위그너 회전

다음에 대한 시리즈 일부
스페이스타임
특수상대성 일반상대성
스페이스 타임 개념 스팩타임 다지관 등가원리 로렌츠 변환 민코스키 공간
일반상대성 일반 상대성 소개 일반 상대성 수학 아인슈타인 장 방정식
고전중력 중력 소개 뉴턴의 만유인력의 법칙
관련수학 4벡터 상대성 유도 스페이스타임 도표 미분 기하학 곡선 스페이스타임 일반 상대성 수학 스페이스타임 위상
물리포털 카테고리
v t

이론물리학에서 두 개의 비협착 로렌츠 부스트의 구성은 순수한 부스트가 아니라 부스트와 회전의 구성인 로렌츠 변환을 낳는다.이 회전을 토마스 회전, 토마스-위그너 회전 또는 위그너 회전이라고 한다.이 회전은 실버스타인이 1914년 저서 '상대성'에서 발견하고 증명했으며, 1926년 렐레린 토마스에 의해 재발견되었고,^[1] 1939년 위그너에 의해 재발견되었다.^[2]위그너는 실버스타인을 인정했다.만약 일련의 비협착 부스트가 물체를 초기 속도로 되돌린다면, 위그너 회전 순서는 결합하여 토마스 전처리라고 불리는 순회전을 만들 수 있다.^[3]

결과가 모순되는 서로 다른 기준 시스템에서 토마스의 회전에 대한 정확한 형식의 방정식에 대한 논의는 여전히 진행 중이다.^[4]골드스타인:^[5]

두 개의 비협착 로렌츠 변환을 연속적으로 적용함으로써 발생하는 공간 회전은 쌍둥이 역설과 같은 명백한 상식 위반에 대해 더 자주 논의될수록 역설적으로 모든 비트(bit)가 선언되어 왔다.

아인슈타인의 속도상호주의 원칙은^[6] 다음과 같다.

우리는 두 시스템의 좌표 사이의 관계가 선형이라고 가정한다.그러면 역변환도 선형이며, 한 시스템이나 다른 시스템의 완전한 비선호화는 v에서 -v로의 변경을 제외하고 원래 변환과 동일해야 한다고 요구한다.

보다 신중한 해석으로, EPVR은 일부 모델에서 위반된 것으로 보인다.^[7]물론 진정한 역설은 존재하지 않는다.

프레임 설정 및 프레임 간의 상대 속도

일반 부스트 2개

토마스 회전을 기초 수준에서 연구할 때, 일반적으로 one, σ′ ′′의 세 개의 좌표 프레임으로 설정을 사용한다.프레임 σ′은 프레임 σ에 상대적인 u 속도를 가지며, 프레임 σ′은 프레임 ′에 상대적인 속도 v를 가진다.

축은 시공에 의해 다음과 같이 방향이 잡힌다.σ에서 보면 σ′과 axes의 축은 평행이다( from에서 볼 때 프레임 쌍도 동일하다).또한 σ′에서 볼 때 ′ and과 ′′ spatial의 공간 축은 평행하다(그리고 σ′^[8]에서 볼 때 프레임 쌍도 동일하다).이것은 EVPR의 응용이다: 만약 u가 σ에 상대적인 σ의 속도라면, u = -u는 σ에 상대적인 σ의 속도다.속도 3 벡터 u는 프라이밍된 시스템과 프라이밍되지 않은 시스템 모두에서 축을 조정하기 위해 동일한 각도를 만든다.이는 아래 상세 설명에서 명확하게 밝혀야 하는 바와 같이, 특정 시간에 결합 시스템의 두 프레임 중 어떤 프레임에서도 촬영된 스냅샷을 나타내지 않는다.

이것은, 예를 들어, 양의 z 방향의 부스트가 좌표 축의 직교성을 보존하기 때문에 가능하다.일반 부스트 B(w)는 L = R⁻¹(e_z, w)B_z(w)R(e_z, w)R(w)로 표현할 수 있는데, 여기서 R(e_z, w)은 z축을 w 방향으로 가져가는 회전이고, B는_z 새로운 z 방향에서 부스트다.^[9][10][11]각 회전은 공간 좌표 축이 직교하는 특성을 유지한다.부스트는 (중간) z축을 인자 γ로 늘리면서 중간 x축과 y축은 그대로 둔다.^[12]두 번 연속 비협착 부스트 후 이 구조에서 좌표축이 평행하지 않다는 것은 토마스 회전 현상을 정밀하게 표현한 것이다.^{[nb 1]}

σ에서 보이는 σ′의 속도는 w_d = u v v로 표시된다. 여기서 ⊕은 다음과^[13] 같이 주어지는 (일반 벡터 추가가 아닌) 속도의 상대론적 덧셈을 말한다.

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} \right],}$

(VA 2)

그리고

${\displaystyle \mathbf {u} }={\frac {1}{\\sqrt{1-{\frac{\mathbf{u}^{2}}}}}}}$

속도 u의 로렌츠 계수(수직 막대 u는 벡터의 크기를 나타낸다).속도 u는 프레임 σ에 상대적인 프레임 σ′의 속도를 생각할 수 있으며, v는 σ에 상대적인 입자나 다른 프레임 ′′′의 속도라고 말할 수 있다.현재 맥락에서 모든 속도는 달리 명시되지 않는 한 프레임의 상대적 속도로 가장 잘 간주된다.결과 w = u v v는 프레임 σ에 상대적인 프레임 σ′의 상대 속도다.

속도 추가는 비선형적이고 연관성이 없으며 비확정적이지만, 운전의 결과는 c보다 작은 크기의 속도를 정확하게 얻는다.일반적인 벡터 추가가 사용된다면, c보다 큰 크기의 속도를 얻을 수 있을 것이다.두 복합 속도에서 로렌츠 인자 vel은 동일하다.

${\displaystyle \gamma =\gamma _{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,}$

속도 벡터 교환 시 규범이 같음

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} = \oplus \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ={\frac {c}{\c}}}}{\sqrt{\sqrt{\n1}-1}, \mathb}-1}\,}$

두 개의 가능한 합성 속도는 동일하지만 방향이 다르기 때문에 하나는 다른 하나의 회전된 복사여야 한다.여기서 직접적인 관계가 없는 보다 자세한 내용 및 기타 특성은 주요 기사에서 확인할 수 있다.

역방향 구성

반전된 구성, 즉 프레임 σ은 프레임 σ′에 상대적인 속도 -u로 이동하며, 프레임 σ′은 프레임 σ′에 상대적인 속도 -v로 이동한다.요컨대 EPVR에 의한 u → - u 및 v → -v.그러면 σ′에 상대적인 velocity의 속도는 (-v) ⊕ (-u) ≡ -v u. 다시 EPVR에 의해 σ에 상대적인 σ′의 속도는 w_i = v ⊕ u. (A)

사람은 ww를_di 찾는다.그들은 크기가 같지만, 그들 사이에는 각도가 있다.두 관성 프레임 사이의 단일 부스트의 경우 모호하지 않은 상대 속도(또는 음)가 하나만 있다.두 부스트의 경우, 두 부등식 상대 속도 대신 두 부등식 상대 속도의 특이한 결과는 두 프레임 사이의 상대 운동 대칭과 모순되는 것처럼 보인다.σ에 비해 σ′′의 정확한 속도는?이러한 불평등은 다소 예상치 못한 것이며 잠재적으로 EPVR을 깨뜨릴 수 있기 때문에, 이 질문은 정당화된다.^{[nb 2]}

로렌츠 변환의 공식화

두 번의 부스트는 부스트와 회전을 의미한다.

그 질문에 대한 답은 토마스 회전에 있으며, 각 단계에서 어떤 좌표계가 관여하고 있는지를 구체적으로 밝히는데 신중해야 한다.σ에서 보면 σ과 σ′의 좌표 축이 평행하지 않다.이는 두 쌍(σ, σ′)과 ( (′, σ′) 모두 평행 좌표 축을 가지고 있기 때문에 상상하기 어려울 수 있지만, 수학적으로 설명하기는 쉽다.

속도 추가는 프레임 간의 관계에 대한 완전한 설명을 제공하지 않는다.속도에 해당하는 로렌츠 변환의 관점에서 완전한 설명을 공식화해야 한다.어떤 속도 v(크기 이하)를 가진 로렌츠 부스트는 다음과 같이 상징적으로 주어진다.

${\displaystyle X'=B(\mathbf {v})X}$

여기서 좌표와 변환 행렬은 블록 행렬 형태로 압축적으로 표현된다.

${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf{r}'\end{bmatrix}}\quad B(\mathbf{v})={\begin{bmatrix}\gamma _{\mathbf{v}}&-{\dfrac{\gamma_{\mathbf{v}}}{c}}\mathbf{v}^{\mathrm{T}}\\-{\dfrac{\gamma_{\mathbf{v}}}{c}}{v}및 \mathbf, \mathbf{나는}+{\dfrac{\gamma_{\mathbf{v}}^{2}}{\gamma_{\mathbf{v}}+1}}{\dfrac{\mathbf{vv}^.{\mathrm{T}{c^{2}}}\\end{bmatrix}}\quad X={\begin{bmatrix}ct\\\mathb{r}\end{bmatrix}}}}$

그리고 차례로 r, r′, v는 컬럼 벡터(이들의 전치 행렬은 행 벡터)이며, γ은_v 속도 v의 로렌츠 계수다.부스트 행렬은 대칭 행렬이다.역 변환은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle B(\mathbf {v} )^{-1}=B(-\mathbf {v} )\quad \Rightarrow \quad X=B(-\mathbf {v} )X'}$

각 허용 속도 v에 대해 순수한 로렌츠 부스트에 해당하는 것이 분명하다.

${\displaystyle \mathbf {v} \좌우타로우 B(\mathbf {v} )}$

속도 추가 u⊕v는 그 순서의 부스트 B(v)B(u)의 구성에 해당한다.B(u)는 X에 먼저 작용하고, 그 다음 B(v)는 B(u)X에 작용한다.후속 연산자는 연산자 구성에서 왼쪽에 작용하므로, B(v)B(u)는 v(u)가 아니라 v(v)보다 v(u)의 속도로 증가하는 것으로 해석해야 한다.블록 행렬 곱셈에 의한 로렌츠 변환 수행

${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X'\...\quad X(\mathbf {u})=B(\mathbf {u})=X\Quad \quad X'=\Lambda X}$

복합 변환 행렬은^[14]

${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u})={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a}^{}{\mathbf {b} &\mathbf {M}}}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}.$

차례로

${\displaystyle \gamma =\mathbf {v}\\mathbf {u}}}{\mathbf {u}}왼쪽(1+{\frac {\mathbf {v}^{\mathbf {T}{c^{2}}}\오른쪽)}}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\c}\mathbf {u} \oplus \mathbf {v}\c}\mathbf {b} ={\frac {\c}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }{\frac {\mathbf {vu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}+\left(\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\frac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\left(\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {u} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}{\frac {\mathbf{u} ^{\mathrm{T}}}}{c^{2}}\오른쪽)}$

여기서 γ은 복합 로렌츠 인자로, a와 b는 복합 속도에 비례하는 3×1 열 벡터다.3×3 매트릭스 M은 기하학적 의미가 있는 것으로 판명될 것이다.

역변형은

${\displaystyle X=B(-\mathbf {u} )X'\##\quad X'B(-\mathbf {v})"\quad \rightarrow \quad X=\lambda ^{-1}X"}$

그리고 구성은 부정과 속도의 교환에 해당한다.

${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$

λ의 블록을 보면서 상대 속도를 교환하는 경우, 복합 변환이 λ의 전치 행렬이 되는 것을 관찰한다.이것은 원래 매트릭스와 같지 않기 때문에 복합 로렌츠 변환 매트릭스는 대칭성이 아니므로 단일 부스트도 아니다.이는 상징적으로 두 부스트의 결과로 인한 속도 구성의 불완전성을 의미한다.

${\displaystyle B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\neq B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )\,}$

설명을 완료하려면 부스트 전후에 회전을 도입해야 한다.이 회전은 토마스 회전이다.회전은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle X'=R({\boldsymbol {\theta }}}X}$

여기서 4×4 회전 행렬은

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta}}}={\begin{bmatrix}1&0\\\\mathbf {R}({\boldsymbol{\thea}}}})\end{bmatrix}}}}}$

그리고 R은 3×3 회전 행렬이다.^{[nb 3]}이 글에서는 축각 표현을 사용하며, θ = θe는 축에 평행한 단위 벡터 e를 곱한 "축각 벡터"이다.또한 공간 좌표에 대한 오른손 법칙(방향(벡터 공간) 참조)을 사용하므로 회전은 오른손 법칙에 따라 반시계적 의미에서는 양이고, 시계적 의미에서는 음이다.이러한 규칙으로 회전 행렬은 축 e에 대한 3d 벡터를 각도 θ 반시계방향(활성 변환)을 통해 회전하며, 좌표 프레임을 동일한 각(수동 변환)을 통해 동일한 축에 대해 시계방향으로 회전시키는 것과 동등한 효과를 갖는다.

회전 행렬은 직교 행렬이며, 그 전치 행렬은 역행 행렬과 같으며, 회전 행렬의 각도 또는 축 중 하나를 부정하는 것은 반대 의미에서의 회전에 해당하므로 역 변환은 다음과 같이 쉽게 얻을 수 있다.

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})^{-1}=R({\boldsymbol {\theta }})^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\theta }})\quad \Rightarrow \quad X=R(-{\boldsymbol {\theta }})X'\,.}$

이러한 연산은 시간 간격 불변성을 남기므로 회전이 뒤따르거나 선행하는 부스트도 로렌츠 변환이다.동일한 로렌츠 변환은 적절하게 선택한 신속성과 축 각도 벡터에 대해 두 가지 분해물을 가진다.

${\displaystyle \Lambda({\boldsymbol {\theta}},\mathbf {u})=R({\boldsymbol {\theta}}})B(\mathbf {u} )}$

${\displaystyle \Lambda(\mathbf {v},{\boldsymbol {\theta})=B(\mathbf {v})R({\boldsymbol {\\theta}})}}}$

그리고 만약 이 두 분해물이 동일하다면, 이 두 부스트는

${\displaystyle B(\mathbf {u} )=R(-{\boldsymbol {\theta })B(\mathbf {v})R({\boldsymbol {\theta }})}}$

따라서 부스트는 행렬 유사성 변환에 의해 연관된다.

두 부스트와 단일 부스트에 뒤따르거나 선행하는 회전 사이의 동일성이 정확하다는 것이 밝혀졌다. 즉, 프레임의 회전은 복합 속도의 각 분리와 일치하며, 한 복합 속도는 회전된 프레임에 적용되는 반면 다른 복합 속도는 어떻게 적용되는지를 설명한다.또한 회전은 전체 로렌츠 변환에서 대칭을 깨뜨려 비대칭이 된다.이 특정한 회전에 대해서는 각도를 ε으로 하고 축은 단위 벡터 e로 규정하므로 축각 벡터는 ε = εe이다.

전체적으로 두 개의 부스트 순서가 다르다는 것은 두 개의 불평등 변형이 있다는 것을 의미한다.이들 각각은 부스트 후 로테이션 또는 로테이션 후 로테이션으로 분할되어 불평등 변환의 수를 4배로 늘릴 수 있다.역변형은 똑같이 중요하다; 그것들은 다른 관찰자가 인식하는 것에 대한 정보를 제공한다.전체적으로, 단지 두 개의 로렌츠 부스트의 문제만을 위해 고려해야 할 8가지 변형이 있다.요컨대, 그 후의 작전이 왼쪽에서 작용하는 것으로 보아 다음과 같다.

두 번의 상승...	...부스트에 들어가 회전한다...	아니면 회전으로 쪼개져서 부스트할 수도 있지
${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u})={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a}^{}{\mathbf {b} &\mathbf {M}}}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}.$	${\displaystyle \Lambda =R({\boldsymbol {\epsilon }}})B(c\mathbf {a} /\gamma )}$	${\displaystyle \Lambda =B(c\mathbf {b} /\gamma )R({\boldsymbol {\epsilon }})}$
${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-c\mathbf {a} /\gamma )R(-{\\boldsymbol {\epsilon }})}$	${\displaystyle \Lambda ^{-1}=R(-{\boldsymbol {\epsilon }}})B(-c\mathbf {b} /\gamma )}$
${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }=B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T}}=B(c\mathbf {a} /\gamma)R(-{\boldsymbol {\\epsilon }}}}}}}$	${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T}}=R(-{\boldsymbol {\epsilon }}}})B(c\mathbf {b} /\gamma )}$
${\displaystyle (\Lambda ^{\mathrm {T} })^{-1}=B(-\mathbf {v} )B(-\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle (\Lambda ^{\mathrm {T}}^{-1}=R({\boldsymbol {\epsilon }}}})B(-c\mathbf {a} /\gamma )}$	${\displaystyle (\Lambda ^{\mathrm {T}}^{-1}=B(-c\mathbf {b} /\gamma)R({\boldsymbol {\\epsilon }}})}}$

회전 후 부스트를 매칭하여 원래 설정에서 in의 관찰자는 ′′′에 속도 uv로 이동한 다음 시계방향(첫 번째 다이어그램)으로 회전하는 것을 알아차리고, σ′의 관찰자는 σ에 속도 -v⊕u로 이동한 다음 ant에 반시계방향(두 번째 다이어그램)으로 회전한다.속도 σ에서 관찰자가 속도 v⊕u로 이동하도록 속도를 교환한 경우 σ notices에서 관찰자가 반시계방향으로 회전(세 번째 다이어그램)하고, 회전 때문에 σ에서 관찰자가 속도 -u⊕v로 이동하도록 σ을 통지한 후 시계방향(4번째 다이어그램)으로 회전한다.

회전 후 부스트의 경우는 유사하다(도표 없음).원래 설정에서 부스트 다음에 회전하는 회전수를 일치시키면 σ의 관찰자는 σ′′을 시계방향으로 회전한 다음 속도 v⊕u로 이동하도록 통지하고, σ′의 관찰자는 σ을 통지하여 반시계방향으로 회전한 다음 속도 -uvv로 이동한다.속도를 σ에서 관찰자가 반시계방향으로 회전하도록 u′에서 교환한 경우, u′에서 관찰자는 u로 이동하며, u′에서 관찰자는 u에게 시계방향으로 회전하도록 통지한 후 -u⊕v로 이동한다.

Thomas 회전 축과 각도 찾기

위의 공식은 상대론적 속도 추가와 일반 로렌츠 변환에서 명시적으로 토마스 회전을 구성한다.전체적으로, 부스트와 분해의 모든 구성에서 부스트와 회전으로, 중요한 공식인

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {R} +{\frac {1}{\gamma +1}\mathbf {ba} ^{\mathrm {T}}}}}}}}}}}}$

상대 속도 u 및 v 측면에서 회전 행렬이 완전히 정의될 수 있도록 유지한다.축-각 표현에서 회전 행렬의 각도는 회전 행렬의 추적에서 찾을 수 있으며, 어떤 축에 대한 일반적인 결과는 tr(R) = 1 + 2 cosmit이다.방정식의 추적을 보면^[15][16][17]

${\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {(1+\cHB{v}}){\mathbf {u}{\mathbf {v}}}^{{\mathbf {u}}{\mathbf {}}}{1+\mathbf {v}-1}$

a와 b 사이의 각도 α는 u와 v 사이의 각도 α와 같지 않다.

σ과 σ′′ 두 프레임 모두에서, 모든 구성과 분해에 대해 또 다른 중요한 공식이다.

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {Ra}}$

holds. 벡터 a와 b는 실제로 좌표 프레임을 회전하는 동일한 회전 행렬 R에 의해 회전과 관련이 있다.a에서 시작하여, 매트릭스 R은 이것을 반시계방향으로 회전시키고, 교차 제품을 따른다(우측 관례상).

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\frac {\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }(\gamma ^{2}-1)(\gamma +\gamma _{\mathbf {v} }+\gamma _{\mathbf {u} }+1)}{c^{2}(\gamma _{\mathbf {v} }+1)(\gamma _{\mathbf {u} }+1)(\gamma +1)}}\mathbf {u} \times \mathbf {v} }$

축을 정확하게 정의하므로 축도 u×v와 평행이다.이 가성기의 크기는 흥미롭지도 않고 중요하지도 않으며, 방향만 중요하므로 단위 벡터로 정상화할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {u} \mathbf {v}{{ \mathbf {u} \mathbf {v}}}}}}$

여전히 정보 손실 없이 축의 방향을 완전히 정의한다.

회전은 단순히 "정적인" 회전이며 프레임 사이에 상대적인 회전운동이 없고 부스트에는 상대적인 변환운동이 있다.그러나 프레임이 가속되면 회전된 프레임이 각 속도로 회전한다.이 효과는 토마스 프리세션이라고 알려져 있으며, 순전히 연속적인 로렌츠 부스트의 운동학에서 발생한다.

토마스 회전 찾기

기술된 분해 프로세스는 두 개의 연속적인 "부스트"에서 발생하는 좌표 축의 회전을 명시적으로 얻기 위해 두 개의 순수한 로렌츠 변환의 곱으로 수행될 수 있다.일반적으로 관련된 대수학에서는 회전 행렬의 실제적인 데모를 억제하기에 충분하고도 남을 정도로 상당히 금지되어 있다.

— Goldstein (1980, p. 286)

원칙적으로는 꽤 쉽다.모든 로렌츠 변환은 부스트와 회전의 산물이기 때문에, 두 개의 순수한 부스트를 연속적으로 적용하는 것은 순전히 부스트로서 순회전이 뒤따르거나 그 뒤에 선행한다.그러므로 가정해 보자.

${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {w})R.}$

과제는 이 방정식에서 λ의 매트릭스 항목에서 부스트 속도 w와 회전 R을 얻는 것이다.^[18]이벤트의 좌표는 다음과 같다.

${\displaystyle x'^{\mu }={\lambda ^{\mu }}{\nu }x^{\nu }}}$

이 관계를 뒤집으면 결과가 나온다.

${\displaystyle {(\Lambda ^{-1}^{\nu }{\nu }{\nu }{\nu }}{\lambda ^{-1}}}={\lambda ^{-1}^{\mu'{}}}}}}}$

또는

${\displaystyle x^{\nu }={\lambda _{\mu }^{\mu }}$

x′ = (ct′, 0, 0, 0)를 설정한다.그런 다음 x는^ν 프라이밍된 시스템의 원점에 대한 스페이스타임 위치를 기록한다.

${\displaystyle x^{\nu }={\lambda _{0}^{{0}}{0}}}$

또는

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{0}ct'\\{\Lambda _{0}}^{1}ct'\\{\Lambda _{0}}^{2}ct'\\{\Lambda _{0}}^{3}ct'\end{pmatrix}}}$

그렇지만

${\displaystyle \Lambda^{-1}=(B(\mathbf {w} )R)^{-1}B(-\mathbf {w}),}$

이 행렬에 순수한 회전을 곱해도 제로스 열과 행에는 영향을 주지 않는다.

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct'\\\gamma \beta _{x}ct'\\\gamma \beta _{y}ct'\\\gamma \beta _{z}ct'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct'\\\gamma w_{x}t'\\\gamma w_{y}t'\\\gamma w_{z}t'\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}ct'\\w_{x}t'\\w_{y}t'\\w_{z}t'\end{pmatrix}},}$

X 방향의 단순 부스트 공식과 상대 속도 벡터 공식에서 예상할 수 있었다.

${\displaystyle {\frac {1}{ct}}\mathbf {x} ={\frac {\mathbf {w} }{c}}={\boldsymbol {\beta }}={\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{ct}}\\{\frac {x_{2}}{ct}}\\{\frac {x_{3}}{ct}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta _{x}\\\beta _{y}\\\beta _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{1}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}}^{2}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}^{3}/{\Lambda _{0}^{0}\end{pmatrix}}.}$

따라서 λ과 함께 β와 w를 λ의⁻¹ 검사보다 약간 더 많이 얻는다. (물론 위와 같은 속도 첨가를 통해서도 w를 찾을 수 있다.)w에서 B(-w)를 생성한다.R에 대한 해결책은 다음과 같다.

$[\displaystyle R=B(-\mathbf {w} )\Lambda.}$

안사츠와 함께

${\displaystyle \Lambda =RB(\mathbf {w}),}$

같은 수단으로 발견하다

${\displaystyle R=\Lambda B(-\mathbf {w}).}$

속도 매개변수 u와 v의 관점에서 공식 해결책을 찾는 것은 먼저 공식적으로 B(v)B(u)를 곱하고, 공식적으로 뒤집은 다음, β를_w 읽어내고, 결과로부터 공식적으로 B(-w)B(u)를 만들고, 마지막으로, 공식적으로, B(-w)B(u)를 곱하는 것을 포함한다.이것이 벅찬 과제라는 것을 분명히 해야 하며, 비록 선험적인 것은 분명하지만, 그 결과를 회전으로 해석/식별하기는 어렵다.맨 위에 있는 골드스타인이 인용하는 것은 이러한 어려움이다.그 문제는 몇 년 동안 가정들을 단순화하면서 철저히 연구되어 왔다.

집단 이론적 기원

회전의 기원을 설명하는 또 다른 방법은 로렌츠 그룹의 발전기를 보는 것이다.

속도에서 부스트

속도에서 상승까지의 통로는 다음과 같이 구한다.임의의 부스트는 다음에^[19] 의해 주어진다.

${\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\\zeta }}\cdot \mathbf {K}},}$

여기서 ζ은 리 대수 부스트 하위공간의 좌표 역할을 하는 실제 숫자의 3배이므로(3, 1) 행렬에 의해 확장된다.

${\displaystyle(K_{1},K_{2},K_{3})=\left(\left[{\begin{}smallmatrix 0&, 1&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{}smallmatrix 0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&, 0&, 0&a융점, 1\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\end{smallmatrix}}\right]\right cm이다.}$

벡터

${\displaystyle {\\jeta }={\frac {\presidmbol {\propers }{\pair }}\tanh ^{-1}\pair }}$

부스트 파라미터 또는 부스트 벡터라고 불리는 반면, 그것의 규범은 신속성이다.여기서 β는 속도 파라미터로 벡터 β = u/c의 크기 입니다.

ζ의 경우 1은 0 ≤ < < ∞이 있는 반면, 파라미터 β는 0 β β < 1, 따라서 0 ≤ u < c에 국한된다.그러므로,

${\displaystyle e^{-(\tanh ^{-1}\beta ){\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\cdot \mathbf {K} }=e^{-{\tanh ^{-1}\beta \over c\beta }\mathbf {u} \cdot \mathbf {K} }\equiv B(\mathbf {u} )~.}$

0 ≤ u < c를 만족하는 속도 집합은 ℝ의³ 오픈 볼이며 문헌상 허용 속도의 공간이라고 불린다.그것은 링크된 글에 설명된 쌍곡 기하학으로 부여된다.^[20]

정류자

다른 방향의 부스트 발전기 K₁, K₂, K는₃ 통근하지 않는다.이는 일반적으로 2회 연속 부스트가 순수한 부스트가 아니라 부스트에 앞서 회전하는 효과가 있다.

각 부스트를 첫 번째 순서로^[21] 확장하면서 x 방향에서 y 방향으로 연속 부스트를 고려하십시오.

${\displaystyle e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=(I-\zeta _{y}K_{y}+\cdots )(I-\zeta _{x}K_{x}+\cdots )=I-\zeta _{x}K_{x}-\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

그때

${\displaystyle e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}=I+\zeta _{x}K_{x}+\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

그리고 그룹 정류자는

${\displaystyle{\begin}e^{-\\jeta _{y}K_{y}e^{x}e^{x}e^{x}e^{y}K_{y}e^{x}eeta _{x}K_{x}}}}=I&+\zeta _{x}\zeta _{y}[K_{y},K_{x}]-(\zeta _{x}K_{x})^{2}-(\zeta _{y}K_{y})^{2}\\&+\zeta _{x}^{2}\zeta _{y}[K_{x},K_{y}]K_{x}+\zeta _{x}\zeta _{y}^{2}K_{y}[K_{y},K_{x}]\\&+(\zeta _{x}\zeta _{y})^{2}}K_{y}K_{x}K_{y}K_{x}+\cdots \ended}}}}$

로렌츠 발전기의 정류 관계 중 세 가지는

${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=J_{z}}}$

${\displaystyle [K_{x},K_{y}]=-J_{z}}}$

${\displaystyle [J_{x},K_{y}]=K_{z}}$

여기서 괄호 [A, B] = AB - BA는 정류자로 알려진 이진 연산이며, x, y, z 성분의 주기적 순열(즉, x를 y로, y를 z로, z를 x로, 반복)을 취함으로써 다른 관계를 찾을 수 있다.

그룹 정류자로 돌아가 부스트 발생기의 정류 관계는 x 방향과 y 방향을 따라 부스트를 의미하며, z 축에 대한 회전이 있을 것이다.속도의 측면에서 회전각 θ은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \tan{\frac {\theta}{2}}=\tanh {\frach {\x}}{x}}}\tanh {\frach {\zeta _{y}}},}$

로서 동등하게 표현될 수 있는.

${\displaystyle \tan \tan ={\frac {\sinh _{x}~\sinh \zeta _{y}}{\cosh \zeta _{x}+\cosh \zeta _{y}}}}}}}$

비접합 부스트에 대한 스페이스타임 다이어그램

유클리드 평면의 속도에 대한 벡터 덧셈의 익숙한 개념은 삼각형 형태로 이루어질 수 있거나, 벡터 덧셈이 역교합적이기 때문에 두 순서의 벡터들은 기하학적으로 평행그램을 형성한다("병렬법" 참조).이것은 상대론적 속도 추가에 대한 것이 아니다; 대신에 부스트의 속도에 관련된 가장자리가 있는 쌍곡선 삼각형이 발생한다.부스트 속도를 변경하면 결과적으로 부스트 속도가 일치하는 것을 찾을 수 없다.^[22]

참고 항목

• 바르그만-미셸-텔레그디 방정식
• 파울리-루반스키 유사점자
• 속도 추가 공식#하이퍼볼릭 기하학

각주

참조

• Macfarlane, A. J. (1962). "On the Restricted Lorentz Group and Groups Homomorphically Related to It". Journal of Mathematical Physics. 3 (6): 1116–1129. Bibcode:1962JMP.....3.1116M. doi:10.1063/1.1703854. hdl:2027/mdp.39015095220474.
• 39페이지 로바체프스키 기하학에서 언급된 Sexl Urbantke는 비협착 속도를 위해 일반적인 민코프스키 스페이스타임 도표에 도입될 필요가 있다.
• Wigner, E. P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551, MR 1503456, S2CID 121773411.
• Ben-Menahem, A. (1985). "Wigner's rotation revisited". Am. J. Phys. 53 (1): 62–66. Bibcode:1985AmJPh..53...62B. doi:10.1119/1.13953.
• Ben-Menahem, S. (1986). "The Thomas precession and velocityspace curvature". J. Math. Phys. 27 (5): 1284–1286. Bibcode:1986JMP....27.1284B. doi:10.1063/1.527132.
• Cushing, J. T. (1967). "Vector Lorentz Transformations". Am. J. Phys. 35 (9): 858–862. Bibcode:1967AmJPh..35..858C. doi:10.1119/1.1974267.
• 페라로, R, & 티보, M. (1999년)"부스트의 일반적 구성: 위그너 회전의 기초적 파생"유럽 물리학 저널 20(3:143).
• Mocanu, C.I. (1992). "On the relativistic velocity composition paradox and the Thomas rotation". Found. Phys. Lett. 5 (5): 443–456. Bibcode:1992FoPhL...5..443M. doi:10.1007/BF00690425. ISSN 0894-9875. S2CID 122472788.
• Rebilas, K. (2013). "Comment on Elementary analysis of the special relativistic combination of velocities, Wigner rotation and Thomas precession". Eur. J. Phys. 34 (3): L55–L61. Bibcode:2013EJPh...34L..55R. doi:10.1088/0143-0807/34/3/L55. (무료 액세스)
• Rhodes, J. A.; Semon, M. D. (2005). "Relativistic velocity space, Wigner rotation and Thomas precession". Am. J. Phys. 72 (7): 943–960. arXiv:gr-qc/0501070v1. Bibcode:2005APS..NES..R001S. doi:10.1119/1.1652040. S2CID 14764378.
• Thomas, L. H. (1926). "Motion of the spinning electron". Nature. 117 (2945): 514. Bibcode:1926Natur.117..514T. doi:10.1038/117514a0. S2CID 4084303.
• Ungar, A. A. (1988). "Thomas rotation and parameterization of the Lorentz group". Foundations of Physics Letters. 1 (1): 57–81. Bibcode:1988FoPhL...1...57U. doi:10.1007/BF00661317. ISSN 0894-9875. S2CID 121240925.
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
• Goldstein, H. (1980) [1950]. "Chapter 7". Classical Mechanics (2nd ed.). Reading MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Jackson, J. D. (1999) [1962]. "Chapter 11". Classical Electrodynamics (3d ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Jackson, J. D. (1975) [1962]. "Chapter 11". Classical Electrodynamics (2nd ed.). John Wiley & Sons. pp. 542–545. ISBN 978-0-471-43132-9.
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (2002) [1939]. The Classical Theory of Fields. Course of Theoretical Physics. Vol. 2 (4th ed.). Butterworth–Heinemann. p. 38. ISBN 0-7506-2768-9.
• Ryder, L. H. (1996) [1985]. Quantum Field Theory (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521478144.
• Sard, R. D. (1970). Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics. New York: W. A. Benjamin. ISBN 978-0805384918.
• R. U. Sexl, H. K. Urbantke (1992). Relativity, Groups Particles. Special Relativity and Relativistic Symmetry in Field and Particle Physics. Springer. ISBN 978-3211834435.
• Gourgoulhon, Eric (2013). Special Relativity in General Frames: From Particles to Astrophysics. Springer. p. 213. ISBN 978-3-642-37276-6.
• Varićak, Vladimir (1912). "Translation:On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity". pp. 103–127.
• 토마스 L.H 축을 가진 전자의 운동학, Phil. Mag. 7, 1927 http://www.clifford.org/drbill/csueb/4250/topics/thomas_papers/Thomas1927.pdf
• 실버슈타인 L.맥밀런 1914년 상대성 이론

추가 읽기

• 상대론적 속도 공간, 위그너 회전, 토마스 프리세션(2004) 존 A.로도스와 마크 D.세몬
• J.F.에 의한 특수 상대성 쌍곡선 이론(2006)배럿