프랜틀-글로어트 변환

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2011년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

Prandtl-Glauert 변환은 압축이 불가능한 흐름 계산법에 의해 특정 압축 가능한 흐름 문제를 해결할 수 있는 수학적 기법이다.또한 압축이 불가능한 흐름의 데이터를 압축이 가능한 사례에 적용할 수 있다.

수학적 공식화

가느다란 몸 위로 흐르지 않는 압축성 유량은 선형화된 압축성 소분동 전위 방정식에 의해 제어된다.^[1]

${\displaystyle \phi \phi _{xx}+\phi _{yyy}+\phi _{z}=M_{\infit }^{2}\pi _{x}\quad {\mbox{(흐름 필드 내)}}}$

소량-유동성 경계 조건과 함께.

${\displaystyle V_{\infit }n_{x}+\phi _{y}n_{y}+\phi _{z}=0\quad {\mbox{(신체 표면)}}}$

$∞{\$은(는) 프리스트림 마하 수이며, $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ n ${\displaystyle y_{}}$ n ${\displaystyle z_{}}$ ${\$은 표면 정규 벡터 성분이다.알 수 없는 변수는 섭동전위 $\varphi {\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \phi (x,y,z)}$이고$,$ 총 속도는 경사로에 자유스트림 속도 $∞{\$에 의해 주어지며, 여기서$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ x$}$를 따라 가정한다$.$

${\displaystyle {\vec}=\nabla \phi +V_{\nfla}{\x}=(V_{\infit }+\pi _{x}){x}}{x}+\phi _{y}+}{z}}}}}}}}}}}}}}}$

위의 공식은 소분동 근사치가 적용되는 경우에만 유효하다.^[2]

$\displaystyle \nabla \phi \ll V_{\fty}}}}$

또한 국소 마하 수가 단위를 초과하지 않아야 한다는 요건에 의해 대략적으로 명시되는 트랜스닉 흐름이 없다.

${\displaystyle \left[1+(\gamma +1){\frac {\phi _{x}{V_{\inflt }}\오른쪽]M_{\pupty }^{2}<1}$

The Prandtl–Glauert (PG) transformation uses the Prandtl–Glauert factor ${\displaystyle \beta \equiv {\sqrt {1-M_{\infty }^{2}}}}$. It consists of scaling down all y and z dimensions and angle of attack by the factor of ${\displaystyle \beta ,}$ the potential by ${\displaystyle \beta ^{2},}$ a$nd{\displaystyle }$β {\displaystyle $\cHB }$에 의한 일반 벡터의 x 구성 요소$:$

${\displaystyle{\bar}{\x}=x\\\bar {y}=\bar {z}&=\bar}\bar {\bar}\bar {\phi }}\phi \compregated ^{2}\phi \edi{aigned}}}}}}}}}}}}}$

이 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ "${\displaystyle y\stackrel{"}{}}$의$"{\$ 기하학적$$ 구조는 x 성분이 원래 $벡터$보다$β$ {\displaystyle \$beta}$만큼 감소하는 일반 벡터를 갖게 된다.

${\displaystyle{\bar{n}_{n}_{n}_{x}=\bar{n}\{n}}\\bar{n}_{n}}\bar{n}_{n}}\bar{z}=n}\jed}}}}}}$

그리고 나서 소분동 전위 방정식은 라플라스 방정식으로 변환된다.

${\displaystyle {{\bar{\bar{\x}}{\bar{x}}}+{\bar{\bar{y}}}{\bar{\bar{z}}}=0\bar\mbox{(흐름장){\bar {x}}+{\bar {\bar}}}}}$

흐름-접선 경계 조건은 동일한 형태를 유지한다.

${\displaystyle V_{\infty }{\bar {n}}_{\bar {x}}+{\bar {\phi }}_{\bar {y}}{\bar {n}}_{\bar {y}}+{\bar {\phi }}_{\bar {z}}{\bar {n}}_{\bar {z}}=0\quad {\mbox{(on body surface)}}}$

이는 $변형$된 x의${\displaystyle \stackrel{}{}y}$의 z의${\$}{\$bar}{\z}}$ 기하학에$$ 대한 압축할 수 없는 잠재적 흐름 문제다.얇은 에어포일 이론, 보텍스 격자법, 패널법 등 압축 불가능한 방법으로 해결할 수 있다.The result is the transformed perturbation potential ${\displaystyle {\bar {\phi }}}$ or its gradient components ${\displaystyle {\bar {\phi }}_{\bar {x}},{\bar {\phi }}_{\bar {y}},{\bar {\phi }}_{\bar {z}}}$ in the transformed space.물리적 선형화된 압력 계수는 역변환에 의해 얻는다.

${\displaystyle C_{p}=-2{\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}=-{\frac {2}{\beta ^{2}}}{\frac {{\bar {\phi }}_{\bar {x}}}{V_{\infty }}}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\bar {C}}_{p}}$

괴테르의 통치로^[3] 알려진 것

결과.

${\displaystyle {2차원}_{}}$ 흐름의 경우 $C{\displaystyle {}_{}}$ p ${\$와 리프트 및 모멘트 계수 c ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 인자 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle$ 1$/\beta$$}$만큼 증가된다$$.

${\displaystyle {\reasoned}C_{p}&={\frac{p0}}{\beta }}}{\beta }}}}{\frac {c_{l0}}}{\beta}}}}={\frac {c_{m0}}}}{\beta}}}}}}}{\frac {\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$, c ${\displaystyle {\mathrm{l}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$, c ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$는 원래(비늘링되지 않은) x ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle xyz}$ 기하학에$$ 대한 압축 불가능한 흐름 값이다$$.이 2D 전용 결과는 Prandtl Rule로 알려져 있다.^[4]

3차원 흐름의 경우, 이러한 단순한${\displaystyle }1{\displaystyle \mathrm{}}$ / ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle$ 1$/\beta$}의$$ 메스는 적용되지 않는다.그 대신 위에 제시된 대로 $x$의 y${\displaystyle \stackrel{}{\text{'}}s}$의 z${\$ 기하를 사용하여$$ C ${\displaystyle p_{}}$ ${\$를 계산하고 그 힘과 모멘트를 계산해야 한다.특별한 경우를 제외하고는 간단한 결과가 가능하지 않다.예를 들어 평평한 타원형 날개에 리프팅 라인 이론을 사용하면 리프트 계수는

${\displaystyle C_{L}={\frac {2\pi \alpha }{\beta +2/AR}}}$

여기서 AR은 날개의 가로 세로 비율이다.AR → ∞이 2D 사례로 감소하는 2D 사례에서, 평평한 에어포일에 대해 압축할 수 없는 2D 흐름에서는 Thin 에어포일 이론에 의해$$ ${\displaystyle {\mathrm{제시}}_{}}$된 c${\displaystyle {}_{}}$l ${\displaystyle 0}$ = ${\displaystyle 2}$α$$, {\$displaystyle c_{$l0$}=2\pi$\alpha$$}가 있다.

제한 사항

PG 변환은 최대 0.7까지 모든 프리스트림 마하 수치에 대해 잘 작동하며, 한 번 트랜스닉 흐름이 나타나기 시작한다.^[2]

역사

루드비히 프란틀은 일찍이 강의에서 변혁을 가르쳤으나, 첫 번째 출판물은 1928년 헤르만 글라우어트에 의해서였다.^[5]이러한 관계의 도입으로 보다 높은 아음속 영역에서 운항할 수 있는 항공기의 설계가 가능해졌다.^[6]원래 이 모든 결과는 2D 흐름을 위해 개발되었다.괴테르는 결국 1946년 PG 변환에 의해 유도된 기하학적 왜곡이 3D에 대한 단순한 2D Prandtl Rule을 무효로 만든다는 것을 깨닫고, 위에서 설명한 대로 3D의 완전한 문제를 적절하게 기술했다.

Jakob Ackeret에 의해 PG 변환이 초음속 프리스타임 흐름으로 확장되었다.아음속 케이스와 마찬가지로 초음속 케이스도 트랜스닉 효과가 없는 경우에만 유효하기 때문에 몸이 날씬하고 프리스트림 마하도 충분히 통일성을 상회해야 한다.

특이점

음속 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ≃ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ M_${\infit }\simeq 1}$ 근처 PG 변환은 특이점을 특징으로 한다.특이점은 프란들-글라우르트 특이점이라고도 하며, 흐름 저항은 무한대에 접근하도록 계산된다.실제로는 음속 가까이에서 공기역학적, 열역학적 섭동이 강하게 증폭되지만 특이점은 발생하지 않는다.이에 대한 설명은 압축 충격의 흐름과 부재 내에서 마하 숫자에 작은 변화만 있을 뿐 특정한 비선형 항이 누락된다고 가정하기 때문에 위의 선형화된 소변동 전위 방정식은 유효하지 않다는 것이다.그러나 이것들은 흐름장의 어떤 부분이 음속 이상으로 가속되는 순간 관련성이 생기고${\displaystyle \mathrm{,}}$ M $and{\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ 1. ${\displaystyle M_{\infit }\simeq 1.}$ 보다$$ 정확한 비선형 방정식은 특이성을 나타내지 못한다.

참고 항목

• 루트비히 프란틀
• 헤르만 글라우어트
• 야콥 애크레트

참조

인용구

원천