비위생적 논리학 논리학

비위생적 논리란 무한히 긴 진술이나/또는 무한히 긴 증거를 허용하는 논리다.^[1] 일부 비위생적 로직은 표준 1차 로직과 다른 속성을 가질 수 있다. 특히, 비위생적인 로직은 작거나 완전하지 못할 수 있다. 미세한 논리학에서 등가되는 소형성과 완전성의 개념은 때때로 비위생적인 논리학에서는 그렇지 않다. 따라서, 비위생적인 로직의 경우, 강한 콤팩트성과 강한 완전성의 개념이 정의된다. 이 기사는 힐버트형 비위생적 로직들을 다루고 있는데, 이는 광범위하게 연구되어 왔으며, 가장 직접적인 미세구조적 로직의 확장을 구성하기 때문이다. 그러나 이러한 것들이 공식화되거나 연구된 유일한 비위생적 로직은 아니다.

Ω-로직이라는 특정 비위생적 논리가 완전한 것인지에 대해 생각해 보면 연속체 가설에 빛을 던질 것을^[2] 약속한다.

표기법과 선택공리에 관한 단어

공식이 무한히 긴 언어가 제시되고 있기 때문에, 그러한 공식을 명시적으로 적는 것은 불가능하다. 이 문제를 극복하기 위해, 엄밀히 말하면, 공식 언어의 일부가 아닌 많은 공칭적 편의가 사용된다. $\cdots$ $\cdots$ 을(를) 사용하여 무한히 긴 식을 가리킨다 $\cdots$ . 불분명한 경우, 시퀀스의 길이는 그 후에 기록된다. 어디 이 표기법이나 혼란스러운 애매 모호하게 되면 ⋁ γ<>등 접미사}}공식 카디널리티 δ{\delta\displaystyle}의 집합에. 이와 같은 표기법 quantifiers에∀ γ에만 적용되는 경우도 있는 무한한 괴리를 나타내는 데 사용되는 γ{\displaystyle \bigvee_{\gamma<>\delta}{A_{\gamma}δ. <>δ $\forall _{\gamma <\delta }{V_{\gamma }:}$ $\forall _{\gamma <\delta }{V_{\gamma }:}$ : ${\$ $\forall _{\gamma <\delta }{V_{\gamma }:}$ 이것은 무한정 계량자의 순서를 나타내기 위한 것이다: 각 $V_{\gamma }$ ${\$ 에 대한 계량기. 여기서 $V_{\gamma }$ $\gamma <\delta$ < $\gamma <\delta$ {\ $displaystyle \gamma$ <\ $delta$ $\gamma <\delta$

접미사 및 ${{\displaystyle \cdots$ }의 모든 사용 용도는 공식 비위생 언어의 일부가 아니다 $\cdots$ .

합리적인 분배 법칙을 갖추기 위해 필요한 것이기 때문에 선택의 공리는 (비정부적 논리를 논의할 때 흔히 행해지는 것과 같이) 가정된다.

Hilbert형 의료논리의 정의

1차적 비위생 논리 L_α,β, α 정규, β = 0 또는 Ω β α는 미세 논리학과 동일한 기호 집합을 가지며, 일부 추가 논리들과 함께 미세 논리 공식 형성에 모든 규칙을 사용할 수 있다.

Given a set of formulae $A=\{A_{\gamma } \gamma <\delta <\alpha \}$ then $(A_{0}\lor A_{1}\lor \cdots )$ and $(A_{0}\land A_{1}\land \cdots )$ are formulae. (각 경우에 시퀀스의 길이는 $\delta$ ${\displaystyle \delta }.)$
)변수 V세트를 감안할 때;\delta<>\beta\와 같이}}과{\displaystyle V=\{V_{\gamma}\gamma<>{Vγ γ<>δ<>β} 공식 A0{\displaystyle A_{0}}그때 ∀ V 0:∀ V1⋯(A0){\displaystyle\forall V_{0}:\forall V_{1}\cdots(A_{0})}과∃ V0:∃ V1⋯(A0){\displaystyl.e\exists V_ ${0:\exists V_{1}\cdots(A_{0})$ 는 공식이다 $\exists V_{0}:\exists V_{1}\cdots (A_{0})$ . (각 경우에 정량자 순서의 길이는 $\delta$ ${\displaystyle \delta }.)$

자유변수와 구속변수의 개념은 무한공식에도 같은 방식으로 적용된다. 미세 논리학에서와 마찬가지로 변수가 모두 구속되는 공식을 문장이라고 한다.

비위생적 $L_{\alpha ,\beta }$ L $L_{\alpha ,\beta }$ , $L_{\alpha ,\beta }$ ${\$ ,\ $beta }}}$ 의 이론 T는 논리학상의 문장 집합이다 $L_{\alpha ,\beta }$ . 이론 T에서 나온 비위생적 논리학의 증거는 다음과 같은 조건을 준수하는 $\gamma$ 길이 $\gamma$ 의 일련의 진술이다. 각 문장은 논리적 공리 또는 T의 요소 중 하나이거나 추론 규칙을 사용하여 이전 문장에서 추론한다. 이전과 같이, 세부논리의 모든 추론규칙을 추가로 사용할 수 있다.

Given a set of statements $A=\{A_{\gamma } \gamma <\delta <\alpha \}$ that have occurred previously in the proof then the statement $\land _{\gamma <\delta }{A_{\gamma }}$ can be inferred.^[3]

비위생적 논리에 특유한 논리 공리 설계도는 아래에 제시되어 있다. 글로벌 스키마타 변수: $\delta$ $\delta$ 및 $\delta$ $\gamma$ {\ $displaystyle \gamma },$ $0<\delta <\alpha$ < $0<\delta <\alpha$ Δ > $0<\delta <\alpha$ {\ $displaystyle$ 0 $<\delta$ <\ $alpha$ $0<\delta <\alpha$

$(\land _{\epsilon <\delta }{{\delta }\implies A_{\epsilon }}}})}\implies (A_{\delta }\ipsilon }})$
각 $\gamma <\delta$ < $\gamma <\delta$ > $\gamma <\delta$ {\ $displaystyle \gamma$ <\ $delta$ $((\land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }})\implies A_{\gamma })$ ( $((\land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }})\implies A_{\gamma })$ < $((\land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }})\implies A_{\gamma })$ $((\land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }})\implies A_{\gamma })$ < $((\land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }})\implies A_{\gamma })$ $((\land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }})\implies A_{\gamma })$ δ ) $((\land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }})\implies A_{\gamma })$ A ) $(\land _{\epsilon }})\implies A_{\damma }}}$
장 교수의 distributivity 법칙:(∨ μ<>γ(∧ δ<>, δ μ γ)){\displaystyle(\lor_{\mu<>\gamma}{(\land_{\delta<>\gamma}{A_{\mu ,\delta}})})}, ∀μ ∀ δ∃ ϵ<>γ:μ, δ한 ϵ{\displaystyle \forall\mu\forall \delta \exists \epsilon<>\gam(각 γ{\displaystyle \gamma}에).엄마: $A_{\mu ,\delta }=A_{\epsilon }}$ or $A_{\mu ,\delta }=\neg A_{\epsilon }$ , and ${\displaystyle \forall g\in \gamma ^{\gamma }\exists \epsilon <\gamma :\{$ $A_{\\epsilon }}\neg A_{\epsilon }\}\subseteq \{A_{\mu,g(\mu )}}:\mu <\gamma \}}}}}$
γ<>;α{\displaystyle \gamma<>\alpha},((∧ μ<>γ(∨ δ<>, δ μ γ))⟹(∨ ϵ<>γ γ(∧ μ<>(μ μ,γ ϵ γ)))){\displaystyle((\land_{\mu<>\gamma}{(\lor_{\delta<>\gamma}{A_{\mu ,\delta}})})\implies(\lor _{\epsilon<>\gamma ^{\gamma}}{(\land_{\mu &.그것은, \gamma}{A_{,\gamma\mu_{) $엡실론$ $\gamma ^{\gamma }$ $}(\$ $\{\gamma _{\epsilon }:\epsilon <\gamma ^{\gamma }\}$ $)}}}{{\$ $displaystyle \{\$ displaysty $\}}}}}}}}}}}$ 은 $(으$ )의 $\gamma ^{\gamma }$ 가 적당하다 $\{\gamma _{\epsilon }:\epsilon <\gamma ^{\gamma }\}$ .

마지막 두 개의 공리 스키마타에는 어떤 세트는 잘 주문할 수 있어야 하기 때문에 선택의 공리가 필요하다. 마지막 공리 스키마는 장씨의 분배 법칙이 암시하듯이 엄격히 말해서 불필요하지만,^[4] 논리에 자연적인 약화를 허용하는 자연적인 방법으로 포함되어 있다.

완전성, 컴팩트성, 강력한 완성도

이론은 어떤 진술의 집합이다. 모델에서 진술의 진실은 재귀에 의해 정의되며, 두 가지가 모두 정의되는 세부논리에 대한 정의와 일치할 것이다. 이론 T에 주어진 진술은 T의 모든 모델에서 사실이라면 이론 T에 유효하다고 한다.

$L_{\alpha ,\beta }$ 모델에서 $L_{\alpha ,\beta }$ 문장 S가 유효한 $L_{\alpha ,\beta }$ 경우 논리 L α , β ${\displaystyle$ L_{\alpha $,\beta }}}$ 은 $L_{\alpha ,\beta }$ 완전하다. T에서 유효한 모든 문장 S에 대한 어떤 이론 T에 대해 T로부터 S의 증거가 있다면 그것은 강하게 완전하다. 비위생적인 논리는 강하게 완전하지 않아도 완성될 수 있다.

A cardinal $\kappa \neq \omega$ is weakly compact when for every theory T in $L_{\kappa ,\kappa }$ containing at most $\kappa$ many formulas, if every S $\subseteq$ T of cardinality less than $\kappa$ has a model, 그리고 T는 모델을 가지고 있다. A cardinal $\kappa \neq \omega$ is strongly compact when for every theory T in $L_{\kappa ,\kappa }$ , without restriction on size, if every S $\subseteq$ T of cardinality less than $\kappa$ has a model, then T has a model.

비위생적 논리로 표현 가능한 개념

세트 이론의 언어로 다음과 같은 진술은 기초를 표현한다.

\forall _{\gamma <\omega }{V_{\gamma }}}}}\nex \land_{\gamma <\omega }}{V_{\gamma +}\}\,},

이 진술은 기초의 공리와는 달리 비표준적인 해석을 인정하지 않는다. 근거가 충분한 개념은 개별 진술에서 무한히 많은 정량자를 허용하는 논리로만 표현할 수 있다. 그 결과 미세한 논리로는 제대로 공리화할 수 없는 페아노 산수를 비롯한 많은 이론들이 적절한 비위생적인 논리에 들어설 수 있다. 다른 예로는 비아르바이트 분야와 비틀림 없는 집단의 이론이 있다.^[5]^{[better source needed]} 이 세 가지 이론은 무한정 계량화를 사용하지 않고도 정의할 수 있다. 오직 무한정 결합만이^[6] 필요하다.

완전한 비위생적 로직

두 가지 비위생적인 로직의 완성도가 눈에 띈다. $L_{\omega ,\omega }$ 은 L $L_{\omega ,\omega }$ $L_{\omega ,\omega }$ , ${\$ $L_{\omega _{1},\omega }$ $L_{\omega _{1},\omega }$ $L_{\omega _{1},\omega }$ $L_{\omega _{1},\omega }$ , ${\$ 입니다 $L_{\omega _{1},\omega }$ 전자는 표준 미세한 1차적 논리, 후자는 셀 수 있는 크기의 진술만 허용하는 비위생적 논리다.

$L_{\omega ,\omega }$ $L_{\omega ,\omega }$ ${\$ 또한 강하게 $L_{\omega ,\omega }$ 완전하고, 콤팩트하며, 강하게 컴팩트하다.

$L_{\omega _{1},\omega }$ $L_{\omega _{1},\omega }$ $L_{\omega _{1},\omega }$ , $L_{\omega _{1},\omega }$ ${\$ 은(위의 공리 아래) 압축되지 않지만 $L_{\omega _{1},\omega }$ 완전하다. 게다가, 그것은 크레이그 보간 재산의 변종을 만족시킨다.

$L_{\alpha ,\alpha }$ $L_{\alpha ,\alpha }$ , $L_{\alpha ,\alpha }$ ${\$ 이(위의 공리 아래) 강하게 $L_{\alpha ,\alpha }$ 완성되면 $\alpha$ $\alpha }$ 은(이러한 로직의 증명이 주어진 공리 $\alpha$ {\ $displaystyle$ \ $alpha }$ 이상을 $\alpha$ 사용할 수 없기 때문에) 강하게 압축된다 $\alpha$ .

참조

^ Moore, Gregory (1997). The Prehistory of Infinitary Logic: 1885–1955. Structures and Norms in Science. pp. 105–123. doi:10.1007/978-94-017-0538-7_7. ISBN 978-90-481-4787-8.
^ Woodin, W. Hugh (2009). "The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω Conjecture" (PDF). Harvard University Logic Colloquium.
^ Karp, Carol (1964). Chapter 5 Infinitary Propositional Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 36. pp. 39–54. doi:10.1016/S0049-237X(08)70423-3. ISBN 9780444534019.
^ Chang, Chen-Chung (1955). "Algebra and Theory of Numbers" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 61: 325–326.
^ Rosinger, Elemer (2010). "Four Departures in Mathematics and Physics". CiteSeerX 10.1.1.760.6726. {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
^ Bennett, David (1980). "Junctions". Notre Dame Journal of Formal Logic. XXI (1): 111–118. doi:10.1305/ndjfl/1093882943.

Karp, Carol R. (1964), Languages with expressions of infinite length, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., MR 0176910
Barwise, Kenneth Jon (1969), "Infinitary logic and admissible sets", Journal of Symbolic Logic, 34 (2): 226–252, doi:10.2307/2271099, JSTOR 2271099, MR 0406760

[1] Moore, Gregory (1997). The Prehistory of Infinitary Logic: 1885–1955. Structures and Norms in Science. pp. 105–123. doi:10.1007/978-94-017-0538-7_7. ISBN 978-90-481-4787-8.

[2] Woodin, W. Hugh (2009). "The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω Conjecture" (PDF). Harvard University Logic Colloquium.

[3] Karp, Carol (1964). Chapter 5 Infinitary Propositional Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 36. pp. 39–54. doi:10.1016/S0049-237X(08)70423-3. ISBN 9780444534019.

[4] Chang, Chen-Chung (1955). "Algebra and Theory of Numbers" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 61: 325–326.

[5] Rosinger, Elemer (2010). "Four Departures in Mathematics and Physics". CiteSeerX 10.1.1.760.6726. {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)

[6] Bennett, David (1980). "Junctions". Notre Dame Journal of Formal Logic. XXI (1): 111–118. doi:10.1305/ndjfl/1093882943.

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