지수함수의 특성화

수학에서 지수함수는 여러 가지 면에서 특징지어질 수 있다.다음과 같은 특징(정의)이 가장 흔하다.이 글에서는 각 특성화가 왜 이치에 맞는지, 특성화가 왜 서로 독립적이고 동등한지에 대해 논한다.이러한 고려사항의 특별한 경우로서, 수학적 상수 e에 대해 주어진 가장 일반적인 세 가지 정의가 서로 동등하다는 것이 입증될 것이다.

특성화

지수함수 $exp(x)$ = e $for x$ real $x$ 의 6가지 가장 일반적인 정의는 다음과 같다.

한도를 기준으로 e $정의 x$ $e^{x}=\lim _{n\to \inflit }\좌측(1+{\frac{n}}}\우측)^{n}}$
$e$ 를^x 무한 시리즈 값으로 정의 $e^{x}=\sum _{n=0}^{\n}{x^{n} \over n!}=1+x+{\x^{2}}!}}}{\frac{x^{3}}{3!}}}{\frac{x^{4}}{4}}{4!}}}+\cdots$ (여기서 $n!$ 은 $n$ 의 인자를 나타낸다.e가 비이성적이라는 하나의 증거는 이 공식의 특별한 경우를 사용한다.)
$e$ 를^x 다음과 같은 고유한 숫자 $y$ > $0$ 으로 정의하십시오. $\int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}=x.$ 이것은 이 적분으로 정의되는 자연 로그 함수의 역행이다.
e를 초기 가치 문제에 대한 고유한 $솔루션$ 으로^x 정의 $[\displaystyle y'=y,\display y(0)=1]}$ ( $여기$ 서 y $'$ 는 $y$ 의 파생어를 나타낸다.)
지수 함수 $e$ 는^x f $(1)$ = $e$ 및 $f$ $(x$ + $y)$ = f(x + y) = $f (x)$ $f (y)$ 로 다음과 같은 추가 조건 중 하나를 만족하는 $고유$ 한 함수 $f$ 이다.
- $f$ 는 르베그 측정이 가능하다(Huitt and Stromberg, 1965년, 연습 18.46).
- $f$ 는 적어도 한 점 이상 연속적이다(Rudin, 1976년, 제8장, 연습 6). ( $아래$ 와 같이 f $(x$ + y $)$ = 모든 $x$ 와 $y$ 에 $대해$ f $(x)$ $f (y)$ 가 되고, $f$ 가 어떤 단일 지점에서 연속되면, $f$ 는 반드시 도처에서 연속된다.)
- $f$ 는 증가하고 있다. (합리적 숫자에 대해 $e$ 와^x 동의하는 증가하는 함수는 $e$ 와^x 같아야 한다.)
고유성을 위해 위와 같은 몇 가지 추가 조건을 부과해야 하는데, 그렇지 않으면 휴이트와 스트롬버그가 설명한 바와 같이 다른 기능들은 합리성에 대한 실수의 기초를 사용하여 구성할 수 있기 때문이다.
$또한$ f $(1)$ = e $및$ "추가 조건"을 단일 조건 $f'(0)$ = $1$ 로 대체할 수 있다.
$e$ 를 고유한 양의 실수 만족도가 되도록 하십시오. $\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}{h}=1.$ 이 한계는 존재한다고 보여질 수 있다. $그런 x$ 다음 이 베이스로 e를 지수 함수로 정의하십시오.이 정의는 특히 지수함수의 파생상품 계산에 적합하다.

더 큰 도메인

실수의 영역보다 큰 도메인에 대한 지수 함수를 정의하는 한 가지 방법은 먼저 위의 특성화 중 하나를 사용하여 실수의 영역에 대해 지수 함수를 정의한 다음 분석 함수에 사용할 수 있는 방식으로 더 큰 도메인까지 확장하는 것이다.

일부 문제가 발생할 수 있지만 더 큰 영역에 대해 직접 특성화를 사용하는 것도 가능하다. (1), (2), (4) 임의의 바나흐 알헤브라는 모두 타당하다. (3) 통합할 수 있는 비등등한 경로가 있고, (5) 충분하지 않기 때문에 복잡한 숫자에 대한 문제를 제시한다.예를 들어 함수 f는 (x와 y real의 경우)로 정의된다.

f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y)=e^{x+2iy}

x

+

iy

의 지수함수가 되지 않고 (5)의 조건을 만족시킨다.복잡한 숫자의 영역에 충분한 (5)을 만들기 위해, f가 순응적인 지도라는 지점이 존재한다고 규정하거나, 또는 그 밖에 다음과 같이 규정할 수 있다.

[\displaystyle f(i)=\cos(1)+i\sin(1)]}

특히 $f'(0)=1$ $f'(0)=1$ ( $f'(0)=1$ ) $f'(0)=1$ = $f'(0)=1$ $f'(0)=1$ 이라는 (5)의 대체조건은 f가 순응적임을 암묵적으로 규정하고 있기 때문에 충분하다 $f'(0)=1$ .

각 특성이 타당하다는 증거

이 정의들 중 일부는 그들이 잘 정의되어 있다는 것을 증명하기 위한 정당성을 필요로 한다.예를 들어, 함수의 값이 제한 프로세스의 결과(즉, 무한 시퀀스 또는 시리즈)로 정의되는 경우, 그러한 한계가 항상 존재한다는 것을 입증해야 한다.

특성화 2

이후

\lim_{n\to \inflt }\왼쪽 {\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\오른쪽 =\lim _{n\to \inflit }\왼쪽 {\frac {x}{n+1}}오른쪽 =0<1.

비율검사에서

{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

=

{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

n

{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

!

{\

}}}

전체 x에 대한 수렴

{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

특성화 3

통합은 $t$ 의 통합 가능한 함수이기 때문에, 통합 표현은 잘 정의되어 있다. $\mathbb {R} ^{+}$ + ${\$ 부터 $\mathbb {R} ^{+}$ R ${\$ 까지의 함수가 정의되어 $\mathbb {R}$ 있음을 반드시 보여 주어야 한다.

x\mapsto \int_{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}

편견이다.

1/ t

는 양의

t

에 대해 양성이므로 이 기능은 엄격히 증가하므로 주입된다.만약 두 통합이

{\displaystyle{dt}\int _{1}^{{1}^{\nflac {dt}{t}}}\flac {dt}{8pt]\int _{1}^{1}{dt}}=-\flined{liged}}}}}}}}}}

참다, 그러면 그것은 또한 허탈하다.실제로 이러한 통합은 유지된다. 통합 테스트와 고조파 시리즈의 분산을 따른다.

특성화 동등성

다음 증거는 위의 e에 대해 주어진 처음 3개의 특성의 동등성을 증명한다.그 증거는 두 부분으로 구성되어 있다.먼저 특성화 1과 2의 등가성이 정립된 후 특성화 1과 3의 등가성이 정립된다.다른 특성화를 연결하는 인수도 제공된다.

특성화 1과 2의 동등성

다음 주장은 루딘의 증거, 정리 3.31 페이지 63–65에서 채택되었다.

$x\geq 0$ $x\geq 0$ $x\geq 0$ $x\geq 0$ 을(를) 음이 아닌 고정된 실제 숫자로 $x\geq 0$ 두십시오.정의

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n}{x^{k!}}},\_{n}=\좌측(1+{\frac{x}{n}\오른쪽)^{n}}}

이항 정리에 의해

{\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}}}\{1-{\frac {1}{n}\오른쪽)+{{\frac {x^{3}}{3!}}}}\{\frac{1}{n}\오른쪽)\왼쪽(1-{\frac {2}{n}\오른쪽)+\cdots\\\[8pt]&}\qquad \cdots +{\x^{n}{n!}}}}\{{\frac {1}{n}\오른쪽)\cdots \left(1-{\frac {n1}{n1}\right)\leq s_{n}\end{aigned}}}}}}}

(최종 불평등을 얻기 위해 x ≥ 0을 사용)

\limsup _{n\to \to \to}{n}\leq \limsup _{n}s_{n}=e^{x}}}}}}}}

여기서 e는^x 정의 2에 있다.여기서 림프는 반드시 사용되어야 하는데, 이는 티콘이_n 되는지를 알 수 없기 때문이다.다른 방향의 경우, 위의 t_n 표현에 의해, 2 ≤ m ≤ n이면,

1+x+{\frac {x^{2}}:{2!}}}\{1-{\frac{1}{n}\오른쪽)+\cdots +{\frac{x^{m}{m!}}}}\{\frac {1}{n}\오른쪽)\왼쪽(1-{{\frac {2}{n}\오른쪽)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n1}\오른쪽)\leq t_{n}.

m을 고정하고 n이 무한대에 접근하게 한다.그러면

s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}!}}}+\cdots +{\frac{x^{m}{m!}}}\leq \liminf _{n\to \infort }t_{n}}}

(t가_n 수렴되는지 알 수 없으므로 림프절은 반드시 사용해야 한다.자, 위의 불평등을 받아들이고, 무한에 접근하게 하고, 다른 불평등과 함께 합치면, 이것은

\imsup _{n\to \nft }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \fto \ft_{n}}}}}

하도록

\lim _{n\to \ft }t_{n}=e^{x}.

이 동등성은 ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ ( ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ - ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ ) ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ + ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ ) ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ = ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ ( ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ - r ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ n ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ ${\$ 을 기록함으로써 음의 실수까지 확장될 수 있다. $^{n}\왼쪽(1+{\frac {r}{n}}\오른쪽)$ $^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}\}\오른쪽)$ $^{n}}}$ 을 ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ (를) 선택하고 n은 무한대로 간다.

이 제한 표현의 오류 기간은 다음과 같이 설명된다.

\left(1+{\frac {x}{n}}\오른쪽)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}:{{n}}+{x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}+\cdots \right),}

여기서 분모 n을^k 가진 항에서 다항식의 정도(x)는 2k이다.

특성화 1과 3의 동등성

여기서 자연 로그 함수는 위와 같이 확실한 적분이라는 관점에서 정의된다.미적분학의 근본적인 정리 제1부에 의해

{\frac {d}{dx}\ln x={\frac {d}{dx}\int _{1}^{x}{\frac {1}{1}{t}\dt={\frac {1}{1}{x}}}.

${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$ ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$ ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$ 1 = ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$ ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$ 1 ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$ t ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$ = ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$ ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}=0}$

자, x를 고정된 실제 숫자로 하고

y=\lim _{n\to \inflt }\왼쪽(1+{\frac{n}}\오른쪽)^{n}

$Ln(y)$ = $x$ , 즉 $y$ = $e$ 를^x $의미$ 하며^x 여기서 e는 정의 3에 있다.우리는 가지고 있다.

\ln y=\ln \lim _{n\to \inflt }\왼쪽(1+{\frac {n}{n}}\오른쪽)^{n}=\lim _{n\to \inflt }\ln \left(1+{\frac {n}{n}\오른쪽)^{n}}

여기서 ln(y)의 연속성을 사용하며, 이는 1/t의 연속성에서 나타난다.

\ln=\lim_{n\to \n\n\ln \left(1+{\frac {n}{n}\right)=\lim _{n\n\n\n\flt}{\frac {x\ln(x/n)}{(x/n}}}}}.

여기서, 결과ⁿ lna = nlna가 사용되었다.이 결과는 유도 또는 대체에 의한 통합에 의해 n 자연수에 대해 설정될 수 있다.(실제 권력에 대한 확장은 ln과 exp가 서로의 invers로 설정될 때까지 기다려야만 a가^b 실제 b에 대해 e로^{b lna} 정의될 수 있다.)

=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\오른쪽)}}{h}\data.{\text{{}}{n}}}여기서 }h={\frac{n}}

=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\오른쪽)-\ln 1}{h}

{\displaystyle =x\cdot {\frac {d}{dt}\ln t{\Bigg }_{t=1}:{d}\ln t{d}}}\bigg }_{t=1}:{n.

\displaystyle \!\,=x.}

특성화 3과 4의 동등성

특성화 3은 지수함수가 정의되기 전에 자연 로그의 정의를 포함한다.먼저

\log x:=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}

t=1

,

x

{\displaystyle

x

}

의 자연 로그는 t

t=1

=

t=1

{\displaystyle

t

=1}

과

t = 1

t

t=x

=

t=x

t=x

사이의

1/t

1/t

아래 (서명된) 영역과 같다는

x

것을 의미한다

t=x

x<1

<

x<1

{\

displaystyle

x

<1},

이 영역은 음수로 간주된다.그런 다음

\exp

\exp

은(는)

\log

\log

의 역순으로 정의되며

\exp

\log

이는 다음을 의미한다.

[\displaystyle \exp(\log(x))]=x{\text{ 및 }\log(\exp(x))=x}

역함수의 정의로If

a

is a positive real number then

a^{x}

is defined as

\exp(x\log(a))

. Finally,

e

is defined as the number

a

such that

\log(a)=1

. It can then be shownthat

e^{x}=\exp(x)

e^{x}=\exp(x)

=

e^{x}=\exp(x)

e^{x}=\exp(x)

( x

e^{x}=\exp(x)

)

{\displaystyle

e

^{x}=\exp(x)}

:

e^{x}=\exp(x\log(e)))=\exp(x)

미적분학의 근본적인 정리에 의해,

{\textstyle \log x={\frac {1}{x}}}

x =

{\textstyle \log x={\frac {1}{x}}}

{\textstyle \log x={\frac {1}{x}}}

{\

{\textstyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

{\textstyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

{\textstyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

{\textstyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

=

{\textstyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

x

{\

x

{\textstyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

우리는 이제 특성화에서 주어진 초기 가치 문제의 첫 번째 부분을 만족한다는 것을 증명할 수 있는 위치에 있다.

{\reasoned}{\text}}}}}y&=e^{x}=\exp(x)\로 한다.\\log(y)&=\log(\exp(x))=x\\{\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}&=1\\\\\\frac {dy}{dx}&=y^{x}\end}}}}}

그렇다면 e

e^{0}=\exp(0)=1

=

e^{0}=\exp(0)=1

e^{0}=\exp(0)=1

(

e^{0}=\exp(0)=1

)

e^{0}=\exp(0)=1

=

e^{0}=\exp(0)=1

{\displaystyle e^{0}=\exp(0)=1

그리고 우리는 끝이라는 것을 주목하기만 하면 된다.물론 특성화 4가 특성화 3을 함축한다는 것을 보여주는 것이 훨씬 쉽다.If

e^{x}

is the unique function

f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}

satisfying

f'(x)=e^{x}

, and

f(0)=1

, then

\log

can be defined as its inverse.

\log

\log

의 파생상품은 다음과 같은 방법으로 찾을 수 있다

\log

.

y=\log x\reght x=e^{y}

y

{\displaystyle y

에 대해 양쪽을 구별하면

{\frac {dx}{dy}}{dy}}\\\frac {dy}{dy}}\\frac {1}{e^}}}={\frac {1}{x}}\frine}}}}}}

그러므로

\int _{1}^{x}{\frac {1}{{t}dt=\왼쪽[\log t\right]_{1}^{x}=\log x-\log 1=\log x-0=\log x

특성화 2와 4의 동등성

n을 음이 아닌 정수로 한다.정의 4와 유도에 의해 ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y$ y ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y$ ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y$ ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y$ = ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y$ ${\dplaystyle {\d^{n}y}{dx^{n}}}=y$ .

따라서 ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ y ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ = ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ = ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ ( ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ 0 ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ ) ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ = 1 ${\displaystyle {\d^{n}y}{dx^{n$ }}}{dx $^{$ n $}}}{\Bigg$ }} $_{x=0}=y(0)=1$ . $}$

테일러 시리즈를 이용해서

y=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {1}{n!}}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac{x^{n}}{n!}}.

이것은 정의 4가 정의 2를 함축한다는 것을 보여준다.

정의의 의미에서 2는

{\x^{d}{dx}e^{dx}&={\frac {d}}{dx}}\좌측(1+\\sum _{n=1}^{n}}\frac {x^{n}}{n!}}}\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac{nx^{n-1}{n!}}}=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {x^{n-1}{{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\inflit }{x^{k!}}},{\text{여기서 }k=n-1\[6pt]&=e^{x}\end}}}}}}}}

게다가 ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ 0 ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ = 1 ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ + ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ + ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ ! ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ + ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ ! + ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ = 1 ${\textstyle e^{0}=1+0+{0^{$ 0^{0^}{0 $^{0^{$ 2 $}}!$ $}}}+{\frac {0^{3}}{3!$ $}}}+\cdots =1.}$ 이 ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ (가) 정의 2가 정의 4를 함축한다는 것을 보여준다.

특성화 1과 5의 동등성

다음 증명은 휴이트와 스트롬버그에서 18.46 연습을 단순화한 것이다.First, one proves that measurability (or here, Lebesgue-integrability) implies continuity for a non-zero function $f(x)$ satisfying $f(x+y)=f(x)f(y)$ , and then one proves that continuity implies $f(x)=e^{kx}$ for some k, and마지막으로 $f(1)=e$ ( $f(1)=e$ ) $f(1)=e$ = $f(1)=e$ $f(1)=e$ 은 $f(1)=e$ k = $1$ 을 $의미$ 한다.

먼저 f( $f(x+y)=f(x)f(y)$ $f(x)$ ) ${\displaystyle$ $f$ $(x)}$ = f $f(x+y)=f(x)f(y)$ = $f(x+y)=f(x)f(y)$ = $f(x+y)=f(x)f(y)$ x ) $f(x+y)=f(x)f(y)$ 를 만족하는 몇 가지 $f(x)$ 기본 속성이 입증되며, f $f(x+y)=f(x)f(y)$ ( $f(x)$ ) ${\displaystysty$ f( $x)}$ 이 $f(x)$ 0이 아니라는 가정은 다음과 같다.

$f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 이 $f(x)$ (가) 0이 아닌 경우(x=y라고 함) 모든 위치에서 0이 아닌 경우.증명: $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ ( y $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ ) $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ = $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ ( x $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ ) f $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ ( $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ - x $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ ) $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ $(\displaystyle f(y)=f(x)(y-x)\neq$ 0 $}$ 은 $f(x)\neq 0$ ( x $f(x)\neq 0$ ) $f(x)\neq 0$ $(\displaysty f(x)\neq$ 0 $}$ 을 $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ 의미한다 $f(x)\neq 0$
$f(0)=1$ ( $f(0)=1$ ) $f(0)=1$ = $f(0)=1$ ${\displaystyle$ f $(0)=1$ 교정: $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ ( $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ ) $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ = $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ ( $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ + $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ ) $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ = $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ ( $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ ) f $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ ( 0 $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ ) ${\displaystyle$ f $(x+0)=f(x)=f(0)}$ $f(x)$ f $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ $f(x)$ ( $f(x)$ ) ${\displaystystystyle$ f( $x)}$ 은 0이 0이 0이(x)이 $f(x)$ 0이 0이 아니다.
$f(-x)=1/f(x)$ ( $f(-x)=1/f(x)$ - x $f(-x)=1/f(x)$ ) $f(-x)=1/f(x)$ = 1 $f(-x)=1/f(x)$ / $f(-x)=1/f(x)$ ( $f(-x)=1/f(x)$ ) $f(-x)=1/f(x)$ {\ $displaystyle$ f $(-x)=1/f(x$ $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ : 1 $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ = $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ ( $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ ) $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ = $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ ( $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ - x $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ ) $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ = $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ ( $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ - $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ ) = $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ ( $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ - x $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$ ) ${\displaystyle 1=f(0)=f(x)=f($ x)=f(x $)-x$
$f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 이(가) 어디에나 연속적인 $f(x)$ 경우(x = y) 모든 곳에서 연속적인 경우.Proof: $f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\to 0$ as $\delta \to 0$ by continuity at y.

두 번째와 세 번째 속성은 양의 x에 대해 $f(x)=e^{x}$ $f(x)=e^{x}$ $f(x)=e^{x}$ ) $f(x)=e^{x}$ = $f(x)=e^{x}$ x ${\$ 를 입증하기에 충분하다는 것을 의미한다.

$f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 이 $f(x)$ (가) Lebesgue 통합 함수인 경우

g(x)=\int _{0}^{x}f(x')\,dx'.

그 뒤를 잇는다.

g(x+y)-g(x)=\int_{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\,dx'^{y}f(x+x')\,dx'=f(x)g(y).

$f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 이 $f(x)$ (가) $g(y)\neq 0$ 이 아니므로 $g(y)\neq 0$ ( $g(y)\neq 0$ ) $≠$ 0 {\ $displaystyle g(y)\neq$ 0 $}$ 과 같은 $g(y)\neq 0$ y를 $선택$ 하고 위의 식에서 $f(x)$ $f(x)$ ( $f(x)$ ) ${\displaystyf(x)}$ 에 대해 해결할 수 있다.따라서 다음과 같다.

{\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{정렬}}

G(0)0{\displaystyle g(0)=0}및 g()){\displaystyle g())}(가)연속적이므로 최종 식은 0으로이동해야 한다 일고 있다. $f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 이(가) 연속이라는 $f(x)$ 것을 따른다.

이제 $f(q)=e^{kq}$ ( $f(q)=e^{kq}$ ) $f(q)=e^{kq}$ = $f(q)=e^{kq}$ e $f(q)=e^{kq}$ $f(q)=e^{kq}$ {\ $displaystyle f(q)=e^{kq}}}$ 일부 k에 대해서는 모든 양의 합리적 숫자 q. q=n/m을 양의 정수 n과 m에 대해 증명할 수 있다 $f(q)=e^{kq}$ .그러면

f\left({\frac {n}{m}\오른쪽)=f\left\frac {1}{m}+\cdots +{\frac {1}{m}\오른쪽)=f\lefrac\{1}{m}\오른쪽)^{n}}

n에 대한 기초 유도에 의해.따라서

f(1/m)^{m}=f(1)

(

f(1/m)^{m}=f(1)

/

f(1/m)^{m}=f(1)

) m

f(1/m)^{m}=f(1)

=

f(1/m)^{m}=f(1)

(

f(1/m)^{m}=f(1)

)

f(1/m)^{m}=f(1)

따라서

f(1/m)^{m}=f(1)

f\left({\frac {n}{m}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.

k=\ln[f(1)]

=

k=\ln[f(1)]

k=\ln[f(1)]

k=\ln[f(1)]

( 1 )

k=\ln[f(1)]

{\

displaystyle k=\

ln

[f

(1

k=\ln[f(1)]

실제

f(x)

f

f(x)

)

{\displaystyle

f(

f(x)=f(x/2)^{2}

)}

로 제한되는

f(x)=f(x/2)^{2}

f(x)

f

(

/ 2)

f(x)=f(x/2)^{2}

displaysty f(x)=f(x/2)^{2}}

는 도처에 양성이므로

f(x)=f(x/2)^{2}

k는 실재하다.

마지막으로 연속성에 의해, 모든 이성적 x에 $f(x)=e^{kx}$ f $f(x)=e^{kx}$ ( $f(x)=e^{kx}$ ) = $f(x)=e^{kx}$ $f(x)=e^{kx}$ ${\$ 이(가)이므로, 이성들의 폐쇄가 실체(즉, 모든 진짜 x는 이성들의 시퀀스의 한계로 쓸 수 있음)이므로 모든 실제 x에 대해 참이어야 한다. $f(1)=e$ ( $f(1)=e$ ) $f(1)=e$ = $f(1)=e$ $f(1)=e$ 이면 k $f(1)=e$ = 1이다.이는 e1이 사용하는 동등한 정의에 따라 특성화 1(또는 2 또는 3)과 동등하다.

특성화 2는 특성화를 의미함 6

정의의 의미에서 ^[1]2는

{\h+{frac}\lim_{h\to 0}{h^{h}-1}{h}=\lim_{h\to 0}{h}}{{h}}}}\frac {1}{{h+}}}}{{{h^{2}}!}}}{\frac{h^{3}}{3}}{3!}}}{\frac{h^{4}}{4}}{4!}}}+\cdots \오른쪽)-1\오른쪽)\\&=\lim _{h\to 0}\왼쪽(1+{\frac {h}{2!2}}+{\frac{h^{2}}{3!}}}{\frac{h^{3}}{4!}}}+\cdots \오른쪽)\\&=1\end{aigned}

특성화 5는 특성화를 의미함 4

$조건$ f $'(0)$ = $1$ 과 $f(x$ + $y)$ = $f$ ( $x)$ $f (y)$ 는 특성화 4의 두 조건을 모두 암시한다.실제로 방정식의 양쪽을 나누어 초기 $조건 f$ (0) = $1$ 을 얻는다.

f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)

f (0)

에 의해,

그리고

f and

(x)

=

f

(

x)

= f(

x)

가 f

follows

(0) =

1

이라는 조건과 다음과 같은 파생상품의 정의에서 따르는 조건:

{\displaystyle{\begin{배열}())&, =&,\lim \limits _{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f())}{h}}&=&,\lim \limits}및 _{h\to 0}{\frac{f())f(h)-f())}{h}, =&,\lim \limits}\\[1em]& _ᆾf()){\frac{f(h)-1}{h}, =&, f())\lim \limits}및 _{h\to 0}{\frac{f(h)-1}{h}, =&, f())\lim \limits}및 _{h\to 0}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}, =&amp을 말한다.f())f'(0)=f()).\end{array}}}

특성화 6은 특성화를 의미함 4

정의의 의미에서 6은

{\frac{d}{dx}e^{x}=\lim_{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}}{h}}\cdot \lim_{h\to 0}{e^{h}-1}{h=e^{x}.

e^{0}=1

e^{0}=1

0 =

e^{0}=1

{\

displaystyle e^{0}=1

따라서 정의 6은 정의 4를 의미한다.

참조

^ [1]

월터 루딘, 제3판(McGraw-Hill, 1976), 제8장.
Edwin Hewitt와 Karl Stromberg, Real and Obstract Analysis (Springer, 1965년).

[1] [1]

[1]

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