케터 진자

케이터의 진자는 영국의 물리학자이자 육군 대위인 헨리 케이터가 1817년^[1] 중력의 국소 가속도를 측정하는 중력계 기구로 사용하기 위해 발명한 가역적인 자유 요동 진자입니다. 이전의 진자 무게계와 달리 진자의 무게 중심과 진동 중심을 파악할 필요가 없어 정확도가 더 높다는 것이 장점입니다. 1930년대까지 약 한 세기 동안, 케이터의 진자와 그 다양한 개선은 측지학 조사 동안 지구 중력의 강도를 측정하는 표준 방법으로 남아 있었습니다. 현재는 진자 원리를 입증하는 데만 사용됩니다.

묘사

추를 사용하여 중력 가속도를 측정할 수 있습니다. 왜냐하면 좁은 스윙의 경우 스윙 T의 주기는 g와 길이 L에만 의존하기 때문입니다.^[2]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

그래서 진자의 길이 L과 주기 T를 측정하면 g를 계산할 수 있습니다.

케이터의 진자는 두 개의 피벗 지점이 있는 단단한 금속 막대로 구성되며, 막대의 각 끝 근처에 하나씩 있습니다. 피벗과 스윙 중 하나에 매달릴 수 있습니다. 또한 바를 위아래로 이동할 수 있는 조절식 무게 또는 스윙 주기를 조정할 수 있는 조절식 피벗이 하나 있습니다. 사용 시 한쪽 피벗에서 스윙하여 주기를 측정한 다음 반대쪽 피벗에서 거꾸로 스윙하여 주기를 측정합니다. 이동 가능한 무게(또는 피벗)는 두 주기가 같아질 때까지 조정됩니다. 이때 주기 T는 피벗 사이의 거리와 동일한 길이의 '이상적인' 단순 진자의 주기와 같습니다. 주기와 피벗 사이의 측정된 거리 L로부터 위의 식 (1)로부터 매우 정밀하게 중력 가속도를 계산할 수 있습니다.

케터의 진자에 의한 중력에 의한 가속도는 다음과 같습니다.^[3]

${\displaystyle g={\frac {8\pi ^{2}}{{\dfrac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{l_{1}+l_{2}}}+{\dfrac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{l_{1}-l_{2}}}}}}$

여기서 T1과 T2는 각각 K1과 K2로부터 매달린 진동의 시간 기간이고, l1과 l2는 각각 무게 중심으로부터 칼끝 K1과 K2의 거리입니다.

역사

진자를 이용한 중력 측정

중력이 지구 표면에서 변화한다는 것을 최초로 발견한 사람은 프랑스 과학자 장 리히어로, 1671년 프랑스 아카데미 데 사이언스에 의해 프랑스령 기아나 카이엔으로 원정을 보내 진자 시계로 측정하는 임무를 맡았습니다. 그 다음 해에 그가 관찰한 것들을 통해, Richer는 그 시계가 파리보다 하루 2+1 ⁄ 2분 느리거나, 1초의 흔들림을 가진 진자의 길이와 맞먹는 1+1 ⁄4 파리 선은 파리보다 2.6mm 짧았습니다. 지구가 완벽한 구체가 아니라 약간 편원형이라는 사실이 1687년 아이작 뉴턴에 의해 당대의 과학자들에 의해 밝혀졌고, 지구의 자전 때문에 적도에서 더 두꺼웠기 때문이라는 것이 증명되었습니다. 표면은 파리보다 카이엔에서 지구 중심에서 더 멀리 떨어져 있었기 때문에 중력이 더 약했습니다. 그 발견이 이루어진 후, 자유롭게 움직이는 진자는 정밀 중력계로 사용되기 시작했고, 지역 중력 가속도를 측정하기 위해 세계 여러 지역을 여행했습니다. 지리적 중력 데이터의 축적은 지구의 전체적인 모양에 대한 점점 더 정확한 모델을 만들어냈습니다.

진자는 중력을 측정하는 데 매우 보편적으로 사용되었기 때문에, 카테르의 시간에 중력의 국소적인 세기는 일반적으로 사용되는 가속도 g 값이 아니라, 2초 주기의 진자인 2초 진자의 위치에서의 길이로 표현됩니다. 따라서 각 스윙에는 1초가 소요됩니다. 식 (1)에서 볼 수 있듯이 초 진자의 경우 길이는 단순히 g에 비례합니다.

${\displaystyle g=\pi ^{2}L\,}$

중량계 진자의 부정확성

케터의 시간에 진자의 주기 T는 별들이 머리 위를 통과할 때 설정된 정밀한 시계로 측정함으로써 매우 정밀하게 측정될 수 있었습니다. 케터가 발견하기 전에는 다른 인자 L인 진자의 길이를 정확하게 측정하기 어려워 g 측정의 정확도에 한계가 있었습니다. 위의 식 (1)에서 L은 질량이 없는 줄의 끝에서 흔들리는 점 질량으로 구성된 이상적인 수학적 '단순 진자'의 길이였습니다. 그러나 역학에서 복합 진자로 알려진 요동하는 강체인 실제 진자의 '길이'는 정의하기가 더 어렵습니다. 1673년 네덜란드 과학자 Christian Huygens는 진자에 대한 수학적 분석인 Horologium Oscillatorium에서 실제 진자는 피벗점과 진동의 중심이라고 불리는 점 사이의 거리와 같은 길이를 가진 단순한 진자와 같은 주기를 가지고 있다는 것을 보여주었습니다. 진자의 무게 중심 아래에 위치하며 진자의 길이에 따른 질량 분포에 의존합니다. 문제는 실제 진자에서 진동 중심의 위치를 정확히 찾을 방법이 없다는 것이었습니다. 금속 부분의 밀도가 균일하다면 이론적으로는 진자의 모양으로 계산할 수 있지만, 당시의 야금질과 수학적 능력으로는 정확하게 계산할 수 없었습니다.

이 문제를 해결하기 위해 장 피카르(1669), 샤를 마리 드 라 콘다민(1735), 장 샤를 드 보르다(1792)와 같은 초기 중력 연구자들은 대부분 가벼운 와이어로 매달린 금속 구를 사용하여 단순한 진자를 근사했습니다. 만약 와이어의 질량이 무시할 수 있다면, 진동의 중심은 구의 무게 중심에 가까웠습니다. 하지만 구체의 무게 중심을 정확하게 찾는 것조차 어려웠습니다. 게다가, 이런 종류의 진자는 본질적으로 그다지 정확하지 않았습니다. 구와 전선은 강체 단위로서 앞뒤로 요동하지 않았습니다. 왜냐하면 구는 요동할 때마다 약간의 각운동량을 얻었기 때문입니다. 또한 진자가 흔들리는 동안 와이어가 탄성적으로 늘어져 주기 동안 L이 약간 변했습니다.

케터해

그러나 호롤기움 오실라토리움에서 하위헌스는 피벗점과 진동의 중심이 상호 교환 가능하다는 것도 증명했습니다. 즉, 어떤 진자라도 진동 중심에서 거꾸로 매달려 있으면 동일한 스윙 주기를 가지며, 새로운 진동 중심은 오래된 피벗점입니다. 이 두 공액점 사이의 거리는 주기가 같은 단순 진자의 길이와 같았습니다.

1816년 왕립학회가 영국의 조치를 개혁하기 위해 임명한 위원회의 일부로서, 케터는 런던에서 초 진자의 길이를 정확하게 결정하기 위해 하원으로부터 계약을 받았습니다.^[6] 그는 Huygens의 원리가 진동의 중심을 찾기 위해 사용될 수 있다는 것을 깨달았고, 그래서 강체 진자의 길이 L을 찾았습니다. 진자의 막대에 진자를 상하로 조정할 수 있는 제2피봇점에 거꾸로 매달아 놓고, 제1피봇에서 오른쪽으로 흔들 때와 같은 주기가 될 때까지 제2피봇을 조정하면, 제2피봇은 진동의 중심에 있게 되고, 그리고 두 피벗점 사이의 거리는 L입니다.

Kater가 처음으로 이 아이디어를 얻은 것은 아닙니다.^[7][8] 프랑스 수학자 가스파르 드 프로니는 1800년에 처음으로 가역 진자를 제안했지만, 그의 연구는 1889년까지 출판되지 않았습니다. 1811년 프리드리히 보넨베르거는 그것을 다시 발견했지만, 카테르는 그것을 독립적으로 발명했고 처음으로 실행에 옮겼습니다.

진자

Kater는 길이 약 2미터, 너비 1+1 ⁄2인치, 두께 1/8인치의 놋쇠 막대로 구성된 진자를 만들었고, 한쪽 끝에 무게(d)가 실렸습니다. 낮은 마찰 피벗을 위해 그는 막대에 부착된 짧은 삼각형 '칼' 날 한 쌍을 사용했습니다. 사용 시 진자를 벽에 있는 브래킷에 매달았고, 평평한 게이트 플레이트에 올려놓은 나이프 블레이드의 가장자리에 의해 지지되었습니다. 진자는 두 개의 칼날의 피봇(a)을 서로 마주보고 약 1미터(40인치) 간격으로 가지고 있어서 각 피봇에 매달렸을 때 진자의 흔들림이 약 1초가 걸렸습니다.

Kater는 피벗 중 하나를 조정할 수 있게 되면 부정확성이 발생하여 양쪽 피벗의 축을 정확하게 평행하게 유지하는 것이 어렵다는 것을 발견했습니다. 대신 그는 칼날을 막대에 영구적으로 부착하고, 진자축에 작은 이동 중량(b,c)만큼 진자의 주기를 조정했습니다. 중력은 지구상에서 최대 0.5% 정도만 차이가 나기 때문에, 그보다 훨씬 적은 대부분의 장소에서 무게를 약간만 조정하면 됩니다. 피벗 중 하나를 향해 무게를 이동하면 해당 피벗에서 매달릴 때의 주기가 감소하고 다른 피벗에서 매달릴 때의 주기가 증가했습니다. 이는 피벗 사이의 이격 정밀도 측정이 한 번만 이루어지면 된다는 장점도 있었습니다.

실험절차

사용하기 위해, 시계추는 벽에 있는 브래킷에 매달렸고, 나이프 블레이드는 두 개의 작은 수평 게이트 플레이트에 중심축이 지지되어 시간을 재는 정밀 진자 시계 앞에 있었습니다. 한 피봇에서 먼저 스윙하고 진동이 시간을 맞춘 다음 거꾸로 다른 피봇에서 스윙하고 진동이 다시 시간을 측정했습니다. 조정 나사로 작은 무게(b)를 조정하였고, 각 피봇에서 흔들었을 때 진자가 같은 주기를 가질 때까지 과정을 반복하였습니다. 측정된 주기(T)와 피벗 블레이드(L) 사이의 측정된 거리를 주기식(1)에 넣으면 g가 매우 정확하게 계산될 수 있습니다.

Kater는 12번의 시도를 수행했습니다.^[1] 그는 시계추를 사용하여 시계추의 주기를 매우 정확하게 측정했습니다. 두 진자가 동시에 흔들릴 때의 일치 사이의 간격을 측정했습니다. 그는 현미경 비교기로 피벗 블레이드 사이의 거리를 10인치⁻⁴(2.5μm)의 정확도로 측정했습니다. 다른 진자 중력 측정과 마찬가지로, 그는 여러 변수 요인에 대해 결과에 작은 수정을 적용해야 했습니다.

• 주기를 증가시킨 추의 요동의 유한한 폭.
• 열팽창으로 인해 로드의 길이가 달라지게 된 온도
• 이동된 공기의 부력에 의해 진자의 유효 질량을 감소시켜 주기를 증가시킨 대기압
• 고도는 지구의 중심으로부터 멀어질수록 중력을 감소시켰습니다. 중력 측정은 항상 해수면을 참조합니다.

그는 자신의 결과를 초 진자의 길이로 제시했습니다. 수정 후, 그는 런던의 해수면 높이 62 °F (17 °C)에서 진공 속에서 흔들리는 태양 초 진자의 평균 길이가 39.1386 인치라는 것을 발견했습니다. 이는 9.8158m/s의² 중력 가속도에 해당합니다. 평균에서 그의 결과의 가장 큰 변화는 0.00028인치(7.1μm)였습니다. 이는 0.7×10⁻⁵(7밀리그램)의 중력 정밀도를 나타냈습니다.

1824년 영국 의회는 마당 원형이 파괴될 경우 마당을 정의하기 위한 공식적인 길이 기준으로 초 진자의 측정을 제시했습니다.^{[10][11][12][13]}

사용하다

케터의 진자에 의해 가능해진 중력 측정 정확도의 큰 증가는 측지학의 규칙적인 부분으로 중력 측정을 확립했습니다. 유용하게 사용하기 위해서는 중력 측정이 이루어진 '관측소'의 정확한 위치(위도와 경도)를 찾아야 했기 때문에 진자 측정이 측량의 일부가 되었습니다. 케터의 진자는 19세기 동안 행해지고 있던 세계의 많은 지역에 대한 위대한 역사적인 측지학적 조사에 취해졌습니다. 특히 케터의 진자는 인도의 대삼각 측량에 사용되었습니다.

가역적인 진자는 1950년대에 자유낙하 중력계로 대체될 때까지 절대 중력 측정에 사용되는 표준 방법으로 남아 있었습니다.^[14]

되팔림-베셀 진자

케터 진자의 각 주기를 반복적으로 타이밍하고 무게가 같아질 때까지 조정하는 것은 시간이 많이 걸리고 오류가 발생하기 쉽습니다. Friedrich Bessel은 이것이 불필요하다는 것을 1826년에 보여주었습니다. 각 피벗에서 측정한 주기 T와₁ T가₂ 값에 가깝기만 하면 해당 단순 진자의 주기 T를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.^[15]

${\displaystyle T^{2}={\frac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{2}}+{\frac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{2}}\left({\frac {h_{1}+h_{2}}{h_{1}-h_{2}}}\right)\,\qquad \qquad \qquad (2)}$

$여기$서 h ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle h_{1}\,}$ 및$$ $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle h_{2}\,}$는 진자의 무게 중심으로부터 두 피벗의 거리입니다. 피벗 사이의 거리($h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ h ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle h_{1}+h_{2$를 매우 정확하게 측정할 수 있습니다. ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle h_{1}\,}$ 및 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle h_{2}\,}$이므로$$차이 ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$ 2 $displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$는$$비교 가능한 정확도로 측정할 수 없습니다. 그것들은 무게 중심을 찾기 위해 칼 끝에 있는 진자의 균형을 맞추고, 무게 중심으로부터 각각의 피벗의 거리를 측정함으로써 발견됩니다. $그러나{\displaystyle {}_{}^{}}$ T ${\displaystyle {}_{}^{}}$- T ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ $displaystyle T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\,}$는 $T{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ $displaystyle T_{1}^{2}+$보다 훨씬 작기 때문에$T_{2}^{2$ 위 식에서 오른쪽의 두 번째 항은 첫 번째 항에 비해 작으므로 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ 2 $display h_{1}-h_{2}\,}$는 높은 정확도로 결정할 필요가$$ 없으며, 위에서 설명한 밸런싱 절차는 정확한 결과를 제공하기에 충분합니다.

따라서 진자는 전혀 조정할 필요가 없으며 단순히 두 개의 피벗이 있는 막대가 될 수 있습니다. 각 피봇이 다른 피봇의 진동 중심에 가까워 두 주기가 가깝기만 하면, 등가 단순 진자의 주기 T는 식 (2)로 계산할 수 있고, 중력은 (1)로 T와 L로부터 계산할 수 있습니다.

또한 베셀은 진자가 대칭적인 모양으로 만들어졌지만 한쪽 끝에 내부적으로 무게가 실리면 공기 저항의 영향으로 인한 오차가 상쇄된다는 것을 보여주었습니다. 또한 피벗 나이프 가장자리의 유한 직경으로 인해 발생하는 또 다른 오류는 나이프 가장자리를 교환하여 취소할 수 있습니다.

베셀은 그런 진자를 만들지 않았지만, 1864년 아돌프 리셀러는 스위스 측지위원회와 계약을 맺고 교체 가능한 피봇 날개가 달린 길이 56cm의 대칭 진자를 개발했으며, 그 주기는 약 3 ⁄4초입니다. 리설드 진자는 스위스와 러시아 측지국과 인도 조사국에 의해 광범위하게 사용되었습니다. 이 디자인의 다른 널리 사용되는 진자들은 찰스 피어스와 C에 의해 만들어졌습니다. 디퍼지스.

국제측지학회

1875년 유럽 아크 측정 회의에서는 중력 측정에 사용할 최고의 기구를 다루었습니다. 협회는 복귀 진자를 찬성하기로 결정했고, 베를린에서 다시 하기로 결정했습니다. 그곳에서는 프리드리히 빌헬름 베셀이 유명한 측정을 한 곳입니다. 여러 나라에서 사용되는 다양한 종류의 장치를 사용하여 중력을 측정하여 비교하고 그들의 척도의 방정식을 얻기 위해 말이죠. 미국 학자인 찰스 샌더스 피어스가 참여한 심도 있는 토론 후.^[16] 사실, 지구의 수치는 초 진자 길이의 변화로부터 추론될 수 있기 때문에, 미국 해안 조사의 방향은 1875년 봄에 찰스 샌더스 피어스에게 이런 종류의 작업을 위해 주요 초기 관측소에 진자 실험을 할 목적으로 유럽으로 가라고 지시했습니다. 미국의 중력의 결정을 세계의 다른 지역의 것들과 소통시키기 위해서 그리고 또한 유럽의 다른 나라들에서 이러한 연구를 추구하는 방법을 신중하게 연구하기 위해서.^[17]

가역 진자에 의한 중력 판정은 두 가지 유형의 오류가 있었습니다. 한편으로는 공기의 저항과 다른 한편으로는 진자의 진동이 정지면에 전달하는 움직임. 이 움직임들은 공기의 점도의 영향을 상쇄하기 위해 진자가 큰 질량을 가지고 있었기 때문에 레스퍼드 형제가 베셀의 표시에 대해 설계한 장치에서 특히 중요했습니다. 에밀 플랜타모어가 이 장치로 일련의 실험을 수행하던 중, 아돌프 허쉬는 광학 증폭이라는 기발한 과정을 통해 진자의 현탁면의 움직임을 입증할 수 있는 방법을 발견했습니다. 제네바의 수학자인 Isaac-Charles Elisée Cellérier와 Charles Sanders Peirce는 이러한 유형의 중력계로 관찰한 것을 사용할 수 있는 보정 공식을 독립적으로 개발했습니다.^[18][19]

1874년부터 1886년까지 유럽 아크 측정 상임 위원회의 회장이었던 카를로스 이바녜스 이바녜스 데 이베로는 요한 야콥 바예르 사후 국제 측지 협회의 초대 회장(1887-1891)이 되었습니다. 이바녜스 대통령의 임기 하에, 국제측지학회는 미국, 멕시코, 칠레, 아르헨티나, 일본의 가입으로 세계적인 차원을 획득했습니다. 1901년 국제 측지학 협회의 연구 결과, 프리드리히 로버트 헬머트(Friedrich Robert Helmert)는 주로 중력 측정을 통해 타원체의 매개변수가 실제와 현저하게 가깝다는 것을 발견했습니다.^{[20][21][22][23]}

참고문헌

외부 링크

• Kater's finder를 이용한 g의 정확한 측정, U. Sheffield 의 방정식 유도
• Kater, Henry (1818년 6월) 런던 위도에서 진자가 진동하는 초의 길이를 결정하기 위한 실험에 대한 설명, The Edinburgh Review, Vol. 30, p.407 실험에 대한 자세한 설명, 진자의 설명, 값 결정, 프랑스 과학자들의 관심사