그룹에 대한 단어 문제

수학에서, 특히 결합집단 이론으로 알려진 추상대수의 영역에서, 정밀하게 생성된 그룹 G의 단어 문제는 생성자의 두 단어가 동일한 원소를 나타내는지를 결정하는 알고리즘적인 문제다.더 정확히 말하면, 만약 A가 G를 위한 유한한 생성자 집합이라면, 그 단어 문제란 단어는 A의 모든 단어의 공식 언어에 대한 멤버쉽 문제, 그리고 A에서 그룹 G로 비자발적으로 이루어진 자유 모노이드로부터 자연 지도 아래의 정체성에 매핑되는 형식적인 inverses의 집합이다. 만약 B가 또 다른 유한 생성자라면, 그 단어는 G를 위해 설정된 것이다.over the generation set B는 generation set A에 대한 단어 문제와 동일하다.따라서 정확히 생성된 G그룹에 대한 단어 문제의 명확성에 대해 모호하지 않게 말할 수 있다.

재귀적으로 제시된 그룹의 클래스 K에 관련되지만 다른 균일한 단어 문제는 클래스 K의 그룹 G에 대한 프레젠테이션 P와 G의 생성자에 있는 두 단어를 입력하여 결정하는 알고리즘적인 문제다. 일부 저자들은 클래스 K가 반복적으로 정의될 수 있도록 요구한다.숫자로 된 프레젠테이션 세트

역사

주제의 역사를 통틀어, 다양한 정상적인 형태를 사용하여 집단으로 계산이 진행되어 왔다.이것들은 보통 문제의 그룹들에 대한 단어 문제를 암묵적으로 해결한다.1911년 막스 딘은 단어 문제가 결합 문제, 집단 이형성 문제와 함께 ^[1]그 자체로 중요한 연구 영역이라고 제안했다.1912년에 그는 2보다 크거나 같은 속들의 폐쇄적 방향성 2차원 다지관의 기본 그룹에 대한 단어와 결합성 문제를 모두 해결하는 알고리즘을 제공했다.^[2]후속 저자들은 딘의 알고리즘을 크게 확장시켜 광범위한 그룹 이론적 의사결정 문제에 적용시켰다.^[3][4][5]

1955년 표트르 노비코프(Pyotr Novikov)에 의해 G에 대한 문제라는 단어가 불분명할 정도로 미세하게 제시된 그룹 G가 존재한다는 것이 증명되었다.^[6]획일적인 단어 문제 또한 이해할 수 없는 것이 바로 뒤따른다.1958년 윌리엄 분(William Boone)이 다른 증거를 입수했다.^[7]

문제라는 단어는 수학 논리나 알고리즘 이론이 아니라 고전 수학의 중심 분야인 대수학에서 발견되는 풀 수 없는 문제의 첫 번째 예 중 하나였다.그것의 불능성의 결과, 결합 집단 이론의 몇 가지 다른 문제들도 역시 해결할 수 없는 것으로 나타났다.

많은 G그룹에서 문제라는 단어가 실제로 해결 가능하다는 것을 깨닫는 것이 중요하다.예를 들어, 다중 주기 표시에서 임의의 단어의 정상적인 형태는 쉽게 계산할 수 있기 때문에 다중 주기 그룹에는 해결 가능한 단어 문제가 있다. 그룹에 대한 다른 알고리즘도 적절한 상황에서 단어 문제를 해결할 수 있다. Todd-Coxeter 알고리즘과^[8] Knuth-Bendix 완료 알고리즘을 참조하라.^[9]반면에 특정 알고리즘이 특정 그룹의 단어 문제를 해결하지 못한다는 사실은 그룹이 해결할 수 없는 단어 문제를 가지고 있다는 것을 보여주지 않는다.예를 들어 딘의 알고리즘은 토러스 기본 그룹에 대한 단어 문제를 해결하지 않는다.그러나 이 그룹은 두 개의 무한 반복 그룹의 직접적인 산물이고 따라서 해결 가능한 단어 문제가 있다.

좀 더 구체적인 묘사

좀 더 구체적으로 말하자면, 획일적인 단어 문제는 문자열에 대해 다시 쓰는 질문으로 표현될 수 있다.^[10]그룹 G의 프레젠테이션 P에 대해 P는 특정 수의 생성자를 지정한다.

x, y, z, ...

G를 위해 우리는 x로 대표되는 그룹 요소에 대해 하나의 문자를 소개하고 (편의를 위해) x로⁻¹ 대표되는 그룹 요소에 대해 다른 문자를 도입해야 한다. 이 문자를 (생성기의 두 배) 알파벳 ${\displaystyle \Sigma }$라고 부르면 된다$$.그러면 G의 각 원소는 어떤 식으로든 제품에 의해 표현된다.

abc ... pqr

$일부{\displaystyle \mathrm{}}$ 길이의 $\$ {\$displaystyle$ \$Sigma$ $\}$에서 G로 곱한 기호.길이 0(null 문자열)의 문자열은 G의 ID 요소 e를 의미한다.전체 문제의 핵심은 일부 관계를 고려할 때 e가 대표될 수 있는 모든 방법을 인식할 수 있는 것이다.

G에서의 관계의 효과는 그러한 다양한 현이 G의 동일한 요소를 나타내도록 하는 것이다.사실 관계는 '값', 즉 곱셈의 결과인 그룹 요소를 변경하지 않고 우리가 원하는 곳에 도입하거나 볼 때마다 취소할 수 있는 문자열 목록을 제공한다.

간단한 예를 들어 프레젠테이션{a³ a}을 참조하십시오.a의 역에 대해 A를 쓰면서, 우리는 임의의 수의 기호 a와 A를 결합하는 가능한 문자열을 가지고 있다.우리가 aaa, aa 또는 aa를 볼 때마다 우리는 이것들을 제거할 수 있다.우리는 또한 AAA를 제거해야 한다는 것을 기억해야 한다; 이것은 a의 큐브가 G의 아이덴티티 요소이기 때문에, a의 역의 큐브도 마찬가지라고 말한다.이런 상황에서 단어 문제는 쉬워진다.먼저 빈 문자열, a, aa, A 또는 AA로 문자열을 줄인다.그리고 나서 우리는 또한 aaa로 곱할 수 있다는 것을 주목하라, 그래서 우리는 a를 a로 변환하고 AA를 a로 변환할 수 있다.그 결과, 여기서 순서 3의 순환 그룹에 대해 문제라는 단어가 해결 가능하다는 것이다.

그러나 이것은 일반적인 경우가 아니다.예를 들어, 우리는 단조롭게 길이를 줄임으로써 어떤 문자열이라도 최대 3개 길이 중 하나로 줄일 수 있는 표준적인 형태를 가지고 있다.일반적으로 단계적 취소를 통해 원소에 대한 표준적 형식을 얻을 수 있다는 것은 사실이 아니다.사람들은 끈을 여러 가지로 확장하기 위해 관계를 이용해야 할 수도 있고, 결국 그 길이를 바로 줄여주는 취소를 찾기 위해서일 수도 있다.

결론은, 최악의 경우, G에서 동일하다고 말하는 문자열 사이의 관계가 Underdibleable 문제라는 것이다.

예

다음 그룹에는 해결 가능한 단어 문제가 있다.

• 다음을 포함한 자동 그룹:
  • 유한군
  • 음수 곡선(일명 쌍곡선) 그룹
  • 유클리드 집단
  • 콕시터 그룹
  • 브레이드 그룹
  • 기하학적 유한군
• 최종 생성된 자유 그룹
• finally 생성된 자유 아벨리아 그룹
• 다순환군
• 다음 항목을 ^[11]포함하여 완벽하게 재귀적으로 생성된 그룹:
  • Finly는 간단한 그룹을 제시했다.
• 미세하게 표시된 잔여 유한 그룹
• 다음과 같은 것을 포함하는 하나의 리플레이어 그룹^[12](이것은 마그누스의 정리)이다.
  • 폐쇄형 방향 2차원 다지관의 기본 그룹.
• 전투 가능 그룹
• 자동 시작 가능 그룹

해결할 수 없는 단어 문제가 있는 예도 알려져 있다.

• ublea,b,c,d abaⁿⁿ = cdcⁿⁿ : n ∈ A는 불용성 멤버십 문제가 있는 양의 정수 A를 재귀적으로 열거한 그룹이며, 단어 문제가 불용성인^[13] 재귀 열거형 프리젠테이션을 가진 정밀하게 생성된 그룹이다.
• 재귀적으로 열거된 발표와 불용성 단어 문제가 있는 모든 정밀하게 생성된 그룹은 불용성 단어 문제가^[14] 있는 정밀하게 제시된 그룹의 하위 그룹이다.
• 불용성 단어 문제가 있는 정밀하게 제시된 그룹의 리플레이어 수는 14개 또는 심지어 12개까지 낮을 수 있다.^[16][17]
• 해결 불가능한 단어 문제가 있는 합리적인 짧은 프레젠테이션의 명시적인 예는 콜린스 1986에 제시되어 있다.^[18][19]

${\displaystyle{\begin{배열}{lllll}\langle&a,b,c,d,e,p,q,r,t,k&,&&\\&, p^{10}a=ap,&, pacqr=rpcaq,&, ra=ar,&, \\&, p^{10}b=bp,&, p^{2}adq^{2}r=rp^{2}daq^{2},&, rb=br,&, \\&, p^{10}c=cp,&, p^{3}bcq^{3}r=rp^{3}cbq^{3},&, rc=cr,&, \\&, p^{10}d=dp,&, p^{4}bdq^{4}r=rp^{4}dbq^{4},&, rd=dr,&, \\&, p^{10}e=ep,&, p^{5}ceq^{5}r=rp^{5}ecaq^{5},&, re=er,&, \\&, aq^{10}=qa,&, p^{6}deq^{6}r=rp^{6}edbq^{6},&pt=tp,&\\&bq^{10}=qb,&p^{7}cdcq^{7}r=rp^{7}cdceq^{7},&qt=tq,&\\&cq^{10}=qc,&p^{8}ca^{3}q^{8}r=rp^{8}a^{3}q^{8},&&\\&dq^{10}=qd,&p^{9}da^{3}q^{9}r=rp^{9}a^{3}q^{9},&&\\&eq^{10}=qe,&a^{-3}ta^{3}k=ka^{-3}ta^{3}&&\rangle \end{array}}}$

단어 문제의 부분적 해결

재귀적으로 제시된 집단의 단어 문제는 다음과 같은 의미로 부분적으로 해결할 수 있다.

그룹 G에 대해 반복 프레젠테이션 P = =XR⟩을 지정할 경우 다음을 정의하십시오.

${\displaystyle S=\{\langle u,v\langle :u{\text{ 및 }v{\text{}}는 }X{\text{ 및 }}}u=v{\text{}}}}}}}}의 단어임$

그리고 다음과 같은 부분 재귀 함수 f가_P 있다.

${\displaystyle f_{P}(\langle u,v\rangele )={\begin{case}0&{\text{if}\\langle u,v\rangele \in S\\{\\\\cext}}\langle u,v\notin{case}}}}$

더 비공식적으로, u=v이면 정지하지만 그렇지 않으면 정지하지 않는 알고리즘이 있다.

P에 대한 단어 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 재귀 함수 g를 구성하는 것으로 충분하다.

${\displaystyle g(\langle u,v\langle )={\begin{case}0&{\text{if}\langle u,v\notin S\\\\\\text{defined/note}\langle u,v\langle \in s\case}}}}}}}}}$

그러나 u=v는 g에서 uv⁻¹=1인 경우에만.P에 대한 단어 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 재귀 함수 h를 구성하는 것으로 충분하다.

${\displaystyle h(x)={\begin}0&{\text{if}}\x\neq 1\{\text{in}\\\text{undefin/doesnot stop}\&{{\text}\x=1\텍스트{in}\case}}}}}}}}}}$

예

이 기법의 사용의 예로서 다음과 같은 것이 증명될 것이다.

정리:미세하게 제시된 잔여 유한 집단은 해결 가능한 단어 문제가 있다.

증명: G = ⟨X R⟩이 정밀하게 제시되고 잔류적으로 유한한 그룹이라고 가정한다.

S는 N의 모든 순열, 즉 자연수들의 그룹이 되어, 거의 모든 수를 수정하고, 그 다음에는 다음과 같이 하자.

1. S는 국소적으로 유한하며 모든 유한집단의 사본을 포함한다.
2. S에서 문제라는 단어는 순열 제품을 계산하여 해결할 수 있다.
3. 유한 집합 X의 모든 매핑을 S로 재귀 열거하는 것이 있다.
4. G는 잔류적으로 유한하기 때문에, 만약 w가 G의 발전기 X에 있는 단어라면, 만약 X의 S에 대한 일부 매핑의 경우에만 S에 1이 있는 동형성을 유도한다.

이러한 사실을 감안할 때, 알고리즘은 다음과 같은 가성으로 정의된다.

X를 S에 매핑할 때마다 R에 있는 모든 릴레이터가 S에 만족하면 S에 w w 1이 충족되면 0 End를 반환하고, End에 대해

다음과 같이 재귀 함수 h를 정의한다.

${\displaystyle h(x)={\begin}0&{\text{if}}\x\neq 1\{\text{in}\\\text{undefin/doesnot stop}\&{{\text}\x=1\텍스트{in}\case}}}}}}}}}}$

이것은 G가 해결 가능한 단어 문제를 가지고 있다는 것을 보여준다.

통일 단어 문제의 불능성

이 섹션은 검증을 위해 추가 인용구가 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다.(2018년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

단일한 그룹의 단어 문제의 해결 가능성에 대해 위에 제시된 기준은 솔직한 논거로 확장될 수 있다.이것은 정밀하게 제시된 그룹의 종류에 대한 단어 문제의 통일된 해결 가능성에 대해 다음과 같은 기준을 제공한다.

그룹 K 등급에 대한 균일한 단어 문제를 해결하려면 G 등급 생성기에서$$ G 등급에 대해 유한 표시 P를 취하는$$ $재귀{\displaystyle }$ 함수 $f{\displaystyle (P}$, w${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ $f($$P,$$w$$)}$를 찾으면 충분하며, G ∈ K:

${\displaystyle f(P,w)={\begin{case}0&{\text{if}\ w\neq 1\{\text{in}\\\\text{undefin/down되지 않음}\{{{{{if}\text}\w=1\{in}\case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

분 로거 정리:해결 가능한 단어 문제가 있는 모든 그룹의 단어 문제를 해결하는 통일된 부분 알고리즘은 없다.

다시 말해, 해결 가능한 단어 문제가 있는 모든 그룹의 클래스에 대한 균일한 단어 문제는 해결할 수 없다.이것은 몇 가지 흥미로운 결과를 가져온다.예를 들어, 히그만 임베딩 정리는 해결 가능한 단어 문제가 있는 모든 그룹의 이소형 복사를 포함하는 그룹을 구성하는데 사용될 수 있다.이 그룹이 해결 가능한 단어 문제를 가질 수 있는지 묻는 것은 당연해 보인다.그러나 분 로거스의 결과는 다음과 같다.

코롤러리:보편적으로 해결할 수 있는 단어 문제 그룹이 없다.즉, G가 해결 가능한 단어 문제가 있는 모든 그룹의 이소형 복제본을 포함하는 정밀하게 제시된 그룹이라면 G 자체는 해결할 수 없는 단어 문제를 가지고 있어야 한다.

비고: G = ⟨X R⟩은 해결 가능한 단어 문제가 있는 정밀하게 제시된 그룹이고 H는 G의 유한 부분 집합이라고 가정한다. Let H^* = ⟨H⟩, H에 의해 생성된 그룹이다.그러면 H의^* 문제라는 단어는 해결이 가능하다: H의^* 발전기 H에 k라는 두 단어를 주어, X의 단어로 쓰고 G의 문제라는 단어와 용액을 사용하여 비교한다.이것이 G에 포함될 수 있는 미세하게 생성된 그룹의 K급(say)에 대한 단어 문제의 획일적인 해결책을 보여준다고 생각하기 쉽다. 만약 그렇다면 범용 해결 가능한 단어 문제집단의 비존재가 분로저스에서 쉽게 따라올 것이다.그러나 K의 그룹들에 대한 문제라는 단어에 대해 방금 보여준 해결책은 통일적이지 않다.To see this, consider a group J = ⟨Y T⟩ ∈ K; in order to use the above argument to solve the word problem in J, it is first necessary to exhibit a mapping e: Y → G that extends to an embedding e^*: J → G. If there were a recursive function that mapped (finitely generated) presentations of groups in K to embeddings into G, then a uniform solution of K의 문제라는 단어는 실제로 구성될 수 있다.그러나 일반적으로 그러한 재귀 함수가 존재한다고 가정할 이유는 없다.그러나 보다 정교한 논증을 사용하면 내장 e: J → G를 사용하지 않고도 J의 단어 문제를 해결할 수 있다는 것이 밝혀졌다. 대신 동음이의어의 열거가 사용되며, 그러한 열거는 균일하게 구성될 수 있기 때문에 K의 단어 문제에 대해 통일된 해법으로 귀결된다.

범용 해결 가능한 단어 문제 그룹이 없다는 증거

G가 보편적으로 해결 가능한 단어 문제 그룹이라고 가정하자.그룹 H유한한 발표 P= ⟨X R⟩을 감안할 때, 재귀적으로 h:H→ G첫 h† 모든 매핑을 열거하기에 의해:X모든 이러한 매핑의 homomorphisms까지 뻗어 있어 G. →지만, 이후 h†(R)유한한 것, homomorphisms과 non-homomorphisms 사이에 단어 문제에 대한 해결책을 사용하여 구별하는 것이 가능하다 모든 homomorphisms를 열거할 수 있다. in G. "Weeding out" 비호모형은 필요한 재귀 열거(h₁, h₂, h, ..., h_n, ...)를 제공한다.

만약 H가 해결 가능한 단어 문제를 가지고 있다면, 이러한 동음이의어 중 적어도 하나는 내장형이어야 한다.그래서 H의 발전기에서 w라는 단어를 주어라.

${\displaystyle {\text{if}\w\neq 1\{in}\H,\ h_{n}(w)\neq 1\{in}\\\text{in}\G\{\text{n}}일부 경우$

${\displaystyle {\text{if}\ w=1\ {\text{in}\ H,\ h_{n}(w)=1\{\text{in}\\\g\{\text{{n}\전체 텍스트}\{n}}}$

유사 부드로 설명되는 알고리즘을 고려하십시오.

Let n = 0 let repeatable = TRUE로, (repeatable)은 n을 1씩 증가시킨다(G의 단어 문제에 대한 해결은 hn(w) ≠ 1 in G)로 표시한다(repeatable = FALSE 출력 0으로 표시). 

재귀 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(w)={\begin}0&{\text{if}}\ w\neq 1\{\text{in}\\\\text{undefin/down되지 않음}\&{{\text}\w=1\{in}\case}}}}}}}}}$

함수 f는 분명히 프레젠테이션 P에 달려 있다.두 변수의 함수로 간주하여 G가 수용성 단어 문제를 가질 때마다 다음과 같이 그룹 H에 대한 유한 표시 P와 그룹 G의 생성자에 있는 단어 w를 취하는 재귀 함수 $P$, w${\displaystyle }$) ${\displaysty$ f(P$,w)}$가 구성되었다$$.

${\displaystyle f(P,w)={\begin{case}0&{\text{if}\ w\neq 1\{\text{in}\\\\\text{undefin/down되지 않음}\{{{{{if}\text}\w.in}\case}}}}}}}}}}}}$

그러나 이것은 한결같이 분 로거스와 모순되는, 해결 가능한 단어 문제를 가진 모든 그룹의 세분류에 대한 단어 문제를 해결한다.이 모순은 G가 존재할 수 없음을 증명한다.

대수구조와 단어문제

문제라는 단어의 해결 가능성과 대수학적 구조를 연관짓는 많은 결과가 있다.이 중 가장 중요한 것은 분-하이먼 정리다.

정밀하게 제시된 그룹은 정밀하게 제시된 그룹에 포함될 수 있는 단순한 그룹에 포함될 수 있는 경우에만 해결 가능한 단어 문제가 있다.

단순 그룹 자체가 정교하게 제시되도록 공사를 할 수 있어야 한다는 게 중론이다.그렇다면 프레젠테이션에서 단순 그룹으로 매핑하는 것은 비반복적이어야 하므로 입증하기가 어려울 것이다.

다음은 베른하르트 노이만과 앵거스 마킨타이어에 의해 증명되었다.

정확하게 제시된 그룹은 그것이 대수적으로 닫힌 모든 그룹에 포함될 수 있는 경우에만 해결 가능한 단어 문제가 있다.

여기서 주목할 만한 것은 대수학적으로 폐쇄된 집단이 너무 야성적이어서 그들 중 누구도 재귀적 발표를 하지 않는다는 점이다.

대수학적 구조와 단어 문제의 해결가능성을 연관시킨 가장 오래된 결과는 쿠즈넷소프의 정리다.

재귀적으로 제시된 단순 그룹 S는 해결 가능한 단어 문제가 있다.

이를 증명하기 위해 ⟨X R⟩을 S에 대한 재귀적 프레젠테이션이 되게 한다.S에서 ≠ 1이 되도록 ∈ S를 선택한다.

발전기 X의 S에 w가 단어일 경우, 다음을 허용한다.

${\displaystyle S_{w}=\langle X R\cup \{w\}\angle .}$

f ${\displaystyle {⟨}_{}}$ X ${\displaystyle R_{}}f{\displaystyle {}_{}}${ ${\displaystyle w_{}}$⟩} ${\displaystyle {⟩}_{}}$ ${\$X$R\cup \{w\}\rangele }}}}$의 재귀 함수가 있다.

${\displaystyle f_{\langle X R\cup \{w\}\rangle }(x)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x=1\ {\text{in}}\ S_{w}\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ x\neq 1\ {\text{in}}\ S_{w}.\end{case}}}$

쓰기:

${\displaystyle g(w,x)=f_{\langle X R\cup \{w\}\angle }(x).}$

그렇다면 f의 구성이 균일했기 때문에 이것은 두 변수의 재귀함수다.

그 다음이 된다: $h{\displaystyle }$( ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle h(w)=g(w,a)}$은 재귀적이다.시공별:

${\displaystyle h(w)={\begin}0&{\text{if}}\a=1\{\text{in}\S_{w}\\\\text{nif}\neq 1\{\text{in}\s}\S_{w}.\end{case}}}$

S는 단순한 그룹이기 때문에, 그것의 유일한 지분의 그룹은 그 자체와 사소한 그룹이다.S에서 ≠ 1이기 때문에 S가_w 사소한 경우 및 S에서 w ≠ 1인 경우에만 a = 1을_w 본다.따라서 다음과 같다.

${\displaystyle h(w)={\begin}0&{\text{if}\ w\neq 1\{\text{in}\\\\text{undefin/doesnot stop}}\&{\text{if}\w=1\텍스트{in}\s}\S.\end{case}}}$

그러한 함수의 존재는 S에 대해 문제라는 단어가 해결 가능하다는 것을 입증하기에 충분하다.

이 증거는 이 그룹의 단어 문제를 해결하기 위한 통일된 알고리즘의 존재를 증명하지 못한다.비균일성은 단순 그룹의 비종교적 요소를 선택하는 데 있다.단순한 그룹의 표시를 그룹의 비종교적 요소에 매핑하는 재귀적 기능이 있다고 생각할 이유가 없다.그러나 정밀하게 제시된 집단의 경우 모든 발전기가 사소한 것일 수는 없다는 것을 알고 있다(물론 개별 발전기일 수도 있다).이 사실을 사용하여 다음과 같이 증명서를 수정할 수 있다.

문제라는 단어는 정밀하게 제시된 단순 그룹의 클래스에 대해 균일하게 해결될 수 있다.

참고 항목

• 단어 조합
• SQ-범용군
• 단어 문제(수학)
• 도달성 문제
• 중첩된 스택 자동 데이터(그룹 문제라는 단어를 해결하는 데 사용됨)

메모들

참조

• W. W. 분, F. B. 카나니토, R. C. 린든.단어 문제: 그룹 이론의 의사결정 문제.네덜란드:노스홀랜드.1973.
• Boone, W. W.; Higman, G. (1974). "An algebraic characterization of the solvability of the word problem". J. Austral. Math. Soc. 18: 41–53. doi:10.1017/s1446788700019108.
• Boone, W. W.; Rogers Jr, H. (1966). "On a problem of J. H. C. Whitehead and a problem of Alonzo Church". Math. Scand. 19: 185–192. doi:10.7146/math.scand.a-10808.
• Borisov, V. V. (1969), "Simple examples of groups with unsolvable word problem", Akademiya Nauk SSSR. Matematicheskie Zametki, 6: 521–532, ISSN 0025-567X, MR 0260851
• Collins, Donald J. (1969), "Word and conjugacy problems in groups with only a few defining relations", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 15 (20–22): 305–324, doi:10.1002/malq.19690152001, MR 0263903
• Collins, Donald J. (1972), "On a group embedding theorem of V. V. Borisov", Bulletin of the London Mathematical Society, 4 (2): 145–147, doi:10.1112/blms/4.2.145, ISSN 0024-6093, MR 0314998
• Collins, Donald J. (1986), "A simple presentation of a group with unsolvable word problem", Illinois Journal of Mathematics, 30 (2): 230–234, doi:10.1215/ijm/1256044631, ISSN 0019-2082, MR 0840121
• Collins, Donald J.; Zieschang, H. (1990), Combinatorial group theory and fundamental groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 166, MR 1099152
• Dehn, Max (1911), "Über unendliche diskontinuierliche Gruppen", Mathematische Annalen, 71 (1): 116–144, doi:10.1007/BF01456932, ISSN 0025-5831, MR 1511645, S2CID 123478582
• Dehn, Max (1912), "Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flächen", Mathematische Annalen, 72 (3): 413–421, doi:10.1007/BF01456725, ISSN 0025-5831, MR 1511705, S2CID 122988176
• A. V. 쿠즈넷소프, "대수학계에서의 연산으로서의 알고리즘" 이즈베스티아 아카드. Nauck SSSR Ser Mat(1958)
• C. F. 밀러"그룹에 대한 의사결정 문제 - 조사와 성찰"조합 그룹 이론의 알고리즘과 분류에서, 1-60페이지.1991년 스프링거
• Rotman, Joseph (1994), An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
• Stillwell, J. (1982). "The word problem and the isomorphism problem for groups". Bulletin of the AMS. 6: 33–56. doi:10.1090/s0273-0979-1982-14963-1.
• Nyberg-Brodda, Carl-Fredrik (2021), "The word problem for one-relation monoids: a survey", Semigroup Forum, 103 (2): 297–355, arXiv:2105.02853, doi:10.1007/s00233-021-10216-8