제1 카운트 가능 공간

수학의 한 분야인 위상에서, 첫 번째 카운트 가능한 공간은 "카운트 가능성의 첫 번째 공리"를 만족하는 위상학적 공간이다.구체적으로 스페이스 $X{\displaystyle }${\$displaystyle$X}은 각 점에 카운트 가능한 인접성 기반(로컬 베이스)이 있는 경우 먼저 카운트할 수 있다고 한다$$.That is, for each point ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ there exists a sequence ${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots }$ of neighbourhoods of ${\displaystyle x}$ such that for any neighbourhood ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle x}$ there exists an integer ${\di$$N{\displaystyle .}$ ${\displaystyle N_$${i$$}$에 포함된 N ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $N_${i}}를$$ 포함하는 $splaystyle$ i$}.$ 어떤 지점의 모든 이웃이 그 지점의 열린 이웃을 포함하므로 개방된$$ 이웃으로 구성하기 위해 일반성을 잃지 않고 이웃의 기초를 선택할 수 있다.

예제 및 counterexample

수학에서 '일상'의 공간은 대부분 1순위로 셀 수 있다.특히 모든 메트릭스 공간은 우선 카운트할 수 있다.이를 확인하려면 정수의$$ $반지름{\displaystyle \mathrm{}}$1 / ${\displaystyle n}$${\$$displaystyle$1/$n}$이(가) $있는{\displaystyle }$ x {\$displaystyle$ x$}$에 있는 열린 볼 $집합$이${\displaystyle }$x .$${\$displaystyle x.}$에서 카운트 가능한 로컬 베이스를 형성한다는 점에 유의하십시오.

먼저 계산할 수 없는 공간의 예로는 마운트할 수 없는 집합(예: 실제 선)의 코피나이트 위상이다.

또 다른 counterexample은 서수 공간 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle 1\mathrm{}}$ = [ 0 ,${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\${1$}=\reft[0,\omega _{1$}\1$}\right]$이며 $여기$서 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ _${1$}은 최초의$$ 서수이다.The element ${\displaystyle \omega _{1}}$ is a limit point of the subset ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ even though no sequence of elements in ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ has the element ${\displaystyle \omega _{1}}$ as its limit.특히 공간 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$1${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$right$]$의 포인트$$ $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$displaystyle \$omega_$${1$}\1}\$right$$]$에는 카운트 가능한 로컬 기반이 없다$$.그러나 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$만이 그러한$$ 지점이기 때문에, 하위 공간 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$= [ ${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$1 )$${\$displaystyle \omega _{1}=\left[0,\omega _{1$}\1$}\right)}$은 먼저 계산할 수 있다$$.

실제 선의 자연수가 단일 점으로 식별되는$$ 지수 공간 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ /${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$N$} }$은(는) 먼저 계산할 수 없다.^[1]그러나 이 공간에는 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ $A$$}$의 닫힘에 있는$$ 모든 부분 $집합{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle$A} 및 모든 $요소{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$ x$}$에 대한$$ 순서가 x${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$.}$에 수렴되는 순서가 있는 공간을 Frechet-Uryson 공간이라고 부르기도 한다.

1번 계산은 2번 계산보다 엄격히 약하다.2차 계산 가능한 모든 공간은 1차 계산이 가능하지만, 1차 계산은 불가능하지만 2차 계산은 불가능하다.

특성.

One of the most important properties of first-countable spaces is that given a subset ${\displaystyle A,}$ a point ${\displaystyle x}$ lies in the closure of ${\displaystyle A}$ if and only if there exists a sequence ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ in ${\display$$x$ . ${\displaystyle$ x$.}$로 수렴되는 스타일 $A}($$$즉, 모든 1차 카운트 가능 공간은 프레셰-우르손 공간이며 따라서 순차 공간이기도 하다.)이것은 한계와 연속성에 영향을 미친다.In particular, if ${\displaystyle f}$ is a function on a first-countable space, then ${\displaystyle f}$ has a limit ${\displaystyle L}$ at the point ${\displaystyle x}$ if and only if for every sequence ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ where ${\displaystyle x_{n}\neq x}$ for all $$${\displaystyle n,}$ we have ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to L.}$ Also, if ${\displaystyle f}$ is a function on a first-countable space, then ${\displaystyle f}$ is continuous if and only if whenever ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ then ${$$\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to f(x).$$}$

첫 번째 카운트 가능한 공간에서는 순차적 컴팩트성과 카운트 가능한 컴팩트성이 동등한 속성이다.그러나, 순차적으로 계산 가능한 소형, 1차 계산 가능한 공간의 예(이러한 공간은 반드시 비금속 공간이어야 함)가 존재한다.그러한 공간 중 하나는 서수 공간$[{\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\오른쪽).$$}}$ 1차 카운트 가능한 모든$$ 공간은 압축적으로 생성된다.

1인칭 공간의 모든 하위 공간은 1인칭이다.셀 수 없는 제품은 필요하지 않지만, 첫 번째 셀 수 있는 공간의 모든 셀 수 있는 제품은 먼저 셀 수 있다.

참고 항목

• 프레셰-우린 공간
• 두 번째 카운트 가능한 공간 – 토폴로지를 카운트 가능한 기반으로 하는 위상학적 공간
• 분리 가능한 공간 – 밀도가 높은 카운트 가능한 부분 집합이 있는 위상학적 공간
• 순차적 공간 – 특정 속성이 있는 위상적 공간

참조

참고 문헌 목록

• "first axiom of countability", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Sigma Series in Pure Mathematics, Vol. 6 (Revised and completed ed.). Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3885380064.