정하다.

안정론

T는 일부 추기경에게 κ안정성이 있다면 안정성이라 불린다. 예:

• 어떤 모듈에 대한 이론도 안정적이다.
• 등가관계의 계수 가능한 수(E_n)_n∈N 이론은 각 등가관계는 무한정 많은 등가계급을 가지며, E의_n 각 등가계급은 무한히 많은 등가계급을_n+1 가지는 조합이라는 이론은 안정적이지만 슈퍼스타블은 아니다.
• 셀라(2013년)는 자유 그룹, 그리고 더 일반적으로 토션 없는 쌍곡선 그룹이 안정적이라는 것을 보여주었다. 두 개 이상의 발전기에 있는 자유 그룹은 슈퍼스타일이 아니다.
• 차등 폐쇄된 필드는 안정적이다. 만약 그것이 0이 아닌 특성을 가지고 있다면 그것은 슈퍼스타블이 아니며, 만약 그것이 0의 특성을 가지고 있다면 그것은 완전히 초월적이다.

미신론

T는 충분히 큰 모든 추기경들에게 안정적이면 슈퍼스타블이라고 불리기 때문에 모든 슈퍼스타블 이론은 안정적이다. 계수 가능한 T의 경우, 수퍼마스터성은 모든 stability ≥ 2에^ω 대한 안정성과 동등하다. 이론 T에 대한 다음과 같은 조건은 동등하다.

• T는 믿을 수 있다.
• 모든 종류의 T는 적어도 하나의 계급 개념에 의해 순위가 매겨진다.
• T는 모든 충분히 큰 추기경에게 안정적이다.
• T는 최소 2의 ^T 모든 추기경에게 안정적이다.

어떤 이론이 완전히 초월적이지는 않지만 완전히 초월적이지는 않다면 그것은 엄밀히 말하면 슈퍼스타블이라고 불린다.

계수 가능한 초능력 이론의 계수 가능한 모델의 수는 1, ℵ₀, ℵ₁ 또는 2이어야^ω 한다. 모델 수가 1이라면 이론은 완전히 초월적이다. 1, ℵ₀ 또는 2개의^ω 모형이 있는 예가 있으며, 연속체 가설이 들어 있지 않으면 ℵ₁ 모형이 있는 예가 있는지 알 수 없다. 이론 T가 슈퍼스타블이 아니라면 카디널리티 models > T의 모델 수는 2이다^κ.

예:

• 정수의 첨가된 그룹은 슈퍼스타일이지만 완전히 초월하지는 않는다. 그것은 2개의^ω 셀 수 있는 모델을 가지고 있다.
• P_i(n)가 소수인 단일 관계 P를_i 모델로 한 이론은 n은 prime에 의해 분리될 수 있지만 완전히 초월하지는 않는다고 해석된다.
• 아벨 그룹 A는 pⁿ p prime, n 자연수, pA/pAⁿ⁺¹ 무제한을 가진 쌍(p,n)이 미세하게 많을 경우에만 수퍼마켓이 가능하다.

완전히 초월적인 이론과 Ω-stable

• 완전히 초월적인 이론은 모든 공식에 몰리가 ∞ 이하의 순위를 갖는 그런 이론들이다. 완전히 초월적인 이론은 λ ≥ T가 있을 때마다 λ에서 안정적이기 때문에 항상 초신성이 있다. Ω-stable은 ℵ-stable의₀ 대체 이름이다. Ω-stable 이론은 셀 수 있는 언어로 모든 무한 추기경들에게 κ-stable이다. T가 계수 가능한 경우 T는 Ω-안정 가능한 경우에만 완전히 초월적이다. 보다 일반적으로 T는 계수 가능한 언어에 대한 T의 모든 제약이 Ω-stable인 경우에만 완전히 초월적이다.

예:

• 어떤 Ω-안정적인 이론도 완전히 초월적이다.
• 어떤 유한한 모델은 완전히 초월적이다.
• 무한 영역은 대수적으로 닫힌 경우에만 완전히 초월적이다. (마킨타이어의 정리)
• 특성 0에서 차등적으로 닫힌 장은 완전히 초월적이다.
• 몇몇 헤아릴 수 없는 추기경에게 단정적인 셈할 수 있는 언어를 가진 이론은 완전히 초월적이다.
• 아벨 집단은 그것이 분할할 수 있는 집단과 경계된 지수의 집단의 직접적인 합일 경우에만 완전히 초월적이다.
• 대수학적으로 폐쇄된 분야에 걸친 어떤 선형 대수학 그룹도 완전히 초월적이다.
• 유한한 몰리 계급의 어떤 집단도 완전히 초월적이다.

참고 항목

• 이론의 스펙트럼
• 몰리의 분류 정리
• 제1차 이론 목록
• 안정성 스펙트럼

참조

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• Baldwin, J. T. (2001) [1994], "Stability theory (in logic)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
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• Grossberg, Rami; Iovino, José; Lessmann, Olivier (2002), "A primer of simple theories", Archive for Mathematical Logic, 41 (6): 541–580, doi:10.1007/s001530100126, MR 1923196
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외부 링크

• A. 필레이, 모델 이론 강의 노트
• A. 필레이, 강의 노트 안정성 이론
• A. 필레이, 적용된 안정성 이론에 대한 강의 노트