특수 상대성 및 일반 상대성에서의 각도 운동량
물리학 에서 상대론적 각운동량 은 특수상대성 (SR)과 일반상대성 (GR)에서 각운동량 을 정의하는 수학적 형식과 물리적 개념을 말한다.상대론적 양은 고전역학 에서 3차원적 양과는 미묘하게 다르다.
각운동량은 위치와 운동량에서 파생되는 중요한 동력학적 양이다. 물체의 회전 운동과 회전을 멈추기 위한 저항의 척도다. 또한, 운동량 보존이 변환 대칭에 해당하는 것과 같은 방법으로, 각 운동량 보존은 회전 대칭에 해당된다 – 대칭 과 보존 법칙 사이의 연결은 노에더의 정리 에 의해 이루어진다. 이러한 개념들은 원래 고전 역학 에서 발견되었지만, 특수 상대성 및 일반 상대성에서도 진실하고 유의하다. 추상 대수학의 관점에서 각운동량, 4-모멘텀, 그리고 스페이스타임의 다른 대칭들의 불변성은 로렌츠 그룹 , 또는 더 일반적으로 푸앵카레 그룹 에 의해 설명된다.
고전물리학에서 별개로 남아 있는 물리량 은 상대성 이론의 체관을 시행함으로써 SR과 GR에서 자연적 으로 결합된다. 가장 주목할 만한 것은 공간과 시간 좌표가 합쳐져 4개의 위치 가 되고, 에너지와 운동량이 합쳐져 4개의 순간 이 된다. 이들 4-벡터 의 성분은 사용된 기준 프레임 에 따라 달라지며, 로렌츠 변환 에 따라 다른 관성 프레임이나 가속 프레임으로 변화한다.
상대론적 각운동량은 덜 뚜렷하다. 각운동량의 고전적 정의는 유사벡터 x x 모멘텀 p를 가진 위치 x의 교차 생산물 또는 2차 대칭 텐서 p p를 얻기 위한 외부 제품 으로서의 대안이다. 이것과 뭐가 결합되는 겁니까? 자주 논의되지 않는 또 다른 벡터 양이 있다 – 이것은 시스템의 질량 중심 부스트와 관련된 질량 극성 벡터의 시간 변동 모멘트(관성 모멘트 가 아님 )이며, 이는 고전적인 각운동량 가성계와 결합하여 전기 F와 정확히 동일한 방식으로 2차 순서의 대칭 텐터 를 형성한다. ield 극지방은 자기장 유사촉자와 결합하여 전자기장 대칭 텐서를 형성한다. 점 모양의 입자가 아닌 회전 질량 에너지 분포(자이로스코프 , 행성 , 별 , 블랙홀 등)의 경우 각운동 텐서 는 회전 물체의 응력-에너지 텐서 단위로 표현된다.
특수상대성이론만 해도 회전하는 물체의 나머지 프레임 에는 점 입자가 아닌 확장된 신체에 대해서는 그렇지만 양자역학 과 상대론적 양자역학 에서 "spin"과 유사한 본질적인 각운동량이 있다. 상대론적 양자역학에서, 기초 입자 는 스핀 궤도 각도 운동량 연산자에 추가 기여하여 총 각도 운동량 텐서 연산자를 산출한다. 어떤 경우든, 물체의 궤도 각도 운동량에 추가되는 본질적인 "spin"은 Pauli-Lubanski 유사점자 단위로 표현될 수 있다.[1]
정의들 순간 3-위치 x 와 3-모멘텀 p 를 갖는 질량 m 입자의 이벡터 (평면요소) 및 축 벡터 로서의 3-사각형 운동량. 궤도 3d 각도 운동량 참조와 배경에 대해, 두 가지 밀접하게 관련된 각도 운동량이 주어진다.
고전역학 에서 순간적인 3차원 위치 벡터 x = (x , y, z )와 운동량 벡터 p = (px , p, py , pz )를 가진 입자의 궤도 각도 운동량은 축 벡터
L = x × p {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} } 여기에는 세 가지 구성요소가 있으며, 이러한 구성요소는 데카르트 방향 의 주기적 순열 에 의해 체계적으로 제시된다(예: x를 y로, y를 z로, z를 x로, 반복으로 변경).
L x = y p z − z p y , L y = z p x − x p z , L z = x p y − y p x . {\displaystyle {\reasoned} L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\\\\\l_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\\l_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,\,\,\, }, _{x}-y}-yp_{x},}\,\,\,. \end{정렬}}} 관련 정의는 궤도 각도 운동량을 평면 요소 로 간주하는 것이다. 이 는 외부 대수 언어에서 외부 제품 에 의한 교차 제품을 대체함으로써 얻을 수 있으며, 각운동량은 대칭 2차 대칭 텐서 가[2]
L = x ∧ p {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p}} 또는 쓰기 x = (x1 2 , x, x 3 ) = (x , y , z ) 및 모멘텀 벡터 p = (p1 2 , p, p 3 ) = (p, p, p) = (px , p, p) = (p, p, pz ) = (p, py )는 텐서 인덱스 표기법 으로 컴팩트하게 축약할 수 있다.
L i j = x i p j − x j p i {\displaystyle L^{ij}=x^{i^{j}-x^{j}p^{i}}}} 여기서 지수 i 와 j 는 1, 2, 3의 값을 취한다. 반면에 구성 요소는 3 × 3 대칭행렬 로 체계적으로 표시될 수 있다.
L = ( L 11 L 12 L 13 L 21 L 22 L 23 L 31 L 32 L 33 ) = ( 0 L x y L x z L y x 0 L y z L z x L z y 0 ) = ( 0 L x y − L z x − L x y 0 L y z L z x − L y z 0 ) = ( 0 x p y − y p x − ( z p x − x p z ) − ( x p y − y p x ) 0 y p z − z p y z p x − x p z − ( y p z − z p y ) 0 ) {\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\ L^{21}&L^{22}&L^{23}\\ L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0> L_{xy}&L_{xz}\\ L_{yx}&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&L_{zy}&L_{0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&#&################################## L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&############################ L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}} 이 양은 첨가물이며, 격리된 시스템의 경우 시스템의 총 각도 운동량이 보존된다.
동적 질량 모멘트 고전역학에서, 속도 [2] [3] m 입자의 3차원 양
N = m ( x − t u ) = m x − t p {\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p}}}}}} 질량 모멘트 의 치수 – 길이에 질량을 곱함.실험실 프레임 에서 측정한 바와 같이, 시발점(t =0)에서 질량 중심까지의 거리(COM)로 곱한 입자 또는 입자 체계의 질량과 같다.이 수량에 대한 보편적인 상징도, 심지어 보편적인 이름도 없다. 다른 저자는 다른 기호(예 : μ)로 이것을 나타낼 수 있고, 다른 이름을 지정할 수 있으며, N 을 여기서 사용되는 것의 음수로 정의할 수 있다. 위의 형태는 위치에 대한 익숙한 갈릴레이식 변환 과 유사하다는 장점이 있으며, 이는 관성 프레임 사이의 비-재활성적 부스트 변환이다.
이 벡터는 또한 첨가물이다: 입자의 시스템에 대해, 벡터 합은 결과물이다.
∑ n N n = ∑ n m n ( x n − t u n ) = ( x C O M ∑ n m n − t ∑ n m n u n ) = M T O T ( x C O M − u C O M t ) {\displaystyle \sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right) =M_{\mathrm {TOT}}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM}-\mathbf {u} _{\mathrm {COM}}t)} 여기서 시스템의 질량 위치 와 속도 및 총 질량의 중심은 각각 다음과 같다.
x C O M = ∑ n m n x n ∑ n m n {\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {COM} }={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}}} u C O M = ∑ n m n u n ∑ n m n {\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {COM} }={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_ {{n M T O T ∑n m n {\ displaystyle M_{\mathrm {TOT}}=\sum _{n}m_{n 고립된 시스템의 경우 N 은 시간적으로 보존되며, 이는 시간에 따라 차별화함으로써 볼 수 있다. 각운동량 L 은 유사벡터지만, N 은 "일반" (극) 벡터로서, 따라서 반전하에서는 불변한다.
다중문자 시스템의 결과물 N 은total 모든 입자의 복잡한 움직임이 무엇이든 시스템의 COM이 일직선으로 움직이는 물리적 시각화를 가지고 있다. 이것은 반드시 모든 입자가 COM을 "따라가는" 것을 의미하지 않으며, 모든 입자가 거의 동일한 방향으로 동시에 움직인다는 것을 의미하지 않으며, 단지 모든 입자의 움직임이 질량 중심을 기준으로 제한된다.
특수상대성이론에서, 만약 입자가 실험실 프레임에 상대적인 속도 로 움직인다면,
E = γ ( u ) m 0 c 2 , p = γ ( u ) m 0 u {\displaystyle E=\gamma(\mathbf {u} )m_{0}c^{2},\quad \mathbf {p} =\gamma(\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u}}}}}}}}}}} 어디에
γ ( u ) = 1 1 − u ⋅ u c 2 {\displaystyle \mathbf {u}={\frac {1}{\\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u}{c^{2}}}}}}}}}}}} 로렌츠 인자 및 m 은 입자의 질량(즉, 나머지 질량)이다.같은 실험실 틀 에서 m, u , p , E의 관점에서 대응하는 상대론적 질량 모멘트는
N = E c 2 x − p t = m γ ( u ) ( x − u t ) . {\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {E}{c^}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gma(\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t) } 데카르트 구성 요소는
N x = m x − p x t = E c 2 x − p x t = m γ ( u ) ( x − u x t ) N y = m y − p y t = E c 2 y − p y t = m γ ( u ) ( y − u y t ) N z = m z − p z t = E c 2 z − p z t = m γ ( u ) ( z − u z t ) {\displaystyle {\reasoned} N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}:x-p_{x}t=m\감마(u)(x-u_{x}t)\\ N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}:y-p_{2}}:y-p_{y}t=m\감마(u-u_{y}t)\ \N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}:z-p}t=m\gamma(u)(z-u_{z}t)\ended}}}}}}} 특수상대성 x 방향의 부스트 변환 좌표 일치 xx′ 축의 방향을 따라 다른 프레임 F에 대해 속도 v = (v , 0, 0)로 이동하는 좌표 프레임 F f을 고려한다. 두 좌표 프레임의 기원은 t = t ′ = 0에 일치한다. 질량 에너지 E = 물체의 mc 2 및 운동량 성분 p = (px , p, pz ) = (p, py , p) = (x , y , z ) 및 프레임 F의 위치 좌표 t 는 로렌츠 변환 에 따라 E according = m mc 2 , p ′ = (px ′, py z p, p ′), x′ = (x , y y , z′), t′로 변환된다.
t ′ = γ ( v ) ( t − v x c 2 ) , E ′ = γ ( v ) ( E − v p x ) x ′ = γ ( v ) ( x − v t ) , p x ′ = γ ( v ) ( p x − v E c 2 ) y ′ = y , p y ′ = p y z ′ = z , p z ′ = p z {\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right) \\y&=y\\\p_{y}'&=p_{p_{y}\&=p_{y}\z}\j'\p_{z}'&=p_{z}\\end}}}}} 여기서 로렌츠 인수는 프레임 사이의 상대 속도 인 v 속도에 적용된다. 이것은 물체의 속도 u 와 반드시 같은 것은 아니다.
궤도 3각 모멘텀 L 의 경우, 유사벡터로서,
L x ′ = y ′ p z ′ − z ′ p y ′ = L x L y ′ = z ′ p x ′ − x ′ p z ′ = γ ( v ) ( L y − v N z ) L z ′ = x ′ p y ′ − y ′ p x ′ = γ ( v ) ( L z + v N y ) {\displaystyle {\reasoned} L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\ L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma(v)(L_{y}-vN_{z})\\ L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\감마(v)(L_{z}+vN_{y}) \\end{aigned}} 파생
x-구성 요소의 경우
L x ′ = y ′ p z ′ − z ′ p y ′ = y p z − z p y = L x {\displaystyle L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}}}} y 성분
L y ′ = z ′ p x ′ − x ′ p z ′ = z γ ( p x − v E c 2 ) − γ ( x − v t ) p z = γ [ z p x − z v E c 2 − x p z + v t p z ] = γ [ ( z p x − x p z ) + v ( p z t − z E c 2 ) ] = γ ( L y − v N z ) {\displaystyle {\reasoned} L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\ \&=\gamma \left[\좌측(zp_{x}-xp_{z}\우측)]+v\좌측(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}\우측)\우측]\ \&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\오른쪽)\end{aigned}}} 및 z-구성 요소
L z ′ = x ′ p y ′ − y ′ p x ′ = γ ( x − v t ) p y − y γ ( p x − v E c 2 ) = γ [ x p y − v t p y − y p x + y v E c 2 ] = γ [ ( x p y − y p x ) + v ( y E c 2 − t p y ) ] = γ ( L z + v N y ) {\displaystyle {\reasoned} L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-{y}-{p_{x}-{c^{vE}}}\right)\\\ \&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\prac {vE}{c^{2}}}\오른쪽]\ \&=\gamma \좌측[\xp_{y}-yp_{x}\우측)+v\좌측(y{\frac {E}{c^{2}}-tp_{y}\우측)\우측]\ \&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\오른쪽)\end{aigned}}} Ly ′와 Lz ′의 두 번째 용어에서, 교차x 제품 v ×N 의 y 와 z 구성요소는 N 의 구성요소와 v = v = vy = 0 의z 주기적 순열 을 인식하여 추론할 수 있다.
− v N z = v z N x − v x N z = ( v × N ) y v N y = v x N y − v y N x = ( v × N ) z {\displaystyle {\begin{aigned}-vN_{z}&=v_{z} N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}} 현재 L 은x 상대 속도 v 에 평행하고, 다른 구성 요소 L 과y L 은z v 에 수직이다. 수직-수직 대응은 각 프레임에서 3사각형 모멘텀 유사점자를 평행(수직) 및 수직(수직) v 로 분할하여 촉진할 수 있다.
L = L ∥ + L ⊥ , L ′ = L ∥ ′ + L ⊥ ′ . {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }\\\quad \mathbf {L}'=\mathbf {L}=\parallel {L}+\mathbf {L}, {L}, _{perp}\}\}\, } 그런 다음 성분 방정식을 유사벡터 방정식으로 수집할 수 있다.
L ∥ ′ = L ∥ L ⊥ ′ = γ ( v ) ( L ⊥ + v × N ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}} 따라서 운동 방향을 따라 각운동량의 구성요소는 변하지 않는 반면, 구성요소는 수직으로 변한다. 공간과 시간의 변환과는 대조적으로, 시간과 공간 좌표는 움직임의 방향을 따라 변하는 반면, 수직 좌표는 그렇지 않다.
이러한 변환은 xx′ 축을 따라 움직이는 것만이 아니라 모든 v 에 적용된다.
L 을 텐서(tensor)로 생각하면 비슷한 결과를 얻을 수 있다.
L ⊥ ′ = γ ( v ) ( L ⊥ + v ∧ N ) {\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }=\gamma(\mathbf {v} )\왼쪽(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N}\rig)} 어디에
v z N x − v x N z = ( v ∧ N ) z x v x N y − v y N x = ( v ∧ N ) x y {\displaystyle {\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}} x 방향을 따라가는 동적 질량 모멘트의 부스트는
N x ′ = m ′ x ′ − p x ′ t ′ = N x N y ′ = m ′ y ′ − p y ′ t ′ = γ ( v ) ( N y + v L z c 2 ) N z ′ = m ′ z ′ − p z ′ t ′ = γ ( v ) ( N z − v L y c 2 ) {\displaystyle {\reasoned} N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t=N_{x}\ \N_{y}'&=m'-p_{y}'t=\gamma(v)\좌측(N_{y}+{\frac{vL_}}{c^{2}}}\오른쪽)\ \N_{z}'&=mz'-p_{z}'t=\gamma(v)\좌측(N_{z}-{\frac {vL_{y}}}{c^{2}}}\끝{aigned}}}}}}}}}} 파생
x-구성 요소의 경우
N x ′ = E ′ c 2 x ′ − t ′ p x ′ = γ c 2 ( E − v p x ) γ ( x − v t ) − γ ( t − x v c 2 ) γ ( p x − v E c 2 ) = γ 2 [ 1 c 2 ( E − v p x ) ( x − v t ) − ( t − x v c 2 ) ( p x − v E c 2 ) ] = γ 2 [ E x c 2 − E v t c 2 − v p x x c 2 + v p x v t c 2 − t p x + x v c 2 p x + t v E c 2 − x v c 2 v E c 2 ] = γ 2 [ E x c 2 − E v t c 2 − v p x x c 2 + v 2 c 2 p x t − t p x + x v c 2 p x + t v E c 2 − v 2 c 2 E x c 2 ] = γ 2 [ ( E x c 2 − t p x ) + v 2 c 2 ( p x t − E x c 2 ) ] = γ 2 [ 1 − v 2 c 2 ] N x = γ 2 1 γ 2 N x {\displaystyle {\reasoned} N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\ \&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\ \&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\ \&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\ \&=\gamma^{2}\왼쪽({\frac {Ex}{c^{2}}-tp_{x}\오른쪽)+{\frac {v^{2}}:{c^{2}}:}\왼쪽(p_{x}t-{\frac}{c^{2}}:}\오른쪽)] \&=\cHB ^{2}\왼쪽[1-{\frac {v^{2}}:{c^{2}}:}\오른쪽] N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}N_{x}\ended}}}}} y 성분
N y ′ = E ′ c 2 y ′ − t ′ p y ′ = 1 c 2 γ ( E − v p x ) y − γ ( t − x v c 2 ) p y = γ [ 1 c 2 ( E − v p x ) y − ( t − x v c 2 ) p y ] = γ [ 1 c 2 E y − 1 c 2 v p x y − t p y + x v c 2 p y ] = γ [ ( 1 c 2 E y − t p y ) + v c 2 ( x p y − y p x ) ] = γ ( N y + v c 2 L z ) {\displaystyle {\reasoned} N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2 }}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\ \&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}:Ey-{1}{1}{c^{1}{2}}:vp_{x}y-tp_{y}+{xv}{xv}{c^}{2}}:p_{y}\오른쪽]\ \&=\gamma \left[\frac {1}{c^{2}}:Ey-tp_{y}\오른쪽)+{\frac {v}{c^{2}}(xp_{y}-yp_{x}\오른쪽)\\ \&=\gamma \left(N_{y}+{\fract {v}{c^{2}}L_{z}\오른쪽)\ended{aigned}}}}}} 및 z-구성 요소
N z ′ = E ′ c 2 z ′ − t ′ p z ′ = 1 c 2 γ ( E − v p x ) z − γ ( t − x v c 2 ) p z = γ [ 1 c 2 ( E − v p x ) z − ( t − x v c 2 ) p z ] = γ [ 1 c 2 E z − 1 c 2 v p z z − t p z + x v c 2 p z ] = γ [ ( 1 c 2 E z − t p z ) + v c 2 ( x p z − z p x ) ] = γ ( N z − v c 2 L y ) {\displaystyle {\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\ \&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}Ez-{\frac {1}{1}{c^{1}:{2}}:vp_{z}tp_{z}+{xv}{xv}{c^}{2}}:p_{z}\오른쪽]\ \&=\gamma \left[\frac {1}{c^{2}}:Ez-tp_{z}\오른쪽)+{\frac {v}{c^{2}}(xp_{z}-zp_{x}\right]\\ \&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}:} L_{y}\오른쪽)\end{aigned}} 이전과 같이 병렬 및 수직 구성 요소 수집
N ∥ ′ = N ∥ N ⊥ ′ = γ ( v ) ( N ⊥ − 1 c 2 v × L ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}} 다시 말하지만, 상대 운동 방향에 평행한 구성 요소들은 변하지 않고, 수직은 변한다.
모든 방향에서 부스트를 위한 벡터 변환 지금까지 이것들은 벡터의 평행하고 수직적인 분해일 뿐이다. 전체 벡터의 변환은 다음과 같이 구성될 수 있다(여기서 L 은 벡터 대수와의 호환성과 구체성을 위한 유사 벡터임).
n = v /v 로 주어진 v 방향 으로 단위 벡터 를 소개한다.병렬 구성 요소는 L 또는 N 의 벡터 투영 에 의해 n 으로 주어진다.
L ∥ = ( L ⋅ n ) n , N ∥ = ( N ⋅ n ) n {\displaystyle \mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {n} )\cdot \mathbf {n}\cdot \mathbf {n}=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n}}}}}}}}}}. 반면 , N 에서 L 또는 N의 벡터 제거에 의한 수직 구성 요소
L ⊥ = L − ( L ⋅ n ) n , N ⊥ = N − ( N ⋅ n ) n {\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} } 그리고 변화들은
L ′ = γ ( v ) ( L + v n × N ) − ( γ ( v ) − 1 ) ( L ⋅ n ) n N ′ = γ ( v ) ( N − v c 2 n × L ) − ( γ ( v ) − 1 ) ( N ⋅ n ) n {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{L}'&, =\gamma(\mathbf{v})(\mathbf{L}+v\mathbf{n}\times \mathbf{N})-(\gamma(\mathbf{v})-1)(\mathbf{L}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}\\\mathbf{N}'&, =\gamma(\mathbf{v})\left(\mathbf{N}-{\frac{v}{c^{2}}}\mathbf{n}\mathbf{L}\times \right)-(\gamma(\mathbf{v})-1)(\mathbf{N}\cdot. \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{arged}} 또는 v = vn
L ′ = γ ( v ) ( L + v × N ) − ( γ ( v ) − 1 ) ( L ⋅ v ) v v 2 N ′ = γ ( v ) ( N − 1 c 2 v × L ) − ( γ ( v ) − 1 ) ( N ⋅ v ) v v 2 {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{L}'&, =\gamma(\mathbf{v})(\mathbf{L}+\mathbf{v}\times \mathbf{N})-(\gamma(\mathbf{v})-1){\frac{(\mathbf{L}\cdot{v}\mathbf)\mathbf{v}}{v^{2}}}\\\mathbf{N}'&, =\gamma(\mathbf{v})\left(\mathbf{N}-{\frac{1}{{2}}c^}\mathbf{v}\mathbf{L}\right \times)-(\gamma(\mathbf{v})-1){\f.rac{() atsbf {N} \cdot \mathbf {v}\mathbf {v} {v}{v^{2}}\\\ended}}}}} 이것들은 전기장 E 와 자기장 B 의 로렌츠 변환과 매우 유사하다. 고전적 전자석학 및 특수 상대성 을 참조하라.
대안적으로, 시간, 공간, 에너지 및 운동량의 벡터 로렌츠 변환에서 시작하여, 속도 v로 부스트,
t ′ = γ ( v ) ( t − v ⋅ r c 2 ) , r ′ = r + γ ( v ) − 1 v 2 ( r ⋅ v ) v − γ ( v ) t v , p ′ = p + γ ( v ) − 1 v 2 ( p ⋅ v ) v − γ ( v ) E c 2 v , E ′ = γ ( v ) ( E − v ⋅ p ) , {\displaystyle{\begin{정렬}t'&, =\gamma(\mathbf{v})\left(t-{\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{r}}{{2}}c^}\right)\,,\\\mathbf{r}'&, =\mathbf{r}+{\frac{\gamma)}{v^{2}}}(\mathbf{r}\cdot{v}\mathbf)\mathbf{v}-\gamma(\mathbf{v})t\mathbf{v}\,,\\\mathbf{p}'&, =\mathbf{p}+{\frac{\gamma)}{v^.{2}}}(\mathb f {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}} 이것들을 정의에 넣는다.
L ′ = r ′ × p ′ , N ′ = E ′ c 2 r ′ − t ′ p ′ {\displaystyle \mathbf{L} '=\mathbf {r}'\times \mathbf {p} {p}\...\quad \mathbf {N}={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {p}'}}}}} 변형된 모습을 보여주지
직접 벡터 변환 파생
각 프레임의 궤도 각도 운동량은
L ′ = r ′ × p ′ , L = r × p {\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {r}'\times \mathbf {p}\chod \mathbf {L} =\times \mathbf {p}}}} 변혁의 교차적 산물인
L ′ = [ r + ( γ − 1 ) ( r ⋅ n ) n − γ t v n ] × [ p + ( γ − 1 ) ( p ⋅ n ) n − γ E c 2 v n ] = [ r + ( γ − 1 ) ( r ⋅ n ) n − γ t v n ] × p + ( γ − 1 ) ( p ⋅ n ) [ r + ( γ − 1 ) ( r ⋅ n ) n − γ t v n ] × n − γ E c 2 v [ r + ( γ − 1 ) ( r ⋅ n ) n − γ t v n ] × n = r × p + ( γ − 1 ) ( r ⋅ n ) n × p − γ t v n × p + ( γ − 1 ) ( p ⋅ n ) r × n − γ E c 2 v r × n = L + [ γ − 1 v 2 ( r ⋅ v ) − γ t ] v × p + [ γ − 1 v 2 ( p ⋅ v ) − γ E c 2 ] r × v = L + v × [ ( γ − 1 v 2 ( r ⋅ v ) − γ t ) p − ( γ − 1 v 2 ( p ⋅ v ) − γ E c 2 ) r ] = L + v × [ γ − 1 v 2 ( ( r ⋅ v ) p − ( p ⋅ v ) r ) + γ ( E c 2 r − t p ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\ \&, =[\mathbf{r}+(\gamma-1)(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}-\gamma{ntv\mathbf}]\times \mathbf{p}+ᆪᆫ[\mathbf{r}+(\gamma-1)(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}-\gamma{ntv\mathbf}]\times}}v경우 \mathbf{r}+(\gamma))(\mathbf{r}\cdot \mathb{n}-\gamma{\frac{E}{c^{2}\mathbf.f{n })\mathbf{n}-\gamma tv\mathbf{n}];\mathbf{p}+(\gamma))(\mathbf{p}\cdot{n\mathbf})\mathbf{r}\times{n}-\gamma{\frac{E}{c^{2}\mathbf}}{r}\times \mathbf{n}\\&am v\mathbf{n}\times{p}-\gamma tv\mathbf{n}\times \mathbf =\mathbf{r}\times{p}+(\gamma))(\mathbf{r}\cdot{n\mathbf})\mathbf \mathbf\mathbf{n}\\& \times.p/&=\math Bf{r}\times{v}\\& \mathbf{L}+\left[{\frac{\gamma)}{{2}v^}}({r}\cdot\mathbf{v})\mathbf -\gamma t\right]\mathbf{v}\times{p}+\left[{\frac{\gamma)}{{2}v^}}({p}\cdot\mathbf{v})\mathbf -\gamma{\frac{E}{c^{2}}}\right]\mathbf \mathbf, =\mathbf{L}+\mathbf{v}\times \left는 경우에는 \left({\frac{\gamma)}{v^{2}}}(\mathbf{r}\cdot \math.남자 친구{ v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\좌측({\frac {\gamma -1}{v^{2}}(\mathbf {p}\cdot \mathbf {v} )-\\gammathbf {r}{c^{2}}\rimathb {r}\rig}\오른쪽] \&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}} 트리플 제품 규칙 사용
a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) ( a × b ) × c = ( c ⋅ a ) b − ( c ⋅ b ) a {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}} 주다
( r × p ) × v = ( v ⋅ r ) p − ( v ⋅ p ) r ( v ⋅ r ) p − ( v ⋅ p ) r = L × v {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}} 그리고 N의 정의와 함께 우리는
L ′ = L + v × [ γ − 1 v 2 L × v + γ N ] {\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \time \{\frac {\gamma -1}{v^{2}}:}\mathbf {N} \tright}} 장치 벡터 n 을 다시 설치하는 중,
L ′ = L + n × [ ( γ − 1 ) L × n + v γ N ] {\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\mathbf {N} 변형에서 왼쪽에는 n 과 교차된 제품이 있기 때문에,
n × ( L × n ) = L ( n ⋅ n ) − n ( n ⋅ L ) = L − n ( n ⋅ L ) {\displaystyle \mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )} 그때
L ′ = L + ( γ − 1 ) ( L − n ( n ⋅ L ) ) + β γ c n × N = γ ( L + v n × N ) − ( γ − 1 ) n ( n ⋅ L ) {\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )} 4d 바이벡터로서의 각운동량 상대론적 역학에서 회전하는 물체의 COM 부스트와 궤도 3공간 각운동량은 물체의[4] [5] 4-위치 X와 4-모멘텀 P 측면 에서 4차원 이벡터 로 결합된다.
M = X ∧ P {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P}} 구성 요소에서
M α β = X α P β − X β P α {\displaystyle M^{\alpha \beta \}=X^{\p^{\p^{\p^{}-X^{}P^{\p^{\alpha }}}}}}}} 총 6개의 독립된 수량이 그것이다. X 와 P 의 성분은 프레임에 의존하기 때문에 M 도 마찬가지다.세 가지 구성 요소
M i j = x i p j − x j p i = L i j {\displaystyle M^{ij}=x^{i^{j}-x^{j}p^{i}= L^{ij}} 익숙한 고전적인 3공간 궤도 각도 운동량 및 나머지 3개
M 0 i = x 0 p i − x i p 0 = c ( t p i − x i E c 2 ) = − c N i {\displaystyle M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{0}}p^{0}=c\,\좌측(tp^{i}-x^{i}{\i}{\frac {c^{c^{2}}}\오른쪽)=-cN^{i}}}}}}} 상대론적 질량 모멘트에 -c를 곱한 것이다. 텐서는 비대칭이다.
M α β = − M β α {\displaystyle M^{\alpha \beta \beta }=-M^{\beta \alpha }}}} 텐서의 구성요소는 매트릭스 로 체계적으로 표시될 수 있다.
M = ( M 00 M 01 M 02 M 03 M 10 M 11 M 12 M 13 M 20 M 21 M 22 M 23 M 30 M 31 M 32 M 33 ) = ( 0 − N 1 c − N 2 c − N 3 c N 1 c 0 L 12 − L 31 N 2 c − L 12 0 L 23 N 3 c L 31 − L 23 0 ) = ( 0 − N c N T c x ∧ p ) {\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix} M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\ M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\ M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\ M^{30}&.M^{31일}&.M^{32}&.M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&, =\left({\begin{배열}{cccc}0&, -N^{1}c&, -N^{2}c&, -N^{3}c\\\hline N^{1}c&, 0&.L^{12}&, -L^{31일}\\N^{2}c&, -L^{12}&, 0&.L^{23}\\N^{3}c&.L^{31일}&, -L^{23}&, 0\end{배열}}\right)\\[3pt]&, =\left({\begin{배열}{cc}0&, -\mathbf{N}c\\\hline \mathbf{N}^{\mathrm{T}}c&, \mathbf{x}\wedge \mathbf{p}\\\end{배열}}\right)\end{알. 구릿빛}} 여기서 마지막 배열은 N 을 열 벡터 N 으로T 변환 하는 행 벡터 로 처리하고, x p 대칭 행렬 로 처리함으로써 형성된 블록 행렬 이다. 선은 블록이 어디에 있는지 보여주기 위해 삽입될 뿐이다.
다시 말하지만, 이 텐서는 가법이다: 시스템의 총 각운동량은 시스템의 각 구성 요소에 대한 각운동량 텐터의 합이다.
M t o t a l = ∑ n M n = ∑ n X n ∧ P n . {\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {total} }=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}\mathbf {X} _{n}\mathbf _wedge \mathbf {P} _{n}\}\, {n}\,}\, . } 6개의 각 구성요소는 다른 객체 및 필드에 대한 해당 구성요소와 통합될 때 보존된 수량을 형성한다.
각운동량 텐서 M 은 실제로 텐서이며, 성분은 텐서 지수 표기법 에 의해 일반적인 방법으로 설명했듯이 로렌츠 변환 매트릭스 λ에 따라 변화한다.
M ′ α β = X ′ α P ′ β − X ′ β P ′ α = Λ α γ X γ Λ β δ P δ − Λ β δ X δ Λ α γ P γ = Λ α γ Λ β δ ( X γ P δ − X δ P γ ) = Λ α γ Λ β δ M γ δ , {\displaystyle{\begin{정렬}{M'}^{\alpha \beta}&, ={X'}^{\alpha}{P의}^{\beta}-{X'}^{\beta}{P의}^{\alpha}\\&, ={\Lambda ^{\alpha}}_{\gamma}X^{\gamma}{\Lambda ^{\beta}}_{\delta}P^{\delta}-{\Lambda ^{\beta}}_{\delta}X^{\delta}{\Lambda ^{\alpha}}_{\gamma}P^{\gamma}\\&, ={\Lambda ^{\alpha}}_{\gamma}{\Lambda ^{\beta}}_{\delta}.\left(X^{\ga mma }P^{}P^{\delta }-X^{}P^{\gamma }\오른쪽)\ \&={\Lambda ^{\alpha ^}{\\\gamma }{\Lambda ^{\\delta }}{\delta }}},} 여기서, 정규화된 속도 β = v c
Λ 0 0 = γ Λ i 0 = Λ 0 i = − γ β i Λ i j = δ i j + γ − 1 β 2 β i β j {\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}} 그리고 공변량 β와 β 의i 반동성 βi 성분은 매개변수에 불과하므로 동일하다.
즉, 로렌츠가 네 가지 위치와 네 개의 모멘텀을 개별적으로 변환한 다음 새로 발견된 구성 요소들을 대칭하여 새 프레임의 각 모멘텀 텐서를 얻을 수 있다.
텐서 변환에서 파생된 벡터 변환
부스트 구성 요소의 변환은
M ′ k 0 = Λ k μ Λ 0 ν M μ ν = Λ k 0 Λ 0 0 M 00 + Λ k i Λ 0 0 M i 0 + Λ k 0 Λ 0 j M 0 j + Λ k i Λ 0 j M i j = ( Λ k i Λ 0 0 − Λ k 0 Λ 0 i ) M i 0 + Λ k i Λ 0 j M i j {\displaystyle {\reasoned} M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0}}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right) M^{i0}+{\Lambda ^{k}_{i}{\Lambda ^{0}_{j}M^{ij}\\ended{aligned}}}}}}}} 궤도 각도 운동량에 대해서는
M ′ k ℓ = Λ k μ Λ ℓ ν M μ ν = Λ k 0 Λ ℓ 0 M 00 + Λ k i Λ ℓ 0 M i 0 + Λ k 0 Λ ℓ j M 0 j + Λ k i Λ ℓ j M i j = ( Λ k i Λ ℓ 0 − Λ k 0 Λ ℓ i ) M i 0 + Λ k i Λ ℓ j M i j {\displaystyle{\begin{정렬}{M'}^{k\ell}&, ={\Lambda ^{km그리고 4.9초 만}}_{\mu}{\Lambda ^{\ell}}_{\nu}M^{\mu \nu}\\&, ={\Lambda ^{km그리고 4.9초 만}}_{0}{\Lambda ^{\ell}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{km그리고 4.9초 만}}_{나는}{\Lambda ^{\ell}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{km그리고 4.9초 만}}_{0}{\Lambda ^{\ell}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{km그리고 4.9초 만}}_{나는}{\Lambda ^{\ell}}_{j}M^{ij}\\&, =\left(}{\Lambda ^{km그리고 4.9초 만}_{나는}{\Lambda ^{\ell.}}_{0}-{)라 mbda ^{k}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\오른쪽) M^{i0}+{\Lambda ^{k}_{i}{\Lambda ^{\ell }}{j}M^{ij}\ended}}}}}}}} 로렌츠 변환 항목의 식은
Λ k i Λ ℓ 0 − Λ k 0 Λ ℓ i = [ δ k i + γ − 1 β 2 β k β i ] ( − γ β ℓ ) − ( − γ β k ) [ δ ℓ i + γ − 1 β 2 β ℓ β i ] = γ [ β k δ ℓ i − β ℓ δ k i ] Λ k i Λ 0 0 − Λ k 0 Λ 0 i = [ δ k i + γ − 1 β 2 β k β i ] γ − ( − γ β k ) ( − γ β i ) = γ [ δ k i + γ − 1 β 2 β k β i − γ β k β i ] = γ [ δ k i + ( γ − 1 β 2 − γ ) β k β i ] = γ [ δ k i + ( γ − γ β 2 − 1 β 2 ) β k β i ] = γ [ δ k i + ( γ − 1 − 1 β 2 ) β k β i ] = γ δ k i − [ γ − 1 β 2 ] β k β i Λ k i Λ ℓ j = [ δ k i + γ − 1 β 2 β k β i ] [ δ ℓ j + γ − 1 β 2 β ℓ β j ] = δ k i δ ℓ j + γ − 1 β 2 δ k i β ℓ β j + γ − 1 β 2 β k β i δ ℓ j + γ − 1 β 2 γ − 1 β 2 β ℓ β j β k β i {\displaystyle{\begin{정렬}{\Lambda ^{km그리고 4.9초 만}}_{나는}{\Lambda ^{\ell}}_{0}-{\Lambda ^{km그리고 4.9초 만}}_{0}{\Lambda ^{\ell}}_{나는}&, =\left[{\delta ^{k}}_{나는}와{\frac{\gamma)}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta_{나는}\right]\left(-\gamma\beta ^{\ell}\right)-\left(-\gamma\beta ^{k}\right)\left는 경우에는{\delta ^{\ell}}_{나는}+{\frac{\gamma)}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell}\beta _{나는}.\rig ht]\\\&=\reft[\reft ^{k}{\reft ^{\reft ^{\el}-}-\reft ^{k}_{i}\right]\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cHBFFFFFFFFF\light} \{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i}) \\&=\i1}왼쪽[{\frac ^{k}_{i}+{\frac {\fract -1}{\frac {\properties ^{2}}\{k}\filency _{i}-\filences \i}\i}\filencline ^{i}\ript \ript \right]\now]\\ \&=\i1\reft[{\i1}_{k}}+\frac{\reft -1}{\reflict -1}{\no@}-\reflict \i1}\i1}\floss ^{k}\i}\i1}\i1\\\\floeffectornoeffectornossiblednow]\noons\ \&=\cHB \left[{\cHB ^{k}}_{i}}+\frac\\\fract \\cHB ^{2}-1}{2}-1}{2}}\오른쪽)\cHB ^{k}\cHB _{i}\i}\right]\\\\\\\#####: \&=\properties \left[{\message ^{k}}_{i}}+\frac\\\\protects ^-1}{\1}{1}-1}{nump ^{2}}}\right}\properties ^{k}\{i}\right]\\\\\ftends\filedata. \&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\ \&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}} 주다
c N ′ k = ( Λ k i Λ 0 0 − Λ k 0 Λ 0 i ) c N i + Λ k i Λ 0 j ε i j n L n = [ γ δ k i − ( γ − 1 β 2 ) β k β i ] c N i + − γ β j [ δ k i + γ − 1 β 2 β k β i ] ε i j n L n = γ c N k − ( γ − 1 β 2 ) β k ( β i c N i ) − γ β j δ k i ε i j n L n − γ γ − 1 β 2 β j β k β i ε i j n L n = γ c N k − ( γ − 1 β 2 ) β k ( β i c N i ) − γ β j ε k j n L n {\displaystyle{\begin}c'^{k}&=\좌측({\Lambda ^{k}}{0}-{0}-{0}-{0}}{\Lambda ^{0}{0}}{0}}}{0}}}}{0}}{0}}}}}{{{{Lambda}\lambda}\lambda}\lambda}\ri}\rigin}\rigin}\rigin}\rigin N^{i}+{\Lambda ^{k}_{i}{\Lambda ^{0}_{j}\varepsilon ^{ijn} L_{n}\\&=\왼쪽[\gamma ^{k}_{i}-\좌측({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}\우측)\베타 ^{k}\{i}\우측]c N^{i}+-\gamma \beta ^{j}\왼쪽[{\delta ^{k}}}}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}\beta ^{k}\{i}\beta _{i}\varepsilon ^{in} L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn} L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\barepsilon ^{ijn}} L_{n}\\&=\gamma c^{k}-\좌({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\우)\베타 ^{k}좌(\beta _{i}cN^{i}\오른쪽)-\감마 \{{j}\varepsilonn} L_{n}\\\end{aigned}}} 또는 벡터 형태로, c 로 나눈다.
N ′ = γ N − ( γ − 1 β 2 ) β ( β ⋅ N ) − 1 c γ β × L {\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} } 또는 β v /c
N ′ = γ N − ( γ − 1 v 2 ) v ( v ⋅ N ) − γ v × L {\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L} } 그리고
L ′ k ℓ = ( Λ k i Λ ℓ 0 − Λ k 0 Λ ℓ i ) c N i + Λ k i Λ ℓ j L i j = γ c ( β k δ ℓ i − β ℓ δ k i ) N i + [ δ k i δ ℓ j + γ − 1 β 2 δ k i β ℓ β j + γ − 1 β 2 β k β i δ ℓ j + γ − 1 β 2 γ − 1 β 2 β ℓ β j β k β i ] L i j = γ c ( β k N ℓ − β ℓ N k ) + L k ℓ + γ − 1 β 2 β ℓ β j L k j + γ − 1 β 2 β k β i L i ℓ {\displaystyle {\reasoned} L'^{k\ell }&=\왼쪽({\Lambda ^{k}_{i}{\Lambda ^{0}-{0}-{0}{\Lambda ^{}{0}{\Lambda ^{}}{\ell }}}}}{\Lambda ^{}\}\ri}\ri}\rig)c N^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right) N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right] L^{ij}\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\n^{k}\오른쪽)++ L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}} 또는 유사벡터 양식으로 변환
ε k ℓ n L n ′ = γ c ( β k N ℓ − β ℓ N k ) + ε k ℓ n L n + γ − 1 β 2 ( β ℓ β j ε k j n L n − β k β i ε ℓ i n L n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn} L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}{{n}\right)\\end{aigned}}}}} 벡터 기호로
L ′ = γ c β × N + L + γ − 1 β 2 β × ( β × L ) {\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} )} 또는 β v /c
L ′ = γ v × N + L + γ − 1 v 2 v × ( v × L ) {\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\prac {\gamma -1}{v^}}\mathbf {v}\times \mathbf {L} 강체 회전 곡선에서 움직이는 입자의 경우 , 각속도 Ω (가명 벡터)과 위치 x 의 교차 산출물 은 입자의 접선 속도를 제공한다.
u = ω × x {\displaystyle \mathbf {u} ={\mathsymbol {\omega}}\mathbf {x}} 이는 SR에서 어떤 거대한 물체의 변환 속도가 광도 c 의 속도 를 초과할 수 없기 때문에 c 의 크기를 초과할 수 없다. 수학적으로 이 제약조건은 0 ≤ u < c , 수직 막대는 벡터의 크기 를 나타낸다. Ω 과 x 사이의 각도가 θ (비0으로 가정하고, 그렇지 않으면 u 는 전혀 움직임이 없는 것에 해당하는 0이 된다)이면 ux sin θ 이며, 각도 속도는 다음에 의해 제한된다.
0 ≤ ω < c x 죄를 짓다 θ {\displaystyle 0\leq {\bmbol {\omega}}}<{\frac {c}{ \mathbf {x} \sin \theta }}}} 따라서 어떤 거대한 물체의 최대 각도 속도는 물체의 크기에 따라 달라진다. 주어진 x의 경우, 최소 상한 은 Ω과 x가 수직일 때 발생하므로 θ = π /2, sin sin = 1이다.
각도 속도 Ω 으로 회전하는 회전 강체 차체 의 경우, u 는 물체 내부의 지점 x에서 접선 속도다. 물체의 모든 점에 대해 최대 각속도가 있다.
각속도(시료벡터)는 관성 텐서 I 의 모멘트 를 통과하는 각운동량(시료벡터)과 관련이 있다.
L = I ⋅ ω ⇌ L i = I i j ω j {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftarpoons \quad L_{i}= I_{ij}\omega _{j}} (점 · 는 하나의 인덱스에서 텐서 수축 의 의미를 나타낸다.) 상대론적 각운동량도 물체의 크기에 의해 제한된다.
특수 상대성에서의 회전 포스핀 입자는 회전 및 표시 s 라고 하는 운동과 무관하게 "내장된" 각운동량을 가질 수 있다. 궤도 각운동량 L 과 같은 3차원 유사운동체다.
스핀은 상응하는 스핀 자기 모멘트 를 가지고 있기 때문에 입자가 상호작용(전자파장 이나 스핀오비트 커플링 등)을 받는다면 입자의 스핀 벡터의 방향은 바뀌겠지만 그 크기는 일정할 것이다.
특수상대성이론으로의 확장은 간단하다.[6] 일부 실험실 프레임 F의 경우 F f을 입자의 나머지 프레임으로 하고 입자가 일정한 3-속도 u 로 움직인다고 가정한다. 그 후 F′은 동일한 속도로 상승되고 로렌츠 변환은 평상시처럼 적용된다. β u /c 특수상대성이론의 4-벡터 로서, 4-스핀 S 는 일반적으로 실험실 틀에서 시간 구성 요소 s 와t 공간 구성 요소 를 가진 4-벡터의 일반적인 형태를 취한다.
S ≡ ( S 0 , S 1 , S 2 , S 3 ) = ( s t , s x , s y , s z ) {\displaystyle \mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z}}}}}}}}}} 비록 입자의 나머지 프레임에서 정의되지만, 그것은 시간적 구성요소가 0이고 공간적 구성요소는 입자의 실제 스핀 벡터의 구성요소로서 여기의 표기법 에서 s′, 그래서 입자의 프레임에서 정의된다.
S ′ ≡ ( S ′ 0 , S ′ 1 , S ′ 2 , S ′ 3 ) = ( 0 , s x ′ , s y ′ , s z ′ ) {\displaystyle \mathbf {S}'^{0}^{0},{S'}^{1}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\오른쪽)=\왼쪽(0,s_{x}, s_{y}, s_{z}\right)}} 규범을 동일시하면 불변의 관계가 된다.
s t 2 − s ⋅ s = − s ′ ⋅ s ′ {\displaystyle s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s}'} 따라서 관찰자의 입자와 실험실 프레임의 나머지 프레임에 스핀의 크기가 주어지는 경우, 시간 구성t 요소의 크기는 실험실 프레임에도 주어진다.
텐서 변환에서 파생된 벡터 변환
실험실 프레임에 상대적인 네 개의 스핀의 부스트 구성요소는
S ′ 0 = Λ 0 α S α = Λ 0 0 S 0 + Λ 0 i S i = γ ( S 0 − β i S i ) = γ ( c c S 0 − u i c S i ) = 1 c U 0 S 0 − 1 c U i S i S ′ i = Λ i α S α = Λ i 0 S 0 + Λ i j S j = − γ β i S 0 + [ δ i j + γ − 1 β 2 β i β j ] S j = S i + γ 2 γ + 1 β i β j S j − γ β i S 0 {\displaystyle {\reasoned}{{n1}{ S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{{0}}}{\alpha }}={\Lambda ^{0}_{0}} S^{0}+{\Lambda ^{0}_{i} S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}{i}\오른쪽)\ \&=\frac{c}}} S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}} S^{i}\오른쪽)={\frac {1}{c}} U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}} U_{i}S^{i}\\[3pt]{ S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\lapa ^{}}S^{\alpha }={\Lambda ^{i}_{0} S^{0}+{\Lambda ^{i}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i} S^{0}+\왼쪽[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}\beta _{i}\beta _{j}\오른쪽] S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}:{\gamma +1}\beta _{i}\beta _{j}S^-\gamma \{i}} S^{0}\end{aigned}}} 여기 γ = γ (u ). S ′는 입자의 나머지 프레임에 있으므로, 그것의 시간적 구성요소는 S 가0 아닌 0, S ′0 0 이다.또한 첫 번째는 4폭(c 로 나누어져 있음)과 4폭(spin)의 내생물에 해당한다. 이 사실들을 종합하면
S ′ 0 = 1 c U α S α = 0 {\displaystyle {S'}^{0}={\frac {1}{c}} U_{\alpha }S^{\alpha }=0} 불변제야 그런 다음, 이러한 변화가 시간적 구성요소의 변환과 결합되어 실험실 프레임에서 인지된 구성요소로 이어진다.
S 0 = β i S i {\displaystyle S^{0}=\beta_{i}S^{i}}} 역관계는
S 0 = γ ( S ′ 0 + β i S ′ i ) S i = S ′ i + γ 2 γ + 1 β i β j S ′ j + γ β i S ′ 0 {\displaystyle {\reasoned} S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{{i}}{ S'}^{i}\right)\\ S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}:{\gamma +1}\beta _{i}\beta _{j}^{j}^{j}+\gamma \beta ^{i}{i}}}{i}}}}}{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} S'}^{0}\end{aigned}}} 스핀의 공변량 구속조건은 속도 벡터에 대한 직교성이다.
U α S α = 0 {\displaystyle U_{\alpha }S^{\alpha }=0} 3-벡터 표기법에서, 변형은 다음과 같다.
s t = β ⋅ s s ′ = s + γ 2 γ + 1 β ( β ⋅ s ) − γ β s t {\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}} 역관계
s t = γ β ⋅ s ′ s = s ′ + γ 2 γ + 1 β ( β ⋅ s ′ ) {\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}} 실험실 프레임 스핀의 구성 요소로서, 입자의 휴식 프레임에 있는 구성 요소로부터 계산된다. 비록 입자의 스핀은 주어진 입자에 대해 일정하지만, 실험실 틀에서는 다르게 나타난다.
파울리-루반스키 의사 파울리-루반스키 의사
S ρ = 1 2 ε λ μ ν ρ P λ J μ ν , {\displaystyle S_{\rho }={\frac {1}{2}}\\varepsilon _{\lambda \nu \rho \}}P^{\lambda }}J^{\mu \nu }}}}}} 질량이 큰 입자와 질량 이 없는 입자에 모두 적용된다.
스핀-오르비탈 분해 일반적으로, 총 각도 모멘텀 텐서는 궤도 구성 요소와 스핀 구성 요소 로 분할된다.
J μ ν = M μ ν + S μ ν . {\displaystyle J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }.} 이는 입자, 질량 에너지-모멘텀 분포 또는 장에 적용된다.
질량-에너지-모멘텀 분포의 각도 운동량 질량-에너지-모멘텀 텐서로부터의 각운동량 다음은 MTW 의 요약이다.[7] 단순성을 위해 전체적으로 데카르트 좌표를 가정한다. 특수 상대성 및 일반 상대성에서는 질량 에너지-모멘텀(예: 유체 또는 항성)의 분포는 응력-에너지 텐서βγ T(공간과 시간에 따라 2차 텐서 필드) 로 설명된다. T 는00 에너지 밀도, j = 1, 2, 3의 T 는j 0T 는ij 전단 응력과 정상 응력을 포함한 응력 텐서 의 구성 요소이므로, 4벡터 X 위치 β 대한 궤도 각도 운동 밀도 는 3차 텐서(tensor)에 의해 주어진다.
M α β γ = ( X α − X ¯ α ) T β γ − ( X β − X ¯ β ) T α γ {\displaystyle {\mathcal {M}^{\alpha \beta \gamma }=\왼쪽(X^{\alpha }-{X}^{\x}^{\alpha }\오른쪽) T^{\beta \gamma }-\왼쪽(X^{\beta }-{\bar{X}^{\bar}}^{\beta }\오른쪽) T^{\#Alpha \gamma }} 이것은 α 와 β 의 비대칭이다. 특수상대성이론과 일반상대성이론에서 T 는 대칭 텐서이지만 다른 맥락(예: 양자장 이론)에서는 그렇지 않을 수도 있다.
Ω을 4d spacetime의 영역으로 한다. 경계 는 3d spacetime upperurface("공간 표면적"과 반대로 "공간적 표면적")이며, 여기서 "경계"는 "경계"를 의미하는 ∂Ω을 나타낸다.3d spacetime 초경사면에 걸쳐 각운동량 밀도를 통합하면 각운동량이 약 X
M α β ( X ¯ ) = ∮ ∂ Ω M α β γ d Σ γ {\displaystyle M^{\alpha \beta \왼쪽({\bar {X}\오른쪽)=\point _{\partial \Oomega }{\mathcal{M}^{\lapa \beta \d\Sigma }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 여기서 Dσ는 일반적인 3d 유클리드 공간에서 2d 표면에서 정상적인 단위 벡터 역할을 하는 1권 형식 이다. 적분은 X X 를 인수한다. 일정한 시간의 공간과 같은 표면의 적분은
M i j = ∮ ∂ Ω M i j 0 d Σ 0 = ∮ ∂ Ω [ ( X i − Y i ) T j 0 − ( X j − Y j ) T i 0 ] d x d y d z {\displaystyle M^{ij}=\partial \Oomega}{{\mathcal{M}^{ij0}d\Sigma _{0}=\point _{\partial \Oomega}\put[\partial \efteft[X^{i}-Y^}-Y^}}}}\i}\i}\rig}\rig}\rig)\rigain] T^{j0}-\왼쪽(X^{j}-Y^{j}\오른쪽) T^{i0}\right]dxdydz} 각운동량 텐서(tensor)를 집합적으로 형성한다.
질량 중심에 대한 각도 운동량 질량 중심 프레임에는 본질적인 각도 운동량, 즉 어떤 사건에 대한 각도 운동량이 있다.
X COM = ( X COM 0 , X COM 1 , X COM 2 , X COM 3 ) {\displaystyle \mathbf {X} _{\text{C OM}}=\왼쪽(X_{\text{C) OM}^{0},X_{\text{C OM}^{1},X_{\text{C OM}^{2},X_{\text{C OM}^{3}\오른쪽)} 물체의 질량 중심에 있는 줄에 T 는00 물체의 에너지 밀도이므로 질량 중심 의 공간 좌표는 다음과 같이 주어진다.
X COM i = 1 m 0 ∫ ∂ Ω X i T 00 d x d y d z {\displaystyle X_{\text{C OM}^{i}={\frac {1}{m_{0}}\int _{\partial \Oomega }X^{i} T^{00}dxdydz} 설정 Y = X 는COM 물체의 질량 중심에 대한 궤도 각도 운동량 밀도를 얻는다.
각운동량보전 에너지-모멘텀의 보존 은 연속성 방정식 에 의해 미분 형태로 주어진다.
∂ γ T β γ = 0 {\displaystyle \partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0} 여기서 ∂γ 4경사로 된다. (비카르트 좌표와 일반 상대성에서는 공변량 파생상품 으로 대체될 것이다.) 총 각도 운동량 보존은 다른 연속성 방정식에 의해 주어진다.
∂ γ J α β γ = 0 {\displaystyle \partial _{\gamma }{\mathcal{J}^{\alpha \beta \gamma }=0} 적분 방정식은 가우스의 정리를 스페이스타임에 사용한다.
∫ V ∂ γ T β γ c d t d x d y d z = ∮ ∂ V T β γ d 3 Σ γ = 0 ∫ V ∂ γ J α β γ c d t d x d y d z = ∮ ∂ V J α β γ d 3 Σ γ = 0 {\displaystyle {\begin{aigned}\int_{\mathcal {V}\partial_{\gamma}{\\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dz&=\point _{\partial {\mathcal{V}}}}}}}} T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}} 특수 상대성에서의 토크 점처럼 생긴 입자에 작용하는 토크는 적절한 시간에 대해 위에 주어진 각운동량 텐서(tensor)의 파생물로 정의된다.[8] [9]
Γ = d M d τ = X ∧ F {\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }={\frac {d\mathbf {M}}{d\tau }}}\mathbf {X} \wedge \mathbf {F}}}} 또는 텐서 구성 요소:
Γ α β = X α F β − X β F α {\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}}}}}}} 여기서 F 는 이벤트 X 에서 입자에 작용하는 4d 힘이다. 각운동량과 마찬가지로 토크는 부가적이므로 확장된 물체의 경우 질량 분포에 대해 1 합 또는 통합된다.
스페이스 타임 부스트 및 회전 생성기로서의 각도 운동량 각운동량 텐저는 로렌츠 그룹 의 부스트와 회전 생성기다.[10] [11] 로렌츠 부스트 는 신속성 에 의해 파라메트리될 수 있으며, 부스트의 방향을 가리키는 3d 단위 벡터 n
ζ = ζ n = n 태닝을 하다 − 1 β {\displaystyle {\\jeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\mathbf } 여기서 β v/c 공간 회전은 축-각 표현, 각도 θ 가리킴
θ = θ a {\displaystyle {\\chsymbol {\theta}=\theta \mathbf {a}} 각 단위 벡터에는 두 개의 독립적인 요소만 있으며, 세 번째 요소는 단위 크기에서 결정된다. 로렌츠 그룹에는 모두 6개의 파라미터가 있다; 회전에는 3개, 부스트에는 3개. (동종) 로렌츠 그룹은 6차원이다.
부스트 발생기 K J M
M 0 i = − M i 0 = K i , M i j = ε i j k J k . {\displaystyle M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk} J_{k}\, } 그리고 그에 상응하여 부스트와 회전 매개변수는 다른 대칭 4차원 매트릭스 Ω
ω 0 i = − ω i 0 = ζ i , ω i j = ε i j k θ k , \displaystyle \omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\_\hones \ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\}\c}}} 여기서 반복된 지수 i, j, k 에 대한 합계 규약 이 서투른 합계 징후를 방지하기 위해 사용되었다. 일반적인 로렌츠 변환 은 매트릭스 지수화 에 의해 주어진다.
Λ ( ζ , θ ) = 생략하다 ( 1 2 ω α β M α β ) = 생략하다 ( ζ ⋅ K + θ ⋅ J ) {\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)} 그리고 합계 규약은 반복된 행렬 지수 α 와 β 에 적용되었다.
일반 로렌츠 변환 λ은 어떤 네 개 의 벡터 A = (A0 1 , A 2 , A, A 3 , A)에 대한 변환 법칙으로, 동일한 4 벡터의 성분을 다른 관성 기준 프레임에 부여한다.
A ′ = Λ ( ζ , θ ) A {\displaystyle \mathbf{A} '=\Lambda({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta}}})\mathbf {A}}} 각운동량 텐서는 푸앵카레 그룹 의 발전기 10개 중 6개를 형성하고, 나머지 4개는 스페이스타임 번역을 위한 4모멘텀의 구성 요소다.
일반 상대성에서의 각도 운동량 완만하게 곡선된 배경에서 시험 입자의 각운동량은 GR에서는 더욱 복잡하지만 직설적으로 일반화할 수 있다. 만약 라그랑지안 이 일반화된 좌표로 각 변수에 대해 표현된다면, 각 모멘텀a는 각 속도 에 관한 라그랑지안의 기능적 파생물 이다. 데카르트 좌표라고 하는 이 좌표는 일반적으로 응력-에너지 텐서 의 공간 같은 부분의 대각선 전단 항에 의해 주어진다. 스페이스타임이 원에 접하는 킬링 벡터 필드 를 지원하는 경우 축에 대한 각운동량이 보존된다.
사람들은 또한 작고 회전하는 질량이 주변 시간대에 미치는 영향을 연구하기를 원한다. 프로토타입 솔루션은 축 대칭 블랙홀 주위의 스페이스타임을 설명하는 커 미터법 이다. 커 블랙홀의 이벤트 지평선에서 한 점을 뽑아 동그랗게 원을 그리며 지켜보는 것은 분명히 불가능하다. 그러나 이 솔루션은 각도 운동량과 수학적으로 유사한 작용을 하는 시스템의 상수를 지원한다.
참고 항목 참조 ^ D.S.A. Freed; K.K.A. Uhlenbeck (1995). Geometry and quantum field theory American Mathematical Society . ISBN 0-8218-8683-5 ^ a b R. Penrose (2005). The Road to Reality ISBN 978-0-09-944068-0 ^ M. Fayngold (2008). Special Relativity and How it Works John Wiley & Sons . p. 138. ISBN 978-3-527-40607-4 ^ R. Penrose (2005). The Road to Reality ISBN 978-0-09-944068-0 참고: Penrose를 포함한 일부 저자들은 스페이스타임에 벡터나 텐서 등에 그리스어 지수를 사용하는 것이 관례임에도 불구하고 이 정의에서 라틴 문자 를 사용한다.^ M. Fayngold (2008). Special Relativity and How it Works ISBN 978-3-527-40607-4 ^ 잭슨, J.(1975년)[1962년]."11장".고전 Electrodynamics(2판).JohnWiley도&Sons.를 대신하여 서명함. 556–557.아이 에스비엔 0-471-43132-X.잭슨의 표기법:S(F, 실험실 프레임), s(F′, 입자의 정지 좌표계),적 S0(실험실 액자에timelike 구성 요소), S′0=0(입자의 정지 좌표계에서timelike 구성 요소), 4-spin을 위한 4-vector 않는 한 상징이다. ^ J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation ISBN 0-7167-0344-0 ^ S. Aranoff (1969). "Torque and angular momentum on a system at equilibrium in special relativity" . American Journal of Physics . 37 (4): 453–454. Bibcode :1969AmJPh..37..453A . doi :10.1119/1.1975612 . T 를 토크로 사용하며, 여기서는 T 가 응력-에너지 텐서용으로 가장 많이 예약되어 있기 때문에 자본 감마 Ⅱ 를 사용한다.^ S. Aranoff (1972). "Equilibrium in special relativity" (PDF) . Nuovo Cimento . 10 (1): 159. Bibcode :1972NCimB..10..155A . doi :10.1007/BF02911417 . S2CID 117291369 . Archived from the original (PDF) on 2012-03-28. Retrieved 2013-10-27 . ^ E. Abers (2004). Quantum Mechanics . Addison Wesley. pp. 11, 104, 105, 410–411. ISBN 978-0-13-146100-0 ^ H.L. Berk; K. Chaicherdsakul; T. Udagawa (2001). "The Proper Homogeneous Lorentz Transformation Operator eL = e − ω ·S − ξ ·K , Where's It Going, What's the Twist" (PDF) . American Journal of Physics . 69 (996). doi :10.1119/1.1371919 .
추가 읽기 특수상대성 일반상대성 외부 링크 
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1123afad3625485a848dfb8e303a9ca920c6dc76)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d548da10fb18cefdb4eb9ce1882ac5ffef2d91)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b648d1e3135836e03bb29300dd0ff407e130ad49)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b104837978b0294ec655be8e3106d7a9f05f001d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bec7d323fc0b3bd723b03f9267744611afe41ba)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6dc85886be938da746e18f88f7e576f0af83c3)
![{\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c51d40d1928f1b84a346639fb97f3449ee8a97)
![{\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43604da007a299e1a680c3d8c25252add69623e1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2168c668a8665773a018f4384ecd4777bb5c3b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e7133fe844510383bb91eed39f9060b5da47a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ea30c1903597ab5d2ca6a693adbad9508872eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc51e5068004b1206697a23f07abc1a0936670b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8a790a4eba43ff0be90559613130bd83c89ec9)
