푸앵카레 군의 대표론

이 문서에는 일반 참조 목록이 포함되어 있지만 해당 인라인 인용이 충분하지 않습니다. 좀 더 정확한 인용을 소개하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. (2019년 11월) (본 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

거짓말군과 거짓말대수
고전파 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n)
단순 거짓말 그룹 고전적인 가n 나n 다n 라n 특출난 사2 바4 마6 마7 마8
기타 거짓말 그룹 원형 로렌츠 푸앵카레 등각군 미분동형 고리 유클리드의
거짓말대수 리 군-리 대수 대응 지수지도 연접표 살상형태 색인 단순 리 대수 루프 대수학 아핀 리 대수
반단순 리 대수 Dynkin 다이어그램 대뇌하목 근계 웨일군 실물 복잡화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표상이론 거짓말그룹대표 거짓말 대수 표현 반단순 리 대수의 표현 이론 고전적인 리 군들의 표현 최고중량정리 보렐-바일-보트 정리
물리학의 거짓말군 입자물리학과 표현이론 로렌츠 군 표현 푸앵카레 그룹 표현 갈릴레이 군의 표현
사이언티스트 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카르탕 헤르만 바일 클로드 체발리 하리쉬찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서 푸앵카레 군의 대표 이론은 콤팩트 군도 아니고 반단순 군도 아닌 리 군의 대표 이론의 한 예입니다. 그것은 이론 물리학의 기본입니다.

민코프스키 공간을 기본 시공간으로 하는 물리 이론에서 물리적 상태의 공간은 일반적으로 푸앵카레 군의 표현입니다. (더 일반적으로, 군의 이중 덮개를 표현하는 것에 해당하는 투영 표현일 수 있습니다.)

고전 장 이론에서 물리적 상태는 민코프스키 공간 위의 푸앵카레 등변 벡터 다발의 일부입니다. 등분산 조건은 군이 벡터 다발의 전체 공간에 작용하는 것을 의미하며, 민코프스키 공간에 대한 투영은 등분산 맵입니다. 따라서 푸앵카레 그룹은 섹션의 공간에도 작용합니다. 이러한 방식으로 발생하는 표현(및 그 하위 계수)을 공분산 필드 표현이라고 하며, 일반적으로 단일하지 않습니다.

이러한 단일 표현에 대한 논의는 Wigner의 분류를 참조하십시오.

양자역학에서 계의 상태는 갈릴레이 변환 하에서 불변하는 슈뢰딩거 방정식에 의해 결정됩니다. 양자장 이론은 상대론적(로렌츠/푸앵카레 불변) 파동 방정식이 풀리고, "양자화"되며, 포크 상태로 구성된 힐베르트 공간에 작용하는 양자역학의 상대론적 확장입니다.

로렌츠 부스트(공간 및 시간 축을 따른 민코프스키 공간의 회전)의 비압축 특성으로 인해 전체 로렌츠(따라서 푸앵카레) 변환에 대한 유한한 단일 표현은 없습니다. 그러나 불안정한 입자의 모델링에 사용될 수 있는 푸앵카레 대수의 유한한 비통일적 분해 표현이 있습니다.^[1][2]

스핀 1/2 입자의 경우 각 입자와 4성분 디랙 스피너$$ψ${\$displaystyle \psi}를 연관시켜 유한 차원 표현과 이 표현으로 보존된 스칼라 곱을 모두 포함하는 구성을 찾을 수 있습니다. 이 스피너는 ${\displaystyle {감마}_{}}$ 행렬$($γ μ {\displaystyle $\gamma$_{\mu}})에 의해 생성된 로렌츠 변환 하에서 변환됩니다. 스칼라 곱은

${\displaystyle \lang \psi \phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$

보존됩니다. 그러나 이는 긍정적으로 확실하지 않으므로 표현이 단일하지 않습니다.

참고문헌

• Greiner, W.; Müller, B. (1994). Quantum Mechanics: Symmetries (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3540580805.
• Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
• Harish-Chandra (1947), "Infinite irreducible representations of the Lorentz group", Proc. R. Soc. A, 189 (1018): 372–401, Bibcode:1947RSPSA.189..372H, doi:10.1098/rspa.1947.0047
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, doi:10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666, ISSN 0072-5285
• Wigner, E. P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551, MR 1503456, S2CID 121773411.

메모들

참고 항목

• 위그너 분류
• 로런츠 군의 표현 이론
• 갈릴레이 군의 대표 이론
• 미분동형군의 표현 이론
• 입자물리학과 표현이론
• 양자역학에서의 대칭성