고정 회전 축에 대한 회전 관성의 스칼라 측정
관성 모멘트 플라이휠 은 회전 운동을 부드럽게 하기 위해 관성 모멘트가 큽니다.공통 기호
I SI 단위 킬로미터2 기타 유닛
lbf·ft·s2 파생상품 기타 수량
I = L ω {\displaystyle I=syslogfrac {L}{\obega }} 치수 M L 2
줄타기 를 하는 사람들 은 줄을 걸을 때 긴 막대기의 관성 순간을 균형을 잡습니다.1890년 나이아가라 강 을 건너는 사무엘 딕슨. 기동성을 향상시키기 위해, 전투기는 상업용 비행기에 비해 관성 모멘트가 작도록 설계되었다.
강체 의 관성 모멘트 , 각도 질량 , 두 번째 질량 모멘트 또는 가장 정확하게 는 회전 축에 대한 원하는 각도 가속도 에 필요한 토크를 결정 하는 양으로, 질량이 원하는 가속도에 필요한 힘 을 결정하는 방법 과 유사합니다.이는 차체의 질량 분포와 선택한 축에 따라 달라지며, 모멘트가 클수록 차체의 회전 속도를 변화시키기 위해 더 많은 토크가 필요합니다.
이것 은 광범위 한(가법적) 특성입니다. 점 질량의 경우 관성 모멘트는 단순히 질량에 회전 축에 대한 수직 거리의 제곱을 곱한 값입니다.강체 복합 시스템의 관성 모멘트는 구성 요소 하위 시스템의 관성 모멘트의 합입니다(모두 동일한 축에 대해 취함). 가장 간단한 정의는 축 으로부터의 거리에 대한 두 번째 질량 모멘트입니다.
평면 내에서 회전하도록 구속된 물체의 경우 평면에 수직인 축에 대한 관성 모멘트인 스칼라 값만 문제가 됩니다. 3차원 회전이 자유로운 물체의 경우, 그 모멘트는 대칭 3 × 3 행렬로 설명할 수 있으며, 이 행렬 이 대각선 이고 축 주위의 토크는 서로 독립적으로 작용한다.
서론 Body가 축을 중심으로 자유자재로 회전할 때 Torque를 가하여 각운동량 을 변화시켜야 합니다. 주어진 각가속도 (각속도 의 변화율)를 발생시키는 데 필요한 토크의 양은 물체의 관성 모멘트에 비례합니다.관성 모멘트는 SI 단위 로 킬로그램 미터 제곱(kg·m2 ) 단위, 영국 단위 또는 미국 단위 로 파운드-피트 제곱(lbf·ft·s2 ) 단위로 표시할 수 있다.
관성 모멘트는 질량(관성)이 선형 동력학에서 수행하는 회전 속도학에서 역할을 하며, 둘 다 물체의 운동 변화에 대한 저항의 특성을 나타냅니다. 관성 모멘트는 회전 축을 중심으로 질량이 분포되는 방식에 따라 달라지며 선택한 축에 따라 달라집니다. 점 같은 질량의 경우, 어떤 축 에 대한 관성 모멘트는 m r 2({displaystyle mr^{ 2}) 로 구한다. 여기 서 r {\displaystyle r} 은 축으로부터의 점 거리, m {\displaystyle m} 은 질량이다. 확장된 강체의 경우, 관성 모멘트는 모든 작은 질량의 조각에 회전하는 축으로부터의 거리의 제곱을 곱한 합입니다. 정규 형태와 균일한 밀도의 확장된 물체의 경우, 이 합계는 물체의 치수, 모양 및 총 질량에 따라 달라지는 단순한 식을 만들어 낼 수 있습니다.
1673년 Christiaan Huygens 는 복합 [1] 진자로 알려진 축에 매달린 물체의 진동에 대한 그의 연구에서 이 매개변수를 도입했다.관성 모멘트라는 용어 는 레온하르트 오일러에 의해 [1] [2] 1765년 그 의 책 Theoryia motus corpusum solidorum seu rigidorum에서 소개되었고, 오일러의 제2법칙에 통합 되었다.
복합진자의 고유진동 주파수는 진자 질량에 중력이 가하는 토크와 관성모멘트에 의해 정의된 가속저항의 비율에서 구한다. 이 고유 주파수와 단일 질량점으로 이루어진 단순한 진자의 주파수를 비교하는 것은 확장된 물체의 [3] [4] 관성 모멘트에 대한 수학적 공식을 제공한다.
관성 모멘트는 운동량, 운동 에너지, 그리고 강체에 대한 뉴턴의 운동 법칙 에서도 형태와 질량을 결합한 물리적 매개변수로 나타납니다. 평면 운동과 공간 운동에서 관성 모멘트가 나타나는 방식에는 흥미로운 차이가 있다. 평면 이동은 관성 모멘트를 정의하는 단일 스칼라를 가지며, 공간 이동의 경우 관성 매트릭스 또는 관성 [5] [6] 텐서라고 불리는 3 × 3의 관성 모멘트를 산출합니다.
회전 하는 플라이휠의 관성 모멘트는 기계의 회전 출력을 부드럽게 하기 위해 적용된 토크의 변동을 저항하기 위해 사용됩니다.세로, 수평 및 수직 축에 대한 비행기의 관성 모멘트는 날개, 엘리베이터 및 방향타의 제어 표면에 대한 조향력이 롤링, 피치 및 요에서 비행기의 움직임에 어떻게 영향을 미치는지를 결정합니다.
정의. 관성 모멘트 는 단면의 질량과 기준 축과 단면의 중심 사이의 거리 제곱의 곱으로 정의된다.
회전하는 피겨 스케이터는 팔을 끌어당겨 관성 모멘트를 줄일 수 있어 각운동량을 보존 해 회전 속도를 높일 수 있다. 회전 의자 실험 영상으로 관성 모멘트를 보여줍니다. 회전하는 교수가 팔을 당기면 관성 모멘트가 감소하고 각운동량을 보존하기 위해 각속도가 증가한다. 관성 모멘트 I는 또한 주축을 [7] [8] 중심으로 각속도 θ 에 대한 시스템의 순 각운동량 L의 비율로 정의된다.
시스템의 각운동량이 일정하면 관성모멘트가 작아질수록 각속도는 높아져야 합니다. 이는 회전 하는 피겨 스케이터가 [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] 더 빨리 회전하기 위해 뻗은 팔을 끌어당기거나 다이빙을 하는 동안 몸을 구부릴 때 발생한다.
물체의 모양이 변하지 않는다면, 뉴턴의 운동 법칙 에서 주축을 중심으로 한 각가속도α 에 대한 물체에 가해진 토크θ 의 비율로 관성 모멘트가 나타난다.
단순 진자의 경우, 이 정의는 진자의 질량 m과 피벗 지점으로부터의 거리 r의 관점에서 관성 모멘트에 대한 공식을 다음과 같이 산출한다.
I = m r 2 . (\displaystyle I=mr^{2}). }
따라서, 진자의 관성 모멘트는 회전축까지의 거리 r에 의해 정의된 물체의 질량 m과 기하학 또는 형태에 따라 달라진다.
이 간단한 공식은 임의의 형태의 물체에 대한 관성 모멘트를 모든 요소 점 질량 dm의 합계에 각각 축 k에 대한 수직 거리 r의 제곱을 곱한 것으로 정의하기 위해 일반화된다. 따라서 임의의 물체의 관성 모멘트는 질량의 공간적 분포에 따라 달라집니다.
일반적으로 질량 m의 물체가 주어졌을 때 유효 반지름 k는 특정 회전 축에 따라 정의될 수 있으며, 축 주위의 관성 모멘트는 다음과 같다.
I = m k 2 , {\displaystyle I=param^{2}} 여기 서 k는 축을 중심으로 한 회전 반지름 으로 알려져 있습니다.
예 단순 진자 수학적으로 단순 진자의 관성 모멘트는 진자의 축 주위의 중력에 의한 토크와 그 축 점 주위의 각가속도의 비율이다. 단순한 진자의 경우, 이것은 피벗까지의 거리 r(\displaystyle r) 의 제곱과 함께 입자 m(\displaystyle m) 의 질량의 곱인 것으로 밝혀졌다.
I = m r 2 . (\displaystyle I=mr^{2}). }
이것은 다음과 같이 표시할 수 있습니다. 단순진자 질량에 가해지는 중력은 진자 이동면에 수직인 축을 중심으로 토크 θ = r × F {\displaystyle {\mathbf {r}=\ times \mathbf {F}} 를 발생시킨다. 여기 서 r {\displaystyle \mathbf {r}} 은 토크 축에서 질량의 진자 중심까지의 거리 벡터 이며 F {\displaystyle \mathbf {F}} 는 질량에 대한 순 힘입니다.이 토크와 관련된 것은 이 축 주위의 끈과 질량의 각도 가속도α (\ displaystyle\boldsymbol\alpha }) 입니다. 질량이 원으로 구속되므로 질량의 접선 가속도 는 =α × r \displaystyle \ mathbf {a } = times \mathbf {r} = m 이므로 다음 과 같은 토크가 됩니다.
τ = r × F = r × ( m α × r ) = m ( ( r ⋅ r ) α − ( r ⋅ α ) r ) = m r 2 α = I α k ^ , {\displaystyle{\begin{정렬}{\boldsymbol{\tau}}&=\mathbf{r}\times(m{\boldsymbol{\alpha}}\mathbf{r}\times)\\&{F}=\mathbf{r}\times \mathbf, =m\left(\left(\mathbf{r}\cdot{r}\right\mathbf){\boldsymbol{\alpha}}-\left(\mathbf{r}\cdot{\boldsymbol{\alpha}}\right)\mathbf{r}\right)\\&, =mr^{2}{\boldsymbol{\alpha}}=I\a.lpha \mathbf {k},\end{aligned}}
여기 서 k ^ {\displaystyle \mathbf {k}} 는 진자 평면에 수직인 단위 벡터입니다.(두 번째 단계부터 마지막 단계까지 α(\displaystyle\boldsymbol\ alpha }) 및 r(\displaystyle\mathbf {r}) 의 수직도를 갖는 벡터 트리플 곱 확장 을 사용합니다.) I = m r 2 ({displaystyle I=mr^{2}}) 의 양은 이 단일 질량의 피벗 지점 주위의 관성 모멘트 이다.
I = m r 2 ({displaystyle I = mr^{2 }})는 단순 진자의 각운동량 에도 나타나며, 여기서 피벗 주위의 질량 진자의 속도 v = δ × r \ mathbf {v} = times \ mathbf {r } (\displaystyle \ mathbf { v}) 로 계산 된다. 는 피벗 지점 주변의 질량 의 각 속도입니다. 이 각운동량은 다음과 같이 주어진다.
L = r × p = r × ( m ω × r ) = m ( ( r ⋅ r ) ω − ( r ⋅ ω ) r ) = m r 2 ω = I ω k ^ , \displaystyle \mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left ( m'bold symbol \ obega }} \times \mathbf {right ) \ \&=m\left(\mathbf {r} \right) {\boldsymbol {mathbf {r}}-\left(\mathbf {r} \cdot \boldsymbol {r} \right) \\mathbf {right} = {\boldsymbol } I\motebf {k},\end {aligned}} 이전 방정식과 유사한 파생물을 사용하여.
마찬가지로, 진자 질량의 운동 에너지는 산출하기 위해 피벗 주위의 진자 속도에 의해 정의된다.
E K = 1 2 m v ⋅ v = 1 2 ( m r 2 ) ω 2 = 1 2 I ω 2 . ({displaystyle E_{\text{K}}=mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =mathbf {v} =mathbf {1} {2} =mathfrac {1} {2} =modec frac {1} {2}} 나는 ^{2}. }
이것은 I = m r 2 ({displaystyle I=mr^{2}}) 의 양이 질량과 물체의 형상이 결합되어 회전 관성을 정의하는 것을 나타낸다. 임의의 형상의 물체의 관성 모멘트는 물체의 모든 질량 요소 에 대한 값 m r 2({ 디스플레이 스타일 mr^{2}}) 의 합이다.
복합 진자 1897년 과학저널에서 나온 멘덴홀 중력계 장치에 사용된 진자. 휴대용 중력계는 1890년 토마스 C에 의해 개발되었다. 멘덴할은 지구의 국지적 중력장에 대한 가장 정확한 상대적인 측정치를 제공했다. 복합진자 는 피벗을 중심으로 강직하게 회전하는 연속된 형태의 입자의 집합체로 이루어진 물체이다.관성 모멘트는 각 [14] [15] : 395–396 [16] : 51–53 입자의 관성 모멘트의 합입니다. 복합진자의 고유 진동수(δ n \displaystyle \obega _{\text{n }) 는 관성모멘트 I P(\ displaystyle I_{P }) 에 따라 달라집니다.
ω n = m g r I P , \displaystyle \mega _{\text{n}}=\displayrt {frac {mgr}{ I_{P}}}},} 여기 서 m {\displaystyle m} 은 물체의 질량, g {\displaystyle g} 는 중력의 국소 가속도, r {\displaystyle r} 은 물체의 피벗 지점에서 물체의 질량 중심까지의 거리입니다.이 진동 주파수를 작은 각도 변위에 걸쳐 측정하는 것은 [17] : 516–517 물체의 관성 모멘트를 측정하는 효과적인 방법을 제공합니다.
따라서 신체의 관성모멘트를 결정하려면 원하는 관성모멘트의 방향과 수직인 평면에서 자유롭게 흔들리도록 편리한 피벗점 P(\displaystyle P) 에서 매달고 그 고유진동수나 진동주기 t(\displaystyle t)를 측정하면 된다.
I P = m g r ω n 2 = m g r t 2 4 π 2 , ({displaystyle I_{P}=mgr}{\opega_{\text{n}^{2}}=mgrac{mgrt^{2}}{4\pi^{2}}) 여기 서 t {\displaystyle t} 는 진동 주기(일반적으로 여러 주기에 걸쳐 평균)입니다.
진동의 중심 복합진자와 동일한 고유진자를 갖는 단순진자는 피벗에서 복합진자의 진동중심 이라고 불리는 지점까지의 길이 L(\displaystyle L) 을 정의한다. 이 점은 타악기의 중심 에도 해당합니다. 길이 L(\displaystyle L) 은 다음 공식에 따라 결정됩니다.
ω n = g L = m g r I P , \displaystyle \mega _{\text{n}}=\displayrt {frac {g}{ L}} = sqrt { frac { mgr } { I_{P}}}},} 또는 L = g ω n 2 = I P m r . {\displaystyle L=black {g}{\otext{n}}^{2}}=black {I_{P}}{mr}}. }
할아버지 시계의 똑딱똑딱 소리를 내는 초진자는 좌우 로 흔들리는 데 1초가 걸린다. 이것은 2초의 주기, 즉 진자의 고유 주파수 θ r a / s \ displaystyle \ pi \ mathrm { rad / s } 입니다 . 이 경우 진동 중심까지의 거리 인 L {\displaystyle L} 은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
L = g ω n 2 ≈ 9.81 m / s 2 ( 3.14 r a d / s ) 2 ≈ 0.99 m . {{displaystyle L=mathrm {rad/s}^{displaystyle {g}{\offer _{\text{n}^2}}\약 {frac {9.81\\mathrm {m/s^2}}{.14\mathrm {rm {rm {rm}^2}}^{2}\약 0.99\m {m}
초 진자의 진동 중심까지의 거리는 국소 중력 가속에 대한 다른 값을 수용하도록 조정해야 합니다. 케이터의 진자 는 이 성질을 이용해 국부적인 중력가속도를 측정하는 복합진자이며 중력계 라고 불린다.
관성모멘트 측정 수직축을 중심으로 차량이나 비행기와 같은 복잡한 시스템의 관성 모멘트는 시스템을 3개의 지점에서 매달아 3개 의 진자를 형성함으로써 측정할 수 있다. 삼원추는 수직 중심축을 [18] 중심으로 비틀림으로 진동하도록 설계된 세 개의 와이어에 의해 지지되는 플랫폼입니다. 삼원추의 진동 주기는 시스템의 [19] 관성 모멘트를 산출한다.
면적의 관성 모멘트 면적의 관성 모멘트는 면적 의 두 번째 모멘트 로도 알려져 있습니다. 이러한 계산은 일반적으로 토목 공학에서 보와 기둥의 구조 설계를 위해 사용됩니다. X축 I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x높이(h )와 폭(b )은 사실상 절반으로 도출된 원을 제외한 선형 측도입니다. r\displaystyle r
단면적 모멘트는 다음과 같이 계산됩니다[20] . 정사각형: I x x = I y y = b 4 12 { displaystyle I_{x } = I_{y}=bfrac {b^{4}}{12}} 직사각형: I x x = b h 3 12 { display style I _ { xx } = flac { display } 、 I y = h b 3 12 { display style I _ { y } = flac { hb ^ { 3 } { 12 } 삼각형: I x x = b h 3 36 { display style I _ { xx } = fr { frac { snaper^ { 3 } { 36 } 원형: I x x = I y y = 1 4 † r 4 { displaystyle I_{x } = I_{y}=blashfrac {1}{4}{\pi }r^{4} 고정 평면에서의 움직임 점질량 같은 질량과 반지름을 가진 4개의 물체가 미끄러지지 않고 구르면서 비행기를 질주합니다.
뒷면부터 앞면까지:
각 물체가 결승선에 도달하는 시간은 관성 모멘트에 따라 달라집니다.(OGV 버전 ) 물체의 축에 대한 관성 모멘트는 물체의 모든 입자에 대해 m r 2 (\ displaystyle mr^{2}) 를 더하여 계산됩니다. 여기 서 r\displaystyle r은 지정된 축에 대한 수직 거리입니다. 확장된 물체의 이동에 대한 연구에서 관성 모멘트가 어떻게 발생하는지 확인하려면 점 질량의 강성 어셈블리를 고려하는 것이 편리합니다. (이 방정식은 관성 모멘트를 완전히 나타내지 않는 것으로 이해되면 주축이 아닌 축에 사용할 수 있습니다.)[21]
회전축에서 가장 가까운 피벗점 P(\displaystyle P) 에서 ri (\ displaystyle r_i}) 거리 에 있는 N(\displaystyle N) 질량 mi (\ displaystyle m_i}) 집합체의 운동 에너지를 고려합니다. 이것은 개별 [17] : 516–517 [22] : 1084–1085 [22] : 1296–1300 질량의 운동 에너지의 합계입니다.
E K = ∑ i = 1 N 1 2 m i v i ⋅ v i = ∑ i = 1 N 1 2 m i ( ω r i ) 2 = 1 2 ω 2 ∑ i = 1 N m i r i 2 . \displaystyle E_{\text{K}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2},m_{i}\mathbf {v}_{i}=\sum _{i=1}^N}{\frac {2},m}{i}_i}{i} }
이는 신체의 관성 모멘트가 각 m r 2({ displaystyle mr^{2}}) 항의 합계임을 나타냅니다.
I P = ∑ i = 1 N m i r i 2 . {\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^2}. }
따라서 관성모멘트는 회전축 주위의 입자의 질량과 분포를 결합한 물리적 특성입니다. 동일한 물체의 서로 다른 축을 중심으로 회전하면 서로 다른 관성 모멘트가 생성됩니다.
지정된 축을 중심으로 회전하는 연속체의 관성 모멘트는 무한히 많은 점 입자를 제외하고 동일한 방법으로 계산됩니다. 따라서 합계의 한계가 제거되고 합계는 다음과 같이 작성됩니다.
I P = ∑ i m i r i 2 {\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^2}
또 다른 식은 합계를 적분 으로 대체한다.
I P = ∭ Q ρ ( x , y , z ) ‖ r ‖ 2 d V \displaystyle I_{P}=\iint_{Q}\rho(x,y,z)\left\mathbf {r}\right\^{2}dV}
여기서 함수 {\{ displaystyle \rho } 는 각 점( x , y , z ) 의 질량밀도를 나타낸다.{ displaystyle (x,y,z )}, r {displaystyle \mathbf {r} 는 회전축상의 점에서 직교하고 회전축상의 점(x , y, z, ty) 까지 연장하는 벡터이다. 통합은 차체 Q 의 볼륨 V({displaystyle V}) 에 대해 평가됩니다. 평평한 표면의 관성 모멘트는 면적 밀도로 대체되는 질량 밀도와 면적에 대해 평가된 적분과 유사합니다.
영역 의 두 번째 순간에 대한 주의 :평면 내에서 움직이는 물체의 관성 모멘트와 빔 단면적 의 두 번째 모멘트 는 종종 혼동된다. 단면의 형상을 가진 물체의 관성 모멘트는 밀도로 가중된 단면에 수직인 z(\displaystyle z) 축 주위의 이 영역의 두 번째 모멘트이다. 이것은 영역의 극성 모멘트 라고도 불리며 x축 과 y축 에 [23] 대한 두 번째 모멘트의 합계입니다. 빔 의 응력은 부하에 따라 x(\ displaystyle x) 축 또는 y(\displaystyle y) 축 주위의 단면적의 두 번째 모멘트를 사용하여 계산됩니다.
예 막대의 반대쪽 끝의 피벗을 중심으로 진동하는 얇은 막대의 끝에 장착된 얇은 원반으로 구성 된 복합 진자의 관성 모멘트는 얇은 막대와 얇은 원반의 각각의 [22] 질량 중심을 중심으로 하는 관성 모멘트의 계산에서 시작한다.
질량 중심을 통과하는 수직축에 대하여 일정한 단면 s 와 밀도 θ {displaystyle\rho}, 길이 θ {displaystyle\ell} 의 얇은 막대의 관성 모멘트는 [22] : 1301 적분에 의해 결정된다. x축과 로드를 정렬하고 질량 중심을 로드의 중앙에서 원점을 찾습니다. I C , 막대기 = ∭ Q ρ x 2 d V = ∫ − ℓ 2 ℓ 2 ρ x 2 s d x = ρ s x 3 3 − ℓ 2 ℓ 2 = ρ s 3 ( ℓ 3 8 + ℓ 3 8 ) = m ℓ 2 12 , {\displaystyle I_{C,{\text{rod}}=\iint _{Q}\rho \x^{2},dV=\int _{-{\frac {ell}{2}}{\rho },x^{2}s,rho =\left. \rho swarfrac {x^{3}}{-{\frac {ell}{2}}{\frac {2}}=warfrac {rho s}{3}}{left\frac {8}+{\frac {\ell ^3}}{8}}{\fraclac {\frac }{{\fright}{\frec }{frac }{\frac } 여기 서 m = ρ s ℓ { display m = \rho s\ell } 은 로드의 질량입니다. 회전대칭축 과 평행한 축을 중심 으로 일정한 두께 의 s\displaystyle s\, 반지름 R\displaystyle R\ rho \, 밀도 θ \displaystyle\ rho의 얇은 디스크의 관성모멘트는 [22] : 1301 [failed verification ] 적분에 의해 결정된다.z {\displaystyle z} 축을 디스크 축에 맞추고 볼륨 요소를 d V = s r d † {\displaystyle dV = sr,dr,d\theta } 로 정의 합니다. I C , 디스크 = ∭ Q ρ r 2 d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 R ρ r 2 s r d r d θ = 2 π ρ s R 4 4 = 1 2 m R 2 , {\displaystyle I_{C,{\text{disc}}=\iint _{Q}\rho \rho \rho \rho {2}{0}\int _{0}{R}\rho r^{2}sr,dr,dr\theta =2\rho sfrcrcr4}{{0} {0} {0} {0} {rcrcrfrfrcr} {r} 여기 서 m = 2 R 2 s s {\displaystyle m=\pi R^{2}\rho s} 는 질량이다. 복합 진자의 관성 모멘트는 다음과 같이 피벗 포인트 P(\displaystyle P) 주변의 로드와 디스크의 관성 모멘트를 더하면 얻을 수 있습니다. I P = I C , 막대기 + M 막대기 ( L 2 ) 2 + I C , 디스크 + M 디스크 ( L + R ) 2 , {\displaystyle I_{P}=I_{C,{\text{rod}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}+M_{\text{Disc}}}^{2}, 여기 서 L(\displaystyle L) 은 진자의 길이입니다.평행축 정리는 관성 모멘트를 질량 중심에서 진자의 피벗 점으로 이동시키는 데 사용됩니다. 표준 체형에 대한 관성 모멘트의 목록은 복잡한 체형의 관성 모멘트를 단순한 체형의 집합체로서 얻을 수 있는 방법을 제공한다.평행축 정리는 개별 물체의 기준점을 어셈블리의 기준점으로 이동하는 데 사용됩니다.
또 하나의 예로, 질량 중심을 통과하는 축 주위의 일정한 밀도의 고체 구체의 관성 모멘트를 생각해 봅시다. 이는 고려 대상으로 선택한 축을 따라 중심이 있는 구를 형성할 수 있는 얇은 디스크의 관성 모멘트를 합산하여 결정됩니다. 볼의 표면이 다음 식에[22] : 1301 의해 정의되는 경우
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}
z축 에 따른 횡단면 z의 디스크 반지름 r의 제곱 은 다음과 같습니다 .
r ( z ) 2 = x 2 + y 2 = R 2 − z 2 . {\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}. }
따라서 볼의 관성 모멘트는 z\displaystyle z축 에 따른 디스크의 관성 모멘트의 합입니다.
I C , 공 = ∫ − R R π ρ 2 r ( z ) 4 d z = ∫ − R R π ρ 2 ( R 2 − z 2 ) 2 d z = π ρ 2 [ R 4 z − 2 3 R 2 z 3 + 1 5 z 5 ] − R R = π ρ ( 1 − 2 3 + 1 5 ) R 5 = 2 5 m R 2 , 디스플레이 스타일 I_{C,{\text{ball}}&=int _{-R}^{R}{\frac {pi \rho }{2}{2}{2}{2}{\frac {pi \rho }{-R}^4},dz=\int _{-R}{R}{R}{R}{\frac {\rh}{{{{{\}}}{{{\}}}}{\}}}}{\fright(오른쪽}{{{{\frac {-}}}}}}}}}} R^{5}\\&=sqfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}} 여기 서 m = 4 3 µ R 3 µ {textstyle m = specfrac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }은 구체의 질량이다.
강체 관성 모멘트가 높은 실린더는 더 많은 잠재적 에너지를 회전 운동 에너지로 변환해야 하기 때문에 더 작은 가속도로 경사면을 굴러 내려갑니다. 기계 시스템 이 고정 평면에 평행하게 움직이도록 구속된 경우 시스템 내 본체의 회전이 이 평면에 수직인 축 k ^\ displaystyle \mathbf {k} } 을 중심으로 발생합니다. 이 경우 이 시스템에서 질량의 관성 모멘트는 극성 관성 모멘트 로 알려진 스칼라입니다. 극성 관성 모멘트의 정의는 [14] [17] [24] [25] 입자의 단단한 시스템의 평면 운동을 위한 운동량, 운동 에너지 및 뉴턴의 법칙을 고려함으로써 얻을 수 있다.
n개(\displaystyle n) 의 입자 Pi , i = 1 , …, n개 (\displaystyle P_{i },i=1,\dots, n}) 로 구성 된 시스템이 강체로 조립되면 시스템의 운동량은 기준점 R(\displaystyle \mathbf {R }) 및 절대 속도 (\displaystyle i ) 로 기록될 수 있습니다. \mathbf {v} _{i }} :
Δ r i = r i − R , v i = ω × ) r i − R ) + V = ω × Δ r i + V , {\displaystyle{\begin{정렬}\Delta\mathbf{r}_{나는}&, =\mathbf{r}_{나는}-\mathbf{R},\\\mathbf{v}_{나는}&, ={\boldsymbol{\omega}}\times \left(\mathbf{r}_{나는}-\mathbf{R}\right)+\mathbf{V}={\boldsymbol{\omega}}_{나는}+\mathbf{V},\end{정렬}{r}}};=\mathbf{r\Delta \mathbf{\displaystyle{{정렬되기 시작}\Delta\mathbf{r}_{나는}& \times}_{나는}-\mathb f {r},\\times \left(\mathbf {r}_i}_{i}-\mathbf {r},\mathbf {r},\r},\mathbf {r},\mathbf {r},\mathbf {r},\mathbf {r} 여기 서 {\({ displaystyle\boldsymbol\mega}}) 는 시스템의 각속도이고 V({ displaystyle\mathbf {V}) 는 R({ displaystyle\mathbf {R }) 의 속도입니다.
평면 이동의 경우 각 속도 벡터는 이동 평면에 수직인 단위 벡터 k\ displaystyle \mathbf {k} 를 따라 향합니다 . 단위 벡터 e 를 기준점 R(\ displaystyle \mathbf {R}) 에서 점 r i(\ displaystyle \mathbf {R }) 로, 단위 벡터 t = k ^ × e (\ displaystyle \mathbf {t} _mathbf ={k }) 로 도입합니다. bf {hat {e}} _{i }}, 그래서
e ^ i = Δ r i Δ r i , k ^ = ω ω , t ^ i = k ^ × e ^ i , v i = ω × Δ r i + V = ω k ^ × Δ r i e ^ i + V = ω Δ r i t ^ i + V {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{\hat{e}}_{나는}&, ={\frac{\Delta \mathbf{r}_{나는}}{\Delta r_{나는}}},\quad\mathbf{\hat{k}}={\frac{\boldsymbol{\omega}}{\omega}},\quad\mathbf{\hat{t}}_{나는}=\mathbf{\hat{k}}}{v}_{나는}& _{나는},\\\mathbf, ={\boldsymbol{\omega}}_{나는}+\mathbf{V}=\ome{r}\Delta \mathbf \times\mathbf{\hat{e}\times.ga \math {displaystyle}\mathbfhat{e}_{display}&, =displayfrac 델타 \mathbf{r}_{delta r_{delta}},\delta r_{delta hat{k}},\delta\mathbf hat{k},\delta\delta\mathbf hat{k}},\mathbfbqsymboldsymbol\mbol{mbol}{mb}{mb}}}{\mb}{\mb}{\mb}{mb}{mb}}}{\mb} \ome{r}\Delta \mathbf \times\mathbf hat{ . ga \times { =\ 、\ {
이는 평면 내에서 이동하는 입자의 강체 시스템에 대한 상대 위치 벡터와 속도 벡터를 정의합니다.
크로스 프로덕트에 관한 주의 :본체가 지면과 평행하게 이동하면 본체에 있는 모든 점의 궤적이 이 지면과 평행한 평면에 놓입니다. 이것은 신체가 겪는 모든 회전이 이 평면에 수직인 축 주위에 있어야 한다는 것을 의미합니다. 평면 이동은 종종 회전 축이 점으로 나타나도록 그라운드 평면에 투영된 상태로 나타납니다. 이 경우 물체의 각속도와 각가속도는 스칼라이며 회전축을 따라 벡터라는 사실은 무시된다. 이것은 보통 주제에 대한 소개에 선호됩니다. 그러나 관성 모멘트의 경우, 질량과 기하학의 조합은 교차곱의 기하학적 특성으로부터 이익을 얻는다. 이 때문에 평면운동에 관한 본 절에서는 물체의 각속도 및 가속도는 지면과 수직인 벡터이며, 교차곱 연산은 공간강체운동 연구에 사용되는 것과 같다.
입자의 단단한 시스템의 평면 운동을 위한 각 운동량 벡터는 다음과 같이 주어진다[14] [17] .
L = ∑ i = 1 n m i Δ r i × v i = ∑ i = 1 n m i Δ r i e ^ i × ) ω Δ r i t ^ i + V ) = ) ∑ i = 1 n m i Δ r i 2 ) ω k ^ + ) ∑ i = 1 n m i Δ r i e ^ i ) × V . {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{L}&=\sum _{i=1}^{n}m_{나는}\Delta \mathbf{r}_{나는}\times{v}_{나는}\\& \mathbf,=\sum _{i=1}^{n}m_{나는}\,\Delta r_{나는}\mathbf{\hat{e}};=\sum _{i=1}^{n}m_{나는}\delta \mathbf{r}_{나는}\times)\left(\omega\,\Delta r_{나는}\mathbf{\hat{t}}_{나는}+\mathbf{V}\right){{naligned\displaystyle}\mathbf{L}및 _{나는}\times.mathbf{v}_{ 나는}\&, ={i=1}^n_m_{나는},\delta r_hati}{mathb}{나는}{f}\\&, =\left(\sum_{i=1}^{n}m_{나는}\,\Delta r_{나는}^{2}\right)\omega \mathbf{\hat{k}}}}\\&\mathbf{V}.\end{정렬}+\left(\sum_{i=1}^{n}m_{나는}\,\Delta r_{나는}\mathbf{\hat{e}}_{나는}\right)\times, =\left(\sum_{i=1}^{n{나는},\Delta r_{나는}{2}^\right)\mathbf{k}+\left(\sum _i=1}^{n}m_{나는},\delta r_{e}\ma.thbhat{시간 s}{i})
질량 C의 중심 을 기준점으로 사용합니다(\displaystyle \mathbf {C} 。
Δ r i e ^ i = r i − C , ∑ i = 1 n m i Δ r i e ^ i = 0 , _}^{e},\ {0}) _i})
질량 중심 에 대한 관성 모멘트를 다음과 같이 정의한다.
I C = ∑ i m i Δ r i 2 , _{ ,\2} {\displaystyle I_{\mathbf {C}} =\sum _{i} m_{i} ^2}
그러면 각운동량의 방정식은 으로 단순화된다[22] : 1028 .
L = I C ω k ^ . \}{C} { {\displaystyle \mathbf {L}=I_{\mathbf {C}}\Omathbf {k}}}
강성계 이동에 수직인 축을 중심으로 질량 중심을 통과하는 관성 I C {\style I_{\mathbf {C}}} 모멘트를 극성 관성 모멘트 라고 합니다. 구체적으로는 축(또는 극)으로부터의 직교 거리에 대한 두 번째 질량 모멘트 입니다.
주어진 각운동량의 경우 관성모멘트의 감소는 각속도의 증가를 초래한다. 피겨 스케이터는 팔을 끌어당김으로써 관성 순간을 바꿀 수 있다. 따라서 팔을 뻗은 스케이트 선수가 얻는 각속도는 관성 모멘트가 감소하기 때문에 팔을 끌어당길 때 더 큰 각속도를 낳는다. 하지만 피겨 스케이터는 단단한 몸이 아니다.
이 1906년 회전 전단기는 두 개의 플라이휠의 관성 모멘트를 사용하여 운동 에너지를 저장합니다. 국제공대도서관, 1906년) 평면 내에서 움직이는 입자의 단단한 시스템의 운동 에너지는 다음과 같이 주어진다[14] [17] .
E K = 1 2 ∑ i = 1 n m i v i ⋅ v i , = 1 2 ∑ i = 1 n m i ) ω Δ r i t ^ i + V ) ⋅ ) ω Δ r i t ^ i + V ) , = 1 2 ω 2 ) ∑ i = 1 n m i Δ r i 2 t ^ i ⋅ t ^ i ) + ω V ⋅ ) ∑ i = 1 n m i Δ r i t ^ i ) + 1 2 ) ∑ i = 1 n m i ) V ⋅ V . {\displaystyle{\begin{정렬}디스플레이 스타일E_{\text{K}}&={\frac{1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{나는}\mathbf{v}_{나는}\cdot\mathbf{v}_{나는},\\&, ={\frac{1}{2}}\sum _ᆷ^ᆸm_ᆹ\left(\omega\,\Delta r_{나는}\mathbf{\hat{t}}_{나는}+\mathbf{V}\right)\cdot \left(\omega\,\Delta r_{나는}\mathbf{\hat{t}}_{나는}+\mathbf{V}\right),\\&, ={\frac{1}{2}}\omega ^.{2}\left(\su E_{\text{K}}&=sum_{i=1}^{n}m_{sum}\mathbf{v}_{sum}\cdot\mathbf{v}_{sum}\cdot\mathbf{v}_{sum},\&, =smatfrac{1}{2}}{sum}{{sum}{sum}{{sum}{sum}{sum}{sum}{sum}{sum}{sum}{sum}{sum}{sum}{s V}\right)\cdot \left(\omega,\Delta r_{}}\mathbf{\hat{t}}_{나}+\mathbf{ V(\right),\\sum. {cdot}^{ 2mathbf { \ }^{ _}_right}_mathbf {i}_{i}_right}_,\cdot r_{t}_i}\mathbf {i}\cdot {1}{cdot} {cdot}
기준점을 두 번째 항이 0이 되도록 시스템의 질량 C(\displaystyle \mathbf {C}) 의 중심이 되게 하고 관성 모멘트 I C(\ displaystyle I_{\mathbf {C}}}) 를 도입하여 운동 에너지가 다음과 같이 주어지도록[22] : 1084 합니다.
E K = 1 2 I C ω 2 + 1 2 M V ⋅ V . frac displaystyle E_{\text{K}=black {1}{2}} I_{\mathbf {C}}\obega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .}
관성 모멘트 I C {\style I_{\mathbf {C}}} 는 신체의 극성 관성 모멘트 이다.
엔진에 스포크 플라이휠 이 달린 1920년대식 존 디어 트랙터. 플라이휠의 큰 관성 모멘트가 트랙터의 작동을 부드럽게 합니다. n개의 {\displaystyle n} 개 의 입자로 이루어진 강체 시스템에 대한 뉴턴의 법칙 Pi , i = 1 , …, n {{i},\ dots,n } 은 기준점 R {\displaystyle \mathbf {R }} 의 결과력과 토크로 나타낼 수 있습니다[14] [17] .
F = ∑ i = 1 n m i A i , τ = ∑ i = 1 n Δ r i × m i A i , & _i}\ _{ {f { {i 여기 서 r i\ displaystyle \mathbf {r} _{i} 는 각 입자의 궤적을 나타냅니다.
강체의 운동학 에서는 기준 입자의 위치 R(\displaystyle \mathbf { R}) 및 가속도 A(\displaystyle \mathbf {A}) 및 각속도 벡터 δ(\displaystyle \boldsymbo ) 의 관점에서 입자 Pi 의 가속식을 산출합니다. l {{mega }} 과 (와) 단단한 입자계의 각가속도 벡터 α( 표시 스타일 {\boldsymbol {\ alpha }})는 다음과 같습니다.
A i = α × Δ r i + ω × ω × Δ r i + A . ({displaystyle \mathbf {A}_{i}=\times \delta \mathbf {r}_{i}+{\boldsymbol {i}})\times \delta \mathbf {r}_{i}\times
평면 이동에 구속된 시스템의 경우 각 속도와 각가속도 벡터는 이동 평면에 수직인 k^\displaystyle\mathbf {k}} 를 따라 배치되어 이 가속도 방정식을 단순화합니다. 이 경우 단위 벡터 e ^ i \ displaystyle \ mathbf { e } _ { i } _ { displaystyle \ mathbf { R } the the the i i i 、 t ^ = k × e ^ ^ } ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \displaystyle \mathbf {t} _{ i} = \mathbf {k} \times \mathbf {e} _ {i} ,
A i = α k ^ × Δ r i e ^ i − ω k ^ × ω k ^ × Δ r i e ^ i + A = α Δ r i t ^ i − ω 2 Δ r i e ^ i + A . {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{A}_{나는}&, =\alpha \mathbf{\hat{k}}\Delta r_{나는}\mathbf{\hat{e}\times}}}\Delta r_{나는}\mathbf{\hat{e}\times}{A}\\& _{나는}+\mathbf\omega \mathbf{\hat{k}\times,=\alpha \Delta r_{나는}\mathbf{\hat{t}}_{나는}-\omega ^{2}\Delta r_{나는}\mathbf{\hat{e}}{A}.\en _{나는}+\mathbf\mathbf{\hat{k}_{나는}-\omega.d{aligne d}}}
이로 인해 시스템에 다음과 같은 토크가 생성됩니다.
τ = ∑ i = 1 n m i Δ r i e ^ i × ( α Δ r i t ^ i − ω 2 Δ r i e ^ i + A ) = ( ∑ i = 1 n m i Δ r i 2 ) α k ^ + ( ∑ i = 1 n m i Δ r i e ^ i ) × A , {\displaystyle {\boldsymbol {n}{i=1}^{n}m_{i},\Delta r_{i},\times \left(\alpha \Delta r_{i},\mathbf {i},\delta r2},\Delta {i},\delta r}, {i},\ta r}, {i}, {delta}, {i},\ta}, {i},\ta r},\ta}, \\&=\left(\sum _{i=1}^{n_{i},\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {k} +\left(\sum _i=1}^{n}m_{i},\delta r_mathbhat {e}\times}{i})
여기 서 e ^ i × e ^ i = 0 { displaystyle \ mathbf { e } _ { i } = \ mathbf { 0 } = \ mathbf { e } = k ^ { displaystyle \ mathbf { e } _ mathbhat { i = { i } } } { i } { times } }ticles Pi ( 디스플레이 스타일 P_{i })
질량 C 의 중심 을 기준점으로 사용하고 질량 I 의 중심을 기준으로 관성 모멘트를 정의하면({displaystyle I_{\mathbf {C }}}), 결과 토크의 방정식은 다음과 같이 단순해집니다[22] : 1029 .
τ = I C α k ^ . {\displaystyle\boldsymbol\class}= I_{\mathbf {C}}\alpha \mathbf {k}}.
강체 공간에서의 움직임 및 관성 매트릭스 스칼라 관성 모멘트는 입자 시스템이 3차원 공간에서 움직이는 강체로 조립될 때 매트릭스의 요소로 나타납니다. 이 관성 행렬은 [3] [4] [5] [6] [26] 입자의 강체 시스템의 각 운동량, 운동 에너지 및 결과 토크의 계산에 나타납니다.
n개의 {\displaystyle n} 개의 입자, Pi , i = 1, …, n {{displaystyle P_{i},i= 1,\dots, n }의 시스템 이 좌표 r i(\displaystyle \mathbf {r} _{ i })에 위치하도록 하고, 속도 vi (\displaystyle \mathbf {v} _{i} _{i} _{ i })는 고정 프레임에 상대적입니다. (움직일 수 있는 ) 기준점 R(\displaystyle \mathbf {R }) 의 경우 상대 위치는 다음과 같습니다.
Δ r i = r i − R \displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} } 그리고 (절대) 속도는 v i = ω × Δ r i + V R \displaystyle \mathbf {v} _{i} = bold symbol {i} \times \Delta \mathbf {r} _{i} + \mathbf {R} } 여기서 δ ({displaystyle\boldsymbol\mega}}) 는 시스템의 각속도이고 V R({ displaystyle\mathbf {V_{R}}) 은 R({ displaystyle\mathbf {R}) 의 속도입니다.
각운동량 첫 번째 피연산자와 연산자를 결합하여 행렬 곱셈으로 동등 하게 쓸 수 있습니다 . [b ] {display style \left[\mathbf {b } \right ]} 는 b = ( b x , b , b , b z ) = ( display style \mathbf {b} , {b} , {b} , {right } , {z } 。
b × y ≡ [ b ] y [ b ] ≡ [ 0 − b z b y b z 0 − b x − b y b x 0 ] . \displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right] \\equiv {\mathbf {b} \right} &\equiv {\mathbmatrix} 0&\b_{z}&\b} \end { aligned}}
관성행렬은 질량 C 의 중심(\displaystyle \mathbf {C}) [3] [6] 으로 선택된 물체의 기준점 R(\displaystyle \mathbf {R }) 을 사용하여 각 운동량을 고려하여 구성됩니다.
L = ∑ i = 1 n m i Δ r i × v i = ∑ i = 1 n m i Δ r i × ( ω × Δ r i + V R ) = ( − ∑ i = 1 n m i Δ r i × ( Δ r i × ω ) ) + ( ∑ i = 1 n m i Δ r i × V R ) , {\displaystyle {displaystyle}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i} ,\Delta \mathbf {r} _{i} \times \mathbf {v} _{i} \sum {i=1}^{n}m_i},\ta \mathbf {i} {i} \&=\leftsum _{i=1}^{n},\Delta \mathbf {r} _{i} \times \left(\Delta \mathbf {r} _{i} \times \boldsymbol {i} \right) +\left(\sum _i=1}^{n},{i},\delti}) 여기서 V R (\ displaystyle \mathbf {V_{R}})( = C {\displaystyle =\mathbf {C} } )을 포함 하는 항은 질량 중심의 정의 에 따라 0이 된다.
다음으로 상대위치 벡터 δ r i = r i - C { displaystyle \Delta \mathbf {r} _ {i} _{i} = \mathbf {r } _{i} \mathbf {r} _{i} \mathbf {c} canbC } 에서 얻을 수 있는 스큐-matrix [ ]
L = ( − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i ] 2 ) ω = I C ω , {\displaystyle \mathbf {L} =\leftsum _{i=1}^{n}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right) {\boldsymbol {I} =\mboldbf {C} 여기 서 I C(\ displaystyle\mathbf {I_{C }})는 정의됩니다. I C = − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i ] 2 , \displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} =-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^2} 는 질량 C(\ displaystyle \mathbf {C }) 의 중심을 기준으로 측정된 입자 강체계의 대칭 관성 행렬입니다.
운동 에너지 입자의 강체계의 운동 에너지는 시스템 의 질량 중심과 관성 모멘트의 매트릭스로 공식화할 수 있다. n개(\displaystyle n) 입자 Pi , i = 1 , ..., n개 (\displaystyle P_{i },i=1,\dots,n}) 의 시스템 이 속도 vi (\ displaystyle \mathbf {v}_i } _{i })의 좌표 ri (\ displaystyle\ displaystyle \mathbf {r})에 위치한다고 가정하면 운동 에너지는 다음과 같습니다[3] [6] .
E K = 1 2 ∑ i = 1 n m i v i ⋅ v i = 1 2 ∑ i = 1 n m i ( ω × Δ r i + V C ) ⋅ ( ω × Δ r i + V C ) , ({displaystyle E_{\text{K}}=sum {1}{n}m_{i}\mathbf {v}_{i}\cdot \mathbf {v}_{i}=sum _{i=1}^{n}m_{boldol}\symboldol {v}) where Δ r i = r i − C {\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} } is the position vector of a particle relative to the center of mass.
이 방정식은 3항으로 확장된다.
E K = 1 2 ( ∑ i = 1 n m i ( ω × Δ r i ) ⋅ ( ω × Δ r i ) ) + ( ∑ i = 1 n m i V C ⋅ ( ω × Δ r i ) ) + 1 2 ( ∑ i = 1 n m i V C ⋅ V C ) . ({displaystyle E_{\text{K}}=bladfrac {1}{n_i}\left(\sum _{i=1}^{i}\left\boldsymbol {i}}\times \delta \mathbf {r}_{i}\times)\cdot \lftsymblef {{{{{i}\mbdelf}\ts}\t}\tes}\tembdelf}\temb}\temb}\times rac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n_{i}\mathbf {V}_{\mathbf {C}}\cdot \mathbf {V}_{\mathbf {C}\오른쪽) }
C (\displaystyle \mathbf {C} }) 가 질량의 중심이기 때문 에 이 방정식의 두 번째 항은 0입니다.스큐 대칭 행렬 [δ r i ] {displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}}} 을 도입하여 운동 에너지가
E K = 1 2 ( ∑ i = 1 n m i ( [ Δ r i ] ω ) ⋅ ( [ Δ r i ] ω ) ) + 1 2 ( ∑ i = 1 n m i ) V C ⋅ V C = 1 2 ( ∑ i = 1 n m i ( ω T [ Δ r i ] T [ Δ r i ] ω ) ) + 1 2 ( ∑ i = 1 n m i ) V C ⋅ V C = 1 2 ω ⋅ ( − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i ] 2 ) ω + 1 2 ( ∑ i = 1 n m i ) V C ⋅ V C . 디스플레이 스타일 E_{\text{K}}&={\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^{n}m_{나는}\left(\left[\Delta \mathbf{r}_{나는}\right]{\boldsymbol{\omega}}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf{r}_{나는}\right]{\boldsymbol{\omega}}\right)\right)+{\frac{1}{2}}}\cdot\mathbf{V}_{\mathbf{C}}\\&, ={\frac{1}{2}}\left{V}_{\mathbf{C}\left(\sum_{i=1}^{n}m_{나는}\right)\mathbf.(\sum_{ I=1}^ᆬm_ᆭ\left({\boldsymbol{\omega}}^{\mathsf{T}}\left[\Delta \mathbf{r}_{나는}\right]^{\mathsf{T}}\left[\Delta \mathbf{r}_{나는}\right]{\boldsymbol{\omega}}\right)\right)+{\frac{1}{2}}}\cdot\mathbf{V}_{\mathbf{C}}\\&, ={\frac{1}{2}}{\boldsymbol{\omega}}\cdot \left(-\sum{V}_{\mathbf{C}\left(\sum_{i=1}^{n}m_{나는}\right)\mathbf. _{i= 1) {{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r}_{i}\right]^{2}\boldsymbol {\frac {1}{2}}\left(\sum _{i}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V}_{F}_F}_F}
따라서, 입자의 강체계의 운동 에너지는 다음과 같이 주어진다.
E K = 1 2 ω ⋅ I C ω + 1 2 M V C 2 . ({displaystyle E_{\text{K}}=boldfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\mathbf {I}_{\mathbf {C}_{\boldsymbol {C}}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {C} {C}) } where I C {\displaystyle \mathbf {I_{C}} } is the inertia matrix relative to the center of mass and M {\displaystyle M} is the total mass.
결과 토크 관성행렬은 뉴턴의 제2법칙을 입자의 강체집합에 적용하는 과정에서 나타난다. 이 시스템의 토크는 다음과 같습니다.[3] [6]
τ = ∑ i = 1 n ( r i − R ) × m i a i , {\displaystyle {\boldsymbol {n}={i=1}^{n}\left(\mathbf {r_i} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a}_{i} where a i {\displaystyle \mathbf {a} _{i}} is the acceleration of the particle P i {\displaystyle P_{i}} . The kinematics of a rigid body yields the formula for the acceleration of the particle P i {\displaystyle P_{i}} in terms of the position R {\displaystyle \mathbf {R} } and acceleration A R {\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }} of the reference point, as well as the angular velocity vector ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} and angular acceleration vector α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} of the rigid system as, a i = α × ( r i − R ) + ω × ( ω × ( r i − R ) ) + A R . {\displaystyle \mathbf {a} _{i} =\times \left(\mathbf {r} ) _{i}-\mathbf {R} \right) + {\times \boldsymbol {a} \times \times \(\mathbf {r} ) _mathbi
질량 C 의 중심을 기준점으로 하여 스큐 행렬 [δ ri] = [ r i - C ](\displaystyle \left [\Delta \mathbf {r} _{i} \right] =\left [\mathbf {r} _{i} \mathbf} { c})를 도입합니다.e (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times } 를 구하려면
τ = ( − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i ] 2 ) α + ω × ( − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i ] 2 ) ω {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}
The calculation uses the identity
Δ r i × ( ω × ( ω × Δ r i ) ) + ω × ( ( ω × Δ r i ) × Δ r i ) = 0 , {\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,} obtained from the Jacobi identity for the triple cross product as shown in the proof below:
Proof
τ = ∑ i = 1 n ( r i − R ) × ( m i a i ) = ∑ i = 1 n Δ r i × ( m i a i ) = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × a i ] … cross-product scalar multiplication = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( a tangential , i + a centripetal , i + A R ) ] = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( a tangential , i + a centripetal , i + 0 ) ] … R is either at rest or moving at a constant velocity but not accelerated, or the origin of the fixed (world) coordinate reference system is placed at the center of mass C = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × a tangential , i + Δ r i × a centripetal , i ] … cross-product distributivity over addition = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + Δ r i × ( ω × v tangential , i ) ] τ = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + Δ r i × ( ω × ( ω × Δ r i ) ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\&\;\;\;\;\;\ldots \;\mathbf {R} {\text{ is either at rest or moving at a constant velocity but not accelerated, or }}\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{the origin of the fixed (world) coordinate reference system is placed at the center of mass }}\mathbf {C} \\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\\end{aligned}}}
Then, the following Jacobi identity is used on the last term:
0 = Δ r i × ( ω × ( ω × Δ r i ) ) + ω × ( ( ω × Δ r i ) × Δ r i ) + ( ω × Δ r i ) × ( Δ r i × ω ) = Δ r i × ( ω × ( ω × Δ r i ) ) + ω × ( ( ω × Δ r i ) × Δ r i ) + ( ω × Δ r i ) × − ( ω × Δ r i ) … cross-product anticommutativity = Δ r i × ( ω × ( ω × Δ r i ) ) + ω × ( ( ω × Δ r i ) × Δ r i ) + − [ ( ω × Δ r i ) × ( ω × Δ r i ) ] … cross-product scalar multiplication = Δ r i × ( ω × ( ω × Δ r i ) ) + ω × ( ( ω × Δ r i ) × Δ r i ) + − [ 0 ] … self cross-product 0 = Δ r i × ( ω × ( ω × Δ r i ) ) + ω × ( ( ω × Δ r i ) × Δ r i ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\end{aligned}}}
The result of applying Jacobi identity can then be continued as follows:
Δ r i × ( ω × ( ω × Δ r i ) ) = − [ ω × ( ( ω × Δ r i ) × Δ r i ) ] = − [ ( ω × Δ r i ) ( ω ⋅ Δ r i ) − Δ r i ( ω ⋅ ( ω × Δ r i ) ) ] … vector triple product = − [ ( ω × Δ r i ) ( ω ⋅ Δ r i ) − Δ r i ( Δ r i ⋅ ( ω × ω ) ) ] … scalar triple product = − [ ( ω × Δ r i ) ( ω ⋅ Δ r i ) − Δ r i ( Δ r i ⋅ ( 0 ) ) ] … self cross-product = − [ ( ω × Δ r i ) ( ω ⋅ Δ r i ) ] = − [ ω × ( Δ r i ( ω ⋅ Δ r i ) ) ] … cross-product scalar multiplication = ω × − ( Δ r i ( ω ⋅ Δ r i ) ) … cross-product scalar multiplication Δ r i × ( ω × ( ω × Δ r i ) ) = ω × − ( Δ r i ( Δ r i ⋅ ω ) ) … dot-product commutativity {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}}
The final result can then be substituted to the main proof as follows:
τ = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + Δ r i × ( ω × ( ω × Δ r i ) ) ] = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + ω × − ( Δ r i ( Δ r i ⋅ ω ) ) ] = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + ω × { 0 − Δ r i ( Δ r i ⋅ ω ) } ] = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + ω × { [ ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) − ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) ] − Δ r i ( Δ r i ⋅ ω ) } ] … ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) − ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) = 0 = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + ω × { [ ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) − Δ r i ( Δ r i ⋅ ω ) ] − ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) } ] … addition associativity {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}} = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + ω × { ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) − Δ r i ( Δ r i ⋅ ω ) } − ω × ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) ] … cross-product distributivity over addition = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + ω × { ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) − Δ r i ( Δ r i ⋅ ω ) } − ( Δ r i ⋅ Δ r i ) ( ω × ω ) ] … cross-product scalar multiplication = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + ω × { ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) − Δ r i ( Δ r i ⋅ ω ) } − ( Δ r i ⋅ Δ r i ) ( 0 ) ] … self cross-product = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + ω × { ω ( Δ r i ⋅ Δ r i ) − Δ r i ( Δ r i ⋅ ω ) } ] = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( α × Δ r i ) + ω × { Δ r i × ( ω × Δ r i ) } ] … vector triple product = ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × − ( Δ r i × α ) + ω × { Δ r i × − ( Δ r i × ω ) } ] … cross-product anticommutativity = − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( Δ r i × α ) + ω × { Δ r i × ( Δ r i × ω ) } ] … cross-product scalar multiplication = − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( Δ r i × α ) ] + − ∑ i = 1 n m i [ ω × { Δ r i × ( Δ r i × ω ) } ] … summation distributivity τ = − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( Δ r i × α ) ] + ω × − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( Δ r i × ω ) ] … ω is not characteristic of particle P i {\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}}
Notice that for any vector u {\displaystyle \mathbf {u} } , the following holds:
− ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( Δ r i × u ) ] = − ∑ i = 1 n m i ( [ 0 − Δ r 3 , i Δ r 2 , i Δ r 3 , i 0 − Δ r 1 , i − Δ r 2 , i Δ r 1 , i 0 ] ( [ 0 − Δ r 3 , i Δ r 2 , i Δ r 3 , i 0 − Δ r 1 , i − Δ r 2 , i Δ r 1 , i 0 ] [ u 1 u 2 u 3 ] ) ) … cross-product as matrix multiplication = − ∑ i = 1 n m i ( [ 0 − Δ r 3 , i Δ r 2 , i Δ r 3 , i 0 − Δ r 1 , i − Δ r 2 , i Δ r 1 , i 0 ] [ − Δ r 3 , i u 2 + Δ r 2 , i u 3 + Δ r 3 , i u 1 − Δ r 1 , i u 3 − Δ r 2 , i u 1 + Δ r 1 , i u 2 ] ) = − ∑ i = 1 n m i [ − Δ r 3 , i ( + Δ r 3 , i u 1 − Δ r 1 , i u 3 ) + Δ r 2 , i ( − Δ r 2 , i u 1 + Δ r 1 , i u 2 ) + Δ r 3 , i ( − Δ r 3 , i u 2 + Δ r 2 , i u 3 ) − Δ r 1 , i ( − Δ r 2 , i u 1 + Δ r 1 , i u 2 ) − Δ r 2 , i ( − Δ r 3 , i u 2 + Δ r 2 , i u 3 ) + Δ r 1 , i ( + Δ r 3 , i u 1 − Δ r 1 , i u 3 ) ] = − ∑ i = 1 n m i [ − Δ r 3 , i 2 u 1 + Δ r 1 , i Δ r 3 , i u 3 − Δ r 2 , i 2 u 1 + Δ r 1 , i Δ r 2 , i u 2 − Δ r 3 , i 2 u 2 + Δ r 2 , i Δ r 3 , i u 3 + Δ r 2 , i Δ r 1 , i u 1 − Δ r 1 , i 2 u 2 + Δ r 3 , i Δ r 2 , i u 2 − Δ r 2 , i 2 u 3 + Δ r 3 , i Δ r 1 , i u 1 − Δ r 1 , i 2 u 3 ] = − ∑ i = 1 n m i [ − ( Δ r 2 , i 2 + Δ r 3 , i 2 ) u 1 + Δ r 1 , i Δ r 2 , i u 2 + Δ r 1 , i Δ r 3 , i u 3 + Δ r 2 , i Δ r 1 , i u 1 − ( Δ r 1 , i 2 + Δ r 3 , i 2 ) u 2 + Δ r 2 , i Δ r 3 , i u 3 + Δ r 3 , i Δ r 1 , i u 1 + Δ r 3 , i Δ r 2 , i u 2 − ( Δ r 1 , i 2 + Δ r 2 , i 2 ) u 3 ] = − ∑ i = 1 n m i [ − ( Δ r 2 , i 2 + Δ r 3 , i 2 ) Δ r 1 , i Δ r 2 , i Δ r 1 , i Δ r 3 , i Δ r 2 , i Δ r 1 , i − ( Δ r 1 , i 2 + Δ r 3 , i 2 ) Δ r 2 , i Δ r 3 , i Δ r 3 , i Δ r 1 , i Δ r 3 , i Δ r 2 , i − ( Δ r 1 , i 2 + Δ r 2 , i 2 ) ] [ u 1 u 2 u 3 ] = − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i ] 2 u − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( Δ r i × u ) ] = ( − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i ] 2 ) u … u is not characteristic of P i {\displaystyle {\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}}
Finally, the result is used to complete the main proof as follows:
τ = − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i × ( Δ r i × α ) ] + ω × − ∑ i = 1 n m i Δ r i × ( Δ r i × ω ) ] = ( − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i ] 2 ) α + ω × ( − ∑ i = 1 n m i [ Δ r i ] 2 ) ω {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}
Thus, the resultant torque on the rigid system of particles is given by
τ = I C α + ω × I C ω , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},} where I C {\displaystyle \mathbf {I_{C}} } is the inertia matrix relative to the center of mass.
Parallel axis theorem The inertia matrix of a body depends on the choice of the reference point. There is a useful relationship between the inertia matrix relative to the center of mass C {\displaystyle \mathbf {C} } and the inertia matrix relative to another point R {\displaystyle \mathbf {R} } . This relationship is called the parallel axis theorem.[3] [6]
Consider the inertia matrix I R {\displaystyle \mathbf {I_{R}} } obtained for a rigid system of particles measured relative to a reference point R {\displaystyle \mathbf {R} } , given by
I R = − ∑ i = 1 n m i [ r i − R ] 2 . {\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.}
Let C {\displaystyle \mathbf {C} } be the center of mass of the rigid system, then
R = ( R − C ) + C = d + C , {\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,} where d {\displaystyle \mathbf {d} } is the vector from the center of mass C {\displaystyle \mathbf {C} } to the reference point R {\displaystyle \mathbf {R} } . Use this equation to compute the inertia matrix, I R = − ∑ i = 1 n m i [ r i − ( C + d ) ] 2 = − ∑ i = 1 n m i [ ( r i − C ) − d ] 2 . {\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.}
Distribute over the cross product to obtain
I R = − ( ∑ i = 1 n m i [ r i − C ] 2 ) + ( ∑ i = 1 n m i [ r i − C ] ) [ d ] + [ d ] ( ∑ i = 1 n m i [ r i − C ] ) − ( ∑ i = 1 n m i ) [ d ] 2 . {\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.}
The first term is the inertia matrix I C {\displaystyle \mathbf {I_{C}} } relative to the center of mass. The second and third terms are zero by definition of the center of mass C {\displaystyle \mathbf {C} } . And the last term is the total mass of the system multiplied by the square of the skew-symmetric matrix [ d ] {\displaystyle [\mathbf {d} ]} constructed from d {\displaystyle \mathbf {d} } .
The result is the parallel axis theorem,
I R = I C − M [ d ] 2 , {\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},} where d {\displaystyle \mathbf {d} } is the vector from the center of mass C {\displaystyle \mathbf {C} } to the reference point R {\displaystyle \mathbf {R} } .
Note on the minus sign : By using the skew symmetric matrix of position vectors relative to the reference point, the inertia matrix of each particle has the form − m [ r ] 2 {\displaystyle -m\left[\mathbf {r} \right]^{2}} , which is similar to the m r 2 {\displaystyle mr^{2}} that appears in planar movement. However, to make this to work out correctly a minus sign is needed. This minus sign can be absorbed into the term m [ r ] T [ r ] {\displaystyle m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]} , if desired, by using the skew-symmetry property of [ r ] {\displaystyle [\mathbf {r} ]} .
Scalar moment of inertia in a plane The scalar moment of inertia, I L {\displaystyle I_{L}} , of a body about a specified axis whose direction is specified by the unit vector k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } and passes through the body at a point R {\displaystyle \mathbf {R} } is as follows:[6]
I L = k ^ ⋅ ( − ∑ i = 1 N m i [ Δ r i ] 2 ) k ^ = k ^ ⋅ I R k ^ = k ^ T I R k ^ , {\displaystyle I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,} where I R {\displaystyle \mathbf {I_{R}} } is the moment of inertia matrix of the system relative to the reference point R {\displaystyle \mathbf {R} } , and [ Δ r i ] {\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]} is the skew symmetric matrix obtained from the vector Δ r i = r i − R {\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} } .
This is derived as follows. Let a rigid assembly of n {\displaystyle n} particles, P i , i = 1 , … , n {\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n} , have coordinates r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} . Choose R {\displaystyle \mathbf {R} } as a reference point and compute the moment of inertia around a line L defined by the unit vector k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } through the reference point R {\displaystyle \mathbf {R} } , L ( t ) = R + t k ^ {\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}} } . The perpendicular vector from this line to the particle P i {\displaystyle P_{i}} is obtained from Δ r i {\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}} by removing the component that projects onto k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } .
Δ r i ⊥ = Δ r i − ( k ^ ⋅ Δ r i ) k ^ = ( E − k ^ k ^ T ) Δ r i , {\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},} where E {\displaystyle \mathbf {E} } is the identity matrix, so as to avoid confusion with the inertia matrix, and k ^ k ^ T {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}} is the outer product matrix formed from the unit vector k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } along the line L {\displaystyle L} .
To relate this scalar moment of inertia to the inertia matrix of the body, introduce the skew-symmetric matrix [ k ^ ] {\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]} such that [ k ^ ] y = k ^ × y {\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y} } , then we have the identity
− [ k ^ ] 2 ≡ k ^ 2 ( E − k ^ k ^ T ) = E − k ^ k ^ T , {\displaystyle -\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left \mathbf {\hat {k}} \right ^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},} noting that k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } is a unit vector.
The magnitude squared of the perpendicular vector is
Δ r i ⊥ 2 = ( − [ k ^ ] 2 Δ r i ) ⋅ ( − [ k ^ ] 2 Δ r i ) = ( k ^ × ( k ^ × Δ r i ) ) ⋅ ( k ^ × ( k ^ × Δ r i ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left \Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right ^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}}
The simplification of this equation uses the triple scalar product identity
( k ^ × ( k ^ × Δ r i ) ) ⋅ ( k ^ × ( k ^ × Δ r i ) ) ≡ ( ( k ^ × ( k ^ × Δ r i ) ) × k ^ ) ⋅ ( k ^ × Δ r i ) , {\displaystyle \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),} where the dot and the cross products have been interchanged. Exchanging products, and simplifying by noting that Δ r i {\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}} and k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } are orthogonal: ( k ^ × ( k ^ × Δ r i ) ) ⋅ ( k ^ × ( k ^ × Δ r i ) ) = ( ( k ^ × ( k ^ × Δ r i ) ) × k ^ ) ⋅ ( k ^ × Δ r i ) = ( k ^ × Δ r i ) ⋅ ( − Δ r i × k ^ ) = − k ^ ⋅ ( Δ r i × Δ r i × k ^ ) = − k ^ ⋅ [ Δ r i ] 2 k ^ . {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}}
Thus, the moment of inertia around the line L {\displaystyle L} through R {\displaystyle \mathbf {R} } in the direction k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } is obtained from the calculation
I L = ∑ i = 1 N m i Δ r i ⊥ 2 = − ∑ i = 1 N m i k ^ ⋅ [ Δ r i ] 2 k ^ = k ^ ⋅ ( − ∑ i = 1 N m i [ Δ r i ] 2 ) k ^ = k ^ ⋅ I R k ^ = k ^ T I R k ^ , {\displaystyle {\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left \Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right ^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}} where I R {\displaystyle \mathbf {I_{R}} } is the moment of inertia matrix of the system relative to the reference point R {\displaystyle \mathbf {R} } .
This shows that the inertia matrix can be used to calculate the moment of inertia of a body around any specified rotation axis in the body.
Inertia tensor For the same object, different axes of rotation will have different moments of inertia about those axes. In general, the moments of inertia are not equal unless the object is symmetric about all axes. The moment of inertia tensor is a convenient way to summarize all moments of inertia of an object with one quantity. It may be calculated with respect to any point in space, although for practical purposes the center of mass is most commonly used.
Definition For a rigid object of N {\displaystyle N} point masses m k {\displaystyle m_{k}} , the moment of inertia tensor is given by
I = [ I 11 I 12 I 13 I 21 I 22 I 23 I 31 I 32 I 33 ] . {\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}.}
Its components are defined as
I i j = d e f ∑ k = 1 N m k ( ‖ r k ‖ 2 δ i j − x i ( k ) x j ( k ) ) {\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\ \mathbf {r} _{k}\right\ ^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)}
where
i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} is equal to 1, 2 or 3 for x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , and z {\displaystyle z} , respectively, r k = ( x 1 ( k ) , x 2 ( k ) , x 3 ( k ) ) {\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)} is the vector to the point mass m k {\displaystyle m_{k}} from the point about which the tensor is calculated and δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} is the Kronecker delta . Note that, by the definition, I {\displaystyle \mathbf {I} } is a symmetric tensor .
The diagonal elements are more succinctly written as
I x x = d e f ∑ k = 1 N m k ( y k 2 + z k 2 ) , I y y = d e f ∑ k = 1 N m k ( x k 2 + z k 2 ) , I z z = d e f ∑ k = 1 N m k ( x k 2 + y k 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}}
while the off-diagonal elements, also called the products of inertia , are
I x y = I y x = d e f − ∑ k = 1 N m k x k y k , I x z = I z x = d e f − ∑ k = 1 N m k x k z k , I y z = I z y = d e f − ∑ k = 1 N m k y k z k . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}}
Here I x x {\displaystyle I_{xx}} denotes the moment of inertia around the x {\displaystyle x} -axis when the objects are rotated around the x-axis, I x y {\displaystyle I_{xy}} denotes the moment of inertia around the y {\displaystyle y} -axis when the objects are rotated around the x {\displaystyle x} -axis, and so on.
These quantities can be generalized to an object with distributed mass, described by a mass density function, in a similar fashion to the scalar moment of inertia. One then has
I = ∭ V ρ ( x , y , z ) ( ‖ r ‖ 2 E 3 − r ⊗ r ) d x d y d z , {\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\ \mathbf {r} \ ^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,}
where r ⊗ r {\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} } is their outer product , E 3 is the 3×3 identity matrix , and V is a region of space completely containing the object.
Alternatively it can also be written in terms of the angular momentum operator [ r ] x = r × x {\displaystyle [\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x} } :
I = ∭ V ρ ( r ) [ r ] T [ r ] d V = − ∭ Q ρ ( r ) [ r ] 2 d V {\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{\textsf {T}}[\mathbf {r} ]\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,dV}
The inertia tensor can be used in the same way as the inertia matrix to compute the scalar moment of inertia about an arbitrary axis in the direction n {\displaystyle \mathbf {n} } ,
I n = n ⋅ I ⋅ n , {\displaystyle I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,}
where the dot product is taken with the corresponding elements in the component tensors. A product of inertia term such as I 12 {\displaystyle I_{12}} is obtained by the computation
I 12 = e 1 ⋅ I ⋅ e 2 , {\displaystyle I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},} and can be interpreted as the moment of inertia around the x {\displaystyle x} -axis when the object rotates around the y {\displaystyle y} -axis.
The components of tensors of degree two can be assembled into a matrix. For the inertia tensor this matrix is given by,
I = [ I 11 I 12 I 13 I 21 I 22 I 23 I 31 I 32 I 33 ] = [ I x x I x y I x z I y x I y y I y z I z x I z y I z z ] = [ ∑ k = 1 N m k ( y k 2 + z k 2 ) − ∑ k = 1 N m k x k y k − ∑ k = 1 N m k x k z k − ∑ k = 1 N m k x k y k ∑ k = 1 N m k ( x k 2 + z k 2 ) − ∑ k = 1 N m k y k z k − ∑ k = 1 N m k x k z k − ∑ k = 1 N m k y k z k ∑ k = 1 N m k ( x k 2 + y k 2 ) ] . {\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.}
It is common in rigid body mechanics to use notation that explicitly identifies the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , and z {\displaystyle z} -axes, such as I x x {\displaystyle I_{xx}} and I x y {\displaystyle I_{xy}} , for the components of the inertia tensor.
Alternate inertia convention There are some CAD and CAE applications such as SolidWorks, Unigraphics NX/Siemens NX and MSC Adams that use an alternate convention for the products of inertia. According to this convention, the minus sign is removed from the product of inertia formulas and instead inserted in the inertia matrix:
I x y = I y x = d e f ∑ k = 1 N m k x k y k , I x z = I z x = d e f ∑ k = 1 N m k x k z k , I y z = I z y = d e f ∑ k = 1 N m k y k z k , I = [ I 11 I 12 I 13 I 21 I 22 I 23 I 31 I 32 I 33 ] = [ I x x − I x y − I x z − I y x I y y − I y z − I z x − I z y I z z ] = [ ∑ k = 1 N m k ( y k 2 + z k 2 ) − ∑ k = 1 N m k x k y k − ∑ k = 1 N m k x k z k − ∑ k = 1 N m k x k y k ∑ k = 1 N m k ( x k 2 + z k 2 ) − ∑ k = 1 N m k y k z k − ∑ k = 1 N m k x k z k − ∑ k = 1 N m k y k z k ∑ k = 1 N m k ( x k 2 + y k 2 ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\\[3pt]\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
Determine inertia convention (Principal axes method) If one has the inertia data ( I x x , I y y , I z z , I x y , I x z , I y z ) {\displaystyle (I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})} without knowing which inertia convention that has been used, it can be determined if one also has the principal axes . With the principal axes method, one makes inertia matrices from the following two assumptions:
The standard inertia convention has been used ( I 12 = I x y , I 13 = I x z , I 23 = I y z ) {\displaystyle (I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})} . The alternate inertia convention has been used ( I 12 = − I x y , I 13 = − I x z , I 23 = − I y z ) {\displaystyle (I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})} . Next, one calculates the eigenvectors for the two matrices. The matrix whose eigenvectors are parallel to the principal axes corresponds to the inertia convention that has been used.
Derivation of the tensor components The distance r {\displaystyle r} of a particle at x {\displaystyle \mathbf {x} } from the axis of rotation passing through the origin in the n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } direction is x − ( x ⋅ n ^ ) n ^ {\displaystyle \left \mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right } , where n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } is unit vector. The moment of inertia on the axis is
I = m r 2 = m ( x − ( x ⋅ n ^ ) n ^ ) ⋅ ( x − ( x ⋅ n ^ ) n ^ ) = m ( x 2 − 2 x ( x ⋅ n ^ ) n ^ + ( x ⋅ n ^ ) 2 n ^ 2 ) = m ( x 2 − ( x ⋅ n ^ ) 2 ) . {\displaystyle I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).}
Rewrite the equation using matrix transpose :
I = m ( x T x − n ^ T x x T n ^ ) = m ⋅ n ^ T ( x T x ⋅ E 3 − x x T ) n ^ , {\displaystyle I=m\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right)=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {\hat {n}} ,}
where E 3 is the 3×3 identity matrix .
This leads to a tensor formula for the moment of inertia
I = m [ n 1 n 2 n 3 ] [ y 2 + z 2 − x y − x z − y x x 2 + z 2 − y z − z x − z y x 2 + y 2 ] [ n 1 n 2 n 3 ] . {\displaystyle I=m{\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{bmatrix}}.}
For multiple particles, we need only recall that the moment of inertia is additive in order to see that this formula is correct.
Inertia tensor of translation Let I 0 {\displaystyle \mathbf {I} _{0}} be the inertia tensor of a body calculated at its center of mass , and R {\displaystyle \mathbf {R} } be the displacement vector of the body. The inertia tensor of the translated body respect to its original center of mass is given by:
I = I 0 + m [ ( R ⋅ R ) E 3 − R ⊗ R ] {\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]} where m {\displaystyle m} is the body's mass, E 3 is the 3 × 3 identity matrix, and ⊗ {\displaystyle \otimes } is the outer product .
Inertia tensor of rotation Let R {\displaystyle \mathbf {R} } be the matrix that represents a body's rotation. The inertial tensor of the rotated body is given by:[27]
I = R I 0 R T {\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}}
Inertia matrix in different reference frames The use of the inertia matrix in Newton's second law assumes its components are computed relative to axes parallel to the inertial frame and not relative to a body-fixed reference frame.[6] [24] This means that as the body moves the components of the inertia matrix change with time. In contrast, the components of the inertia matrix measured in a body-fixed frame are constant.
Body frame Let the body frame inertia matrix relative to the center of mass be denoted I C B {\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}} , and define the orientation of the body frame relative to the inertial frame by the rotation matrix A {\displaystyle \mathbf {A} } , such that,
x = A y , {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,} where vectors y {\displaystyle \mathbf {y} } in the body fixed coordinate frame have coordinates x {\displaystyle \mathbf {x} } in the inertial frame. Then, the inertia matrix of the body measured in the inertial frame is given by I C = A I C B A T . {\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.}
Notice that A {\displaystyle \mathbf {A} } changes as the body moves, while I C B {\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}} remains constant.
Principal axes Measured in the body frame, the inertia matrix is a constant real symmetric matrix. A real symmetric matrix has the eigendecomposition into the product of a rotation matrix Q {\displaystyle \mathbf {Q} } and a diagonal matrix Λ {\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}} , given by
I C B = Q Λ Q T , {\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},} where Λ = [ I 1 0 0 0 I 2 0 0 0 I 3 ] . {\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.}
The columns of the rotation matrix Q {\displaystyle \mathbf {Q} } define the directions of the principal axes of the body, and the constants I 1 {\displaystyle I_{1}} , I 2 {\displaystyle I_{2}} , and I 3 {\displaystyle I_{3}} are called the principal moments of inertia . This result was first shown by J. J. Sylvester (1852) , and is a form of Sylvester's law of inertia .[28] [29] The principal axis with the highest moment of inertia is sometimes called the figure axis or axis of figure .
A toy top is an example of a rotating rigid body, and the word top is used in names the types of types of rigid bodies. When all principal moments of inertia are distinct, the principal axes through center of mass are uniquely specified and the rigid body is called an asymmetric top . If two principal moments are the same, the rigid body is called a symmetric top and there is no unique choice for the two corresponding principal axes. If all three principal moments are the same, the rigid body is called a spherical top (although it need not be spherical) and any axis can be considered a principal axis, meaning that the moment of inertia is the same about any axis.
The principal axes are often aligned with the object's symmetry axes. If a rigid body has an axis of symmetry of order m {\displaystyle m} , meaning it is symmetrical under rotations of 360° /m about the given axis, that axis is a principal axis. When m > 2 {\displaystyle m>2} , the rigid body is a symmetric top. If a rigid body has at least two symmetry axes that are not parallel or perpendicular to each other, it is a spherical top, for example, a cube or any other Platonic solid .
The motion of vehicles is often described in terms of yaw, pitch, and roll which usually correspond approximately to rotations about the three principal axes. If the vehicle has bilateral symmetry then one of the principal axes will correspond exactly to the transverse (pitch) axis.
A practical example of this mathematical phenomenon is the routine automotive task of balancing a tire , which basically means adjusting the distribution of mass of a car wheel such that its principal axis of inertia is aligned with the axle so the wheel does not wobble.
Rotating molecules are also classified as asymmetric, symmetric, or spherical tops, and the structure of their rotational spectra is different for each type.
Ellipsoid An ellipsoid with the semi-principal diameters labelled a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , and c {\displaystyle c} . The moment of inertia matrix in body-frame coordinates is a quadratic form that defines a surface in the body called Poinsot's ellipsoid .[30] Let Λ {\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}} be the inertia matrix relative to the center of mass aligned with the principal axes, then the surface
x T Λ x = 1 , {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,} or I 1 x 2 + I 2 y 2 + I 3 z 2 = 1 , {\displaystyle I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,} defines an ellipsoid in the body frame. Write this equation in the form, ( x 1 / I 1 ) 2 + ( y 1 / I 2 ) 2 + ( z 1 / I 3 ) 2 = 1 , {\displaystyle \left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,} to see that the semi-principal diameters of this ellipsoid are given by a = 1 I 1 , b = 1 I 2 , c = 1 I 3 . {\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.}
Let a point x {\displaystyle \mathbf {x} } on this ellipsoid be defined in terms of its magnitude and direction, x = ‖ x ‖ n {\displaystyle \mathbf {x} =\ \mathbf {x} \ \mathbf {n} } , where n {\displaystyle \mathbf {n} } is a unit vector. Then the relationship presented above, between the inertia matrix and the scalar moment of inertia I n {\displaystyle I_{\mathbf {n} }} around an axis in the direction n {\displaystyle \mathbf {n} } , yields
x T Λ x = ‖ x ‖ 2 n T Λ n = ‖ x ‖ 2 I n = 1. {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\ \mathbf {x} \ ^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\ \mathbf {x} \ ^{2}I_{\mathbf {n} }=1.}
Thus, the magnitude of a point x {\displaystyle \mathbf {x} } in the direction n {\displaystyle \mathbf {n} } on the inertia ellipsoid is
‖ x ‖ = 1 I n . {\displaystyle \ \mathbf {x} \ ={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.}
See also
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Linear/translational quantities Angular/rotational quantities Dimensions 1 L L2 Dimensions 1 θ θ 2 T time : t s absement : A m s T time : t s 1 distance : d , position : r , s , x , displacement m area : A m2 1 angle : θ , angular displacement : θ rad solid angle : Ω rad2 , sr T−1 frequency : f s−1 , Hz speed : v , velocity : v m s−1 kinematic viscosity : ν ,specific angular momentum : h m2 s−1 T−1 frequency : f s−1 , Hz angular speed : ω , angular velocity : ω rad s−1 T−2 acceleration : a m s−2 T−2 angular acceleration : α rad s−2 T−3 jerk : j m s−3 T−3 angular jerk : ζ rad s−3 M mass : m kg weighted position: M ⟨x⟩ = ∑ m x ML2 moment of inertia : I kg m2 MT−1 momentum : p , impulse : J kg m s−1 , N s action : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s ML2 T−1 angular momentum : L , angular impulse : ΔL kg m2 s−1 action : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s MT−2 force : F , weight : F g kg m s−2 , N energy : E , work : W , Lagrangian : L kg m2 s−2 , J ML2 T−2 torque : τ , moment : M kg m2 s−2 , N m energy : E , work : W , Lagrangian : L kg m2 s−2 , J MT−3 yank : Y kg m s−3 , N s−1 power : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3 rotatum : P kg m2 s−3 , N m s−1 power : P kg m2 s−3 , W