로렌츠 인자

로렌츠 계수(Lorentz factor) 또는 로렌츠 항은 물체가 움직이는 동안 물체의 시간, 길이 및 기타 물리적 특성 측정값이 얼마나 변화하는지 나타내는 양입니다.이 식은 특수 상대성 이론의 여러 방정식에 나타나며 로렌츠 변환의 파생에서 발생합니다.이 이름은 네덜란드의 물리학자 헨드릭 로렌츠의 이름을 딴 로렌츠 ^[1]전기역학에서 유래했다.

일반적으로 $γ$ (그리스어 소문자 감마)로 표시됩니다.때때로 (특히 초광속 운동에 대한 논의에서) 인자는 $γ$ 가 아닌 $γ$ (그리스 대문자 감마)로 표기된다.

정의.

로렌츠 인자 $δ$ 는 다음과 같이 정의된다^[2].

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}

=

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}

-

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}

2

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}

2

=

-

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}

2

= d

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}

{\{

displaystyle

\

display frac

{

1

- { \ frac { 1 - { \

frac

{ v ^ {

2

} } } =

frfrac

{ \

frac

{ 1 - {

c ^

{

displaystylac

} }

、

{ d

}

}

여기서:

v는 관성 기준 프레임 간의 상대 속도이다.
c는 진공상태에서 빛의 속도이다.
$β$ 는 v 대 c의 비율이다.
t는 좌표 시간입니다.
θ는 옵서버의 적절한 시간(옵서버 자신의 프레임에 시간 간격을 설정)입니다.

이는 유일한 형식은 아니지만 실제로 가장 자주 사용되는 형식입니다(대안 형식은 아래 참조).

정의를 보완하기 위해 일부 저자는 역수를^[3] 정의한다.

\alpha = specfrac {1} {\frac {v^{2}} {c^{2}}} = specrt {1-{\fac }^{2}};

속도 가산 공식을 참조하십시오.

발생.

다음은 $θ$ 를 ^[2]^[4]약어로 사용하는 특수 상대성 이론의 공식 목록입니다.

로렌츠 변환:가장 단순한 경우는 x-방향의 부스트(여기에 나열되지 않은 임의의 방향과 회전을 포함한 보다 일반적인 형태)로, 시공간 좌표가 상대 속도 v의 좌표(x, y, z, t)를 사용하여 한 관성 프레임에서 다른 관성 프레임(x,, y,, z,, t))으로 어떻게 변화하는지 설명한다. $\displaystyle \left(t-{\frac {c^{2}}\right), \[2pt]x'&=\left(x-right).\end { aligned}}$

상기 변환의 결과는 다음과 같습니다.

시간 연장:클럭이 이동하는 프레임에서 측정된2개의 틱 사이의 시간('t')은 클럭의 나머지 프레임에서 측정된 이들 틱 사이의 시간('t')보다 깁니다. $\displaystyle \Delta t'=\delta t.$
길이 수축:이동 중인 프레임에서 측정된 물체의 길이('x')는 자신의 휴식 프레임의 길이('x')보다 짧습니다. $\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\displays.}$

운동량과 에너지를 절약하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

상대론적 질량:움직이는 물체의 질량은 $\gamma$ †(\ $displaystyle \gamma)$ 와 $\gamma$ 나머지 질량에₀ 따라 달라집니다. $m=\display m_{0}.$
상대론적 모멘텀:상대론적 운동량 관계는 고전적 운동량과 동일한 형태를 취하지만 위의 상대론적 질량을 사용한다. ${p}=mvc {v}=\display m_{0}{\vec {v}}.$
상대론적 운동 에너지:상대론적 운동 에너지 관계는 약간 변형된 형태를 취합니다. $E_{k}=E-E_{0}=(\gamma-1)m_{0}c^{2}$ ${\$ { $displaystyle$ \ $displaystyle$ \ $tfrac$ { $v }$ { c ${\tfrac {v}{c}}$ ${\tfrac {v}{c}}$ ${\textstyle \lim _{c\to \infty }E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$ ${\tfrac {v}{c}}$ $c$ 、 E k ${\textstyle \lim _{c\to \infty }E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$ 2 ${\textstyle \lim _{c\to \infty }E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$ ${\textstyle \lim _{c\to \infty }E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$ ${\textstyle \lim _{c\to \infty }E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$ ${$ $textstyle$ \ $lim$ _ { $c$ \ $to$ \ $infty$ } $E_{$ k ${\textstyle \lim _{c\to \infty }E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$ = $tfrac$ { $1$ } { $2$ } ^ { $0$ } ${\textstyle \lim _{c\to \infty }E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$ 。

수치

속도 함수로서의 로렌츠 인자

δ

.초기 값은 1(v = 0일 때)이며, 속도가 빛의 속도에 가까워지면(v → c)

θ

가 제한 없이 증가한다(

θ

→ θ).

α(로렌츠 인자 역)는 속도 - 원호의 함수입니다.

아래 표에서 왼쪽 열은 속도를 빛의 속도의 다른 부분(즉, c 단위)으로 표시합니다.가운데 열은 해당 로렌츠 인자를 나타냅니다. 마지막 열은 역수입니다.굵은 글씨로 표시된 값은 정확합니다.

속도(c 단위), β = v/c	로렌츠 인자 γ	상호 작용, 1/오퍼레이트
0	1	1
0.050	1.001	0.999
0.100	1.005	0.995
0.150	1.011	0.989
0.200	1.021	0.980
0.250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.25	0.8
0.700	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.6
0.866	2	0.5
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045
0.99995	100.00	0.010

대체 표현

계수를 쓰는 다른 방법이 있습니다.이상에서는 속도 v를 사용했지만 운동량, 속도 등 관련 변수도 편리할 수 있다.

모멘텀

$θ$ 에 대한 이전의 상대론적 운동량 방정식을 풀면 다음과 같이 된다.

\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}

\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}

+ ( p

\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}

\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}

) 2 ( \

displaystyle

\ displaystyle

= snarrt

{

1

+ \

leftflac

\

frac

{

p

} {

m

_ { 0

\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}

}

\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}

c} }

}

\

right

) { 2 。

이 형태는 맥스웰에 나타나긴 하지만 거의 사용되지 않는다.위트너 ^[5]유통

신속성

고속의 정의를 쌍곡선 $(\displaystyle \varphi$ ^[6]로 적용:

\displaystyle \tanh \varphi =\displays }

also(쌍곡선 아이덴티티를 사용하여)로 이어집니다.

\cosh \varphi = varfac {1} {\displayrt {1-\tanh ^{2}\varphi }} = varfrac {1} {\displayrt {1-\displayrt ^{2}}}}}}}.

로렌츠 변환의 특성을 사용하면 속도가 가법이며 속도가 가지지 않는 유용한 특성이라는 것을 알 수 있습니다.따라서 신속도 매개변수는 물리적 모델의 기반인 단일 매개변수 그룹을 형성합니다.

시리즈 확장(속도)

로렌츠 인자는 맥로린 계열을 가지고 있다.

({displaystyle {displaystyle {nargement}\displaydfrac {1}{\sum {1-\sum ^{n=0}^{\infty}\displaystyle {n}\dfrac {k-1}{2k}\infty}\dfrac {1\t}\t}\clight})

이항 급수의 특수한 경우입니다.

근사치 $γ$ 1 1 + 1/2β는² 저속에서의 상대론적 효과 계산에 사용할 수 있다.v < 0.4 c(v < 120,000 km/s)의 경우 1% 이내의 오차, v < 0.22 c(v < 66,000 km/s)의 경우 0.1 % 이내의 오차입니다.

이 시리즈의 잘린 버전은 또한 물리학자들로 하여금 특수상대성이론이 낮은 속도에서 뉴턴 역학으로 감소한다는 것을 증명할 수 있게 해준다.예를 들어, 특수 상대성 이론에서는 다음 두 방정식이 성립합니다.

{\vec {p}}&=mvec {v},\E&=\gamma mc^{2}.\end { aligned}

$θ$ θ 1과 $θ$ θ 1 + 1/ $2$ ² β의 경우, 이들은 각각 뉴턴식 등가물로 환산한다.

{displaystyle {p}\mathbf {v},\E&=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}mv^{2}.\end { aligned}

로렌츠 인자 방정식은 또한 수율을 얻기 위해 반전될 수 있다.

\displaystyle = displayrt {1-{\frac {1}{\display ^{2}}}}}.

이것은 점근적 형태를 가지고 있다.

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

1 -

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

2

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

-

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

-

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

-

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

-

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

16

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

-

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

-

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

γ

-

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

+ （

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

\

display

\ display =

\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

1 - { \

tfrac

{ } { } - { \

tfrac

{ } { } - {

8

} - { \

tfrac

{ 8 } ^ { 4 } - {

tfrac

{

16 }

처음 두 항은 큰 $δ$ 값에서 속도를 빠르게 계산하기 위해 가끔 사용됩니다. $β$ β β 1 - 1/2 $µ$ 은⁻² β > 2의 경우 1% 이내, β > 3.5의 경우 0.1% 이내의 허용치를 유지한다.

천문학에서의 응용

장기 감마선 버스트(GRB)의 표준 모델에서는 이러한 폭발이 초상대론적(초기 $\displaystyle\gamma)$ 이며 $\gamma$ , 이는 소위 "콤팩트성" 문제를 설명하기 위해 호출된다. 즉, 초상대론적 팽창이 없으면 방출은 광학적으로 두꺼워져 쌍생산에 사용된다.t 100 keV의 전형적인 피크 스펙트럼 에너지. 단, 신속한 방출은 비열적인 ^[7]것으로 관찰된다.

뮤온이라고 불리는 아원자 입자는 상대적으로 높은 로렌츠 인자를 가지며 따라서 극단적인 시간 확장을 경험합니다.예를 들어 뮤온의 평균 수명은 약 2.2μs이며, 이는 대기 중 약 10km 상공에서 우주선 충돌로 생성된 뮤온은 붕괴 속도 때문에 지상에서 검출할 수 없음을 의미한다.그러나 뮤온의 약 10%가 표면에서 여전히 검출되고 있으며, 따라서 검출되기 위해 관성 ^[8]기준 프레임에 비해 붕괴 속도가 느려졌음을 증명하고 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Neil deGrasse Tyson, Charles Jun-Chu Liu, Robert Irion의 작품 중 하나.
^ ^a ^b Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin (2014). Dynamics and Relativity. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-93329-9.
^ Yaakov Friedman, 균질공의 물리적 응용, 수학물리학의 진보, Birkhauser, 2004년, 1-21페이지.
^ Young; Freedman (2008). Sears' and Zemansky's University Physics (12th ed.). Pearson Ed. & Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.
^ Synge, J.L(1957년)상대론적 가스.물리학 시리즈.노스홀랜드.LCCN 57-003567
^ Kinematics 2014-11-21 Wayback Machine에서 J.D.에 의해 아카이브되었습니다. 잭슨, 신속성의 정의는 7페이지를 참조하십시오.
^ Cenco, S. B. 등, iPTF14yb: 고에너지 트리거와 무관한 감마선 잔광의 첫 발견, 천체물리학 저널 Letters 803, 2015, L24(6pp).
^ "Muon Experiment in Relativity". hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Retrieved 2017-02-24.

외부 링크

Merrifield, Michael. "γ – Lorentz Factor (and time dilation)". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.
Merrifield, Michael. "γ2 – Gamma Reloaded". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.

[1] Neil deGrasse Tyson, Charles Jun-Chu Liu, Robert Irion의 작품 중 하나.

[Forshaw-2] Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin (2014). Dynamics and Relativity. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-93329-9.

[3] Yaakov Friedman, 균질공의 물리적 응용, 수학물리학의 진보, Birkhauser, 2004년, 1-21페이지.

[4] Young; Freedman (2008). Sears' and Zemansky's University Physics (12th ed.). Pearson Ed. & Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.

[5] Synge, J.L(1957년)상대론적 가스.물리학 시리즈.노스홀랜드.LCCN 57-003567

[6] Kinematics 2014-11-21 Wayback Machine에서 J.D.에 의해 아카이브되었습니다. 잭슨, 신속성의 정의는 7페이지를 참조하십시오.

[7] Cenco, S. B. 등, iPTF14yb: 고에너지 트리거와 무관한 감마선 잔광의 첫 발견, 천체물리학 저널 Letters 803, 2015, L24(6pp).

[8] "Muon Experiment in Relativity". hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Retrieved 2017-02-24.

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