고전 역학의 방정식 목록

$\displaystyle m=\int \displayda \mathrm {d} \ell }$

${\displaystyle m=\int \mathrm {d} S}$

${\displaystyle m=\iint \rho \mathrm {d} V}$

$\displaystyle \mathbf {m} = \mathbf {r} m}$

축 $주위$의 이산 질량 $(\$
${\displaystyle \mathbf {m} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{\mathrm {i} }m_{i}}$

$축$을 중심으로 한 질량의 연속체 $($
$\displaystyle \mathbf {m} =\int \rho \left(\mathbf {r} \right)x_{i}\mathrm {d} \mathbf {r} }$

(기호는 다릅니다)

이산 질량:
${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {com} = sum frac {1} {M} {i} \ mathbf {r} _{\mathbf {r} = sum _ {i} \ mathbf {mi} } }$

질량 연속체:
${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {com} =nt \mathrm {d} \mathbf {m} =nt \mathbf {r} m =nt frac {1} {M} \mathbfr} \mathbfr {m}$

${\displaystyle I=\sum _{i}\mathbf {m}_{\mathrm {i}\cdot \mathbf {r}_{\mathbf {r}=\sum _{i}\left \mathbf {r}_{\m}\right ^{2}m}$

질량 연속체:
${\displaystyle I=\int \mathbf {r} \right ^{2} \mathrm {d} m=\int \left \mathbf {m} \mathbf {r} \right ^{2}\rho \mathrm {d} V}$

$\displaystyle \mathbf {L} =\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {p} }$

대부분의 경우 입자가 공통 지점에서 교차하는 축을 중심으로 공전하는 경우 r = 0으로 설정할₀ 수 있습니다.

토크

${\displaystyle L(\mathbf {q}),\mathbf {q},t}=T(\mathbf {q})-V(\mathbf {q},\mathbf {q},t)}$

$여기$서 ${\displaystyle q\mathbf{}}$ $=$q (${\displaystyle t}$) {$displaystyle \mathbf {q}$ =\$mathbf {q}$ ($t)}$ 및 p = p(t)는 시간의 함수로서 일반화 좌표와 모멘타의 벡터이다.

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {average}} = delta \mathbf {r} \over \Delta t}$

순간:

$\displaystyle \mathbf {v} = {d\mathbf {r} \over dt}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mega}=\mathbf {n} {frac {\rm {d}} \theta} {\rm {d} t}}$

회전 강체:

${\displaystyle \mathbf {v} = bold symbol {\mega }\times \mathbf {r}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {average} } = frac {Delta \mathbf {v} {\Delta t}}$

순간:

${\displaystyle \mathbf {a} = specfrac {d\mathbf {v} } {dt} = specfrac {d^{2}\mathbf {r} } {dt^{2}}}}$

${\displaystyle {{boldsymbol {\rm {d}}={\rm {d}}t}}=\mathbf {n}{frac {\rm {d}}^{2}\theta}}{\rm {d}}}}}$

회전 강체:

${\displaystyle \mathbf {a} = times \mathbf {r} + {\boldsymbol \mega }} \times \mathbf {v}$

${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {a} } = frac {Delta \mathbf {a} } {\Delta t}}$

순간:

${\displaystyle \mathbf {j} = specfrac {d\mathbf {a} } {dt} = specfrac {d^{2} = specfrac {d^{3} \mathbf {r} } {dt^{3} }$

${\displaystyle {{boldsymbol {\rm {d}}={\rm {d}}t}=\mathbf {n}{frac {\rm {d}}{2}\mathbf {d}^{2}}={\mathbf {dfrc}{{d}}}{{{d}}}}}}}}{\mathbhat {{f}}}}}{f {\frcrcrcrcrac}}{{{{{{{{f}}}}}$

회전 강체:

${\displaystyle \mathbf {j} = times \mathbf {r} + {\boldsymbol {alpha }} \times \mathbf {a} }$

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v}$

회전하는 강체의 경우:

$\displaystyle \mathbf {p} = bold symbol {mega }\times \mathbf {m}$

각운동량은 "회전량"입니다.

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {I} \cdot {boldsymbol {\mega }}$

그리고 교차곱은 의사벡터이다. 즉, r과 p가 방향(음수)으로 반전되면 L은 그렇지 않다.

일반적으로 I는 2차 텐서이며, 그 성분에 대해서는 상기를 참조해 주십시오.점 ·은 텐서 축소를 나타냅니다.

$({displaystyle {displaystyle {aligned}\mathbf {f} & = displayfrac {d\mathbf {p} {dt} = displayfrac {d} +\mathbf {a} {d} {d} )$

다수의 입자에 대해 하나의 입자에 대한 운동 방정식은 다음과 같습니다.^[7]

${\displaystyle {\frac {d} \mathbf {p} _{i}} = \mathbf {F} _{E} + \sum _{i\neq j} \mathbf {F}$

여기서_i p = 입자 i의 운동량, F_ij = 입자 j에 의해 입자 i에 가해지는_E 힘, 그리고 F = 결과 외부 힘(시스템의 일부가 아닌 모든 물질로 인한 힘)입자 i는 그 자체에 힘을 가하지 않는다.

토크 θ는 힘을 ^[8]가하는 회전 유사성이기 때문에 힘의 모멘트라고도 합니다.

${\displaystyle {{boldsymbol {d}}={\rm {d}}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =mathbf {d} \cd {\boldsymbol {d}}} {rm}}}} =\mathbf {rmathbf {r} {rcd}$

강체의 경우, 뉴턴의 회전 제2법칙은 변환과 동일한 형태를 취합니다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\rm {d}}\mathbf {L}}{\rm {d}}={\rm {d}}\cdot {\mathbf {I}}}\cdmbol {\d}}}={\cdfrm frac {\cd}\cd}{\cd}}}$

마찬가지로 다수의 입자에 대해 하나의 입자에 대한 운동 방정식은 다음과 같습니다.^[9]

${\displaystyle {\frac {d} \mathbf {L} _{i}} {\mathrm {d} t} = \sum _ {i\neq j} {\boldsymbol {d} _ {ij}$

$({displaystyle {displaystyle}\mathbf {Y} & = displayfrac {d\mathbf {F} } {dt} = displayfrac {d^{2}(m\mathbf {v}) {dt} = displayfrac {d} = mathbfrac {d^{d} {d} } {d}$

일정한 질량의 경우 다음과 같이 된다.

$\displaystyle \mathbf {Y} = m\mathbf {j}$

로타툼 δ는 Yank의 모멘트라고도 불리는데, 이는 Yank를 당기는 회전 유사체이기 때문이다.

$({displaystyle {\mathmbol {P}}=mathbf {rm {d}}{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {Y} =mathbf {d} \cd} \cdmboldsymbol {\}}}}}}} =mbrcdf {rac {rcd}$

$\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\int \mathbf {F} dt}$

일정한 힘 F의 경우:

$\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\mathbf {F} \Delta t}$

$\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int \boldsymbol {r}dt$

일정한 토크 θ의 경우:

${\displaystyle \Delta \mathbf {L} = "bold symbol "\delta t"$

$\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r,\theta,t\right)=r\mathbf {e} _{r}$

${\displaystyle \mathbf {v} = \mathbf {e} _{r} {\frac {mathrm {d} r} {\mathrm {d} t} +r\Omega \mathbf {e} _{\theta }}}$

${\displaystyle \mathbf {p} = m\left(\mathbf {e} ) _{r} {\frac {mathrm {d} r} {\mathbf {d} t} +r\mathbf {e} _{\theta }\right})$

$각도$ 모멘타 $L{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle mr\mathbf{}}$× ( ${\displaystyle e{\stackrel{\mathbf{}}{\mathbf{}}}_{}}$^ ${\displaystyle {}_{}\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ r ${\displaystyle \frac{}{}\frac{t}{}}$ + ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e_{}}$^ ^ ${\displaystyle {}_{}}$ )$${ $displaystyle$\$mathbf${$L$} =$m\ mathbf${$r }$ \$times$ \ left ( \ $mathbf${ $e$} $_${ r$$} { \ $frac${$mathrm${ d } $r$} { d } + r $}$\ $mathrmathrm$ { d } \ $mathbf$ { d } \ r } \$mathb$ f } \ mathb f$。$

$\displaystyle \mathbf {a} =\left\frac {mathrm {d} {\mathrm {d} {\mathrm {d}} - r\mathbf {e} + \ left ( r \ alpha + 2 \ obe { d } \ frac { d } r } } { right }$

${\displaystyle \mathbf {F}_{\bot}=-m\obega ^{2}R\mathbf {e}=-\obega ^{2}\mathbf {m}}$

여기서 다시 m은 질량 모멘트이고, 코리올리 힘은

${\displaystyle \mathbf {F}_{c}=2\me frac {\rm {d}}r}{\rm {d}}t}}\mathbf {e}}=2\mathbf {e}{\theta}}}}}}$

코리올리의 가속도 및 힘도 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {F}_{c}=m\mathbf {a}_{c}=-2m bold symbol {\times v}}$

V = 두 관성 프레임 F와 F' 사이의 일정한 상대 속도.
A = (가변) 가속 프레임 F와 F' 사이의 상대 가속도.

$\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\mathbf {V} t}$

상대 속도
${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} +\mathbf {V} }$
동등한 가속
$\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} }$

${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} +\mathbf {A} }$

겉보기/허위력
${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -\mathbf {F} _{\mathrm {app}}}$

δ = 두 프레임 F와 F' 사이의 일정한 상대 각속도.
δ = (가변) 두 가속 프레임 F와 F' 사이의 상대 각도 가속도.

$\displaystyle \theta '=\theta +\Omega t$

상대 속도
$(\displaystyle {\boldsymbol {\Omega}}={\boldsymbol {\Omega}}+{\boldsymbol {\Omega}}})$
동등한 가속
$(\displaystyle\boldsymbol\alpha }'=\boldsymbol\alpha })$

$(\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\boldsymbol {\lambda }})$

외관/허위 토크
$(\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {app}}) = boldboldsymbol {\boldsymbol} - {\boldsymbol {\ball} {\mathrm {app} )$

${{displaystyle {\rm {d}}\mathbf {T}}{\rm {d}}}=mathbf {T}}{\rm {d}}-{\boldsymbol {D}}}\times \mathbf {T}}$

${\displaystyle\frac{mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}=-\obega ^{2}x}$

솔루션:
$(\displaystyle x=A\sin \left(\omega t+\phi \오른쪽))}$

${\displaystyle {\frac {d} ^{2} \theta }{\mathrm {d} t^{2} =-\Omega ^{2}\theta }$

솔루션:
${\displaystyle \theta =\Theta \sin \left(\Omega t+\phi \오른쪽)}$

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x} {\mathrm {d} t^{2}} + \mathrm {d} t} + \ obega ^{2}x=0}$

솔루션(아래의 「」를 참조해 주세요.
$(\displaystyle x=Ae^{-bt/2m}\cos \left(\Omega '\right)}$

공진 주파수:
${\displaystyle \mathrm {res} = scarrt {\mothrm ^{2}-\leftfrac {b} {4m}}\right} {{2}}$

감쇠율:
$\displaystyle \displays = b/m$

예상되는 들뜸 수명:
$\displaystyle \displays = 1/\displays }$

${\displaystyle {\mathrm {d} \theta } {\mathrm {d} t^{2} +\mathrm {d} \theta } {\mathrm {d} t} + \mathrm {d} \theta = 0}$

솔루션:
$(\displaystyle \theta =\Theta e^{-\kappa t/2m}\cos \left(\Omega \right)}$

공진 주파수:
${\displaystyle \mathrm {res} = sq {\ { ^ ^ （ \ m }}{ ） {\ {\ { \ m } 、 frac （ \ kappa } { 4 m } \ right } } 。$

감쇠율:
${\displaystyle \displaystyle =\kappa /m}$

예상되는 들뜸 수명:
$\displaystyle \displays = 1/\displays }$

$\displaystyle \mega = displayrt \frac {g}{L}}}}}}:$

정확한 값은 다음과 같습니다.
$\displaystyle \mega = displayrt \frac {g}{L}}\left [1+\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {{n=1}^{k}\left(2n-1\right)}{\frac _{n=1}^{m}\left(2n\right)}}}\sin^{2n}\세타 \right ] }$

${\displaystyle U}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{}{2}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$x ) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\frac{{}^{}}{}m\frac{}{}}$ ( ${\displaystyle \frac{a^{}}{}}$A ) ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {cos\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle t}$t + ${\displaystyle )}$) \ $displaystyle$ U =$specfrac { m$ } { m \ left ( \ $omega A$\ $right ) = spec$ frac ${ m$ \ } { m \ $left$ } { m \$left$} { m \$cos$ { m } { m \ right } { m } { m \ $ci$ } \ cos { $minue$ }
${\displaystyle U_{\mathrm {max}}{\frac {m}{2}}\left(\omega A\right)^{2}}$

운동 에너지
${{displaystyle T=sin frac {obe ^{2}m}{\left}{\mathrm {d} t}}{2}=sin ^{2}\left(\obe A\right)\sin ^{2}\left(\ope t+phi\right)}$

총 에너지
$\ displaystyle E=T+U}$