평행축 정리

그 평행 축 정리, 또한 Huygens–Steiner 정리로 알려져 있거나 슈타이너의 theorem,[1]크리스티안 하위 헌스와 야코프 슈타이너의 이름을 딴, 관성의 순간이나 축에 대한 강체, gravi의 개체의 중심을 통과하는 평행 축에 대해 관성의 몸의 순간 주어진 지역의 2차 모멘트를 결정하는데 사용될 수 있다.ty 그리고 축 사이의 수직 거리.

질량 관성 모멘트

질량 m의 몸체가 몸의 질량 중심을 통과하는 축 z를 중심으로 회전한다고 가정하자. 몸에는 이 축에 대해 관성_cm I의 순간이 있다. 평행축 정리는 신체가 첫 번째 축과 평행하고 거리 d에 의해 그 축에서 벗어난 새로운 축 z′을 중심으로 회전하도록 되어 있다면, 새로운 축에 관한 관성 I의 모멘트는 I에_cm 의해 관련된다.

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm}+md^{2}.}$

명시적으로 d는 축 z와 z′ 사이의 수직 거리다.

평행축 정리는 스트레치 룰과 수직축 정리로 적용하여 다양한 도형의 관성 모멘트를 찾을 수 있다.

파생

우리는 일반성을 상실하지 않고 데카르트 좌표계에서 축들 사이의 수직 거리는 x축을 따라 있고 질량의 중심이 원점에 있다고 가정할 수 있다. z축에 상대적인 관성 모멘트는

${\displaystyle I_{\mathrm {cm} }=\int(x^{2}+y^{2})\,dm.}$

x축을 따라 질량 중심에서 D 거리에 있는 축 z′에 상대적인 관성 모멘트는

$\displaystyle I=\int \left[(x-D)^{2}+y^{2}\right]\,dm.}$

브래킷 수율 확장

${\displaystyle I=\int (x^{2}+y^{2})\,dm+D^{2}\int dm-2D\int x\,dm.}$

첫 번째 학기는 I이고_cm 두 번째 학기는 mD가² 된다. 최종 용어의 적분은 질량 중심 x 좌표의 배수로 질량 중심은 원점에 있으므로 0이다. 그래서 방정식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm}}+mD^{2}.}$

텐서 일반화

병렬 축 정리는 관성 텐서 관련 계산에 일반화할 수 있다. 질량 중심에서 계산된 것과 같이 신체의 관성 텐서(관성 텐서)를 표시한다_ij. 그러면 새로운 점에 대해 계산된 관성 텐서 J는_ij 다음과 같다.

${\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m\왼쪽(\mathbf {R} ^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\오른쪽),}$

where ${\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!}$ is the displacement vector from the centre of mass to the new point, and δ_ij is the Kronecker delta.

대각선 원소의 경우(i = j일 때) 회전 축에 수직으로 변위하면 위의 단순화된 병렬 축 정리가 된다.

병렬 축 정리의 일반화된 버전은 다음과 같이 좌표 없는 표기법 형태로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\mathbf {R}\cdot \mathbf {R}\reight)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R}\otimes \mathbf {R}, \R}, \right}}}}}$

여기서 E는₃ 3 × 3 아이덴티티 매트릭스,${\displaystyle }$and ${\디스플레이$ 스타일 $\otimes }$은(는) 외부 제품이다.

병렬 축 정리의 추가 일반화는 기준 관성 텐서와 연관된 x, y 및 z 축의 기준 집합에 평행한 직교 축 집합에 대한 관성 텐서(질량 중심을 통과하는지 여부)를 제공한다.^[2]

면적의 두 번째 모멘트

병렬 축 규칙은 평면 영역 D:의 두 번째 면적 모멘트(관성 면적 모멘트)에도 적용된다.

${\displaystyle I_{z}=I_{x}+Ar^{2},}$

여기서 I는_z 평행축에 상대적인 D의 관성 면적 모멘트, I는_x 중심점에 상대적인 D의 관성 면적 모멘트, A는 평면 영역 D의 면적, r은 새로운 축 z에서 평면 영역 D의 중심까지의 거리. D의 중심은 밀도가 균일한 동일한 형상의 물리적 판의 무게중심과 일치한다.

평면 역학을 위한 극성 관성 모멘트

평면에 평행하게 이동하도록 구속되는 강체 신체의 질량 특성은 이 평면에서 질량 R = (x, y)의 중심과 평면에 수직인 R을 통과하는 축 주위의 극성 관성 I에_R 의해 정의된다. 평행축 정리는 임의의 점 S 주위의 관성 I의_S 순간과 질량 R의 중심에 대한 관성_R I의 순간 사이에 편리한 관계를 제공한다.

질량 R의 중심에 특성이 있음을 상기하십시오.

${\displaystyle \int _{V}\rho(\mathbf {r})(\mathbf {r} -\mathbf {R})\,dV=0,}$

여기서 r은 신체의 V 부피에 걸쳐 통합된다. 평면 운동을 하는 신체의 극성 관성 모멘트는 기준점 S에 비례하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle I_{S}=\int _{V}\rho(\mathbf {r} -\mathbf {S})\cdot(\mathbf {r} -\mathbf {S})\dV,}$

여기서 S는 일정하고 r은 V 볼륨에 걸쳐 통합된다.

관성 I의_R 모멘트로 관성 I의_S 모멘트를 얻기 위해서, 벡터 d를 S로부터 질량 R의 중심까지 도입한다.

${\displaystyle {\reasoned}I_{S}&,=\int _{V}\rho(\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R}+\mathbf{d})\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{R}+\mathbf{d})\,dV\\&,=\int _{V}\rho(\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{R})dV+2\mathbf{d}\cdot \left(\int_{V}\rho(\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho(\mathbf{.r})\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} .\end{aigned}}}$

첫 번째 항은 관성 I의_R 모멘트, 두 번째 항은 질량의 중심에 대한 정의로 0이며, 마지막 항은 신체의 총 질량이 벡터 d의 제곱 크기에 곱한 것이다. 그러므로,

${\displaystyle I_{S}=I_{R}+Md^{2},\,}$

평행축 정리라고 알려져 있다.^[3]

관성 행렬 모멘트

입자 강체계의 관성 행렬은 기준점의 선택에 따라 달라진다.^[4] 질량 R의 중심에 상대적인 관성 행렬과 다른 점 S에 상대적인 관성 행렬 사이에는 유용한 관계가 있다. 이 관계를 평행축 정리라고 한다.

다음과 같이 기준점 S에 대해 측정한 입자의 강체 시스템에 대해 얻은 관성 행렬 [I_S]를 고려한다.

${\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n_m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],}$

여기서 r은_i 입자 P_i, i = 1, ..., n. [r_i - S]가 교차 제품을 수행하는 스큐 대칭 행렬이라는 것을 상기시킨다.

${\displaystyle [r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S})\time \mathbf {y},}$

임의 벡터 y에 대해

R을 강체계 질량의 중심이 되도록 한다.

${\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S},}$

여기서 d는 기준점 S에서 질량 R의 중심까지의 벡터다. 관성 행렬을 계산하려면 이 방정식을 사용하십시오.

${\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n_m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].}$

얻으려면 이 방정식을 확장하십시오.

${\displaystyle [I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d].}$

첫 번째 항은 질량의 중심에 상대적인 관성 행렬[I_R]이다. 두 번째와 세 번째 용어는 질량 R의 중심에 대한 정의로 0이다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R})=0.}$

그리고 마지막 항은 d로 구성된 스큐-대칭 행렬[d]의 제곱을 곱한 계통의 총 질량이다.

결과는 평행축 정리,

${\displaystyle [I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2},}$

여기서 d는 기준점 S에서 질량 R의 중심까지의 벡터다.^[4]

스큐 대칭 행렬의 ID

스큐 대칭 행렬과 텐서 제형을 이용한 평행축 정리 제형을 비교하기 위해서는 다음과 같은 정체성이 유용하다.

[R]을 위치 벡터 R = (x, y, z)와 연관된 스큐 대칭 행렬로 하고, 관성 행렬의 제품이 된다.

${\displaystyle -[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}}\end{bmatrix}}.}$

이 제품은 식별 정보를 사용하여 외부 제품 [R R^T]에 의해 형성된 매트릭스를 사용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle -[R]^{2}= \mathbf {R}^{2}[E_{3}]-[\mathbf {R} \mathbf {R}^{T}]={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0\\0&0&x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}},}$

여기서 [E₃]는 3 × 3 아이덴티티 행렬이다.

또한, 라는 것도 알아두었다.

${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}=\mathbf {R} =\cdot \mathbf {tr}[\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}],}$

여기서 tr은 추적이라고 알려진 외부 제품 매트릭스의 대각선 요소의 합계를 나타낸다.

참고 항목

• 크리스티안 후이겐스
• 야콥 스타이너
• 관성 모멘트
• 수직축 정리
• 강체 차체 다이내믹스
• 스트레치 규칙

참조

외부 링크

위키미디어 커먼스는 스타이너의 평행축 정리 관련 매체를 보유하고 있다.

• 평행축 정리
• 관성 텐서 모멘트
• 관성 텐서 관련 비디오