고정 축을 중심으로 회전

지름 중 하나를 중심으로 회전하는 구

고정 축을 중심으로 회전하는 것은 회전 운동의 특별한 경우입니다.고정 축 가설은 축이 방향을 바꿀 가능성을 배제하고 흔들림이나 세차 운동과 같은 현상을 설명할 수 없습니다.오일러의 회전 정리에 따르면, 여러 개의 정지 축을 따라 동시에 회전하는 것은 불가능하다; 만약 두 개의 회전이 동시에 이루어지면, 새로운 회전 축이 나타날 것이다.

이 문서에서는 회전이 안정적이기 때문에 회전을 유지하기 위해 토크가 필요하지 않다고 가정합니다.강체의 고정 축을 중심으로 한 회전의 운동학 및 역학은 수학적으로 강체의 자유 회전에 대한 것보다 훨씬 단순하다; 그것들은 하나의 고정 방향을 따른 선형 운동과 완전히 유사하며, 강체의 자유 회전에 대한 것은 아니다.물체의 운동 에너지와 물체의 일부에 작용하는 힘에 대한 표현은 또한 일반적인 회전 운동보다 고정된 축을 중심으로 회전하는 데 더 간단하다.이러한 이유로, 고정 축을 중심으로 한 회전은 일반적으로 학생들이 선형 운동을 숙달한 후에 입문 물리학 수업에서 가르칩니다; 회전 운동의 완전한 일반성은 일반적으로 입문 물리학 수업에서 가르치지 않습니다.

번역 및 회전

회전의 예.웜 드라이브의 각 부분(웜과 웜 기어 모두)은 자체 축에서 회전합니다.

강체는 구성요소 입자 사이의 모든 거리가 일정한 유한 범위의 물체입니다.진정한 강체는 존재하지 않으며, 외부의 힘에 의해 고체가 변형될 수 있습니다.우리의 목적상, 강체는 그것을 현저하게 변형시키기 위해 큰 힘이 필요한 고체이다.

3차원 공간에서의 입자 위치 변화는 3개의 좌표로 완전히 특정할 수 있다.강체의 위치 변화는 설명하기가 더 복잡하다.그것은 두 가지 유형의 뚜렷한 운동, 즉 반향 운동과 원형 운동의 조합으로 볼 수 있다.

순수하게 물체의 모든 입자가 다른 모든 입자와 같은 순간 속도를 가질 때 일어나는 운동이다; 그러면 어떤 입자에 의해 추적된 경로는 물체의 모든 다른 입자에 의해 추적된 경로와 정확히 평행하다.변환운동 하에서 강체의 위치변경은 x, y, z 등의 3개의 좌표에 의해 완전히 규정되어 강체에 고정된 질량중심 등의 임의의 점의 변위를 제공한다.

순수하게 회전 운동은 체내의 모든 입자가 한 선 주위에 원을 그리며 움직이면 발생합니다.이 선을 회전축이라고 합니다.그리고 축에서 모든 입자로의 반지름 벡터는 동시에 동일한 각도 변위를 겪습니다.회전축은 몸을 통과할 필요가 없습니다.일반적으로 회전은 직사각형 좌표축 x, y 및 z에 대한 3개의 각도 변위로 완전히 지정할 수 있다.따라서 강체의 위치 변화는 3개의 변환 좌표와 3개의 회전 좌표로 완전히 설명됩니다.

강체의 변위는 우선 물체에 회전을 수반하는 변위를 가하거나 반대로 회전 후에 변위를 수반하는 회전을 가함으로써 도달할 수 있다.우리는 이미 모든 입자 집합 - 단단한 물체에서처럼 서로에 대해 정지되어 있든, 또는 조개껍데기의 폭발 파편처럼 상대적인 움직임에서든, 질량 중심 가속도는 다음과 같이 주어진다는 것을 알고 있다.

F_{\mathrm {net}}=Ma_{\mathrm {cm}\;\!

여기서 M은 시스템의 총 질량이고_cm a는 질량 중심의 가속도입니다.질량의 중심에 대한 신체의 회전을 설명하고, 그것을 신체에 작용하는 외부 힘과 관련짓는 문제가 남아 있다.단일 축을 중심으로 한 회전 운동의 운동학 및 역학은 번역 운동의 운동학 및 역학과 유사합니다; 단일 축을 중심으로 한 회전 운동은 입자 역학과 유사한 작업 에너지 정리를 가지고 있습니다.

운동학

각도 변위

입자는 $반경$ r $(\displaystyle$ r $r$ 의 원을 그리며 이동합니다. 원호 $길이$ s(\ $displaystyle$ s $s$ 를 이동하면 각도 위치는 $\theta ={\frac {s}{r}}$ 위치에 대해 $\theta$ (\ $displaystyle \theta$ $=$ $(\$ = $frac {s}$ { $r$ 입니다.

수학과 물리학에서는 도나 회전보다는 자연 단위 라디안을 사용하는 것이 일반적입니다.단위는 다음과 같이 변환됩니다.

{{displaystyle {radition}1개 텍스트{revolution}}=2\pi {radians, and}}\1개 텍스트{rad}}&=pi frac {180^{\pi }}}{\pi }}\약 57.27^{\rad}}.\end { aligned}}

각도 변위는 각도 위치의 변화입니다.

\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},\!

여기서 $\Delta \theta$ ${\$ { $displaystyle \Delta \theta }$ 는 $\Delta \theta$ 각도 변위, $\theta _{1}$ 1 $\theta _{1}$ { $displaystyle \theta$ _{ $1}$ 는 $\theta _{1}$ 초기 각도 위치, $\theta _{2}$ 2 { $displaystyle \theta$ _ ${2}}$ 는 $\theta _{2}$ 최종 각도 위치입니다.

각속도

단위 시간당 각 변위의 변화를 회전 축을 따른 방향의 각 속도라고 합니다.각속도의 기호는 ${\(\display \obega)$ 이며 $\omega$ , 단위는 일반적으로 rads입니다⁻¹.각속도는 각속도의 크기이다.

{\delta \theta } = frac {\theta _{2}-\theta _{1} = frac {\theta _ {t_{2}-t_{1} } 。

순간 각속도는 다음과 같다.

(\displaystyle \otha (t)=sublicfrac {d\theta}{dt}}).}

각도 위치에 대한 공식을 사용하고 v $v={\frac {ds}{dt}}$ $v={\frac {ds}{dt}}$ $v={\frac {ds}{dt}}$ $v={\frac {ds}{dt}}$ t $v={\frac {ds}{dt}}$ { $displaystyle$ v = $displayfrac {ds$ } {dt $v={\frac {ds}{dt}}$ 을(를) 허용하면 다음과 같이 됩니다.

\mega = param frac {d\theta } {dt} = param frac {v} {r}

$v$ 서 v $\displaystyle$ v는 $v$ 파티클의 변환 속도입니다.

각 속도와 주파수는 다음과 같이 관련이 있습니다.

\omega ={2\pi f}\!

=

\omega ={2\pi f}\!

f \

displaystyle

\ omega{

=

{ 2 \

pi

f

\omega ={2\pi f}\!

} \ !

\omega ={2\pi f}\!

}

각가속도

각속도 변화는 강체에 각가속도의 존재를 나타내며, 일반적으로 rads로⁻² 측정된다.시간 간격에 따른 평균 각도 ${\overline {\alpha }}$ α ${\overline {\alpha }}$ δ {style {\ $display {\overline$ {\alpha ${\overline {\alpha }}$ }}}는 ${\overline {\alpha }}$ 다음과 같습니다.

{\alpha } = frac {\Delta t} = frac {{2}-\opha _{1} } = frac {\frac {{2}-t_{1} }

순간 가속도α(t)는 다음과 같이 구한다.

\alpha (t) = flac {d\obega } {dt} = flac {d^{2}\theta } {dt^{2} } 。

따라서, 가속도가 속도의 변화 속도인 것처럼, 각 가속도는 각 속도의 변화 속도이다.

회전하는 물체의 점의 변환 가속도는 다음과 같습니다.

(\displaystyle a=r\alpha,\!)

여기서 r은 회전축으로부터의 반지름 또는 거리입니다.이것은 가속도의 접선 구성요소이기도 합니다. 즉, 점의 운동 방향에 접선입니다.이 성분이 0일 경우 운동은 균일한 원형 운동이며 속도는 방향만 변화합니다.

반경 가속도(운동 방향에 수직)는 다음과 같이 주어진다.

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

R

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

2

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

{

displaystyle

a _ { \

mathrm

{

R

} =

specfrac

{

v

^ { v

^

{2}r \ !

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

} = \

obega

^ {2

}

r \

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

}

이것은 회전 운동의 중심을 향해 있으며, 종종 구심 가속이라고 불립니다.

각 가속도는 토크에 의해 발생하며, 토크 값은 양의 각 주파수 및 음의 각 주파수에 따라 양 또는 음의 값을 가질 수 있습니다.토크와 각도 가속도 사이의 관계(회전을 시작, 정지 또는 변경하는 것이 얼마나 어려운가)는 관성 모멘트에 의해 결정됩니다. $T=I\alpha$ $T=I\alpha$ $T=I\alpha$ {\ $displaystyle$ T $=I\alpha$

운동학 방정식

각가속도가 일정할 경우 5가지 $\theta$ ${\$ {\ $displaystyle \theta$ 초기각속도 $\omega _{1}$ 1 {\ $displaystyle \obega$ _ ${1$ $\omega _{1}$ 최종각속도 $\omega _{2}$ 2 {\ $displaystyle \obe$ $\omega _{2}$ $\alpha$ α {\ $displaystyle \alpha$ $시간$ t {\ $displaystyle$ t $}$ 는 다음 네 가지 운동학 방정식으로 관련지을 수 있습니다.

{displaystyle {argent {aligned}\opha _{1}+\theta &=\opha _{1}t+{2}\\opha _{2}+2\opha _{1}\ta {1}t+{1}\frac {1}\frac {1}\displaystyparta {{2}&ampa

다이내믹스

관성 모멘트

I $\displaystyle$ I로 $I$ 되는 물체의 관성 모멘트는 물체의 회전 변화에 대한 저항의 척도입니다.관성 모멘트는 킬로그램 미터²(kg² m) 단위로 측정됩니다.물체의 질량에 따라 달라집니다.물체의 질량을 늘리면 관성 모멘트가 증가합니다.또한 질량의 분포에 따라 달라집니다. 질량을 회전 중심에서 더 멀리 분산시키면 관성 모멘트가 더 크게 증가합니다. $회전축으로부터$ 거리 r\ $displaystyle$ r $\displaystyle$ $r$ 의 $m$ 단일 입자에 대해 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

(\displaystyle I=mr^{2}).}

토크

${\boldsymbol {\tau }}$ {\({ $displaystyle$ {\ $boldsymbol$ {\ $tau}}})$ 는 ${\boldsymbol {\tau }}$ 회전하는 물체에 가해지는 힘 F의 비틀림 효과로, 회전 축에서 r 위치에 있습니다.수학적으로는

{\displaystyle\boldsymbol\mathbf {r}\times\mathbf {F},}

여기서 ×는 교차곱을 나타냅니다.물체에 작용하는 순 토크는 다음과 같이 물체의 각 가속도를 생성합니다.

{\displaystyle\boldsymbol\class}=I {\boldsymbol {\alpha },

선형 역학에서 F = ma와 같다.

물체에 작용하는 토크에 의해 수행되는 작업은 토크 크기에 토크가 적용되는 각도를 곱한 값과 같습니다.

(\displaystyle W=\tau\theta).\!}

토크의 힘은 단위 시간당 토크에 의해 수행되는 작업과 동일합니다. 따라서 다음과 같습니다.

(\displaystyle P=\tau\mega).\!}

각운동량

$\mathbf {L}$ L(\ $displaystyle \mathbf {L})$ 은 $\mathbf {L}$ 회전하는 물체를 정지시키기 어려운 정도를 나타내는 척도입니다.에 의해 주어집니다.

\mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p}

의 모든 입자에 대해 L

=

r

×

\

style \mathbf

{

L} =\sum \mathbf

{

r} \times

\mathbf

\mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p}

{p}

}.

각운동량은 관성모멘트와 각속도의 산물이다.

\mathbf {L} = I{\boldsymbol {\mega }

선형 역학에서 p = mv와 같다.

회전 운동에서의 선형 운동량의 유사점은 각 운동량이다.팽이와 같은 회전하는 물체의 각운동량이 클수록 계속 회전하는 경향이 커집니다.

회전하는 물체의 각 운동량은 질량과 회전 속도에 비례합니다.또한, 각 운동량은 회전 축에 대한 질량의 분포 방법에 따라 달라집니다. 즉, 질량이 회전 축에서 멀리 떨어져 있을수록 각 운동량은 커집니다.레코드 턴테이블과 같은 평면 원반은 같은 질량과 회전속도의 중공 원통보다 각운동량이 적다.

선형 운동량과 마찬가지로 각 운동량은 벡터량이며, 각 운동량의 보존은 스핀축의 방향이 변하지 않는 경향이 있음을 의미합니다.이 때문에, 회전하는 팽이는 똑바로 서 있는 반면, 정지해 있는 팽이는 곧바로 넘어집니다.

각운동량 방정식은 축에 대한 물체의 결과 힘의 모멘트(토크라고도 함)와 축에 대한 회전 속도를 관련짓는 데 사용할 수 있습니다.

토크와 각운동량은 다음과 같이 관련된다.

{\displaystyle {\mathbf {L}}{dt}},

선형 역학에서 F = dp/dt인 것처럼.외부 토크가 없을 경우 물체의 각 운동량은 일정하게 유지됩니다.각운동량 보존은 피겨 스케이팅에서 두드러지게 입증된다: 회전 중에 팔을 신체에 가까이 당기면 관성 모멘트가 감소하여 각속도가 증가한다.

운동 에너지

본체의 회전에 따른 운동 $K_{\text{rot}}$ $K_{\text{rot}}$ 썩음(\ $displaystyle K_{\text{rot}})$ 은 $K_{\text{rot}}$ 다음과 같습니다.

K_{\text{rot}}=black {1}{2}}I\omega ^{2

$K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ 역학에서 K $K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ $=$ $K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ $K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ v 2 {\ $displaystyle K_{\$ text ${trans$ }}= $tfrac$ {1}{2}mv $^{2}}$ 인 $K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ $K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ 처럼.

운동 에너지는 운동의 에너지이다.위의 방정식에 나타난 바와 같이 물체의 질량 $(m\displaystyle$ m $m$ 과 물체의 $속도$ (v $\displaystyle$ v $v$ 의 두 가지 변수에서 발견되는 운동 에너지의 양.운동 에너지는 항상 0이거나 양의 값이어야 합니다.속도는 양수 또는 음수 값을 가질 수 있지만 속도 제곱은 항상 ^[1]양수입니다.

벡터식

상기 개발은 일반적인 회전운동의 특별한 경우이다.일반적으로 각변위, 각속도, 각가속도 및 토크를 벡터로 한다.

각도변위는 $(\displaystyle\Delta\theta$ 와 같은 크기의 축을 가리키는 벡터로 간주됩니다.오른쪽 규칙은 축을 따라 가리키는 방향을 찾는 데 사용됩니다.오른쪽 손가락이 물체의 회전 방향을 가리키도록 구부러진 경우, 오른쪽 엄지손가락은 오른손의 엄지손가락을 가리킵니다.벡터 방향의 점.

각속도 벡터는 또한 그것이 야기하는 각 변위와 같은 방식으로 회전축을 따라 점을 찍습니다.원반이 위에서 보았을 때 시계 반대 방향으로 회전하면 각속도 벡터가 위쪽으로 향합니다.마찬가지로, 각가속도 벡터는 회전축을 따라 각가속도가 오랫동안 유지될 경우 각속도가 가리키는 방향과 같은 방향을 가리킵니다.

토크 벡터는 토크가 회전을 일으키는 경향이 있는 축을 따라 점을 가리킵니다.고정 축을 중심으로 회전을 유지하려면 총 토크 벡터가 축을 따라 있어야 하며, 따라서 각 속도 벡터의 방향이 아니라 크기만 변경되어야 합니다.힌지의 경우 축을 따른 토크 벡터의 성분만이 회전에 영향을 미쳐 다른 힘이나 토크가 이 구조에 의해 보상된다.

예와 응용 프로그램

일정한 각도 속도

고정 축을 중심으로 회전하는 가장 간단한 경우는 일정한 각도 속도입니다.그러면 총 토크는 0이 됩니다.예를 들어 지구가 축을 중심으로 회전하는 경우 마찰이 거의 없다.팬의 경우 모터가 토크를 가하여 마찰을 보상합니다.팬과 마찬가지로 양산 제조업계에서 볼 수 있는 장비는 고정 축을 중심으로 한 회전을 효과적으로 보여줍니다.예를 들어 다축선반을 사용하여 재료를 축방향으로 회전시킴으로써 절삭,^[2] 변형 및 선회 작업의 생산성을 효과적으로 높일 수 있습니다.회전각은 시간의 선형 함수이며, 360° 모듈로는 주기 함수입니다.

이것의 예로는 원형 궤도의 2체 문제가 있다.

구심력

내부 인장 응력은 회전하는 물체를 함께 유지하는 구심력을 제공합니다.강체 모델은 그에 따른 변형률을 무시합니다.차체가 단단하지 않으면 이 변형으로 인해 차체가 변형됩니다.이것은 "중심력"에 의해 물체의 모양이 변하는 것으로 표현된다.

서로 회전하는 천체는 종종 타원 궤도를 가지고 있다.원형 궤도의 특수한 경우는 고정 축을 중심으로 한 회전의 예입니다. 이 축은 운동 평면에 수직인 질량의 중심을 통과하는 선입니다.구심력은 중력에 의해 제공됩니다. 이체 문제도 참조하십시오.이는 일반적으로 회전하는 천체에도 적용되기 때문에 밀도에 비해 각 속도가 너무 빠르지 않는 한 함께 유지하기 위해 고체가 될 필요는 없습니다.(단, 그것은 없어지는 경향이 있습니다.)예를 들어, 회전하는 물의 천체는 크기에 관계없이 회전하는 데 최소 3시간 18분이 걸리고 그렇지 않으면 물이^{[citation needed]} 분리됩니다.유체의 밀도가 높을수록 시간이 단축될 수 있습니다.궤도 ^[3]주기를 참조하십시오.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ "Khan Academy". Khan Academy. Retrieved 2017-08-02.
^ "Multi Spindle Machines - An In-Depth Overview". Davenport Machine. Retrieved 2017-08-02.
^ Mobberley, Martin (2009-03-01). Cataclysmic Cosmic Events and How to Observe Them. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387799469.

물리학의 기초 Halliday, Resnick 및 Walker의 제7판 확장판.ISBN 0-471-2231-9
물리학의 개념 제1권, 초판, ISBN 81-7709-187-5

[1] "Khan Academy". Khan Academy. Retrieved 2017-08-02.

[2] "Multi Spindle Machines - An In-Depth Overview". Davenport Machine. Retrieved 2017-08-02.

[3] Mobberley, Martin (2009-03-01). Cataclysmic Cosmic Events and How to Observe Them. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387799469.

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