영역의 두 번째 모멘트

영역의 두 번째 모멘트 또는 두 번째 면적 모멘트 또는 2차 면적 모멘트(관성 모멘트라고도 함)는 임의의 축에 대한 점의 분포를 반영하는 영역의 기하학적 특성입니다.영역의 두 번째 모멘트는 일반적으로 $(영역$ 의 평면에 있는 $축의$ 경우) J(평면에 수직인 축의 경우 $)$ 로 표시됩니다.두 경우 모두 해당 객체에 대한 다중 적분을 사용하여 계산됩니다.치수는 L(길이)의 4제곱입니다.국제 단위계를 사용할 경우 치수 단위는 미터에서 4제곱(m⁴) 또는 제국 단위계에서 작업할 경우 인치에서 4제곱(inch⁴)입니다.

구조공학에서 빔의 두 번째 면적 모멘트는 빔의 편향 계산과 빔에 가해지는 모멘트에 의한 응력 계산에 사용되는 중요한 특성입니다.면적의 제2의 모멘트를 최대화하기 위해 I빔 단면적의 상당 부분을 I빔 단면 중심에서 가능한 최대 거리에 배치한다.면적의 평면적인 두 번째 모멘트는 형상의 함수로 중립 축에 수직으로 작용하는 모멘트, 힘 또는 분산 하중에 의한 빔의 휘어짐 저항성에 대한 통찰력을 제공합니다.영역의 극성 두 번째 모멘트는 단면에 평행한 작용 모멘트로 인한 비틀림 편향에 대한 빔의 저항을 형상의 함수로서 파악할 수 있습니다.

분야마다 다른 모멘트를 나타내기 위해 MOI(관성 모멘트)라는 용어를 사용합니다.면적의 평면적인 두 번째 모멘트( ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ I x $=$ ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ A ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ { $textstyle$ I_ ${x$ }=\iint _ { $R} y^{2$ }, dA $} 또는$ I ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ ${\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA}$ $=$ ${\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA}$ x ${\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA}$ ${\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA}$ { $textstyle$ I_ ${y$ }=\ $iint$ { $x} D^2A$ ) 중 ${\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA}$ 를 나타낼 수 있습니다. $int$ _ ${R}r^{2},dA$ 여기서 r은 일부 기준 축까지의 거리입니다.각 경우에 적분은 2차원 단면적 영역 dA의 모든 극소수 요소 위에 있습니다.물리학에서 관성모멘트는 엄밀하게는 축으로부터의 거리에 관한 질량의 두 번째 모멘트입니다. ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$ $=$ ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$ r ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$ ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$ m ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$ {\ $textstyle$ I=\ $int$ _ ${Q}r^{2}dm$ 여기서 r은 잠재적 회전 축까지의 거리이며 적분은 $물체$ Q가 점유하는 3차원 공간에서 질량의 모든 극소 원소 dm 위에 있습니다.이런 의미에서 MOI는 회전 문제에 대한 질량의 유사체입니다.엔지니어링(특히 기계 및 토목)에서 관성 모멘트는 일반적으로 영역의 ^[1]두 번째 모멘트를 말합니다.

정의.

임의의 도형.θ는 요소 dA까지의 반경 거리이며, 축에 돌기 x와 y가 있습니다.

임의의 축 $B^{}$ ${\$ { $display style$ BB}에 $BB'$ 대한 임의의 $형상$ R의 두 번째 모멘트는 다음과 같이 정의됩니다.

J_{BB'}=\iint_{R}{\rho}^{2},dA

어디에

$\displaystyle dA$ 는 최소 $dA$ 면적 요소입니다.
${\$ { $displaystyle$ \rho $}$ 는 $\rho$ $축$ ${\$ { $displaystyle$ BB $BB'$ ^[2]}로부터의 수직 거리입니다.

예를 들어, 원하는 기준 축이 x축일 경우 $I_{xx}$ $I_{xx}$ x $I_{xx}$ {\ $displaystyle$ I_ ${xx$ }( $I_{xx}$ 종종 $I_{x}$ x { $displaystyle I_{x$ 로 표시됨)의 두 번째 모멘트는 다음과 같이 데카르트 좌표로 계산할 수 있습니다.

I_{x}=\iint_{R}y^{2},dx,dy

영역의 두 번째 모멘트는 가늘고 긴 빔의 오일러-베르누이 이론에서 중요하다.

면적의 제품 모멘트

보다 일반적으로 영역의 제품 모멘트는 다음과 같이 정의됩니다^[3].

I_{xy}=\iint _{R}yx,dx,dy

평행축 정리

중심축 x가 있는 모양입니다.평행축 정리는 x'축에 대한 면적의 두 번째 모멘트를 얻기 위해 사용될 수 있다.

때때로 형상의 중심축과 다른에 $x'$ 대해 형상의 두 번째 면적 모멘트를 계산해야 합니다 $.$ 단, 중심축 $({displaystyle$ x $x$ 에 $x'$ 대해 영역의 두 번째 모멘트를 도출하고 x $({$ x $')$ $x'$ 에 대해 평행축 정리를 사용하여 영역의 두 번째 모멘트를 도출하는 것이 더 쉬운 경우가 많습니다.평행축 정리는 다음과 같다.

I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}

어디에

$\displaystyle$ A는 $A$ 형상의 $영역$ 입니다.
$\$ $displaystyle$ d는 $d$ $x'$ 과 $x$ ^[4]^[5]x축 $사이$ 의 $x'$ 수직 거리입니다 $.$

$y축$ 과 $y'$ 평행한 $중심 y축$ 에 $y$ 대해서도 같은 문구를 사용할 수 있습니다 $.$ 또는 일반적으로 $중심축$ B $(\displaystyle$ B $)$ 축과 $B$ $평행$ B $(\$ B $')$ 축입니다 $B'$ .

수직축 정리

계산을 단순화하기 위해 종종 (수직 축에 대한) 영역의 극성 모멘트를 (양쪽 면내 축에 대한) 관성 모멘트의 관점에서 정의하는 것이 바람직하다.가장 심플한 케이스는 $(\$ 와 $J_{z}$ $(\$ 와 $I_{x}$ $(\$ 입니다.

\displaystyle J_{z}=\iint_{R}\rho^{2},dA=\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)dA=\iint _{R}x^{2},dA+\iint _{R}y^{2},dA=I_{x}+I_{y}}

이 관계는 $x$ 와 $y를$ ${\(\$ $displaystyle$ $\rho$ 에 $\rho$ $관련짓는$ 피타고라스 정리 및 통합의 선형성에 의존합니다.

컴포지트 도형

복잡한 영역의 경우 영역을 일련의 "심플러" 모양으로 분할하는 것이 더 쉽습니다.전체 형상의 두 번째 모멘트는 공통 축을 중심으로 한 모든 부분의 두 번째 모멘트의 합입니다.여기에는 "누락된" 모양(예: 구멍, 중공 모양 등)이 포함될 수 있으며, 이 경우 "누락된" 영역의 두 번째 모멘트가 추가되지 않고 감산됩니다.즉, "결측된" 부품의 두 번째 면적 모멘트는 합성 형상 방법에 음으로 간주됩니다.

예

다른 모양은 영역의 두 번째 모멘트 목록을 참조하십시오.

원점에 중심이 있는 직사각형

밑면이 b이고 높이가 h인 직사각형

$b와$ 높이 $h$ 가 중심인 $h$ 직사각형이 원점에 위치한다고 가정합니다. $I_{x}$ x $(\$ I_ ${x})$ 는 $I_{x}$ x축에 대한 영역의 두 번째 모멘트를 나타냅니다. $I_{y}$ y $I_{y}$ { $display$ $style$ I _ ${ y$ $I_{y}$ } $J_{z}$ 、 $J_{z}$ ; 、 Y ; 、 Y ; with with 、 Y display with moment 、 Y display with with moment 、 J $J_{z}$ 、 Z축 the with with with with moment moment moment moment moment moment moment moment $J_{z}$ moment moment moment moment moment of of i

디스플레이 스타일I_{x}&=\iint _{R}y^{2},dA=\int _{-{\frac {b}{b}{2}\int _{-{\frac {h}{2}^{\frac {h}{\frac {2}}{\frac {h}y^{2}dy,\int={b}_frac {b}_{-}I_{y}&=\iint _{R}x^{2},dA=\int _{-{\frac {b}{b}{2}\int _{-{\frac {h}{2}^{\frac {h}}{\frac {2}}{\frac {h}x^{2}dy,\frac={b}_frac {b}_{-{b}

수직축 정리를 사용하면 $J_{z}$ z $(\$ $J_{z}$ 을 얻을 수 있습니다.

{\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}=black {flac}{12}+{\flac {hb^{3}{12}=blac {flac}{12}\left(b^{2}+h^{2}\right)

원점을 중심으로 한 고리

내부 반지름₁ r과 외부 반지름₂ r을 가진 고리

중심이 원점에 있고 바깥쪽 $r_{2}$ 이 $r_{2}$ 2 $({$ 안쪽 반지름이 $r_{1}$ $({$ 인 고리를 생각해 보겠습니다.고리의 대칭 때문에 중심도 원점에 있습니다. $z축$ 에 $z$ 대한극성 관성 $J_{z}$ 인 J $J_{z}$ { $displaystyle$ $J_{z$ 를 복합형상으로 구할 수 있습니다.이 극성 관성 모멘트는 $r_{2}$ 이 $r_{2}$ 원의 극성 관성 모멘트에서 $r_{1}$ 을 중심으로 $r_{1}$ 의 극성 관성 모멘트를 뺀 값과 동일합니다 $r_{1}$ 먼저 원점에 대한 $반지름$ r $\displaystyle$ r인 원의 극성 관성 모멘트를 도출해 봅시다.이 경우 x $\displaystyle$ x $\$ 와 $x$ y $\displaystyle$ y $\$ 를 $y$ 모두 가진 $(\$ r $^{2$ 가 $r^{2}$ 때문에 $(\$ 를 $J_{z}$ 직접 $J_{z}$ 가 더 쉽습니다.이전 섹션과 같이 데카르트 좌표에서 두 번째 면적 모멘트를 얻는 대신 극좌표를 사용하여 $I_{x}$ x $I_{x}$ { $display style$ I_ ${x}$ $J_{z}$ $J_{z}$ z { $display style$ J_ ${z}$ 를 $J_{z}$ 직접 $I_{x}$ 합니다.

디스플레이 스타일I_{x,{\text{circle}}&=\iint _{R}y^{2},dA=\iint _{R}\left(r\sin {theta }\right)^{2},dA=\int _{0}^{r}\rta}(오른쪽)frac{r^{4}}{4}}, d\theta = r^{4}\end{aligned}}

이제 환에 $대한 z축$ 주위의 극성 관성 모멘트는 위에서 설명한 바와 같이 $r_{2}$ 이 $r_{2}$ 인 원과 $r_{1}$ 이 $r_{1}$ 인 원 $r_{$ 1}인 $r_{2}$ $r_{1}$ 원의 두 번째 모멘트의 차이입니다 $r_{1}$

{{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}=black{pi}{2}{2}-{4}-{\frac {pi}{2}{1}=black{{pi}{2}{1}{{1}{1}-{1}-{1}{z_{z}}-{z_{z}}-{z}}-{z_{z}}}}-{z}}{z}}}}{z_{{z}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{

또는 구멍이 있다는 사실을 반영하기 위해 $dr$ 에 $\displaystyle$ dr의 $dr$ 한계를 변경할 수도 있습니다.이렇게 하면 되겠네요.

디스플레이 스타일J_{z}&=\iint _{R}r^{2},dA=\int _{0}^{2\pi}}\int _{r_{1}^{r_{2}\left(r,dr,d\theta \right)=\int _0}^2\int_{r^{1}}{r_{r_{{r}}{r}{r}{r}{r}{r}}{r}{r}{r}{r}{r}{r}{r}{r}\r}\r}{r}\r}

임의의 폴리곤

단순한 폴리곤.

n=6

서 n

n=6

(\displaystyle

n

=6),

주의점 "7"은 지점 1과 동일합니다.

XY 평면에서 단순 폴리곤의 원점에 대한 두 번째 모멘트는 일반적으로 영역을 삼각형 세트로 나눈 후 폴리곤의 각 세그먼트의 기여도를 합산하여 계산할 수 있습니다.이 공식은 신발끈 공식과 관련이 있으며 그린의 정리의 특별한 경우로 간주될 수 있다.

폴리곤에는 시계 반대 방향으로 번호가 매겨진 $n개의$ 정점이 $있다고$ 가정합니다.폴리곤 정점에 시계 방향으로 번호가 매겨진 경우 반환되는 값은 음수가 되지만 절대값은 정확합니다.

디스플레이 스타일I_{y}&=sum frac {1}{12}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i}\right)\left(x_{i}^{i}+x_{i+1}+{i+1}\right)^{2}\sumI_{x}&=sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^2}+y_{i+1}+y_{i+1}\right}^^^2}\sumI_{xy}&=sum frac {1}{24}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i}+{i}y_{i}+i}+{i}_i}_i}\left_i}\i}\x_i}\i}\sum

$x_{i},y_{i}$ 서 x i $,$ $x_{i},y_{i}$ {\ $displaystyle$ x_ ${i$ }, $y_{i}$ 는 $x_{i},y_{i}$ 1 $1\leq i\leq n$ n에 $1\leq i\leq n$ i {\ $displaystyle$ 1 $\$ $leq i\leq$ n $1\leq i\leq n$ 의 $x_{n+1},y_{n+1}$ polygon 정점 좌표입니다.또 $i$ , $x_{n+1},y_{n+1}$ n $x_{n+1},y_{n+1}$ + $x_{n+1},y_{n+1}$ { $displaystyle x_{n+1$ }, $y_n+$ 1}는 $정점$ 의 좌표와 같다고 가정합니다. $({$ 1}) $y_{n+1}=y_{1}$ $y_{n+1}=y_{1}$ n + $y_{n+1}=y_{1}$ $y_{n+1}=y_{1}$ $y_{n+1}=y_{1}$ 1({ $displaystyle y_{n+1$ }= $y_{1$ ^[6]^[7]입니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Beer, Ferdinand P. (2013). Vector Mechanics for Engineers (10th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 471. ISBN 978-0-07-339813-6. The term second moment is more proper than the term moment of inertia, since, logically, the latter should be used only to denote integrals of mass (see Sec. 9.11). In engineering practice, however, moment of inertia is used in connection with areas as well as masses.
^ Pilkey, Walter D. (2002). Analysis and Design of Elastic Beams. John Wiley & Sons, Inc. p. 15. ISBN 978-0-471-38152-5.
^ Beer, Ferdinand P. (2013). "Chapter 9.8: Product of inertia". Vector Mechanics for Engineers (10th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 495. ISBN 978-0-07-339813-6.
^ Hibbeler, R. C. (2004)Statics and Mechanics of Materials (제2판)피어슨 프렌티스 홀입니다ISBN 0-13-028127-1.
^ Beer, Ferdinand P. (2013). "Chapter 9.6: Parallel-axis theorem". Vector Mechanics for Engineers (10th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 481. ISBN 978-0-07-339813-6.
^ Hally, David (1987). Calculation of the Moments of Polygons (PDF) (Technical report). Canadian National Defense. Technical Memorandum 87/209. Archived (PDF) from the original on March 23, 2020.
^ Obregon, Joaquin (2012). Mechanical Simmetry. Author House. ISBN 978-1-4772-3372-6.
^ Steger, Carsten (1996). "On the Calculation of Arbitrary Moments of Polygons" (PDF). S2CID 17506973. Archived from the original (PDF) on 2018-10-03. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
^ Soerjadi, Ir. R. "On the Computation of the Moments of a Polygon, with some Applications".

[1] Beer, Ferdinand P. (2013). Vector Mechanics for Engineers (10th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 471. ISBN 978-0-07-339813-6. The term second moment is more proper than the term moment of inertia, since, logically, the latter should be used only to denote integrals of mass (see Sec. 9.11). In engineering practice, however, moment of inertia is used in connection with areas as well as masses.

[2] Pilkey, Walter D. (2002). Analysis and Design of Elastic Beams. John Wiley & Sons, Inc. p. 15. ISBN 978-0-471-38152-5.

[3] Beer, Ferdinand P. (2013). "Chapter 9.8: Product of inertia". Vector Mechanics for Engineers (10th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 495. ISBN 978-0-07-339813-6.

[4] Hibbeler, R. C. (2004)Statics and Mechanics of Materials (제2판)피어슨 프렌티스 홀입니다ISBN 0-13-028127-1.

[5] Beer, Ferdinand P. (2013). "Chapter 9.6: Parallel-axis theorem". Vector Mechanics for Engineers (10th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 481. ISBN 978-0-07-339813-6.

[6] Hally, David (1987). Calculation of the Moments of Polygons (PDF) (Technical report). Canadian National Defense. Technical Memorandum 87/209. Archived (PDF) from the original on March 23, 2020.

[7] Obregon, Joaquin (2012). Mechanical Simmetry. Author House. ISBN 978-1-4772-3372-6.

[8] Steger, Carsten (1996). "On the Calculation of Arbitrary Moments of Polygons" (PDF). S2CID 17506973. Archived from the original (PDF) on 2018-10-03. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[9] Soerjadi, Ir. R. "On the Computation of the Moments of a Polygon, with some Applications".

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