쿼터니온 투영 공간

수학에서 퀀터니온 투영 공간은 실제 투영 공간과 복잡한 투영 공간에 대한 사상의 확장이며, 좌표가 퀀터니온의 $고리{\displaystyle \mathbb{}}$ 안에 있는 경우,$\displaystyle \mathbb {H}.}$ 차원 n의 쿼터니온$$ 투영 공간은 일반적으로 다음과 같이 나타낸다.

${\displaystyle \mathb {HP} ^{n}}$

그리고 (실제) 차원 4n의 닫힌 다지관이다.그것은 한 가지 이상의 방법으로 Lie 집단 행동을 위한 균일한 공간이다.quatternionic 투영 라인 $H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{1}}^{}}$ ${\$ {HP}$^1}{$1}는 4-sphere에 대해 동형이다$$.

좌표 내

그것의 직접구축은 분할대수에 대한 투영공간의 특별한 경우다.점의 균일한 좌표를 작성할 수 있다.

${\displaystyle [q_{0},q_{1},\ldots,q_{n}]}$

여기서 $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 모두 0이 아니라 쿼터니온이다$$.좌표 두 세트가 0이 아닌 쿼터니온 c에 의한 왼쪽 곱셈에 의해 '비례적'이면 동일한 점을 나타낸다. 즉, 우리는 모든 좌표를 식별한다.

${\displaystyle [c}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [cq_{0},cq_{1},ldots,cq_{n$

In the language of group actions, ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ is the orbit space of ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}\setminus \{(0,\ldots ,0)\}}$ by the action of ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$, the multiplicative group of non-zero quaternions.By first projecting onto the unit sphere inside ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$ one may also regard ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ as the orbit space of ${\displaystyle S^{4n+3}}$ by the action of ${\displaystyle {\text{Sp}}(1)}$, the group of unit quaternions.^[1]구 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{4n}}^{}}$+ ${\displaystyle 3^{}}${\$displaystyle S^{$4n$+3}}$ $그러면{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{H}}^{}}$ P n ${\$HP}$^{n}}$:

${\displaystyle \mathrm {Sp}(1) to S^{4n+3}\to \mathb {HP}^{n}.}$

이 보따리를 때때로 호프 진동이라고 한다.

$또한{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ H ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$$displaystyle \mathb{$H}{{$n}}$의 2차원 복합 서브스페이스에 의한$$ $H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ P ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$$\mathb$ {$H$$}{{$n$}}}{$$n}}}$의 구성도 있는데$,$ 이는 $H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ n ${\$displaystmanian$}$ 안에 놓여 있다는$$ 것을 의미한다.

위상

호모토피 이론

포함된 모든 $유한{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{H}}^{}}$ P ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb${HP$} ^{\n$}의 조합으로 정의된$$공간 $H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$$mathb${HP}$^{n$는 분류 공간 BS이다³.The homotopy groups of ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ are given by ${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })=\pi _{i}(BS^{3})\cong \pi _{i-1}(S^{3}).$$}}$ 이들$$ 그룹은 매우 복잡한 것으로 알려져 있으며, $특히{\displaystyle }$i {\$displaystyle i}$의 무한히 많은 값에 대해 0이 아닌 것으로 알려져 있다$.$ 그러나 우리는 그러한 것을 가지고 있다.

${\displaystyle \pi _{i}(\mathb {HP} ^{\infit }}\mathb {Q}\cong {\begin}\mathb {Q} &i=4\0&i\neq 4\end{case}}}}}}}}}}$

It follows that rationally, i.e. after localisation of a space, ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ is an Eilenberg–Maclane space ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,4)}$. That is ${\displaystyle \mathbb {HP} _{\mathbb {Q} }^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,4)_{\m$$atsb {Q} }.}($cf.예시 K(Z,2)이성적인 호모토피 이론을 보라.

In general, ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ has a cell structure with one cell in each dimension which is a multiple of 4, up to ${\displaystyle 4n}$. Accordingly, its cohomology ring is ${\displaystyle \mathbb {Z} [v]/v^{n+1}}$, where ${\displaystyle v}$ is a 4-dimensional gen이것은 복잡한 투영 공간과 유사하다.또한 H ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\${HP$}$^{$n}}}$ 치수 4와 ${\displaystyle \mathrm{4n}}$+ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 4n+3}$에만 무한 호모토피 그룹을 가지고$$ 있다는 합리적 호모토피 이론도 뒤따른다$.$

미분 기하학

${\displaystyle {\mathbb{H}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\${HP$}$^{$n}}}$은$($는) 양의 곡률을 가진 콤팩트 쿼터니온-케흘러 대칭 공간인 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 푸비니-Study 메트릭과 유사한 자연 리만 메트릭을 운반한다.

Qaternionic 투영 공간은 코제트 공간으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle \mathb {HP} ^{n}=\operatorname {Sp}(n+1)/\operatorname {Sp}(n)\time\operatorname {Sp}(1)}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{Sp}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \operatorname {Sp}(n)}$은(는) 소형 공통 선택 그룹이다.

특성계급

$H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 4 ${\${HP$}^{1}=S^{4}}}}$이(가$)$므로 접선 번들은 안정적으로 사소한 것이다.나머지는 접선 다발에는 비종교적인 스티펠-이 있다.휘트니와 폰트랴긴 수업.총 클래스는 다음과 같은 공식으로 제공된다.

${\displaystyle w(\mathb {HP}^{n}=(1+u)^{n+1}:{n+1}$

${\displaystyle p(\mathb {HP}^{n}=(1+v)^{2n+2}(1+4v)^{-1}$

여기서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}H\mathbb{}}$ P ${\displaystyle {}^{}}$; Z${\displaystyle }$)의 생성자 ${\displaystyle$ H$^{4}(\mathb${HP}$^{n};\mathb {Z})$이며 $u{\displaystyle }${\$displaysty u}$은 감소모드 2이다.^[2]

특례

쿼터니온 투영선

$H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 위에 놓인 1차원 투사 공간을 복합 투사 선의 일반화에서 "투사선"이라고 한다$$.예를 들어 1947년 P. G. 고믈리에 의해 뫼비우스 집단을 선형 분수 변환으로 쿼터니온 컨텍스트까지 확장하기 위해 (불확실하게) 사용되었다.1을 사용한 연관 링의 선형 부분 변환은 링 위의 투영 선과 동음이의 그룹 GL(2,A)을 참조하십시오.

위상학적 관점에서 쿼터니온 투영선은 4-sphere이며, 사실 이것들은 차이점형 다지관이다.앞에서 언급한 진동은 7-sphere에서 나온 것으로, Hopf 진동의 예다.

4-sphere에 대한 좌표에 대한 명시적 표현은 Fubini-Study 메트릭의 기사에서 찾을 수 있다.

쿼터니온 투영면

8차원 $H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\${HP}$^{2$}}에는 절대값 1의 복잡한 스칼라 그룹이 반대편에서 작용하는 원 동작이 있다$$(그러므로 오른쪽은 위의 c의 동작에 대한 규약이 왼쪽이므로).따라서, 인용 다지관은

${\displaystyle \mathb {HP} ^{2}/\mathrm {U}(1)}$

동그라미 그룹에 U(1)라고 적어서 찍을 수 있다.이 지수는 1996년 블라디미르 아놀드가 에드워드 비튼과 마이클 아티야에 의해 재발견한 결과인 7-sphere로 나타났다.

참조

추가 읽기

• Arnol'd, V.I. (1999). "Relatives of the Quotient of the Complex Projective Plane by the Complex Conjugation". Tr. Mat. Inst. Steklova. 224: 56–6. CiteSeerX 10.1.1.50.6421. Quaternionic 투영 공간 및 13-sphere에 대해 언급된 결과의 아날로그 처리.
• Gormley, P.G. (1947), "Stereographic projection and the linear fractional group of transformations of quaternions", Proceedings of the Royal Irish Academy, Section A, 51: 67–85, JSTOR 20488472