이론의 스펙트럼

수학적 논리의 한 분야인 모델 이론에서 이론의 스펙트럼은 다양한 추기경에서 모델의 이형성 등급 수에 의해 주어진다.더 정확히 말하면, 언어의 어떤 완전한 이론 T에 대해서 우리는 카디널리티 α의 T 모델(이소모르프까지)의 수에 대해 I(T, α)를 쓴다.스펙트럼 문제는 α의 함수로서 I(T, α)의 가능한 동작을 설명하는 것이다.그것은 셈할 수 있는 이론 T의 경우에 대해 거의 완전히 해결되었다.

초기 결과

이 절에서 T는 헤아릴 수 있는 완전한 이론이며 κ은 추기경이다.

뢰웬하임-스콜렘 정리는 I(T,1973)가 한 무한 추기경에게 0이 아닌 경우, 그들 모두에게 0이 아니라는 것을 보여준다.

몰리의 범주성 정리는 주파수 문제를 해결하는 첫 번째 주요 단계였다. 즉, I(T,1973)가 어떤 κ에 대해 1이면 모든 κ에 대해 1이라고 기술하고 있다.

Robert Vaught는 I가 2가₀ 될 수 없다는 것을 보여주었다.2 이외의 주어진 음이 아닌 정수인 경우는 쉽게 찾아볼 수 있다.몰리는 만약 I(T, ℵ₀)가 무한하다면 반드시 ℵ₀, ℵ₁, ℵ 또는 2가^ℵ₀ 되어야 한다는 것을 증명했다.연속체 가설이 거짓인 경우 ℵ일₁ 수 있는지는 알 수 없다: 이것을 Vaught 추측이라고 하며 스펙트럼 이론의 주요 남아 있는 개방 문제(2005년)이다.

몰리의 문제는 마이클 D가 처음 제안한 추측(지금의 정리)이었다. Morley는 I(T, κ)가 셀 수 없는 κ에 대해 κ에서 하락하지 않고 있다.이것은 사하론 셀라에 의해 증명되었다.이를 위해 그는 매우 깊은 이분법적 정리를 증명했다.

사하론 셀라는 주파수 문제에 대해 거의 완전한 해결책을 제시하였다.주어진 완성된 이론 T에게, I(T,κ)=2κ 모든 무수한 추기경들 κ을 찾거나, 나는<(T, ℵ ξ),(표기 방법에 대한 설명을 참조하십시오 알레프 수와 베스 번호)ξ는 보통보다 훨씬 작다 모두 서수이다, ℶ ω 1(ξ){\displaystyle\textstyle I(T,\aleph_{\xi})<, \beth_{\omega_{1}}(\xi)}.는 b첫 번째 경우대략적으로 말하면, 이것은 모든 헤아릴 수 없는 추기경들에 가능한 최대 수의 모형이 있거나, 모든 헤아릴 수 없는 추기경들에는 "few" 모형이 있다는 것을 의미한다.셀라는 또한 모델이 거의 없는 경우에 발생할 수 있는 스펙트럼에 대한 설명을 했다.

계산 가능한 이론의 가능한 스펙트럼 목록

셸라의 작품을 확장함으로써 브라드 하트, 에후드 후쇼프스키, 마이클 C. 라스코우스키는 헤아릴 수 없는 추기경에서 헤아릴 수 없는 이론에 대한 스펙트럼 문제에 대해 다음과 같은 완전한 해결책을 제시하였다.T가 계수 가능한 완전 이론이라면, 모델들의 이형성 등급의 I(T, ℵ_α)는 최소 2와^ℵ_α 다음 지도 중 하나에 의해 서수 α>0에 대해 주어진다.

2^ℵ_α. 예: 많은 예들이 있는데, 특히 임의 그래프 이론과 같이 분류할 수 없거나 깊은 이론이 있다.
$\beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)$ d + 1 $\beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)$ + $\beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)$ ) ${\dplaystyle \beth _{d+1}(\alpha +\omega )$ 일부 카운트 가능한 무한 서수 d에 대한 $\beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)$ 예: (한정 d의 경우 사례 8 참조).β+1<d>를 가진 모든 β에 대해 동등성 관계_β E를 갖는 이론으로, 모든_γ E등급은 무한히 많은_β E등급의 결합이며₀, 각 E등급은 무한하다.
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})$ - $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})$ + $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})$ 0 $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})$ ) ${\dplaystyle \beth _{d-1}(\mega ^{2^{\aleph _{0})$ 일부 $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})$ 유한 양수 d.예(d=1): 많은 독립적인 단항 술어의 이론.
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})$ - $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})$ + $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})$ + $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})$ 2 $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})$ ) ${\dplaystyle \beth _{d-1}(\mega ^{\aleph _{0}+\beth _{2})$ 일부 $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})$ 유한 양수 d.
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})$ finite $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})$ - $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})$ + $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})$ + $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})$ ) ${\dplaystyle \beth _{d-1}( \alpha +\omega +\beth _{2})$ 일부 $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})$ 유한 양수 d;
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})$ - $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})$ ( $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})$ + $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})$ ) ${\dapplaystyle$ \beth $_{d-1}(\$ \ $+\omega ^{\aleph _{0})$ 일부 유한 양의 $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})$ 서수 d.예(d=1): 많은 불연속적인 단항 술어의 이론.
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})$ d - 1 $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})$ ( $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})$ + $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})$ + $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})$ ) ${\dplaystyle \beth$ \ $beth _{d-1$ }( $\beth +\omega +\beth _{1})$ 일부 $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})$ 유한 서수 d≥2;
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)$ d $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)$ - $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)$ $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)$ + $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)$ ) ${\dplaystyle \beth _{d-1}(\$ \ $+\omega )}$ 일부 $\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)$ 유한 양수 d;
$\beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})$ d - 2 $\beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})$ + $\beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})$ + 1 $\beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})$ ) ${\dapplaystyle \beth _{d-2$ }(\ $alpha +\$ omega^{ $\alpha$ + $1})$ 일부 유한 서수 d d2에 대한 $\beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})$ 예: 사례 2와 유사.
$\beth _{2}$ $\beth _{2}$ ${\$ 예: 아벨 집단으로 보는 정수의 이론.
$|(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|$ + $|(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|$ ) $|(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|$ / $|(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|$ - $|(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|$ / G $displaystyle (\alpha +1)^{n}/G$ - $\alpha$ ^{n}/G α - 유한 α의 경우 $|(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|$ \alpha $^{n}/G },$ 무한 α의 경우 여기서 G는 n α 2 원소의 대칭 그룹의 일부 부분군이다.여기서 우리는 크기 α의 원소 집합의 길이 n의 시퀀스 집합으로 α를ⁿ 식별한다. G는 시퀀스 원소를 허용함으로써 α에ⁿ 작용하며, αⁿ/G는 이 작용의 궤도의 수를 나타낸다.예: 모든 순열이 Ω인 G의 화환제품에 의해 작용하는 집합 Ω×n의 이론.
$1$ $[\displaystyle$ 1. $1$ 예시: 주어진 특성에서 대수적으로 닫힌 분야의 이론과 같이 헤아릴 수 없는 추기경에서 단정적인 이론.
$0$ $[\displaystyle 0}$ 예: 유한 모델을 가진 이론과 일관성이 없는 이론.

더욱이 위의 모든 가능성은 어떤 계산 가능한 완전 이론의 스펙트럼으로 발생한다.

위의 리스트에 있는 숫자 d는 이론의 깊이다.만약 T가 이론이라면 우리는 새로운 이론^T 2를 T의 모델인 각각의 등가 등급이 무한히 많도록 등가 관계를 가진 이론으로 정의한다.또한 이론 $\beth _{n}(T)$ ( $){\displaystyle \beth _{n}(T)}$ 을 $\beth _{n}(T)$ (를) $\beth _{0}(T)=T$ $\beth _{0}(T)=T$ $\beth _{0}(T)=T$ $\beth _{0}(T)=T$ = $\beth _{0}(T)=T$ ${\displaystyle \beth _{0}(T)=$ 로 정의한다. $T}$ , $\beth _{n+1}(T)=2^{\beth _{n}(T)}$ . Then $I(\beth _{n}(T),\lambda )=\min(\beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda })$ .이것은 d의 최소값에 대한 예에서 d의 최소값이 아닌 값에 대해 위의 목록에 있는 스펙트럼으로 이론의 예를 구성하는 데 사용될 수 있다.

참고 항목

문장의 스펙트럼

참조

C. C. Chang, H. J. Keisler, 모델 이론. ISBN 0-7204-0692-7
사하론 쉘라, "분류 이론과 비이성형 모델의 수", 논리학과 수학의 기초에 관한 연구, 제92권, IX, 1.19, p.49 (북 홀랜드, 1990)
Hart, Bradd; Hrushovski, Ehud; Laskowski, Michael C. (2000). "The Uncountable Spectra of Countable Theories". The Annals of Mathematics. 152 (1): 207–257. arXiv:math/0007199. Bibcode:2000math......7199H. doi:10.2307/2661382. JSTOR 2661382.
브래드 하트, 마이클 C라스코우스키, "계산 가능한 이론의 헤아릴 수 없는 스펙트럼에 대한 조사", 대수적 모델 이론, 하트, 라클란, 발레리오테 편집 (Springer, 1997년)ISBN 0-7923-466-1

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