상대론적 물리학에 사용되는 방정식
알버트 아인슈타인 에 의해 1905년에 공식화된 특수 상대성 이론은 속도 추가가 단순한 벡터 덧셈 에 따라 작용하지 않는다는 것을 암시한다.상대론적 물리학 에서 속도 추가 공식 은 서로 다른 기준 프레임 에 있는 물체의 속도를 연관시키는 3차원 방정식이다.그러한 공식은 연속적인 로렌츠 변환 에도 적용되므로 다른 프레임도 관련된다. 동반 속도 추가는 토마스 프리세션 으로 알려진 운동학적 효과로, 연속 비협착 로렌츠 부스트는 좌표계 및 부스트의 회전 구성과 동등하게 된다.
속도 추가 공식의 표준 적용은 1851년 Fizau 실험에서 관찰된 움직이는 물에서 도플러 이동 , 도플러 항법 , 빛의 일탈 , 빛의 끌기를 포함한다.[1]
이 표기법은 로런츠 프레임 u S 측정 ′ 의 속도로, u 두 번째 프레임 내에서 신체의 변환 속도로 사용한다.
역사 유체 속의 빛의 속도는 진공에서의 빛 의 속도보다 느리고, 유체가 빛과 함께 움직이면 변화한다. 1851년 피조는 간섭계를 사용 하여 빛과 평행하게 움직이는 유체에서 빛의 속도를 측정 하였다. 피조의 결과는 당시 선험적 이론과 일치하지 않았다. 프랑스의 물리학자 실험적으로 정확하게 상대론적으로 정확한 추가 법의.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .s의 측면에서 확장이 제로 용어로 결심했다.R-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}V⁄c로 아래에 설명된다. 피조의 결과는 물리학자들이 정지된 에테르 에 관해서 움직이는 유체가 그것과 함께 빛을 부분적 으로 끌고 간다는 프레넬의 다소 불만족스러운 이론의 경험적 타당성을 받아들이게 했다. 즉 ½n ½n (1 - 1 ⁄n 2 V 여기 속도 굴절률 이고, V 에테르에 대한 유체의 속도
빛의 일탈 , 그 중 가장 쉬운 설명은 상대론적 속도 첨가 공식이며, 피조의 결과와 함께 1892년 로렌츠 와 같은 전자기학의 에테르 이론 과 같은 이론의 개발을 촉발시켰다.1905년 알버트 아인슈타인 은 특수상대성이론 의 출현과 함께 상대론적 속도를 추가하기 위한 표준 구성 공식(x-방향 의 V)을 도출했다.[2] 에테르와 관련된 이슈들은, 세월이 흐르면서 점차 특수상대성이론에 유리하게 정착되었다.
갈릴레이 상대성 한결같이 움직이는 배에 타고 있는 사람은 정지해 있는 듯한 인상을 가지고 있고 무거운 몸이 수직으로 아래로 떨어지는 것을 볼 수 있다는 것이 갈릴레오 에 의해 관찰되었다.[3] 이 관찰은 이제 기계적 상대성 원리의 첫 번째 분명한 진술로 간주된다. 갈릴레오는 해안에 서 있는 사람의 입장에서 볼 때 배 위에서 아래로 떨어지는 동작이 배의 전진 동작과 결합되거나 더해질 것이라고 보았다.[4] 속도 면에서, 해안과 비교한 낙하체의 속도는 선박에 대한 그 몸의 속도와 해안에 대한 배의 속도를 합친 것과 같다고 말할 수 있다.
In general for three objects A (e.g. Galileo on the shore), B (e.g. ship), C (e.g. falling body on ship) the velocity vector u {\displaystyle \mathbf {u} } u ′ {\displaystyle \mathbf {u'} } 선박에 대한 ct)에 A에 대한 B의 속도 v 여기서 덧셈은 벡터 대수학의 벡터 덧셈이며, 그 결과 속도는 보통 형태에 나타나 있다.
u = v + u ′ . {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .} 갈릴레오의 코스모스는 절대적 공간과 시간 으로 구성되며 속도를 추가하는 것은 갈릴레이 변환 의 구성에 해당한다. 상대성 원리는 갈릴레이 상대성 원리라고 불린다. 그것은 뉴턴 역학 에 의해 복종된다.
특수상대성 특수상대성이론 에 따르면 배의 프레임은 시계율과 거리측정이 다르고, 운동방향의 동시성의 개념이 변하기 때문에 속도에 대한 가산법이 바뀐다.이러한 변화는 낮은 속도에서는 눈에 띄지 않지만 속도가 빛의 속도로 증가함에 따라 중요해진다. 덧셈법은 속도에 대한 조성법이라고 도 한다. 선상에서 측정한 물체(예: 수평으로 바다로 발사되는 대포)의 속도는 해안가에 서서 망원경을 통해[5]
u = v + u ′ 1 + ( v u ′ / c 2 ) . \\displaystyle u={v+u' \over 1+('reason'/c^{2}}. } 구성 공식은 대수적으로 동등한 형태를 취할 수 있으며, 이는 빛의 속도에 대한 항상성의 원리만을 사용함으로써 쉽게 도출될 수 있다.[6]
c − u c + u = ( c − u ′ c + u ′ ) ( c − v c + v ) . {\displaystyle {c-u \over c+u}=\leftc-u' \over c+u}\reftc-v \right)\reftc-v \over c+v}\right). } 특수상대성이론의 코스모스는 밍코프스키 스페이스타임 으로 구성되며, 속도 추가는 로렌츠 변환 의 구성에 해당한다. 특수상대성이론에서 뉴턴 역학은 상대론 역학 으로 변형된다.
표준 구성 표준 구성 에서 부스트의 공식은 표준 구성에서 역 로렌츠 부스트 의 차이를 취하는 것에서 가장 직접적으로 따르게 된다.[7] [8] 프라이밍된 프레임이 프라이밍되지 않은 프레임에 상대적인 양의 x-방향 으로로렌츠 팩터 γ v 2 2 {\ displaystyle \gamma _{_{v}=1/{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}}}} 속도 {\displaystyledowns.
d x = γ v ( d x ′ + v d t ′ ) , d y = d y ′ , d z = d z ′ , d t = γ v ( d t ′ + v c 2 d x ′ ) . {\displaystyle dx=\c^{v}}{{v}}(dx'+vdt'),\dydy',\dz=dz',\dt=\propert=\{_v}\left(dt+{v}{c^{2}}dx'\오른쪽). } 첫 번째 세 개의 방정식을 네 번째 방정식으로 나눈다.
d x d t = γ v ( d x ′ + v d t ′ ) γ v ( d t ′ + v c 2 d x ′ ) , d y d t = d y ′ γ v ( d t ′ + v c 2 d x ′ ) , d z d t = d z ′ γ v ( d t ′ + v c 2 d x ′ ) , {\displaystyle {\frac {dx}{dt}={\frac {\frac {\frac {\fract _{_{v}(dx'+vdt') }{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},} 또는
u x = d x d t = d x ′ d t ′ + v ( 1 + v c 2 d x ′ d t ′ ) , u y = d y d t = d y ′ d t ′ γ v ( 1 + v c 2 d x ′ d t ′ ) , u z = d z d t = d z ′ d t ′ γ v ( 1 + v c 2 d x ′ d t ′ ) , {\displaystyle u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},} 어느 것이
속도 변환 (카르테시아 성분) u x = u x ′ + v 1 + v c 2 u x ′ , u x ′ = u x − v 1 − v c 2 u x , {\displaystyle u_{x}={\frac {u_{x}}+v}{1+{v}{c^{2}}u_{x}}}}}}}}}},\frac u_{x}-v}{1-{c^{v}}}{c^}}{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} u y = 1 − v 2 c 2 u y ′ 1 + v c 2 u x ′ , u y ′ = 1 − v 2 c 2 u y 1 − v c 2 u x , {\displaystyle u_{y}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},} u z = 1 − v 2 c 2 u z ′ 1 + v c 2 u x ′ , u z ′ = 1 − v 2 c 2 u z 1 − v c 2 u x , {\displaystyle u_{z}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{z}'}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{z}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},} v –v 모든 속도가 (공통) x-y
u x = u cas θ , u y = u 죄를 짓다 θ , u x ′ = u ′ cas θ ′ , u y ′ = u ′ 죄를 짓다 θ ′ , \displaystyle u_{x}=u\cos \theta, u_{y}=u\sin \theta,\cHB u_{x}=u'\cos \theta ',} (극좌표 참조) 그러면 찾을[2] [9]
속도 변환 (평면 극성 구성 요소) u = u ′ 2 + v 2 + 2 v u ′ cas θ ′ − ( v u ′ 죄를 짓다 θ ′ c ) 2 1 + v c 2 u ′ cas θ ′ , 햇볕에 그을리다 θ = u y u x = 1 − v 2 c 2 u y ′ u x ′ + v = 1 − v 2 c 2 u ′ 죄를 짓다 θ ′ u ′ cas θ ′ + v . {\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},\\\tan \theta &={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}. \end{정렬}}} u에 대한 세부 정보
u = u x 2 + u y 2 = ( u x ′ + v ) 2 + ( 1 − v 2 c 2 ) u y ′ 2 1 + v c 2 u x ′ = u x ′ 2 + v 2 + 2 u x ′ v + ( 1 − v 2 c 2 ) u y ′ 2 1 + v c 2 u x ′ = u ′ 2 cas 2 θ ′ + v 2 + 2 v u ′ cas θ ′ + u ′ 2 죄를 짓다 2 θ ′ − v 2 c 2 u ′ 2 죄를 짓다 2 θ ′ 1 + v c 2 u x ′ = u ′ 2 + v 2 + 2 v u ′ cas θ ′ − ( v u ′ 죄를 짓다 θ ′ c ) 2 1 + v c 2 u ′ cas θ ′ {\displaystyle {\displaysty}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y} }^{2}}}=ᆬ+(1-{\frac{v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac{v}{c^{2}}}u_{)}'}}=ᆲ'^ᆳ+v^ᆴ+2u_ᆵ'v+(1-{\frac{v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac{v}{c^{2}}}u_{)}'}}\\&, ={\frac{\sqrt{u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos\theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac{{2v^}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\the.있을 ' }}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}} 주어진 증거는 매우 형식적이다. 아래의 것과 같이 좀 더 계몽적일 수 있는 다른 관련 증거들이 있다.
4-벡터 및 로렌츠 변환 매트릭스를 사용한 증거
상대론적 변환은 평면 내 기하학적 회전이 x축 빛의 속도 로서 상대론적 공식 전체에 걸쳐 나타난다. 길이와 시간을 같은 단위로 측정하는 시스템에서 빛의 속도는 치수가 없고 1 과 같다. 그리고 나서 속도는 빛의 속도의 일부로 표현된다.
상대적 변환법을 찾으려면 해안에서 멀리 떨어진 배의 움직임인 4진법 (V 0 , V 1 , 0,) 과 배에서 측정된 것처럼 배에서 멀리 떨어진 움직임 인 U′ 0 = 1 , 2 ) 3 4폭 은 상대론적 길이 가 1 , 미래 지향적이고 스페이스타임에 사물의 세계선과 접하는 4폭 으로 정의된다.여기서 V 0 시간 구성요소와 V 1 해안에서 본 선박 속도의 x 구성요소 x축은x-y 그 결과 속도의 몇 가지 구성 요소가 0 이 된다: V 2 = V 3 = U 3
보통 속도는 시간 좌표가 증가하는 속도에 대해 공간 좌표가 증가하는 속도의 비율이다.
v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) = ( V 1 / V 0 , 0 , 0 ) , u ′ = ( u 1 ′ , u 2 ′ , u 3 ′ ) = ( U 1 ′ / U 0 ′ , U 2 ′ / U 0 ′ , 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0),\\\mathbf {u'} &=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_{2}/U'_{0},0)\end{aligned}}} V 1 이기 때문에
V 0 2 − V 1 2 = 1 , {\displaystyle V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,} 그렇게
V 0 = 1 / 1 − v 1 2 = γ , V 1 = v 1 / 1 − v 1 2 = v 1 γ . {\displaystyle V_{0}=1/{\sqrt{1-v_{1}^{1}:{1}}\\gamma,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt{1-v_{1}^{1}}}}=v_{1}}}}\gamma. } 선박 프레임에서 측정된 속도를 해안 프레임으로 변환하는 로렌츠 변환 매트릭스는 로렌츠 변환 페이지에 기술된 변환 의 역행이므로, 거기에 나타나는 마이너스 기호는 여기서 반전되어야 한다.
( γ v 1 γ 0 0 v 1 γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\pmatrix}\display &v_{1}\reason &0&0\\nd{pmatrix}\displaysty &0&0&0&0&0\nd{pmatrix}}} 이 행렬은 순수 시간축 벡터(1, 0, 0, 0 ) 를 (V 0 ,0 1 , , 그 모든 열은 상대론적으로 서로 직교하므로 로렌츠 변환을 정의한다.
만약 파리가 배틀에 4폭의 U 새로운 = (U0 1 ,U 2 ,U 3 .
U 0 = V 0 U 0 ′ + V 1 U 1 ′ , U 1 = V 1 U 0 ′ + V 0 U 1 ′ , U 2 = U 2 ′ , U 3 = U 3 ′ . {\displaystyle {\reasoned} U_{0}&=V_{0} U'_{0}+V_{1 }U'_{1},\\U_{1}&=V_{1} U'_{0}+V_{0 }}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}. \end{정렬}}} 시간 성분 U 0 나누고, 3-벡터 u′ U′
u 1 = v 1 + u 1 ′ 1 + v 1 u 1 ′ , u 2 = u 2 ′ ( 1 + v 1 u 1 ′ ) 1 V 0 = u 2 ′ 1 + v 1 u 1 ′ 1 − v 1 2 , u 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_{2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{aligned}}} 상대론적 구성법의 형태는 멀리서도 동시성이 실패한 영향으로 이해할 수 있다. 병렬 성분의 경우 시간 확장이 속도를 감소시키고, 길이 수축이 증가하며, 두 가지 효과가 소멸된다. 동시성의 실패는 파리가 u′ v 1 ⁄V 0 − v 1 2 )
일반 구성 3-속도 u u ′x축 에 평행한 v-축 프라이밍되지 않은 프레임의 속도 벡터 u 속도 이를 상대 속도 벡터 v
u = u ∥ + u ⊥ , u ′ = u ∥ ′ + u ⊥ ′ , {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\mathbf {u} _{\perp }}\mathbf {u}=\mathbf {u}{\perp}} 그런 다음 일반적인 데카르트 단위 벡터(Cartesian unit basis )를x y z
u ∥ = u x e x , u ⊥ = u y e y + u z e z , v = v e x , {\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},} 표준 구성에 대한 결과를 사용하여
u ∥ = u ∥ ′ + v 1 + v ⋅ u ∥ ′ c 2 , u ⊥ = 1 − v 2 c 2 u ⊥ ′ 1 + v ⋅ u ∥ ′ c 2 . {\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}. } ·는 도트 제품 이다. 이들은 벡터 방정식이기 때문에 어떤 방향 에서든 v 좌표식과의 유일한 차이점은 위의 식이 성분이 아닌 벡터 를 가리킨다는 것이다.
얻는다
u = u ∥ + u ⊥ = 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 [ α v u ′ + v + ( 1 − α v ) ( v ⋅ u ′ ) v 2 v ] ≡ v ⊕ u ′ , {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',} 여기서 α v 1/4 은v 로렌츠 인자 의 역수다. 정의에서 피연산자의 순서는 공식이 파생된 표준 구성의 순서와 일치하도록 선택된다.
대수학
u ∥ ′ + v 1 + v ⋅ u ′ c 2 + α v u ⊥ ′ 1 + v ⋅ u ′ c 2 = v + v ⋅ u ′ v 2 v 1 + v ⋅ u ′ c 2 + α v u ′ − α v v ⋅ u ′ v 2 v 1 + v ⋅ u ′ c 2 = 1 + v ⋅ u ′ v 2 ( 1 − α v ) 1 + v ⋅ u ′ c 2 v + α v 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 u ′ = 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v + α v 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 u ′ + 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v ⋅ u ′ v 2 ( 1 − α v ) v = 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v + α v 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 u ′ + 1 c 2 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v ⋅ u ′ v 2 / c 2 ( 1 − α v ) v = 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v + α v 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 u ′ + 1 c 2 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v ⋅ u ′ ( 1 − α v ) ( 1 + α v ) ( 1 − α v ) v = 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 [ α v u ′ + v + ( 1 − α v ) ( v ⋅ u ′ ) v 2 v ] . {\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\mathbf{너}'_{\parallel}+\mathbf{v}}의}{c^{2}}}}}+{\frac{\alpha_{v}\mathbf{u}'_{\perp}}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}'}{c^{2}}}}}&={\frac{\mathbf{v}+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{v^{2}}}\mathbf{v}}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \math\cdot \mathbf{u}{1+{\frac{\mathbf{v}.남자 친구{ U}'}{c^{2}}}}}+{\frac{\alpha_{v}\mathbf{u}'-\alpha _{v}{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{v^{2}}}\mathbf{v}}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{c^{2}}}}}\\&, ={\frac{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{v^{2}}}(1-\alpha_{v})}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{c^{2}}}}}\mathbf{v}+\alpha _{v}{\frac{1}{1+{\fr.교류{ \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{c^{2}}}}}\mathbf{u}'\\&, ={\frac{1}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{c^{2}}}}}\mathbf{v}+\alpha _{v}{\frac{1}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{c^{2}}}}}\mathbf{u}'+{\frac{1}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{c^{2}}}}}{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{v^{2}}}(1-\alpha_{.v})) Mathbf{v}\\&, ={\frac{1}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}'}{c^{2}}}}}\mathbf{v}+\alpha _{v}{\frac{1}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{c^{2}}}}}\mathbf{u}'+{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{1}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{c^{2}}}}}{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{v^{2}{2}}}(1-\alpha_{v})\mathbf{v}\\&am.p/&){\fra C{1}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{c^{2}}}}}\mathbf{v}+\alpha _{v}{\frac{1}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}'}{c^{2}}}}}\mathbf{u}'+{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{1}{1+{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}'}{c^{2}}}}}{\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{(1-\alpha_{v})(1+\alpha_{v})}},){년{v}\\&(1-\alpha_{v})\mathbf.프라크 {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]. \end{정렬}}} V
다른 구성 요소는 전체 벡터의 대체에 의해 제거되기 때문에 각 벡터에 대한 병렬 또는 수직 구성 요소를 찾을 필요가 있다.
u ′전체 벡터를 투영함 으로써 찾을 수 있다.
u ∥ ′ = v ⋅ u ′ v 2 v , {\displaystyle \mathbf {u} '_{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u}{v^{2}}}\mathbf {v},} u' 교차 제품 의 기하학적 특성에 의해 찾을 수 있다(오른쪽 위 그림 참조).
u ⊥ ′ = − v × ( v × u ′ ) v 2 . {\displaystyle \mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} \mathbf {u}}{v^{2}}. } 각각 /v 는 상대 운동 방향의 단위 벡터 다.
u u ⊥ 표현은 같은 방법으로 찾을 수 있다.병렬 구성 요소 대체
u = u ∥ ′ + v 1 + v ⋅ u ∥ ′ c 2 + 1 − v 2 c 2 ( u − u ∥ ′ ) 1 + v ⋅ u ∥ ′ c 2 , {\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},} 위 방정식을 도출한다.[10]
α v {\ displaystyle \alpha _{v} γ v {\ displaystyle \gamma _ [11] [nb 1] v}
v ⊕ u ′ ≡ u = 1 1 + u ′ ⋅ v c 2 [ v + u ′ γ v + 1 c 2 γ v 1 + γ v ( u ′ ⋅ v ) v ] = 1 1 + u ′ ⋅ v c 2 [ v + u ′ + 1 c 2 γ v 1 + γ v v × ( v × u ′ ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\ \&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}} 전방(v 양극, S → S') 방향으로 v ⊕ u ≡ u ′ = 1 1 − u ⋅ v c 2 [ u γ v − v + 1 c 2 γ v 1 + γ v ( u ⋅ v ) v ] = 1 1 − u ⋅ v c 2 [ u − v + 1 c 2 γ v 1 + γ v v × ( v × u ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\ \&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}} 여기서 마지막 식은 표준 벡터 분석 공식 v × (v u ) =v u )v (v ⋅ v )u 첫 번째 표현은 임의의 공간 차원으로 확장되지만 교차 제품은 3차원 으로만 정의된다. A B 물체 C 속도 v A u 특히 3개의 틀이 될 수도 있고, 혹은 실험실이 될 수도 있고, 썩어가는 입자일 수도 있고, 썩어가는 입자의 부패 산물 중 하나가 될 수도 있다.
특성. 상대론적 3-블록의 추가는 비선형적이므로, 일반적으로 3-블록의 추가는 비선형적 이다.
( λ v ) ⊕ ( λ u ) ≠ λ ( v ⊕ u ) , {\displaystyle(\data \mathbf {v} )\oplus(\data \mathbf {u} )\neq \mathbf {v}\oplus \mathbf {u}),} 는 것은 사실이지만 실제 숫자 λ
( − v ) ⊕ ( − u ) = − ( v ⊕ u ) , {\displaystyle(-\mathbf {v} )\oplus(-\mathbf {u})=-(\mathbf {v}\oplus \mathbf {u}),} 또한, 마지막 조건 때문에, 일반적으로 어느 쪽도 상쇄 되지 않는다.
v ⊕ u ≠ u ⊕ v , {\displaystyle \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v},} 전혀 연상되지 않는
v ⊕ ( u ⊕ w ) ≠ ( v ⊕ u ) ⊕ w . {\displaystyle \mathbf {v} \oplus(\mathbf {u} \oplus \mathbf {w})\neq(\mathbf {v} \plus \mathbf {u}\oplus \mathbf {w}.}} u v′ -u 로 이동하고, 프라이밍된 프레임은 속도 -valuo 따라서 이중 프라이밍된 프레임(-vu doub -u) 은 이중 프라이밍된 프레임에 상대적인 프라이밍되지 않은 프레임의 속도이며, 상호주의 원리의 순진한 적용에 의해 u ′ =-(-v′ ⊕ -u) 를 기대할 수 있다. 비록 크기가 같기는 하지만, 이것은 지탱하지 못한다. 프라이밍되지 않은 프레임과 이중 프라이밍된 프레임은 평행하지 않고 회전을 통해 연관된다. 이것은 토마스의 전횡 현상과 관련이 있으며, 여기서 더 이상 다루지 않는다.
규범은 에 의해[12]
u 2 ≡ v ⊕ u ′ 2 = 1 ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 [ ( v + u ′ ) 2 − 1 c 2 ( v × u ′ ) 2 ] = u ′ ⊕ v 2 . {\displaystyle \mathbf {u} ^{2}\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ' ^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]= \mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} ^{2}. } 그리고
u ′ 2 ≡ v ⊕ u 2 = 1 ( 1 − v ⋅ u c 2 ) 2 [ ( u − v ) 2 − 1 c 2 ( v × u ) 2 ] = u ⊕ v 2 . {\displaystyle \mathbf {u} ' ^{2}\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]= \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ^{2}. } 증거를 보려면 여기를 클릭하십시오.
( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 v ⊕ u ′ 2 = [ v + u ′ + 1 c 2 γ v 1 + γ v v × ( v × u ′ ) ] 2 = ( v + u ′ ) 2 + 2 1 c 2 γ v γ v + 1 [ ( v ⋅ u ′ ) 2 − ( v ⋅ v ) ( u ′ ⋅ u ′ ) ] + 1 c 4 ( γ v γ v + 1 ) 2 [ ( v ⋅ v ) 2 ( u ′ ⋅ u ′ ) − ( v ⋅ u ′ ) 2 ( v ⋅ v ) ] = ( v + u ′ ) 2 + 2 1 c 2 γ v γ v + 1 [ ( v ⋅ u ′ ) 2 − ( v ⋅ v ) ( u ′ ⋅ u ′ ) ] + v 2 c 4 ( γ v γ v + 1 ) 2 [ ( v ⋅ v ) ( u ′ ⋅ u ′ ) − ( v ⋅ u ′ ) 2 ] = ( v + u ′ ) 2 + 2 1 c 2 γ v γ v + 1 [ ( v ⋅ u ′ ) 2 − ( v ⋅ v ) ( u ′ ⋅ u ′ ) ] + ( 1 − α v ) ( 1 + α v ) c 2 ( γ v γ v + 1 ) 2 [ ( v ⋅ v ) ( u ′ ⋅ u ′ ) − ( v ⋅ u ′ ) 2 ] = ( v + u ′ ) 2 + 2 1 c 2 γ v γ v + 1 [ ( v ⋅ u ′ ) 2 − ( v ⋅ v ) ( u ′ ⋅ u ′ ) ] + ( γ v − 1 ) c 2 ( γ v + 1 ) [ ( v ⋅ v ) ( u ′ ⋅ u ′ ) − ( v ⋅ u ′ ) 2 ] = ( v + u ′ ) 2 + 2 1 c 2 γ v γ v + 1 [ ( v ⋅ u ′ ) 2 − ( v ⋅ v ) ( u ′ ⋅ u ′ ) ] + ( 1 − γ v ) c 2 ( γ v + 1 ) [ ( v ⋅ u ′ ) 2 − ( v ⋅ v ) ( u ′ ⋅ u ′ ) ] = ( v + u ′ ) 2 + 1 c 2 γ v + 1 γ v + 1 [ ( v ⋅ u ′ ) 2 − ( v ⋅ v ) ( u ′ ⋅ u ′ ) ] = ( v + u ′ ) 2 − 1 c 2 v × u ′ 2 {\displaystyle{\begin{정렬}(1+{\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}'}{c^{2}}}\right)^{2}\mathbf{v}\oplus\mathbf{u}의 ^{2}&, =\left[\mathbf{v}+\mathbf{너}'+{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{\gamma_{v}}{1+\gamma_{v}}}\mathbf{v}\times(\mathbf{v}\times \mathbf{너}의)\right]^{2}\\&, =(\mathbf{v}+\mathbf{너}')^{2}+2{\frac{1}{c^{2.}}}{\fra c {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cd ot \mathbf {v} )\right]\ \&, =(\mathbf{v}+\mathbf{너}')^{2}+2{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{\gamma_{v}}{\gamma_{v}+1}}\left[(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}의)^{2}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})(\mathbf{너}'\cdot\mathbf{너}의)\right]+{\frac{{2v^}}{c^{4}}}\left({\frac{\gamma_{v}}{\gamma_{v}+1}}\right)^{2}\left -LSB-(\mathbf{v}\cdot{v}\mathbf)(\mathbf{u}'\cdot \mat.hbf {u} '-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\오른쪽]\ \&, =(\mathbf{v}+\mathbf{너}')^{2}+2{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{\gamma_{v}}{\gamma_{v}+1}}\left[(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}의)^{2}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})(\mathbf{너}'\cdot\mathbf{너}의)\right]+{\frac{(1-\alpha_{v})(1+\alpha_{v})}{c^{2}}}\left({\frac{\gamma_{v}}{\gamma_{v}+1}}\right)^{2}\left -LSB-(\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}. )(\m atsbf {u} '\cdot \mathbf {u}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u}')^{2}\오른쪽]\ \&, =(\mathbf{v}+\mathbf{너}')^{2}+2{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{\gamma_{v}}{\gamma_{v}+1}}\left[(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}의)^{2}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})(\mathbf{너}'\cdot\mathbf{너}의)\right]+ᆳᆴ(\gamma_{v}+1)}}\left -LSB-(\mathbf{v}\cdot{v}\mathbf)(\mathbf{너}'\cdot\mathbf{너}')-(\mathbf{v}\cdo.t\m atsbf {u} ')^{2}\오른쪽]\ \&, =(\mathbf{v}+\mathbf{너}')^{2}+2{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{\gamma_{v}}{\gamma_{v}+1}}\left[(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}의)^{2}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})(\mathbf{너}'\cdot\mathbf{너}의)\right]+ᆳᆴ(\gamma_{v}+1)}}\left -LSB-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}')^ᆵ-(\mathbf{v}\cdot{v}\mathbf)(\mathbf{u}.\cdo t \mathbf {u} ')\오른쪽]\ \&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\ \&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}} \mathbf {v}\mathbf {u} \mathbf {u} '^{2}\end{igned}}}}}}}}}}}}} -v의 경우 v u u u 를 스와핑하는 표준 절차 를 사용하여 발견된 역 공식.
표준 제곱은 부스트의 두 순서에 대해 동일하기 때문에 부스트가 두 개 포함되었을 때 비확정성이 좌표 프레임 의 추가 회전으로 나타난다.
결합된 속도에 대한 감마 인수는 다음과 같이 계산된다.
γ u = γ v ⊕ u ′ = [ 1 − 1 c 2 1 ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 ( ( v + u ′ ) 2 − 1 c 2 ( v 2 u ′ 2 − ( v ⋅ u ′ ) 2 ) ) ] − 1 2 = γ v γ u ′ ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) , γ u ′ = γ v γ u ( 1 − v ⋅ u c 2 ) {\displaystyle \gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\math bf {v} \c^{2}}}\우측)\i1\i1}\i1\i1\i1\i1\i1-{{{{{}\i1}\i1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u}{c^2}}\rig}\right}}} 자세한 증거를 보려면 클릭하십시오.
γ v ⊕ u ′ = [ c 3 ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 c 2 ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 − 1 c 2 ( v + u ′ ) 2 − 1 c 2 ( v 2 u ′ 2 − ( v ⋅ u ′ ) 2 ) ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 ] − 1 2 = [ c 2 ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 − ( v + u ′ ) 2 + 1 c 2 ( v 2 u ′ 2 − ( v ⋅ u ′ ) 2 ) c 2 ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 ] − 1 2 = [ c 2 ( 1 + 2 v ⋅ u ′ c 2 + ( v ⋅ u ′ ) 2 c 4 ) − v 2 − u ′ 2 − 2 ( v ⋅ u ′ ) + 1 c 2 ( v 2 u ′ 2 − ( v ⋅ u ′ ) 2 ) c 2 ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 ] − 1 2 = [ 1 + 2 v ⋅ u ′ c 2 + ( v ⋅ u ′ ) 2 c 4 − v 2 c 2 − u ′ 2 c 2 − 2 c 2 ( v ⋅ u ′ ) + 1 c 4 ( v 2 u ′ 2 − ( v ⋅ u ′ ) 2 ) ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 ] − 1 2 = [ 1 + ( v ⋅ u ′ ) 2 c 4 − v 2 c 2 − u ′ 2 c 2 + 1 c 4 ( v 2 u ′ 2 − ( v ⋅ u ′ ) 2 ) ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 ] − 1 2 = [ ( 1 − v 2 c 2 ) ( 1 − u ′ 2 c 2 ) ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 ] − 1 2 = [ 1 γ v 2 γ u ′ 2 ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) 2 ] − 1 2 = γ v γ u ′ ( 1 + v ⋅ u ′ c 2 ) {\displaystyle{\begin{정렬}\gamma _{\mathbf{v}\oplus\mathbf{u}의}&=\left는 경우에는{\frac{c^{3}(1+{\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}'}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}'}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{{2(\mathbf{v}+\mathbf{너}')^}-{\frac{1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}')^{2})}{.(1+{ \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}의}{c^{2}}})^{2}}}\right 해결 ^{-{\frac{1}{2}}}\\&, =\left[{\frac{{2}(1+{\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}'}{{2}c^}})^{2}-(\mathbf{v}+\mathbf{너}의)^{2}+{\frac{1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}의)^{2})}{c^{2}(1+{\frac{\mathbf{v}\cdot{너}\mathbf'}{c^{2}}})^{2}}}\right c^]^{-{\frac{1}.{2}} }\\&, =\left[{\frac{{2}(1+2{\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}'}{{2}c^}}와{\frac{(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}의)^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^ c^{2}-2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}의)+{\frac{1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}의)^{2})}{c^{2}(1+{\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}'}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac{1}{2}}}\\&.;=\left는 경우 {\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right] ^{-{\frac{1}{2}}}\\&, =\left[{\frac{1+{\frac{(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}의)^{2}}{c^{4}}}-{\frac{v^{2}}{c^{2}}}-{\frac{u'^{2}}{c^{2}}}와{\frac{1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}의)^{2})}{(1+{\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{너}'}{{2}}c^})^{2}}}\right]^{-{\frac{1}{2}}}\\&, =\left는 경우에는{\frac{(1-{\frac{v^{2}}{c^{2}}})(1-{.\frac{마 '^{2}}{c^{2}}})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})\end{aligned}}} -v의 경우 v u u u 를 스와핑하는 표준 절차 를 사용하여 발견된 역 공식.
논설 규약 속도 추가에 대한 표기 및 규칙은 작성자에 따라 다르다. 작동 또는 관련된 속도에 대해 다른 기호를 사용할 수 있으며, 피연산자를 동일한 표현으로 전환하거나 기호를 동일한 속도로 전환할 수 있다. 변환 속도에는 여기서 사용되는 프라임 대신 완전히 별도의 기호를 사용할 수도 있다. 속도 추가는 비확산이므로 결과를 변경하지 않고는 피연산자나 기호를 전환할 수 없다.
대체 표기법의 예는 다음과 같다.
특정 피연산자 없음 Landau & Lifshitz(2002) (c = 1) 단위 사용)
v r e l 2 = 1 ( 1 − v 1 ⋅ v 2 ) 2 [ ( v 1 − v 2 ) 2 − ( v 1 × v 2 ) 2 ] {\displaystyle \mathbf {v_{rel}} ^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]} 피연산자의 왼쪽에서 오른쪽으로 순서 지정 모카누 (1992년)
u ⊕ v = 1 1 + u ⋅ v c 2 [ v + u + 1 c 2 γ u γ u + 1 u × ( u × v ) ] {\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]} 언가르 (1988)
u ∗ v = 1 1 + u ⋅ v c 2 [ v + u + 1 c 2 γ u γ u + 1 u × ( u × v ) ] {\displaystyle \mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]} 피연산자의 오른쪽에서 왼쪽 순서 섹스앤어반트케(2001)
w ∘ v = 1 1 + v ⋅ w c 2 [ w γ v + v + 1 c 2 γ v γ v + 1 ( w ⋅ v ) v ] {\displaystyle \mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]} 적용들 도플러 시프트, 빛의 일탈, 그리고 움직이는 물에서 빛의 끌기에 속도 추가 공식의 일부 고전적인 적용은 이러한 현상에 대해 상대론적으로 유효한 표현을 산출하는 것이 아래에 자세히 설명되어 있다. 또한 전기자기학에 의존하지 않고 운동량 보존(일반적인 회전 불변성에 호소함), 운동량 4벡터 의 3벡터 부분의 올바른 형태 또는 유효 하다고 알려져 있지 않은 라그랑기 공식 의 상대론적 버전을 가정하여 속도 추가 공식을 사용할 수도 있다. 이것은 상대론적인 당구공을 서로 튕겨내는 실험주의자를 포함한다. 이 내용은 여기에서 자세히 설명되지 않지만, 참조 Lewis & Tolman(1909) Wikisource 버전 (주요 소스)과 Sard(1970 , 섹션 3.2)를 참조하십시오.
피조 실험 프랑스의 물리학자 히폴리테 피조 (1819–1896)는 1851년 흐르는 물 속에서 빛의 속도를 가장 먼저 측정했다. 빛이 매개체에서 전파될 때, 그 속도는 매개체의 나머지 프레임 m c ⁄n m n m m 굴절 지수다 . 실험실 프레임에서 측정한 양의 x 방향으로V 전진 방향(표준 구성, n index m)의 경우,[13]
c m = V + c m ′ 1 + V c m ′ c 2 = V + c n 1 + V c n c 2 = c n 1 + n V c 1 + V n c = c n ( 1 + n V c ) 1 1 + V n c = ( c n + V ) ( 1 − V n c + ( V n c ) 2 − ⋯ ) . {\displaystyle{\begin{정렬}c_{m}&, ={\frac{V+c_{m}의}{1+{\frac{Vc_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac{V+{\frac{c}{n}}}{1+{\frac{Vc}{nc^{2}}}}}={\frac{c}{n}}{\frac{1+{\frac{nV}{c}}}{1+{\frac{V}{nc}}}}\\&, ={\frac{c}{n}}(1+{\frac{nV}{c}}){\frac{1}{1+{\frac{V}{nc}}}}=({\frac{c}{n}}+V)\left(1-{\frac{V}{nc}}+\left({\frac{V}{nc}}\right)^{2}-\cd.ots \rig ht).\end{aigned}} 가장 큰 기여를 명백하게 수집하고,
c m = c n + V ( 1 − 1 n 2 − V n c + ⋯ ) . {\displaystyle c_{m}={\frac {c}{n}}+V(1-{{\frac {1}{n^{2}}-{\frac {V}{nc}+\cdots). } 피조는 처음 세 용어를 찾았다.[14] [15] 고전적인 결과는 처음 두 용어다.
빛의 일탈 또 다른 기본적인 적용은 빛의 일탈 이라고 불리는 평행 축을 가진 새로운 기준 프레임으로 변환할 때 빛의 편차, 즉 그 방향의 변화를 고려하는 것이다.이 경우 v v v c 태닝 θ
햇볕에 그을리다 θ = 1 − V 2 c 2 c 죄를 짓다 θ ′ c cas θ ′ + V = 1 − V 2 c 2 죄를 짓다 θ ′ cas θ ′ + V c . {\displaystyle \tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}. } 이 경우에는 표준 공식에서 죄악 θ cos θ [16]
죄를 짓다 θ = 1 − V 2 c 2 죄를 짓다 θ ′ 1 + V c cas θ ′ , {\displaystyle{\begin}\sin \theta &={\frac {{1-{\sqrt{V^{2}}:}\sin \theta '}{1+{\frac{V}}}}}}}}\coses \teta '},\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}? 삼각법
v y v = 1 − V 2 c 2 v y ′ 1 + V c 2 v x ′ v ′ 2 + V 2 + 2 V v ′ cas θ ′ − ( V v ′ 죄를 짓다 θ ′ c ) 2 1 + V c 2 v ′ cas θ ′ = c 1 − V 2 c 2 죄를 짓다 θ ′ c 2 + V 2 + 2 V c cas θ ′ − V 2 죄를 짓다 2 θ ′ = c 1 − V 2 c 2 죄를 짓다 θ ′ c 2 + V 2 + 2 V c cas θ ′ − V 2 ( 1 − cas 2 θ ′ ) = c 1 − V 2 c 2 죄를 짓다 θ ′ c 2 + 2 V c cas θ ′ + V 2 cas 2 θ ′ = 1 − V 2 c 2 죄를 짓다 θ ′ 1 + V c cas θ ′ , {\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{v_{y}}{v}}&={\frac{\frac{{\sqrt{1-{\frac{V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac{V}{c^{2}}}v_{)}'}}{\frac{\sqrt{v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos('-({\frac{Vv'\sin \theta'}{c}})^{2}}}{1+{\frac{V}{c^{2}}}v'\cos \theta의}}}\\&, ={\frac{c{\sqrt{1-{\frac{V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta의}{\sqrt{c^{2}+V^{2}+2Vc.\cos \th 에타 '-V^{2}\sin ^{2}\theta의}}}\\&, ={\frac{c{\sqrt{1-{\frac{V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta의}{\sqrt{c^{2}+V^{2}+2Vc\cos('-V^ᆯ(1-\cos ^{2}\theta')}}}={\frac{c{\sqrt{1-{\frac{V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta의}{\sqrt{c^{2}+2Vc\cos\theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta의}}}\\&, ={\frac{{\sqrt{1-{\frac{V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta'}{1+{\frac. {V}{c}}) \theta '}},\end{aigned}}} cas θ = V c + cas θ ′ 1 + V c cas θ ′ , {\displaystyle \cos \theta ={\frac {{V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}}}cos \cos \theta '},} 제임스 브래들리 (1693–1762) FRS 는 에테르 존재에 근거하여 19세기에 만연된 후기 이론들과 대립하면서 고전적 차원에서 올바른 빛의 일탈에 대한 설명을 제공했다.[17] 삼각측량 조작은 기본적 으로 코즈 케이스 에서 죄악 케이스의 조작과 동일하다. 차이점을 생각해봐
죄를 짓다 θ − 죄를 짓다 θ ′ = 죄를 짓다 θ ′ ( 1 − V 2 c 2 1 + V c cas θ ′ − 1 ) ≈ 죄를 짓다 θ ′ ( 1 − V c cas θ ′ − 1 ) = − V c 죄를 짓다 θ ′ cas θ ′ , {\displaystyle{\begin}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \sin \theta '\frqrt{1-{V^{2}}:}{1+{c^{{v}}}}}}}}\coses \ta '}-1\right) \&\cHBFFF}\sin \theta \좌측(1-{\frac {V}{c}}\c}\cos \cos \cos \theta ',\ended{aigned}}}}}}}} ½c 작은 각도 근사치를 삼각 공식으로 만들기 위해 고용한다.
죄를 짓다 θ ′ − 죄를 짓다 θ = 2 죄를 짓다 1 2 ( θ ′ − θ ) cas 1 2 ( θ + θ ′ ) ≈ ( θ ′ − θ ) cas θ ′ , {\displaystyle {\signed}\sin \theta \thin \theta &=2\sin {\frac {1}{1}:{1}cos {\frac {1}{1}{1}}}\cos \tea '-\ta'\cos \coses \ta,\corsigned} 어디cos.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-p.Arser-output≈. 왜냐하면 θ′, sin1(θ − θ′)≈ 1(θ − θ′)사용되었습니다 .sr-onlyᆬ1(θ+θ′).
따라서 수량
Δ θ ≡ θ ′ − θ = V c 죄를 짓다 θ ′ , {\displaystyle \Delta \delta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',} 고전적 이상각 은 한계 V c 0 에서 구한다.
상대론적 도플러 시프트 크리스티안 도플러 (1803–1853)는 파동의 관측 빈도가 소스와 관찰자의 상대적 속도에 따라 달라진다는 것을 발견한 오스트리아의 수학자 겸 물리학자였다.여기서 속도 구성요소 는 더 큰 일반성을 위해 속도 와 반대로 사용되며, 겉보기에는 마이너스 기호의 임시 도입을 피하기 위해 사용된다. 여기서 발생하는 마이너스 부호는 대신 빛의 속도보다 작은 속도를 고려할 때 형상을 밝게 하는 역할을 할 것이다.
진공에서 광파의 경우, 단순한 기하학적 관측만으로도 표준 구성에서 도플러 이동(관측 광파의 상대 속도 및 관측된 광파의 상대 속도)을 계산하기에 충분하다.
다음의 모든 속도는 공통의 양의 x 방향과 평행하므로 속도 구성요소의 첨자가 떨어진다. 관찰자 프레임에서 기하학적 관측치 소개
λ = − s T + V T = ( − s + V ) T {\displaystyle \lambda =-sT+VT=(-s+V) T} 두 펄스 사이의 공간 거리 또는 파장 (파장)으로, 여기서 T 공간의 같은 지점 에서 두 펄스의 통과 사이에 경과한 시간은 시간 주기 τ 이고, 그 역 ν 1 ½은 주파수 다.방출체 프레임의 해당 수량에 프라임이 부여된다.[18]
광파의 경우
s = s ′ = − c , {\displaystyle s=s'=-c,} 그리고[2] [19] [20]
ν = − s λ = − s ( V − s ) T = c ( V + c ) γ V T ′ = ν ′ c 1 − V 2 c 2 c + V = ν ′ 1 − β 1 + β . {\displaystyle \nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s) T}={c \over (V+c)\감마 _{{V}} T'}}=\nu '{\frac {c{\sqrt{1-{V^{2} \over c^{2}}:}{c+V}}=\nu '{\sqrt{1-\beta}}}}}}\}}\, } 여기서 T γT V 시간 확장 공식이다.
그 대신 파동이 속도 속도 ′ 이라고 가정하자. 그렇다면 일반적으로 기하학적 관측은 정확 하게 동일하다. 하지만 이제 s s ≠s s
s = s ′ + V 1 + s ′ V c 2 . {\displaystyle s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}. } 여기서 calculation = ½ 1 실행 발견하다
τ = 1 γ V ν ′ ( 1 1 + V s ′ ) , ν = γ V ν ′ ( 1 + V s ′ ) {\displaystyle \tau ={1 \over \gamma _{V}\nu '}}\좌({\frac {1}{1+{V \over s')\quad \nu _{V}\좌({V \over s}\우)}
파생상세
L − s = ( − s ′ − V 1 + s ′ V c 2 + V ) T − s ′ − V 1 + s ′ V c 2 = γ V ν ′ − s ′ − V + V ( 1 + s ′ V c 2 ) − s ′ − V = γ V ν ′ ( s ′ ( 1 − V 2 c 2 ) s ′ + V ) = γ V ν ′ ( s ′ γ − 2 s ′ + V ) = 1 γ V ν ′ ( 1 1 + V s ′ ) . {\displaystyle {\begin{aigned}{L \over -s}&={\frac {\frac {-s'-V}{1+{sV \over c^{2}}+V\right) T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\ \&={\gamma _{_V}\over \nu '}\왼쪽({\frac {s'\gamma^{-2}}:{s}+V}\오른쪽) \\&={1 \over \gamma _{V}\nu '}\왼쪽({\frac {1}{1+{V \over s}}}\오른쪽). \\end{aigned}} 일반적인 경우, 입력 s negative가 음수임 을 관찰한다. 그러나 그 공식은 일반적 타당성이 있다.[nb 2] s ′ -c , 위의 광파에 대해 직접 계산한 공식으로 공식이 감소하면,
ν = ν ′ γ V ( 1 − β ) = ν ′ 1 − β 1 − β 1 + β = ν ′ 1 − β 1 + β . {\displaystyle \nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,. } 만약 방출체가 빈 공간에서 총알을 쏘지 않고 매질에서 파동을 내뿜고 있다면, 그 공식은 여전히 적용 되지만, 지금은 우선 매체에 상대적인 방출체의 속도에서 s ′
광선 방출기의 경우로 돌아가 관찰자와 방출자가 시준되지 않은 경우 결과는 거의 수정되지 않는다.[2] [21] [22]
ν = γ V ν ′ ( 1 + V s ′ cas θ ) , {\displaystyle \nu =\gamma _{V}\nu '\좌측(1+{\frac {V}{s'}}}\cos \theta \우측),} 여기서 θ 이는 θ 0일 때 콜린어 모션의 경우 이전 결과로 감소하지만, θ π /2로렌츠 인수 에 의해 이동된다. 이것은 고전적인 광학 도플러 효과에서는 일어나지 않는다.
쌍곡 기하학 sinh , cosh , tanh 기능.tanh 함수는 상대론적 속도 -1 < β <+1 에 대한 신속성 -∞ < + 1과 관련된다.물체의β{\ displaystyle boldsymbol beta }}} 신속도 라고 한다. 이것들은 에 의해 연관되어 있다.
s o ( 3 , 1 ) ⊃ s p a n { K 1 , K 2 , K 3 } ≈ R 3 ∋ ζ = β ^ 태닝을 하다 − 1 β , β ∈ B 3 , {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},} where the vector ζ {\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}} Cartesian coordinates on a 3-dimensional subspace of the Lie algebra s o ( 3 , 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)} boost generators K 1 , K 2 , K 3 {\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}} space, 그것을 rapidity space 라 부르며, 벡터 스페이스로서 to 에3 이소모르픽이며 , 위의 관계를 통해 오픈 유니트 볼인 {\ displaystyle \mathbb{B} ^3 [23] 연골형태에 관한 덧셈법은 쌍곡선 탄젠트 첨가법과 일치한다.
태닝을 하다 ( ζ v + ζ u ′ ) = 태닝을 하다 ζ v + 태닝을 하다 ζ u ′ 1 + 태닝을 하다 ζ v 태닝을 하다 ζ u ′ {\displaystyle \tanh(\jeta _{v}+{u'}={\tanh \jeta _{v}+\tanh \zeta _{u'}1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta_{u}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 와 함께
v c = 태닝을 하다 ζ v , u ′ c = 태닝을 하다 ζ u ′ , u c = 태닝을 하다 ( ζ v + ζ u ′ ) . {\displaystyle {v \over c}=\tanh \jeta _{v}\\no'}\cH \tanh \jeta _{u'}\no_\no_,{u \u \c}=\tanh(\v}+\jeta_{u'}). } 속도 공간 B 3 {\ displaystyle \mathb{B} ^3} 요소 는 어떤 프레임에서든 상대론적 상대적 속도 에 대한 표현에서 따르며[24]
v r = ( v 1 − v 2 ) 2 − ( v 1 × v 2 ) 2 1 − v 1 ⋅ v 2 , {\displaystyle v_{r}={\sqrt {\frac {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}},} 여기 i {\ displaystyle v_{i} β i {\ displaystyle \property_{i} 이 displaystyle \mathbf {v} _ displaystyle mathbf {v} _{ v r {\ displaystyle v_{r}} 프레임에서 볼 수 있는 다른 물체에 상대적인 물체 의 속도다표현은 로렌츠 불변성, 즉 어떤 프레임이 주어진 프레임인지 독립적이지만 계산하는 양은 그렇지 않다. 예를 들어 지정된 프레임이 개체 1의 나머지 프레임인 경우 v r v {\ displaystyle v_{r}=v_{2
The line element is found by putting v 2 = v 1 + d v {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v} } β 2 = β 1 + d β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}} [25]
d l β 2 = d β 2 − ( β × d β ) 2 ( 1 − β 2 ) 2 = d β 2 ( 1 − β 2 ) 2 + β 2 1 − β 2 ( d θ 2 + 죄를 짓다 2 θ d φ 2 ) , {\displaystyle dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),} θ φ 의 경우, z 방향으로β {\ displaystyle {\\displaysymbol {\properties } 이제 ζ 를 통해 소개한다.
ζ = ζ = 태닝을 하다 − 1 β , {\displaystyle \zeta = {\\symbol {\\zeta }} =\tanh ^{-1}\reason,} 그리고 쾌속 공간 R 3 {\ displaystyle \mathb {R} ^{3}
d l ζ 2 = d ζ 2 + 징징거리다 2 ζ ( d θ 2 + 죄를 짓다 2 θ d φ 2 ) . {\displaystyle dl_{\barphi ^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}) } 상대론적 입자 충돌 산란 실험에서 일차 목표는 불변 산란 단면 을 측정하는 것이다. 이것은 두 개 이상의 입자를 갖는 것으로 가정되는f {\displaystyle f} [26]
d N f = R f d V d t = σ F d V d t ( 로서 주어진. σ n 1 n 2 v r d V d t 대부분의 교과서에. ) , {\displaystyle dN_{f}=R_{f}dVdt=\sigma FdDdt\quad({}}\text{{1}n_{2}v_{r}ddt{\text{{}대부분 교과서}}))}}} 어디에
d V d t {\displaystyle dVdt} 그것은 로렌츠 변환에 따른 불변성이다. d N f {\ displaystyle dN_{f}} 최종 f {\ displaystyle f} . 숫자 동일 한 spacetime 볼륨을 고려할 때 불변한다. R f F σ {\displaystyle R_{f}=F\sigma } 최종 상태 f {\displaystyle } 수입니다 .이것은 불변이다. F n 1n 2 r {\ displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}}}} 입사 플럭스 라고 한다이것은 불변하기 위해 필요하지만, 가장 일반적인 환경은 아니다. σ {\displaystyle \sigma} 그것은 불변할 필요가 있다. n 1 n 2 {\ displaystyle n_{1},n_{2}}개 이것들 은 길이 수축 으로 인해 명백하게 불변하는 것이 아니다. v r v 2 1 {\ displaystyle v_{r}= \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1} } 상대 속도 다.F n 1 n 2 v {\ displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}} 없다 .상대론적 상대 속도 v e l {\ displaystyle v_{rel}
Non-relativistically, one has for relative speed v r = v 2 − v 1 {\displaystyle v_{r}= \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1} } 1 {\displaystyle 1} v r e l = v r = v 2 . {\displaystyl e v_{rel}=v_{r}= \mathbf {v} _{2} .} light c displaystyle c 설정 v e displaystyle v_ }} 공식 은 일반 구성에서 표준(두 번째 공식)에 대한 공식에서 바로[27] [28]
v r e l = ( v 1 − v 2 ) 2 − ( v 1 × v 2 ) 2 1 − v 1 ⋅ v 2 . {\displaystyle v_{rel}={\sqrt {\frac {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}}. } 이 공식은 고전적 한계 v 1 displaystyle v_{r}= \mathbf { } _{ mathbf {v} _{ 상대 속도는 대부분의, 아마도 모든 입자 물리학과 양자장 이론에 관한 책에서 잘못 제시되어 있다 .[27] 한 입자 유형이 고정되어 있거나 상대 운동이 시준되어 있으면 잘못된 공식에서 올바른 결과를 얻을 수 있기 때문에 이것은 대부분 무해하다. 그 공식은 불변하지만 명백하게 그렇지는 않다. 로서 4개 영역으로 되어 있어 다시 쓸 수 있다.
v r e l = ( u 1 ⋅ u 2 ) 2 − 1 u 1 ⋅ u 2 . {\displaystyle v_{rel}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}{{u_{1}\cdot u_{2}}. } 1945년 크리스티안 뮐러 가[29] [30]
F = n 1 n 1 ( v 1 − v 2 ) 2 − ( v 1 × v 2 ) 2 ≡ n 1 n 2 v ¯ . {\displaystyle F=n_{1}n_{1}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}. } One notes that for collinear velocities, F = n 1 n 2 v 2 − v 1 = n 1 n 2 v r {\displaystyle F=n_{1}n_{2} \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1} =n_{1}n_{2}v_{r}} manifestly Lorentz invariant expression one writes J i = ( n i , n i v i ) {\displaystyle J_{i}=(n_{i} , n_ {i}\mathbf {v}{i}, with i 0 displaystyle n_{i}=\displaystyle n_{i}^{0}}, i 0 [31]
F = ( J 1 ⋅ J 2 ) v r e l . {\displaystyle F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{rel}. } 문헌에서 v'{\ displaystyle {\bar{v} v {\ displaystyle v_{r} 어떤 경우(통계물리학 및 암흑물질 문헌)에서는 v'{\ displaystyle {\bar{v}} 뫼르 속도 라고 하며v r {\ displaystyle v_{r} 실제 상대 속도는 어떤 속도라도 v r e l {\ displaystyle v_{rel} . [31] v r l {\ displaystyle v_{rel} ) v displaystyle {r} LHC 에서는 교차 각도가 약 300μrad로CERN 의 기존 교차 저장 링에서는 약◦ 18 μrad였다.[32]
참고 항목 ^ 이러한 공식은 v 2 대해 α v 뒤집고 두 제곱의 차이 를 적용하여 얻음으로써 나타난다. v 2 = c 2 (1 − α v 2 ) = c 2 (1 − α v α v 하도록 (1 α v v 2 1 c 2 (1 α v γ v / c 2 ( γ v ^ s ′양속 방출기는 프라이밍되지 않은 시스템에서 관찰자를 향해 빠른 총알을 발사한다.이 관례는 -s > V가 최종 속도 s = -c 에 대한 결과에 따라 양 의 주파수를 산출해야 한다는 것이다. 따라서 마이너스 부호는 규범적이 되기까지 하나의 관습이지만 매우 자연스러운 관습이다.
이 공식은 음의 주파수를 발생시킬 수도 있다. 그렇다면 음의 x축에서 이것은 두 가지 원인이 있을 수 있다. 방출기는 큰 양의 속도를 가지고 있고 느린 총알을 발사하고 있다. 방출체가 음속도가 작고 빠른 총알을 발사하는 경우도 있을 수 있다. 그러나 이미터가 음속도가 크고 느린 탄환을 발사하고 있다면 주파수는 다시 양이다.
이러한 조합의 일부가 이치에 맞으려면 어느 순간의 x축이 메모들 ^ 클렙너 & 콜렌코우 1978 , 11장 14절^ a b c d 아인슈타인 1905 , 섹션 5 "속도 구성"을 참조하라.^ 갈릴레이 2001 ^ 갈릴레이 1954년 갈릴레오는 이 통찰력을 이용하여 해안에서 보았을 때 무게의 길이 포물선이 될 것이라는 것을 보여주었다.^ Arfken, George (2012). University Physics ISBN 978-0-323-14202-1 367페이지 추출 ^ Mermin 2005 , 페이지 37^ 랜도 & 리프시츠 2002 , 페이지 13^ 클렙너 & 콜렌코우 1978 , 페이지 457^ 잭슨 1999 페이지 531^ Lerner & Trigg 1991 , 페이지 1053^ Friedman 2002 , 페이지 1–21 harvnb 오류: 목표 없음: CITREFFridman2002(도움말 ) ^ Landau & Lifshitz 2002 , 페이지 37 방정식(12.6) 이것은 불변 단면을 고려하여 상당히 다르게 도출된다.^ 클렙너 & 콜렌코우 1978 , 페이지 474^ 피조 & 1851E 하프nb 오류: 대상 없음: CITREFFize1851E(도움말 ) ^ 1860년 피조 하프nb 오류: 대상 없음: CITREFFize1860(도움말 ) ^ 랜도 & 리프시츠 2002 , 페이지 14^ 브래들리 1727-1728 ^ 클렙너 & 콜렌코우 1978 , 페이지 477 참조에서 접근 하는 방출체의 속도는 양 으로 간주된다.그래서 신호 차이가 난다. ^ Tipler & Mosca 2008 , 페이지 1328–1329^ Mansfield & O'Sulliban 2011, 페이지 491–492 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFMansfieldO' 설리번 2011 (도움말 ) ^ Lerner & Trigg 1991 , 페이지 259^ 파커 1993 페이지 312^ 잭슨 1999 페이지 547^ 랜도 & 리프시츠 2002 , 방정식 12.6^ 랜도 & 리프시츠 2002 , 문제 페이지 38^ 카나니 2017 , 페이지 1^ a b 카나니 2017 , 페이지 4^ 랜도 & 리프시츠 2002 ^ 뫼를르 1945 ^ 카나니 2017 , 페이지 8^ a b 카나니 2017 , 페이지 13^ 카나니 2017 , 페이지 15
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가진 
![{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69619ca3017cfb16ce21f2f2d2e8aea8e3d8cbd5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5c424da36356ae030560300aed8d12fe556d2c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a4626061e5696673bd8548072f1c7b91eb6e5a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a3866f450b8fdc5702aed25fb21001564ce506)
![{\displaystyle |\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587953edb063d6ed45750ec75efb725b92a7e837)
![{\displaystyle |\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d9fe963a64c1c9b62d8142e0cc490f4dc5b6ec)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2684c98845d4d02c4713156c27bc500ed4dee7c)
![{\displaystyle \gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ead10fe6c4bab9de282a04b882f05ef2cacee8d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c273bac53810d5da04173fede8c2a1448e6f3acd)
![{\displaystyle |\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4efaec0156c44dd14c38fd97c5fa40a01a1d1ea)
![\mathbf{u}\oplus\mathbf{v} = \frac{1}{1+\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}}\left[\mathbf{v}+\mathbf{u}+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{\gamma_\mathbf{u}+1}\mathbf{u}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52e347b81ede2da9516baed88d841e4000f12b8)
![\mathbf{u}*\mathbf{v}=\frac{1}{1+\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}}\left[\mathbf{v}+\mathbf{u}+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{\gamma_\mathbf{u}+1}\mathbf{u}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80cd2300be17c80aba4bee954569eb8a76c0d50)
![{\displaystyle \mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3e418672bf02f2bee8088bb044a9589d0bd47c)
선 요소는
(는) spacetime 볼륨이다.그것은 로렌츠 변환에 따른 불변성이다.
(는) 단위 스페이스타임당
(는) 산란 단면이다.그것은 불변할 필요가 있다.
(는) 두 사건 빔의 상대 속도다.
