모델완료이론

모델 이론에서, 1차 이론은 그 모델의 모든 내장이 기초적인 내장일 경우 모델 완전이라고 불린다.동등하게, 모든 1차 공식은 보편적인 공식과 동등하다.이 개념은 아브라함 로빈슨에 의해 소개되었다.

모델 동반자 및 모델 완료

이론 T의 동반자는 T*의 모든 모델이 T*의 모델에 내장될 수 있고 그 반대의 경우도 있을 수 있는 이론 T*이다.

이론 T의 모델 동반자는 모델 완성 T의 동반자다.로빈슨은 이론에는 기껏해야 하나의 모범적 동반자가 있다는 것을 증명했다.모든 이론이 모델과 동반되는 것은 아니다. 예를 들어 집단 이론과 같다.그러나 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) ${\displaystyle {\aleph \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ - 범주가론이라면 항상 모델 동반자가 있다.^[1][2]

이론 T에 대한 모델 완성도는 T의 어떤 모델 M에 대해서도 M의 도표와 함께 T* 이론이 완성되는 모델 동반자 T*이다.대략, 이것은 T의 모든 모델이 T*의 모델에 고유한 방식으로 내장될 수 있다는 것을 의미한다.

T*가 T의 모델 동반자인 경우, 다음 조건은 동일하다.^[3]

• T*는 T의 모델 완성이다.
• T는 합병 특성을 가지고 있다.

T도 범용 공리화(범용 공리화)를 가지고 있다면, 위의 두 가지 모두 역시 다음과 같다.

• T*에 정량자가 제거됨

예

• 정량자가 제거된 모든 이론은 모델 완성이다.
• 대수적으로 폐쇄된 분야 이론은 분야 이론의 모델 완성이다.그것은 완전하지만 완전하지는 않다.
• 동등성 관계 이론의 모델 완성은 무한히 많은 동등성 계급을 가진 동등성 관계 이론이며, 각각은 무한한 수의 원소를 포함하고 있다.
• 실제 폐쇄장 이론은, 순서 링의 언어로, 순서장 이론(또는 순서된 도메인)의 모델 완성이다.
• 반지의 언어로 표현된 진짜 폐쇄장 이론은 형식적으로 실제장 이론의 모범적인 동반자라 할 수 있지만, 모델 완성은 아니다.

비예시

• 첫 번째 원소와 마지막 원소를 가진 밀집 선형 순서의 이론은 완전하지만 모델 완전하지는 않다.
• 집단의 이론(정체성, 제품, 역의 기호가 있는 언어로 된)은 합병 성질을 가지고 있지만 모델 동반자는 가지고 있지 않다.

모델 완성 이론의 완전성을 위한 충분한 조건

T가 모델 완전 이론이고 T의 어떤 모델에 내장되는 T의 모델이 있다면 T는 완성이다.^[4]

메모들

참조

• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
• Hirschfeld, Joram; Wheeler, William H. (1975), "Model-completions and model-companions", Forcing, Arithmetic, Division Rings, Lecture Notes in Mathematics, vol. 454, Springer, pp. 44–54, doi:10.1007/BFb0064085, ISBN 978-3-540-07157-0, MR 0389581