비스피노르

물리학에서, 그리고 특히 양자장 이론에서 비스파이너는 쿼크와 전자를 포함한 자연의 근본적인 입자의 일부를 설명하는 데 사용되는 수학적인 구성이다. 그것은 스피너의 특정한 구현이며, 특수 상대성 요구 조건과 일치하도록 특별히 구성된다. 비스피노르는 민코프스키 스페이스타임의 대칭성을 설명하는 로렌츠 그룹의 작용에 따라 특정한 "spinorial" 방식으로 변모한다. 그것들은 Dirac 방정식에 대한 상대론적 스핀-1/2파 함수 솔루션에서 발생한다.

비스파이너는 두 개의 단순한 구성 요소인 Weyl 스피너로 구성되기 때문에 그렇게 불린다. 두 개의 구성 요소 스피너는 각각 로렌츠 그룹의 두 개의 뚜렷한 복잡한 콘주게이트 스핀-1/2 표현 하에서 다르게 변형된다. 이 쌍은 표현된 입자가 질량을 가지도록 하고, 전하를 운반하며, 전하의 흐름을 전류로서, 그리고 아마도 가장 중요한 것은 각운동량을 운반하도록 하기 때문에 근본적인 중요성을 갖는다. 보다 정확히 말하면 질량은 로렌츠 그룹(에너지의 고유상태)의 카시미르 불변성인 반면, 벡터 조합은 운동량과 전류를 전달하여 로렌츠 그룹의 작용에 따라 공변량이 된다. 각운동량은 회전장에 적합하게 구성된 포아닝 벡터에 의해 이동된다.^[1]

비스파이너는 디락 스피너와 거의 같은 것이다. 여기서 사용되는 관습은 Dirac 스피너에 관한 기사가 감마 행렬에 대한 Dirac 규약을 사용하여 Dirac 방정식에 평면파 해결책을 제시하는 것이다. 즉, 디락 스피너는 디락 컨벤션에서 비스파이너(bispinor)이다. 대조적으로 아래 글은 주로 Weyl, 즉 치랄 표현에 초점을 맞추고 있는 것이 Dirac 방정식에 덜 집중하고, 로렌츠 그룹의 기하학을 포함한 기하학적 구조에 더 초점을 맞추고 있다. 따라서 아래에 언급된 것의 많은 부분을 Majorana 방정식에 적용할 수 있다.

정의

비스파이너는 로렌츠 그룹의 4차원 복합 벡터 공간(1/2,0)³(0,1/2) 표현 요소다.^[2]

베이일 베이스에서는 비스피노르

${\displaystyle \psi =\왼쪽({\begin{array}{c}\psi _{\rm {L}\\\psi _{\rm {R}\end{array}\오른쪽)}$

consists of two (two-component) Weyl spinors ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ and ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ which transform, correspondingly, under (1/2, 0) and (0, 1/2) representations of the ${\displaystyle \mathbf {SO} (1,3)}$ group (the Lorentz group without parity transformations). 패리티 변환에서 Weyl 스피너는 서로 변형된다.

Dirac 비스파이너는 Dirac 기반에 대한 단일 변환에 의해 Weyl bispinor와 연결된다.

${\displaystyle \psi \rightarrow {1 \over {\sqrt {2}}}\left[{\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}}\right]\psi ={1 \over {\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {R}}+\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}-\psi _{\rm {L}}\end{array}}\right).}$

디락 기초는 문헌에서 가장 널리 사용되는 것이다.

비스파이너의 로렌츠 변환 표현식

규칙에 따라 비스파이너 필드 $\psi {\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \psi(x)}$ 변환$$

${\displaystyle \cHB \a}(x)\to {\premy ^{\premy }}{a}\왼쪽(x^{\premy }\오른쪽)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}\왼쪽(\Lambda ^{-1}x^{\prime }\오른쪽)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}(x)}$

여기서 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Lambda }$은(는) 로렌츠 변환이다. 여기서 물리적 지점의 좌표는 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \lambda }$ x ${\displaystyle$ x$^{\prime }=\Lambda x}$에 따라 변환되며$,$ $매트릭스인$S ${\\displaystyle S}$는 로렌츠 그룹의 스피너 표현(회전 1/2)의 한 요소다.

Weyl 기초에서 부스트 $\lambda {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\$ 및$$ 회전 $\lambda {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ r ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ $\lambda _{\rm {rot}}}$에 대한 명시적 변환 매트릭스는 다음과$$ 같다.^[3]

${\displaystyle {\reasoned}S[\Lambda _{\rm {boost}}&=\좌({\begin{array}{cccgin{e^{+}\chi \cdot \sigma /2}&0\\&e^{-\chi \cdot \sigma /2}\end{array}\오른쪽)\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\S[\Lambda _{\rm{rot}}}&=\좌측({\begin{array}{cccod}e^{+i\phi \cdot \sigma /2}&0\e^{+i\cdigma /2}\end{array}\ried}}}}}}}}}}}}\depend{liged{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$여기$서 $\chi {\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \chi}$는 부스트 ${\displaystyle {파라미터}^{}}$로, parameter i ${\$ \$pi ^{i}}$는 x ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ x$^{i}$축 주위의 회전을$$$$ 나타낸다. ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 Pauli 행렬이다. 지수란 지수함수의 경우, 이 경우 행렬을 지수함수의 일반적인 전력 열에 입력하여 정의한 행렬 지수다.

특성.

bispinors의 쌍일차식 5더 이상 줄일 수 없는(는 로런츠 군 밑에)개체에: 줄일 수 있다.

1. Scalar,ψ¯ ψ{\displaystyle{\bar{\psi}}\psi};.
2. Pseudo-scalar,ψ ¯ γ 5ψ{\displaystyle{\bar{\psi}}\gamma ^{5}\psi};.
3. 벡터, ψ}\gamma ^{\mu}\psi};μ ψ{\displaystyle{\bar{\psi}γ ¯.
4. Pseudo-vector, γ 5ψ{\displaystyle{\bar{\psi}}\gamma ^{\mu}\gamma ^{5}\psi}μ,¯ γ ψ.
5. 반대칭 텐서,ψ¯(γ μ γ ν − γ ν γ μ)ψ{\displaystyle{\bar{\psi}}\left(\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}-\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu}\right)\psi},.

어디 ψ≡ψ † γ 0{\displaystyle{\bar{\psi}¯}\psi ^{\dagger}\gamma ^{0}}과{γ μ, γ 5}{\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu},\gamma ^{5}\right\}}은 감마 매트릭스 \equiv. 이 5개 다량의 Fierz 정체성에 의해 서로 관련이 있다. 그들의 값의 bispinor은 단지 하나의 spinors의 다른 형식의 Lounesto 스피너 분야 분류 방법으로;그 남들이 깃대(그 마요라나 스피너는 특별한 경우), flag-dipole, 그리고 바일 스피너 사용된다. 그 깃대에는, flag-dipole과 바일 spinors 모든는 반면에, 바일 spinors null반대칭 텐서(null"각운동량 필드")의 깃대에는 추가로, null슈우도 벡터 현장의 분위기가 null이 질량과 pseudoscalar 분야고 있다.

이것들로 상대론적 스핀-1/2 분야에 적합한 라그랑지안을 구축할 수 있으며, 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={i \over 2}\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)-m{\bar {\psi }}\psi \;.}$

디라크 방정식은 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 이 라그랑주 방정식에서 도출할 수 있다.

비스파이너 표현 유도

소개

이 개요에서는 한 유형의 비스파이너를 로렌츠 그룹의 (1/2,0) /(0,1/2) 표현 특정 표현 공간의 요소로 설명한다. 이 표현 공간은 기사 Spinors에 기술된 대로 Minkowski spacetime에 대한 Clipord 대수학에 포함된 (1/2,0)) (0,1/2) 표현 공간과 관련되지만 동일하지는 않다. 언어와 용어는 로렌츠 그룹의 표현 이론에서와 같이 사용된다. 프레젠테이션에 필수적인 클리포드 알헤브라의 유일한 속성은 아래 D1에 제시된 정의 속성이다. 따라서(3;1)의 기본 요소는 M으로^μν 표시되어 있다.

로렌츠 그룹 O(3;1)의 리 대수(3;1)의 표현은 시간 간격에 걸쳐 복잡한 클리포드 대수학의 기초(벡터 공간으로서)로 선택될 행렬 사이에 나타날 것이다. 이 4×4 행렬은 SO(3;1)를 나타내는 것으로 강조된다.⁺ 이 표현은 (1/2,0)⊕ (0,1/2)의 표현으로 판명되어 임의의 4차원 복합 벡터 공간에 작용하게 되는데, 이는 단순히 C로⁴ 받아들여지고 그 요소는 비스파이너(bispinor)가 될 것이다.

참고로, so(3;1)의 정류 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \left[M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }M^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }M^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }M^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }M^{\mu \sigma }\right)}$

(M1)

spacetime 메트릭 η = diagnost1,1,1,1)과 함께.

감마 행렬

γ은^μ 4차원 감마 행렬 4개를 나타내자, 여기서 Dirac 행렬이라고 한다. 디락 행렬이 만족하다.

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu }}\gamma ^{\\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}}$[4]

(D1)

여기서 { , }은(는) 안티코무터, 나는₄ 4×4 단위 매트릭스, η은^μν 서명이 +,-,-,-인 스페이스타임 메트릭이다. 이것은 클리포드 대수학의 생성 집합에 대한 정의 조건이다. 클리포드 대수학의 추가 기본 요소 σ은^μν 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mu \nu ^}=-{\frac {i}}{4}\왼쪽[{\mu }\properties ^{\nu }-\property ^{\nu }\put ^{\mu }\mu }\right]}$[5]

(C1)

행렬 σ^μν 중 6개만이 선형적으로 독립적이다. 이는 σ^μν = -σ^νμ 이후의 그들의 정의에서 직접 따온 것이다. 그들은 패시브 감각에서 서브 스페이스 V에_γ^μ 작용한다.

${\displaystyle \left[\mu \nu },\mu \nu }\nu \nu }\riho }\오른쪽]=-i\i\eta ^{\nu \nu \rho }}}}$[6]

(C2)

(C2)에서, 두 번째 평등은 클리포드 대수학의 속성(D1)에서 따른다.

Cℓ₄(C)에 so(3;1)가 포함된 Lie 대수학

이제 다음과^μν 같이 on에 대한 (3;1)의 동작을 정의하고, 그들이 C₄((C) mⁿ_C M에서 확장하는 선형 아공간 V_σ ⊂ Cℓ₄(C)의 동작을 정의한다.

${\displaystyle \pi \left(M^{\mu \nu }\right)\left(\sigma ^{\rho \sigma }\right)=\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }\sigma ^{\rho \nu$$}+\\eta$^{\$nu \nu \nu$ \$nu \nu$\nu \$rho$}-\eta $^{\nu \rho }-\eta ^{\nu \rho }\$eta ^{\$mu$ \mu $\ma }\$rigma }\rigma }\rigma \rigma \$rigma$ }\rigma \rigma \rigma $^\}\}\}$

(C4)

(C2)와 감마 매트릭스의 속성(D1)에서 이어지는 (C4)의 마지막 동일성은 (C4)의 감마 관계가 (3;1)의 동일성이기 때문에 σ이^μν (3;1)의 표현을 구성한다는 것을 보여준다. π(M^μν)의 작용은 σ에^μν 의해 확장된 M_n(C)의 공간이 6차원이기 때문에 기본 벡터 σ을^μν 곱한 6차원 행렬 σ으로^μν 생각하거나, σ에^ρσ 대한 정류에 의한 작용으로 생각할 수 있다. 다음에서는 π(M^μν) = σ^μν

γ과^μ σ은^μν 모두 Cℓ₄(C)의 기본 원소의 (분리) 부분 집합으로, 4차원 디라크 행렬 γ에^μ 의해 4개의 스페이스 치수로 생성된다. 따라서 so(3;1)의 Lie 대수학은 σ에^μν 의해 확장된 Cℓ₄(C)의 실제 하위공간으로서 π에 의해 Cℓ₄(C)에 내장된다. 클리포드 대수 γ과^μ σ^μν 이외의 나머지 기본 원소에 대한 자세한 설명은 Dirac 대수 기사를 참조하십시오.

비스피노르스 소개

이제 γ이^μ 행렬 곱셈에 의해 작용하는 4차원 복합 벡터 공간 U를 소개한다. 여기 U = C가⁴ 잘 될 것이다. Let e^ω_μνMμν = e를 로렌츠 변환으로 하고, U에 로렌츠 그룹의 동작을 정의한다.

${\displaystyle u\rightarrow S(\Lambda )u=e^{i\pi (\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu })}u;\quad u^{\alpha }\rightarrow [e^{\omega _{\mu \nu }\sigma ^{\mu \nu }}]^{\alpha }{}_{\beta }u^{\beta }.}$

(C4)에 따른 σ은^μν so(3;1)의 표현을 구성하므로 유도된 지도는

${\디스플레이 스타일 S:SO(3;1)^{+}\rightarrow \mathrm {GL} (U);\quad \Lambda \rightarrow e^{i\pi (X)};\quad e^{iX}=\Lambda ,\quad X=\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\in {\mathfrak {so}}(3;1)}$

(C5)

일반 이론에 따르면 SO(3;1)의 표현 또는 투영적 표현이다.⁺ 그것은 투영적인 표현으로 판명될 것이다. U의 원소는 S가 부여한 변환규칙을 부여했을 때 비스파이너 또는 간단히 스피너라고 한다.

Dirac 행렬의 선택

스핀 표현 S를 얻기 위해 Dirac 행렬 γ의^μ 집합을 선택하는 것이 남아 있다. 그러한 선택 중 하나는, 초경사적 한계에 적합하며,

${\displaystyle {\pregated}\properties ^0}&=-i{\biggl (}{\property{property}0>I\\I&0\\\end{matrix}}{\biggr )},\\\gamma ^{i}&=-i{\biggl (}{\begin{matrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\\\end{matrix}}{\biggr )},\quad i=1,2,3\\\end{aligned}}.}$[7]

(E1)

σ은_i Pauli 행렬이 있는 곳에는 Pauli 행렬이 있다. 이 클리포드 대수 생성기의 표현에서 σ은^μν 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{i0}&={\frac {i}{2}}{\biggl (}{\begin{matrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\\\end{matrix}}{\biggr )},\\\sigma ^{ij}&={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{\biggl (}{\begin{matrix}\sigma _{k}&0\\0&\sigma _{k}\\\end{matrix}}{\biggr )}\\\end{aligned}}.}$[8]

(E23)

행렬은 모두 대각선 블록이기 때문에 이 표현은 분명히 수정할 수 없다. 그러나 Pauli 행렬의 재확인을 불가능하게 함으로써 대표성을 더 이상 축소할 수 없다. 4차원이기 때문에 유일한 가능성은 (1/2.0),(0,1/2) 표현, 즉 비스파이너 표현일 뿐이다. 이제 SO(3;1)의 표현을 얻기 위해 Lie 대수표현의 강조법을 사용한다.⁺

${\displaystyle {\reasoned}S\왼쪽(\Lambda _{B}\오른쪽)&=e^{i\pi (\chi \cdot \mathbf {K} )}={\biggl (}{\begin{matrix}e^{-{\frac {1}{2}}\chi \cdot \sigma }&0\\0&e^{{\frac {1}{2}}\chi \cdot \sigma }\\\end{matrix}}{\biggr )},\\S\left(\Lambda _{R}\right)&=e^{i\pi (\phi \cdot \mathbf {J} )}={\biggl (}{\begin{matrix}e^{{\frac {i}{2}}\phi \cdot \sigma }&0\\0&e^{{\frac {i}{2}}\phi \cdot \sigma }\\\end{matrix}}{\biggr )}\\\end{aligned}},}$

(E3)

투사 2의 표상을 구하다 여기서 φ은 0 ≤ φⁱ ≤ 2 π의 회전 매개변수의 벡터, χ은 부스트 매개변수의 벡터다. 여기서 사용하는 규약으로, 한 사람이 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{R}\\\psi _{L}\end{pmatrix}},}$

(E4)

비스파이너 밭을 위해 여기서 상부 구성 요소는 오른쪽 Weyl 스피너에 해당한다. 이 형식주의에 공간 패리티 역전을 포함하려면

${\displaystyle \cHB={0}={\biggl (}{\biggl){{\biggl}0>I\\I&0\\\end{matrix}{\biggr )}}$[9]

(E5)

P = diag(1,-1,-1,-1)를 대표한다. 스페이스 패리티 역전을 포함하면 그 표현은 되돌릴 수 없는 것으로 보인다.

예

X = 2πM으로¹² 하여 X가 2π 각도로 z축을 중심으로 회전을 발생시킨다. 그 다음 λ = e^iX = I ∈ SO(3;1)⁺ 그러나 e^iπ(X) = -I ∈ GL(U)이다. 여기서 나는 정체성 요소를 가리킨다. 대신 X = 0을 선택하면 여전히 λ = e^iX = I ∈ SO(3;1)가 선택되지만,⁺ 이제 e^iπ(X) = I ∈ GL(U)이 선택된다.

이것은 스핀 표현의 이중 가치를 보여준다. SO(3;1)⁺의 아이덴티티는 그것을 나타내는 Lie 대수 요소의 선택에 따라 -I gl GL(U) 또는 I gl GL(U)로 매핑된다. 첫 번째의 경우, 2㎛의 각도로 회전하면 비스피너가 마이너스자체로 변하며, 비스피너를 다시 자기 것으로 회전시키려면 4㎛의 회전이 필요하다고 추측할 수 있다. 실제로 일어나는 일은 SO(3;⁺1)의 정체성이 X의 불행한 선택으로 GL(U)의 -I에 매핑된다는 것이다.

모든 g representation SO(⁺3;1)에 대해 연속적으로 X를 선택하는 것은 불가능하므로 S가 연속적으로 표현된다. SO(3;1)에서 루프를 따라 X(t) = 2πtM¹², 0≤ t ≤ 1로 S를 정의한다고 가정합시다. 이것은 SO(3;1)의 폐쇄 루프로서, 즉 지수 매핑 하의 z축을 중심으로 0~2㎛의 회전까지 존재하지만, GL(U)에서는 -I로 끝나는 '반' 루프에 불과하다. 또한 t = 0, t = 2 2은 I ∈ SO(3;1)에 대해 다른 값을 주기 때문에 I ∈ SO(3;1)의 값이 모호하다.

디락 대수

비스파이너에 대한 표현 S는 U의 선형 연산자 집합인 End(U)에 SO(3;1)⁺의 표현을 유도할 것이다. 이 공간은 클리포드 대수 그 자체에 해당하므로 U의 모든 선형 연산자는 후자의 요소가 된다. 이 표현, 그리고 어떻게 그것이 되돌릴 수 없는 SO(⁺3;1) 표현들의 직접적인 합으로 분해되는가는 디락 대수학 기사에 설명되어 있다. 그 결과들 중 하나는 U×U에 이린 모양의 분해다. 이 분해는 로렌츠 스칼라를 산출하기 위해 라그랑지안의 다른 분야와 어떻게 비스피너 장을 결합하는지를 암시한다.

비스피노르스와 디락 대수

디락 행렬은 디락 대수학(Dirac 대수학)을 구성하는 4×4 행렬의 집합으로, 회전 방향을 국부 기준 프레임(스팩타임의 국부 좌표 프레임)과 뒤얽을 뿐만 아니라 전하(C-대칭), 패리티, 시간 역전 연산자를 정의하는데 사용된다.

관습

물리학 문헌에서 공통적으로 사용되는 서명과 표현의 몇 가지 선택이 있다. Dirac 행렬은 일반적으로 $\mu {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ${\$로 기록되며, 여기서$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\$은(는) 0에서 3까지 실행된다. 이 표기법에서 0은 시간에 해당하고, 1 ~ 3은 x, y, z에 해당한다.

+---서명은 서해안 미터법이라고도 하며-++++는 동해안 미터법이다. 이때 + - - - 서명이 보다 일반적으로 사용되며, 본 예에서는 이 서명을 사용한다. 한 예제에서 다른 예제로 전환하려면 모든 ${\displaystyle {\mu A}^{}}${\$displaystyle \scriptstyle \gamma ^{\mu$}를$$ $i{\displaystyle }$ ${\$에 곱하십시오$.$

서명을 선택한 후, 4×4 행렬에서 표현을 구성하는 여러 가지 방법이 있으며, 많은 방법이 공통적으로 사용된다. 이 예를 가능한 일반적인 것으로 만들기 위해 우리는 최종 단계까지 표현을 명시하지 않을 것이다. 그 때 우리는 "치랄" 또는 Weyl 표현을 대체할 것이다.

일정 스핀 방향과 충전량을 갖는 디락 스피너 시공

먼저 우리는 전자나 양전자의 스핀 방향을 선택한다. 위에서 논한 파울리 대수학의 예와 같이 스핀 방향은 3차원의 단위 벡터에 의해 정의된다(a, b, c). 페스킨과 슈뢰더의 관행에 따라 (a, b, c) 방향의 스핀 연산자는 벡터를 가진 (a, b, c)의 도트 곱으로 정의된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(i\gamma ^{2}\gamma ^{3},\;\;i\gamma ^{3}\gamma ^{1},\;\;i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)&=-\left(\gamma ^{1},\;\gamma ^{2},\;\gamma ^{3}\right)i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\\sigma _{(a,b,c)}&=ia\gamma ^{2}\gamma ^{3}+ib\gamma ^{3}\gamma ^{1}+ic\gamma ^{1}\gamma ^{2}\end{aligned}}}$

위의 내용은 통합의 뿌리, 즉 1로 제곱한다는 점에 유의하십시오. 따라서, 우리는 그것으로부터 (a, b, c) 방향으로 회전하는 디락 대수의 하위 알고리즘을 투영하는 투영 연산자를 만들 수 있다.

${\displaystyle P_{(a,b,c)}={\frac {1}{1}{2}}\좌측(1+\sigma _{(a,b,c)}\우측)}}$

이제 우리는 +1(양자) 또는 -1(전자)을 선택해야 한다. Peskin & Schroeder의 규약에 따라, 충전 $연산자$는${\displaystyle }$Q = -${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ 0$${\$displaystyle \scriptstyle$ Q$\,=\,-\gamma ^{0$ 즉 전자 상태는 이 연산자와 관련하여 -1의 고유값을 취하고 양전자 상태는 +1의 고유값을 취한다.

$Q{\displaystyle }$ ${\$도 통합의 제곱근이라는 점에 유의하십시오. 또한 $Q{\displaystyle }$ ${\$은(는${\displaystyle {)}_{}}$ $\sigma {\displaystyle {}_{}}$(, ${\displaystyle b_{}}$, ${\displaystyle c_{}}$) ${\$로 통근한다$.$ 그들은 디락 대수학을 위한 통근 운영자의 완전한 집합을 형성한다. 우리의 예를 계속하여, 우리는 (a, b, c) 방향으로 스핀을 가진 전자의 표현을 찾는다. $Q{\displaystyle }$ ${\$을(를) 투영 연산자로 전환하여$$ 충전 = -1,

${\displaystyle P_{-Q}={\frac {1}{2}}\왼쪽(1-Q\오른쪽)={\frac {1}{1}{2}}\왼쪽(1+\gamma ^{0}\오른쪽)}}$

따라서 우리가 찾는 스피너의 투영 연산자는 우리가 발견한 두 투영 연산자의 산물이다.

${\displaystyle P_{(a,b,c)}\;P_{-Q}}$

위의 투영 연산자는 어떤 스피너에 적용될 때, 우리가 추구하는 전자 상태에 해당하는 스피너의 그 부분을 제공할 것이다. 그래서 우리는 그것을 그것의 성분들 중 하나에 1의 값을 가진 스피너에 적용할 수 있고, 다른 성분들에는 0을 적용해서 행렬의 열을 제공할 수 있다. 예제를 계속하여 (a, b, c) = (0, 0, 1)을 넣고,

${\displaystyle P_{{0,1)}={\frac {1}{1}:{1}{1}:{1}{1}왼쪽(1+i\gamma _{2}\오른쪽)}$

그래서 우리가 원하는 투영 연산자는

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)\cdot {\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{4}}\left(1+\gamma ^{0}+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}+i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)}$

Weyl 표현에 사용된 4×4 감마 행렬은

${\displaystyle {\regated}\cHBMatrix}{0}={0}&={bmatrix}\\\nd{bmatrix}\\\nd_{k}={k}={bmatrix}}\nd{k}\nd{bmatrix}}}}}}}엔드{bmatrix\end}}}}}}}}}}}}}}}}}}엔드림차}}}}}}}}}}}}}}}}엔드림}$

k = 1, 2, 3의 경우, ${\displaystyle {여기}^{}}$서 {$$i {\$displaystyle \sigma$^{$i}}$는 일반적인 2×2 Pauli 행렬이다. 이것들을 P로 대체하는 것.

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\\1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

우리의 대답은 위의 행렬의 0이 아닌 어떤 열이다. 2로 나누면 정상화에 불과하다. 첫 번째 열과 세 번째 열은 동일한 결과를 제공한다.

${\displaystyle \e^-}\,\,+{\frac {1}{1}:{2}}:\right\rangle ={\\nd{bmatrix}1\\\0\nd{bmatrix}}}}$

보다 일반적으로 (a, b, c) 방향으로 회전하는 전자와 양전자의 경우 투영 연산자는

${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib&\pm (1+c)&\pm (a-ib)\\a+ib&1-c&\pm (a+ib)&\pm (1-c)\\\pm (1+c)&\pm (a-ib)&1+c&a-ib\\\pm (a+ib)&\pm (1-c)&a+ib&1-c\end{bmatrix}}}$

위 표지는 전자 기호, 아래 표지는 양전자 기호 기호다. 해당 스피너는 0이 아닌 열로 간주할 수 있다. ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}{}^{}2\mathrm{}}$ = 1 ${\$}이$$(가$)$ 있으므로 서로 다른 열은 동일한 스피너의 배수량이다. Dirac 기준에서 결과 스피너의 표현은 비스파이너 기사에 주어진 규칙을 사용하여 얻을 수 있다.

참고 항목

• 디락 스피너
• 스핀(3,1)을 스핀 그룹에 의한 SO(3,1)의 이중 커버
• 라리타-슈윙거 방정식

메모들

참조

• Caban, Paweł; Rembieliński, Jakub (5 July 2005). "Lorentz-covariant reduced spin density matrix and Einstein-Podolsky-Rosen–Bohm correlations". Physical Review A. 72 (1): 012103. arXiv:quant-ph/0507056v1. Bibcode:2005PhRvA..72a2103C. doi:10.1103/physreva.72.012103. S2CID 119105796.
• Weinberg, S (2002), The Quantum Theory of Fields, vol I, ISBN 0-521-55001-7.