아인슈타인 표기법

수학에서, 특히 선형 대수를 물리학에 적용하는 데 있어서, 아인슈타인 표기법(아인슈타인 합계 표기법 또는 아인슈타인 합계 표기법으로도 알려져 있음)은 공식에서 색인화된 일련의 용어에 대한 합계를 암시하는 표기법이다.수학의 일부로서, 그것은 리치 미적분의 표기적 부분집합이다; 그러나, 그것은 종종 탄젠트와 코탄젠트 공간을 구별하지 않는 물리학 응용 분야에서 사용된다.그것은 ^[1]1916년 알버트 아인슈타인에 의해 물리학에 소개되었다.

서론

규약서

이 규칙에 따르면 지수 변수가 단일 항에 두 번 나타나고 달리 정의되지 않은 경우(자유 변수 및 한계 변수 참조), 이는 지수의 모든 값에 대한 해당 항의 합계를 의미한다.따라서 인덱스가 집합 ${1, 2, 3$ )에 걸쳐 있을 수 있습니다.

y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}

를 다음과 같이 단순화합니다.

y=c_{i}x^{i}

위쪽 지수는 지수가 아니라 좌표, 계수 또는 기준 벡터의 지수입니다.즉, 이 $문맥$ 에서² $x$ 는 x의 제곱이 $아니라$ x의 두 번째 성분으로 이해되어야 한다(이는 때때로 모호성을 초래할 수 있다). $x$ 의ⁱ 상위 지수 위치는 일반적으로 한 기간에 한 번 상위(상위)에서 한 번, 한 번 하위(하위)에서 한 번 지수가 발생하기 때문입니다(아래의 § 응용 프로그램 참조).일반적으로 ( $x 1 2$ $x 3$ x x $)$ 는 기존의 ( $x$ y z $)$ 와 동일합니다.

일반상대성이론에서 공통의 규약은 다음과 같다.

그리스어 알파벳은 공간과 시간 구성요소에 사용됩니다. 여기서 인덱스는 값 0, 1, 2, 또는 3(흔히 사용되는 $문자$ 는μ, $δ$ , …),
라틴 알파벳은 공간 구성 요소에만 사용됩니다. 여기서 인덱스는 값 1, 2, 또는 3을 사용합니다( $흔히$ 사용되는 $문자$ 는 i, j, …).

일반적으로 인덱스는 무한 집합을 포함하여 모든 인덱스 집합에 걸쳐 있을 수 있습니다.이것은 텐서 지수 표기법과 밀접하게 관련되어 있지만 뚜렷한 기저 독립적인 추상 지수 표기법을 구별하는 데 사용되는 활자학적으로 유사한 관례와 혼동되어서는 안 된다.

합산된 지수는 총계 지수이며, 이 경우 " $i$ "이다.(같은 용어의 다른 지수 기호와 충돌하지 않는 한) 어떤 기호도 식의 의미를 변경하지 않고 " $i$ "를 대체할 수 있기 때문에 더미 지수라고도 불린다.

합산되지 않은 지수는 자유 지수이며 한 기간에 한 번만 표시되어야 합니다.이러한 지수가 나타나면 보통 방정식의 다른 모든 항에도 표시됩니다.자유지수의 예로는 $v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}$ $v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}$ $=$ $v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}$ $v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}$ $v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}$ x $v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}$ ( $a_displaystyle v_{i$ }= $a_{i}b_{j}x^{j$ 의 " $i$ "가 있는데, 이는 ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ $=$ ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ j ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ ( ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ x ) ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ \ $textstyle v_{i$ } =\ $sum$ _j ${i$ } {j $}$ 와 같다.

어플

아인슈타인 표기법은 약간 다른 방법으로 적용될 수 있다.일반적으로 각 지수는 한 기간 동안 상위(상위)에서 한 번, 하위(하위)에서 한 번 발생하지만, 이 규칙은 한 ^[2]기간 내에 반복되는 모든 지수에 더 일반적으로 적용될 수 있다.공변 벡터와 반변 벡터를 다룰 때, 지수의 위치가 벡터의 유형을 나타내는 경우, 첫 번째 경우가 적용된다. 공변 벡터는 계수의 곱의 합에 해당하는 반변 벡터와만 수축할 수 있다.한편, 고정 좌표 기준이 있는 경우(또는 좌표 벡터를 고려하지 않는 경우)에는 첨자만 사용할 수 있습니다. § 아래 첨자 대 첨자만 사용할 수 있습니다.

벡터 표현

위첨자 및 아래첨자 대 아래첨자만

벡터의 공분산 및 반차이의 관점에서,

상위 지수는 반변 벡터(반변 벡터)의 성분을 나타냅니다.
하위 지수는 공변 벡터(벡터)의 성분을 나타냅니다.

기준 변경과 관련하여 각각 반변적 또는 공변적으로 변환됩니다.

이 사실을 인식하기 위해 다음 표기법은 벡터 또는 코브터와 그 구성요소에 대해 다음과 같이 동일한 기호를 사용합니다.

\displaystyle { displaystyle { sparam { aligned }v = v^ { i } = sparam { bmatrix } { \ cdots & e _ { n } \ cdots & e _ { bmatrix } { \ \ v^ { 1 } \ v { \ v ^ { } \ v ^ \ v ^ \ v ^ \ v {\ \ v = { n \ w matrix }

$여기$ 서 v는 벡터, $v$ 는ⁱ 그 컴포넌트(ith $covector$ v가 아님), $w$ 는 코브터, $w$ 는_i 그 컴포넌트입니다.기본 벡터 $e_{i}$ $(\$ i $e_{i}$ })는 각 열 벡터이며, 코벡터 기본 $e^{i}$ $(\$ e $^{i})$ 는 $e^{i}$ 각 행 코벡터입니다(#추상 설명, 아래 이중성 및 예 참조).

비퇴화 형태( $예$ : 리만 메트릭 또는 민코프스키 메트릭 $)$ 가^∗ 있는 경우, 지수를 올리고 내릴 수 있다.

기초는 (이중 기초를 통해) 그러한 형태를 제공하므로, 유클리드 메트릭과 고정 직교 기준으로 R에 대해 $작업$ 할ⁿ 때, 첨자만 사용할 수 있는 옵션이 있다.

그러나 좌표를 변경하는 경우 계수가 변화하는 방법은 객체의 분산에 따라 다르며, 이 차이를 무시할 수 없습니다. 자세한 내용은 벡터의 공분산 및 반반전을 참조하십시오.

기억력

위의 예에서 벡터는 n × 1 행렬(컬럼 벡터)로 표시되고 코벡터는 1 × $n$ 행렬(행 코벡터)로 표시됩니다.

열 벡터 규칙을 사용하는 경우:

지수 상승은 상승, 하락은 좌회전이라고 말했다.
공변 텐서는 (공행-아래) 아래 지수를 가진 행 벡터라고 말했다.
코벡터는 행 벡터입니다. $({displaystyle {bmatrix} w_{1} &\cdots & w_{k}\end {bmatrix}).}$ 따라서 지수가 낮을수록 사용자가 속한 열이 표시됩니다.
반변 벡터는 열 벡터입니다. ${bmatrix}v^{1}\vdots\v^{k}\end{bmatrix}$ 따라서 상위 인덱스는 사용자가 어떤 행에 속하는지 나타냅니다.

추상적 설명

아인슈타인 표기법의 장점은 간단한 표기법으로 불변량을 나타낸다는 것이다.

물리학에서 스칼라는 기저 변환 하에서 불변합니다.특히 로렌츠 스칼라는 로렌츠 변환 하에서 불변합니다.합계의 개별 조건은 그렇지 않습니다.기저가 변경되면 벡터의 성분은 행렬에 의해 기술된 선형 변환에 의해 변화합니다.이것은 아인슈타인이 반복된 지수가 합계를 의미한다는 관례를 제안하게 만들었다.

코벡터는 역행렬에 의해 변화한다.이는 코브터와 관련된 선형 함수(위의 합계)가 기초가 무엇이든 동일함을 보증하기 위해 설계되었습니다.

아인슈타인 법칙의 가치는 텐서 곱과 이중성을 사용하여 V로 $만들어진$ 다른 벡터 공간에 적용된다는 것이다.예를 들어, $V$ 의 텐서 곱인 V $v$ V는 $e$ = $e i$ ⊗ $e j$ $형태$ 의_ij 텐서로 구성된 기저를 가진다.V $µ$ $V$ 의 $텐서$ T는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.}

$V$ 의 쌍수인 V*에는 규칙을 따르는 $기본 1$ e, $e 2$ , …, $e$ 가ⁿ 있습니다.

\displaystyle \mathbf {e}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\displaystyle _{j}^{i}.}

여기서 $θ$ 는 크로네커 델타입니다.~하듯이

\operatorname {Hom}(V,W)=V^{*}\otimes W

행렬의 행/열 좌표는 텐서 곱의 상위/하위 지수에 해당합니다.

이 표기의 공통 연산

아인슈타인 표기법에서는 $행렬$ A의 $A$ m $({displaystyle$ m $}$ 번째 $A_{mn}$ $m$ $n$ 과n({ $display$ $style$ A $})$ $번째$ $n$ 열에 대한 일반적인 요소 $A_{mn}$ A $A_{mn}$ n $({$ $displaystyle A})$ 은 A m n $({display$ style ${A^{m}}_{n$ 이 ${A^{m}}_{n}$ .이 아인슈타인 표기법으로 다음과 같은 연산을 쓸 수 있습니다.