안정성 스펙트럼

수학적 논리학의 한 분야인 모델 이론에서 size(무한한 추기경 수)에서는 완전한 1차 이론 T를 λ의 모든 모델의 스톤 공간이 그 자체 크기 ≤ λ λ이라고 부른다.κ에서 T가 안정되어 있을 정도로 추기경들에 대한 상한선이 없다면 T는 안정론이라고 불린다.T의 안정성 스펙트럼은 T가 κ에서 안정적일 정도로 모든 추기경의 등급이다.

계산 가능한 이론의 경우 4가지 안정성 스펙트럼만 있을 수 있다.그에 상응하는 구분선은 총 초월성, 슈퍼스타빌리티 및 안정성에 대한 구분선이다.이 결과는 안정성과 신뢰도를 정의한 사하론 셀라 덕분이다.

계산할 수 있는 이론의 안정성 스펙트럼 정리

정리.모든 계산 가능한 완전한 1차 이론 T는 다음 등급 중 하나에 해당된다.

• T는 모든 무한 추기경들에게 λ에서 안정적이다. T는 완전히 초월적이다.
• T는 모든 추기경에게 정확하게 안정적이다. T는^ω 슈퍼스타일이지만 완전히 초월하지는 않는다.
• T는 cardinals = λ을^ω 만족시키는 모든 추기경에게 정확하게 λ에서 안정적이다.
• T는 어떤 무한 추기경에서도 안정적이지 않다. T는 불안정하다.

세 번째 사례에서 λ에 대한 조건은 = = κ^ω 형식의 추기경들에 대해 유지되지만, 공완성 Ω의 추기경들에 대해서는 유지되지 않는다(왜냐하면 λ < λ^{cof λ}?

완전 초월론

완전한 1차 이론 T는 모든 공식이 Morley 순위를 경계한 경우, 즉, 만약 RM(φ)이 T 모델에 매개변수가 있는 모든 공식 φ(x)에 대해 ∞(∞)을 경계했다면 완전히 초월적이라 부른다. 여기서 x는 변수의 튜플일 수 있다.RM(x=x) < ∞, 여기서 x는 단일 변수임을 확인하면 충분하다.

계산할 수 있는 이론에서 총 초월성은 Ω의 안정성과 동등하며, 따라서 계산 가능한 완전 초월 이론은 간결성을 위해 Ω-stable이라고 불린다.완전히 초월적인 이론은 모든 λ T 에서 안정적이기 때문에 Ω-안정적인 이론은 모든 무한의 추기경에서 안정적이다.

헤아릴 수 없을 정도로 범주적인 모든 이론은 완전히 초월적이다.여기에는 벡터 공간 또는 대수적으로 폐쇄된 장의 완전한 이론이 포함된다.유한 몰리 계급의 집단의 이론은 완전히 초월적인 이론의 또 다른 중요한 예다.

미신론

완전한 1차 이론 T는 완전히 초월적인 이론에서 몰리 서열과 본질적으로 같은 성질을 가진 완전한 형식에 순위 함수가 있다면 슈퍼스타일이 된다.모든 완전히 초월적인 이론은 믿을 수 없다.T 이론은 모든 추기경들 사이에서 ^T 안정적일 경우에만 슈퍼스타블이 된다.

안정론

하나의 추기경 stable T에서 안정되는 이론은 stable = λ을 만족시키는 ^T 모든 추기경 λ에서 안정적이다.그러므로 이론은 일부 추기경 λ T에서 안정되어야 안정된다.

불안정한 이론

ZF 세트 이론의 완전한 확장 등 복잡한 이론과 실제 폐쇄장 이론과 같은 비교적 길들인 이론을 포함하여 대부분의 수학적으로 흥미로운 이론들이 이 범주에 속한다.이는 안정성 스펙트럼이 상대적으로 무딘 도구임을 보여준다.어느 정도 더 좋은 결과를 얻기 위해서는 기껏해야 기껏해야 기껏해야 기껏해야 기껏해야 기껏해야 기껏해야 기껏해야 기껏해야 하는 것이 아니라 most λ 크기의 모델들 위에 있는 스톤 공간의 정확한 기질을 살펴볼 수 있다.

헤아릴 수 없는 사건

아마도 헤아릴 수 없는 언어로 된 일반적인 안정 이론 T의 경우, 안정 스펙트럼은 and과₀ two에 의해 결정되는데, μ은 모든 μ에 대해 λ과₀ λ^μ = λ이 정확하게 λ에서 안정되게 된다.그래서 λ은₀ T가 안정된 가장 작은 무한 추기경이다.이들 불변자는 불평등을 만족시킨다.

• κ ≤ T
• κ ≤ λ₀
• λ₀ ≤ 2 ^T
• 만약 λ₀ > T , 그렇다면 λ₀ 2^ω

T가 계수 가능한 경우 안정성 스펙트럼의 4가지 가능성은 다음과 같은 추기경의 값에 해당한다.

• κ과 λ은₀ 다음과 같이 정의되지 않는다.T는 불안정하다.
• λ은₀ 2^ω, κ은 Ω₁: T는 안정적이지만 슈퍼스타블은 아니다.
• λ은₀ 2^ω, κ은 Ω: T는 Ω-stable이지만 Ω-stable은 아니다.
• λ은₀ Ω, κ은 Ω: T는 완전히 초월(또는 Ω-stable)

참고 항목

• 이론의 스펙트럼

참조

• Poizat, Bruno (2000), A course in model theory. An introduction to contemporary mathematical logic, Universitext, New York: Springer, pp. xxxii+443, ISBN 0-387-98655-3, MR 1757487 프랑스어 번역
• Shelah, Saharon (1990) [1978], Classification theory and the number of nonisomorphic models, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (2nd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9