각운동량 연산자

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양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial t}{\psi(t)\rangele ={\hat {H} \psi(t)\rangele }}$ 슈뢰딩거 방정식
소개 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라-켓 표기법 해밀턴어 간섭
기초 상보성 탈착성 얽힘 에너지 레벨 측정 비균등성 양자수 주 중첩 대칭 튜닝링 불확실성 파동함수 무너지다
실험 벨의 부등식 다비슨-제르머 더블 슬릿 엘리추르 바이드만 프랑크-헤르츠 레게트-가그 부등식 마하-젠더 포퍼 양자 지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 스턴-제라흐 휠러의 지연 선택
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 누적 이력(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 개요 베이시안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 국부적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계성 트랜잭션
고급 주제 상대론적 양자역학 양자장 이론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 혼돈 밀도 행렬 산란 이론 양자통계역학 양자기계학습
과학자들 아하로노프 벨 베테 블랙켓 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 다비송 데비예 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크레이머스 파울리 양고기 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 오네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 지만 질링거
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양자역학에서 각운동량 연산자는 고전적인 각운동량과 유사한 여러 관련 연산자 중 하나이다. 각운동량 연산자는 원자 및 분자물리학 이론과 회전 대칭과 관련된 다른 양자 문제에서 중심적인 역할을 한다. 그러한 연산자는 시스템의 물리적 상태에 대한 수학적인 표현에 적용되며, 상태가 그것에 대한 확실한 값을 갖는 경우 각운동량 값을 산출한다. 고전적 및 양자적 기계적 시스템 모두에서 각운동량(선형 운동량 및 에너지와 함께)은 운동의 세 가지 기본적 특성 중 하나이다.^[1]

여러 가지 각도 운동 연산자가 있다: 총 각도 운동량(일반적으로 J로 표시됨), 궤도 각도 운동량(일반적으로 L로 표시됨), 스핀 각도 운동량(짧은 부분의 스핀, 보통 S로 표시됨). 각운동량 연산자는 총각운동량 또는 궤도각운동량을 나타낼 수 있다(혼합). 전체 각운동량은 항상 보존된다. 노에더의 정리를 참조하라.

개요

양자역학에서 각운동량은 세 가지 서로 다르지만 관련된 것 중 하나를 가리킬 수 있다.

궤도각운동량

각운동량의 고전적 정의는 $L{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle r\mathbf{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p\mathbf{}}$ ${\$이다$.$ 이러한 개체의 양자기계적 상대는 동일한 관계를 공유한다.

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

여기서 r은 양자 위치 연산자, p는 양자 모멘텀 연산자, ×는 교차 생산물, L은 궤도 각도 모멘텀 연산자다. L(p와 r과 마찬가지로)은 벡터 연산자(성분이 연산자인 벡터)로, $즉{\displaystyle \mathbf{}}$,${\displaystyle }$L =${\displaystyle }$( ${\displaystyle L_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle L_{}}$y , ${\displaystyle {}_{}{z}_{}}$ ) ${\$$L_{y},$L__y${z}\right)}$ 여기서$$ L_x, L, L은_z 서로 다른 세 가지 양자기계 연산자다.

전하가 없고 스핀이 없는 단일 입자의 특별한 경우, 궤도 각도 운동량 연산자는 다음과 같이 위치 기준으로 기록할 수 있다.

$displaysty \mathbf {L} =-i\hbar(\mathbf {r}\time \nabla )}$

여기서 ∇은 벡터 차동 연산자, 델.

스핀 각도 운동량

There is another type of angular momentum, called spin angular momentum (more often shortened to spin), represented by the spin operator ${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$. Spin is often depicted as a particle literally spinning around an axis, but this is only a metaphor: s핀은 입자의 본질적인 성질로서 우주에서 어떤 종류의 (실험적으로 관측할 수 있는) 운동과도 무관하다. 모든 기초 입자는 특징적인 스핀을 가지고 있는데, 보통 0이 아니다. 예를 들어, 전자는 항상 "spin 1/2"을 가지고 있는 반면 광자는 항상 "spin 1"(아래 세부사항)을 가지고 있다.

총각운동량

마지막으로 총 $각도{\displaystyle \mathbf{}}$ 모멘텀 J${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle J_{}}$ x ,${\displaystyle {}_{}{J}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, J ${\displaystyle z_{}}$ )${\$이 있다.입자나 시스템의 스핀 및 궤도 각도 운동량을 모두 결합한 $J_{y}, J_{z}\right$

$displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$

각운동량의 보존은 닫힌 시스템을 위한 J, 또는 전 우주를 위한 J가 보존된다고 명시한다. 그러나 L과 S는 일반적으로 보존되어 있지 않다. 예를 들어, 스핀-오빗 상호작용은 각운동량이 L과 S 사이에서 앞뒤로 전달되며, 총 J는 일정하게 유지된다.

구요요요요계계계

궤도 각도운동량 연산자는 벡터 연산자로, 벡터 성분 $L{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle x{}_{}}$, ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle y_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$) ${\$으로 표기할 수 있다.$L_{y},L_{z}\오른쪽)}$. 구성 요소는 서로 다음과 같은 정류 관계를 가진다.^[2]

$displaystyle \left[L_{x}},L_{y}\오른쪽]=i\hbar L_{z}\;\;\왼쪽[]L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\;\왼쪽[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y}}}}}$

여기서 [ , ]은 정류자를 의미한다.

$.(\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX).}$

이것은 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle l{}_{}}$, L ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ l ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$

여기서 l, m, n은 성분 지수(x의 경우 1, y의 경우 2, z의 경우 3), ε은_lmn Levi-Civita 기호를 나타낸다.

하나의 벡터 방정식으로 콤팩트한 식도 가능하다.^[3]

$\mathbf {L}{\displaystyle \ {mathbf {L}\time \mathbf \i\hbar \mathbf {L}}}}$

정류 관계는 표준 정류 관계의 직접적인 결과로 증명될 수 있다$[{\displaystyle x_{}}$ l${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$ 여기서 Δ는_lm Kronecker 델타다.

고전 물리학에는 다음과 같은 유사한 관계가 있다.^[4]

$displaystyle \ft\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}}$

여기서 L은_n 고전적인 각운동량 연산자의 성분이며$,{\displaystyle }$ { ,${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{,\}}$는 포아송 브래킷이다.

다른 각운동량 연산자(스핀 및 총각운동량)에도 동일한 감미관계가 적용된다.^[5]

${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}}$.

이것들은 L과 유사하게 유지된다고 가정할 수 있다. 또는 아래에서 설명한 대로 도출할 수 있다.

이러한 감화관계는 L이 Lie 대수학의 수학적 구조를 가지고 있으며, ε은_lmn 그 구조 상수라는 것을 의미한다. 이 경우 Lie 대수학(Lie ${\displaystyle \mathrm{대수학}}$$$${\displaystyle )}$은 물리학 표기법$($수 $display$ ( 2 ) ${\displaystyle \operatorname$ {$su}}$ {su$}}$ ${\displaystyle \mathrm{또는<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{su\}\; (2)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/34d663f832cd73665ee5e3b232418bc17592858e"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:5.181ex;\; height:2.843ex;">}}$ 그 이후${\displaystyle (}$ (${\displaystyle 3}$)$${\$displaysty \operatorname {so}$ (3)이 수학 표기법에서 ${\displaystyle \mathrm{각각}}$ SU(2) 또는 SO(3$)$이다. 3차원의 회전과 관련된 거짓말 대수학. J와 S도 마찬가지다. 그 이유는 아래에 설명되어 있다. 이러한 정류 관계는 아래에서 더 자세히 논의한 바와 같이 측정 및 불확실성과 관련이 있다.

분자에서 총 각도 운동량 F는 로비브로닉(오르비탈) 각도 운동량 N, 전자 스핀 각도 운동량 S, 핵 스핀 각도 운동량 I의 합이다. 전자싱글릿의 경우, 로비브로닉 각운동량은 N이 아닌 J로 표시된다.^[6] Van Vleck가 설명한 바와 같이 분자 고정축에 대한 분자 로비브로닉 각운동량 성분은 공간 고정 축에 관한 성분에 대한 위에서 주어진 구성 요소와 다른 정류 관계를 가진다.

벡터 규모와 관련된 정류 관계

다른 벡터와 마찬가지로, 궤도 각도 운동량 연산자를 위해 치수의 제곱을 정의할 수 있다.

${\$$L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}.$

${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}$도 양자 연산자다. $L{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 구성 요소와 통근한다$.$

$왼쪽] 디스플레이 L^{2},L_{x}\오른쪽]=\왼쪽[]L^{2},L_{y}\오른쪽]=\왼쪽[왼쪽]L^{2},L_{z}\right]=0.}$

이러한 운영자가 통근한다는 것을 증명하는 한 가지 방법은 이전 절의 [L_ℓ, L_m] 정류 관계에서 시작하는 것이다.

수학적으로 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}$은 $L{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 걸쳐 있는 Lie 대수 SO(3)의 Casimir 불변성 물질이다$.$

위와 같이 고전물리학에는 다음과 같은 유사한 관계가 있다.

$displaystyle \put\{L^}}L^{2},L_{x}\right\}=\left\{{{{}L^{2},L_{y}\right\}=\left\{{{{}L^{2},L_{z}\right\}=0}$

여기서 L ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 고전적인 각운동량 연산자의 구성요소이며$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle ,\}}$ ${\displaystyle \{,\}}$는 포아송 브래킷이다.^[8]

, 연산자, )에게도 같은

$S_[{\displaystyle {\\begin}\put[\\begin}\propers[]]J^{2},J_{i}\right]&=0.end{nd}}$

불실성성성리리리리

일반적으로 양자역학에서는 관측 가능한 두 연산자가 통근하지 않을 때 이를 보완 관측용이라고 한다. 두 개의 상호 보완적인 관찰은 동시에 측정할 수 없다. 대신에 그들은 불확실성 원칙을 충족한다. 관찰할 수 있는 한 가지가 더 정확하게 알려질수록 다른 한 개는 덜 정확하게 알 수 있다. 위치 및 운동량과 관련된 불확실성 원리가 있듯이 각도 운동량에 대한 불확실성 원리가 있다.

로버트슨-슈뢰딩거 관계는 다음과 같은 불확실성 원칙을 제공한다.

$}}{\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac{\hbar }}}}}\langle L_{z}\angle \ \쪽쪽.}$

여기서 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$는 X의 측정값의 표준 편차이며, $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle$ X$\rangele}$은 X의 기대값을 나타낸다$$. x, y, z를 재배열하거나 L을 J나 S로 대체하는 경우에도 이 불평등은 사실이다.

따라서 각운동량의 직교성분(예_y: L_x, L) 2개는 $상호{\displaystyle {}_{}}$ 보완적이며 L ${\displaystyle x_{}}$= L ${\displaystyle y_{}{}_{}}$= L ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L_{x}=$와 같은 특수한 경우를 제외하고는 동시에 알거나 측정할 수 없다.$L_{y}=L_{z}=0}$.

그러나 L과² L의 어떤 성분의 L을 동시에 측정하거나 지정할 수 있다(예²: L과 L_z). 이것은 종종 유용하며, 값은 방위 양자수(l)와 자기 양자수(m)로 특징지어진다. 이 경우 시스템의 양자 상태는 연산자 L과² L의_z 동시 고유 상태지만 L이나_x L의_y 상태는 아니다. 고유값은 아래 표와 같이 l 및 m과 관련이 있다.

양자역학에서 각운동량은 정량화된다. 즉, 각운동량은 연속적으로 변화할 수 없지만, 특정 허용치 사이의 "양수 도약"에서만 변화한다. 모든 시스템에 대해 측정 결과에 다음과 같은 제한이 적용되며 여기서 $where{\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar }$은(는) Plank 상수를 감소시킨다.^[9]

치수를 재면...	결과는...	메모들
$Ldisplaystyle L^{2}}$	${\displaystyle {\hslash }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \ell }$( (${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle \hbar ^{2}\ell (\ell +1$ 여기서 $\ell {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots }$	${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell}$은(는) 방위 양자수 또는 궤도 양자수라고도 한다.
$displaystyle L_{z}}}$	${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\}\}\},$ 여기서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$= -${\displaystyle \ell ,}$( -${\displaystyle \mathrm{\ell }}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, (${\displaystyle \ell }$- ${\displaystyle 1}$) ,$$ {\$displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\$ldots $,(\ell -1),\ell }$	${\displaystyle m_{}}$ ${\$은(는) 자기 양자수라고도 한다$$. 이 동일한 정량화 규칙은 $L{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 예: $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle o{}_{}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L_{}}$ y ${\$의 모든 구성 요소에 대해 유지된다$.$ 이 규칙을 공간 정량화라고도 한다.[10]
$Sdisplaystyle S^{2}}$	${\displaystyle {\hslash }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}(s}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \hbar ^{2}s(s+1$ 여기서 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$… ${\displaystyle s=0,{\\tfrac${1$}{1}:{2}},{\tfrac {3}{2}},\ldots }}$	s는 스핀 양자수 또는 그냥 스핀이라고 불린다. 예를 들어, 스핀-파우더 입자는 s = ½인 입자다.
$displaystyle S_{z}}}}$	${\displaystyle {\hslash m}_{}}$ s ${\$ 여기서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle s,}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{s}}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle ...}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m_{s}=-s$, $(-s+1)\ldots ,(s-1),s}$	${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$은(는) 스핀 투영 양자 번호라고도 한다$$. 이 동일한 정량화 규칙은 $S{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 예: S ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle o{}_{}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle y{}_{}}$ ${\$의 모든 구성요소에 대해 유지된다$.$
$Jdisplaystyle J^{2}}$	${\displaystyle {\hslash }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}(j}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \hbar ^{2}j(j+1$ 여기서 $j{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \frac{3}{}}$ 2${\displaystyle }$… ${\displaystyle j=0,{\\tfrac${1$}{2}},{\tfrac {3}{2}},\ldots }}$	j는 때때로 총각운동량 양자수라고 불린다.
$displaystyle J_{z}}}$	${\displaystyle {\hslash m}_{}}$ j ${\$ 여기서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$=${\displaystyle }$- j${\displaystyle }$,${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle j}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$,${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m_{j}=-j,(-j+1)\ldots ,(j-1),j}$	${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을(를) 총 각도 모멘텀 투영 양자수라고도 한다$$. 이 동일한 정량화 규칙은 $J{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 예: $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle o{}_{}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle J{}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$의 모든 구성 요소에 대해 유지된다$.$

사다리 연산자를 이용한 유도

위의 정량화 규칙을 도출하는 일반적인 방법은 사다리 조작자의 방법이다.^[11] 총 각도 운동량 $J{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle (J_{}}$ ${\displaystyle x{}_{}}$, ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle y_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ z )${\$에 대한 래더 연산자.$J_{y},J_{z}\right)}$은(는) 다음과 같이 정의된다.

$displaystyle {\displaystyle}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \psi }$${\$ $\psi \rangele}$이($$가) $J{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$2$}}$ 및 $J$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$$z}}$의 ${\displaystyle {동시}_{}}$ 고유 상태라고 $가정$합시다. Then using the commutation relations for the components of ${\displaystyle \mathbf {J} }$, one can prove that each of the states ${\displaystyle J_{+} \psi \rangle }$ and ${\displaystyle J_{-} \psi \rangle }$ is either zero or a simultaneous eigenstate of ${\displaystyle J^{2}}$ a${\displaystyle {ND}_{}}$ z ${\$ $J{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}:$$${\displaystyle for}$ ${{\$displaystyle J^{2}}:$$ℏ ${\$$displaystyle$$$\$hbar$$}}$의 값과 동일하지만$$, $각각$$$ $\hslash {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $J_{$$z$}. 사다리 연산자를 사용하면 허용 범위를 벗어나는$$ $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$에 대한 값이 있는 상태가 되는 경우 결과는 0이다. 이러한 방식으로 래더 연산자를 사용하면 J ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ J$^{2$}}$$및$$ $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$에 대한 가능한 값과 양자수를 찾을 수 있다$$.

$J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {J\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 가능한 값과 양자수 도출$.$[12] 오른쪽에서 [show] 클릭

$let{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle {{J\mathrm{}}^{}}^{}}$ 2${\displaystyle {{}^{}}^{}}$′ ${\displaystyle J{}_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle \psi({J^{2}})'$${\displaystyle {J\_}_{}}$${z}')}$은(는) $고유값{\displaystyle {}^{}}$ $J{\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\$ J$^{2$}}의$$ 경우 고유값 J ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle$ ${$$J$$^{2$$}}'}$을(를$)$ 갖는 $시스템$의 상태 함수다$.$[note 1] From $J{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ y ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$개$$ 획득, ${\$$J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2$ 위 방정식의 양쪽을 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle ({{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle J_{}^{}}$ z $){\displaystyle \psi ({J^{2}}')$에 적용$J_{z$ ${\displaystyle (J_{x}^{2}+)$$J_{y}^{2}\;\psi({J^{2}}')$$J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2}\;\psi({J^{2}}')$$J_{z}')}$ $$. Since ${\displaystyle J_{x}}$ and ${\displaystyle J_{y}}$ are real observables, ${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$ is not negative and ${\textstyle J_{z}' \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$. Thus ${\displaystyle J_{z}'}$ has an u장단점점 $J{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 구성요소에 대한 두 개의 정류 관계는 다음과$$ 같다. ${\displaystyle [{}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$, ${\displaystyle J_{}}$ z ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\hslash }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$[${\displaystyle J_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$, J ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle J_{}}$ y ${\$z}},$J_{x}]=i\hbar J_{y$ 이 두 방정식을 조합하여 얻을 수 있으며, 다음에서${\displaystyle }$± ${\displaystyle \pm }$ 기호를$$ 사용하여 함께 기록된다. ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$( J ${\displaystyle x_{}}$± i ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( J ${\displaystyle x_{}}$± ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle J_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (J_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$± ${\displaystyle \hslash }$) ${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{z}\pm \hbar$ )},$$}, \hbar$$}, 여기서 방정식 중 하나는${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$ 기호를$$ 사용하고 다른 하나는${\displaystyle }$- ${\displaystyle$ -$}$ 기호를$$ 사용한다. 위의 양면을 $\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle J_{}^{}}$ z $){\displaystyle \psi ({J^{2}}')$에 적용$J_{z$ ${\displaystyle {\reasoned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y}\;\psi({J^{2}})'J_{z}]&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi({J^{2}})'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y}\;\psi({J^{2}}')J_{z}')\;\\end{aigned}}$ 위 내용은${\displaystyle }$(${\displaystyle J_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$± i ${\displaystyle J_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle ({{J\mathrm{}}^{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle J_{}^{}}$ ${\displaystyle z{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y}}\;\psi({J^{{J_${2$}}')$를 나타낸다.$J_{z}')}$은 기능 중 하나가 0인 ${\displaystyle {{경우}_{}}^{}}$를 제외하고 각각의 $고유값$을 갖는 J$$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$$displaystyle J_$$}{\displaystyle {J_{z}'\pm \hbar }}}$의 두 가지 고유 기능이다$$.$$ 0이 아닌 함수의 경우, $){\displaystyle \psi ({J^{2}}')$$J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y}\;\psi({J^{2}})'$$J_{z}')}$ $$. Further eigenfunctions of ${\displaystyle J_{z}}$ and corresponding eigenvalues can be found by repeatedly applying ${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$ as long as the magnitude of the resulting eigenvalue is ${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$. Since the eigenvalues of ${\displaystyle J_z}$${\displaystyle J_$${$$z}}{$$0$}}을(를$$) 경계로 하고 $J{\displaystyle {}_{}^{}}$ z ${\displaystyle 0_{}^{}}$ {\$displaystyle J_{$z}^{0$}}$을(를) 가장 낮은 고유값으로$$ 하고 $J{\displaystyle {}_{}^{}}$ z ${\$}^{1}을 가장$$ 높게 한다$.$ 그러면 ${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y}}\;\psi({J^{2}})'$$J_{z}^{0}=0$$}$ 및 ${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y}}\;\psi({J^{2}})'$$J_{z}^{1}=0}$ $$, 이후에는 Jz{\displaystyle J_{z}의 고유치}&lt이 없다 주;Jz0{\displaystyle<>입니다.J_{z}^{0}}또는>Jz1{\displaystyle.J_{z}^{1}}. 첫번째 방정식,(J)− 나는 Jy){\displaystyle(J_{x}-iJ_{y})에(Jx+iJy){\displaystyle(J_{x}+iJ_{y})}을 적용하여.$}$을(를) 두 번째에, $그리고{\displaystyle {}_{}^{}}$ J ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle y_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$를 사용하는 경우$J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2$ ${\displaystyle {J^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$- ${\displaystyle ({\mathrm{}}_{}^{}}$ z 0${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ J ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$$}$ 및 ${\displaystyle {J^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$-${\displaystyle }$(${\displaystyle {J\mathrm{}}^{}}$ z ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$) 2 -${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ J z ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0}$ $$. 첫 번째 방정식을 두 번째 방정식에서 빼서 재배치하고, ${\displaystyle (J_{}^{}}$ z ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle ({}_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$- ${\displaystyle \hslash }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle (J_{z}^{1}+J_{z}^{0}^{0}-J_{z}^{$1}-J_{1}^{$1}-{1$}-\hbar $)=0}$ $$. $J{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}^{1$}\geq J_{z}^{0}}}}}$이(가)므로 두 번째 인자는 음수가 된다$.$ 그런 다음 첫 번째 인자는 0이어야 하므로 J ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$1}.$ The difference ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$ comes from successive application of ${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}}$ or ${\displaystyle J_{x}+iJ_{y}}$ which lower or raise the eigenvalue of ${\displaystyle J_{z}}$ by ${\displaystyle \hbar }$$$ 그래서, ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar,2\hbar,\dots }$ 내버려두다 ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar }$, where ${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.$$}$ 그런 다음 $J{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$- J ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1} 등을$$ 사용하여 다음을 수행하십시오. ${\displaystyle J_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$ 및$$ J ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar },$ $그리고{\displaystyle {}_{}}$ J ${\displaystyle z_{}}$ ${\$의 허용 가능한 고유값은 다음과$$ 같다. ${\displaystyle J_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \hslash ,}$- ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \hslash }$+ ${\displaystyle \hslash ,}$- ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \hslash }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \hslash ,\dots ,}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle J_{z}=-j\hbar,-j\hbar,-j\hbar$ +\j$\j\hbar,\j\j\hbar$$}.$ Expressing ${\displaystyle J_{z}'}$ in terms of a quantum number ${\displaystyle m_{j}\;}$, and substituting ${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$ into ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$ from above, $}{\displaystyle J_{z}'=m_{j}\hbar \qquad }}}}}}}}}}$ $displaystyle m_{j}=-j,-j+1,-j+2,\display,j}$ $}}{{\displaystyle {{J^{2}}'=j(j+1)\hbar^{2}\qquad j=0,{\tfrac {1}{1}2}},{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$

Since ${\displaystyle \mathbf {S} }$ and ${\displaystyle \mathbf {L} }$ have the same commutation relations as ${\displaystyle \mathbf {J} }$, the same ladder analysis can be applied to them, except that for ${\displaystyle \mathbf {L} }$ there is a further restriction on the quantum numbers that they must be 정수

$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ 및$$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}$에 대한 정수 양자 숫자에 대한 제한의 기존 파생$.$[13] 오른쪽에서 [show] 클릭

슈뢰더 표현에서 궤도 각운동량 연산자의 z 성분은 다음과 같이 구형 좌표로 표현할 수 있다.[14] ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{}}{}}${ {\$displaystyle L_{z}=-i\hbar$ {\$frac${\$partial }{\partial \phi }}}}.$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$${z}$ 및$$ 고유값 L ${\displaystyle z_{}^{}}$가 ${\$ $\$$psi$ $}$인 경우$$$,$$$ , ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ =${\displaystyle }$= = ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle -i\hbar$ {\$frac${\$partial }{\partial$ \$phi }}}{\$partial $\psi \l_{z}'\$psi $}.$ ▼ ${\displaystyle \psi }$에 대한 해결 중$.$ ${\displaystyle \psi }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {z_{}^{}\varphi }^{}}$ /${\displaystyle {\hslash }^{}}$ ${\$ $\}\}\},$ $여기$서 ${\displaystyle A}$은(는) $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$과(와) 독립적이며$,$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \pi$$}$을(를) $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}에$$ 추가하면$$ 공간의$$ 동일한 지점에 대한 좌표가 생성되므로, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {z_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ (${\displaystyle {\varphi }^{}}$+ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {\hslash }^{}}$= ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {z_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}\varphi }^{}}$ / ${\displaystyle {\hslash }^{}}$ ${\$^{iL_${z}\phi$ /$hbar }}},$ $,,$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {z_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ /${\displaystyle {\hslash }^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }=1}.$ 고유값 $L{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 대한 해결 중,$$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= m ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle {}_{},}$ ${\$ 여기서$$ $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$은 정수다$$.[15] 위와 관계 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$= -${\displaystyle \ell }$,${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle \ell }$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$, , , ,${\displaystyle \ell }$ $displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1)\ldots ,(\ell -1)\ell$\el \ \ $\backslash \}$로부터, $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \ell$ \ell $\}$도 정수라는$$ 것을 따른다. $이$는 궤도 각도 $모멘텀{\displaystyle \mathbf{}}$ L$${\$displaystyle$ \$m_{\ell}}$과($와{\displaystyle }$) ${\$$displaystyle \mathbf {L}}$에 대한 양자 $번호{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$${\$$displaystyle$ $\displaystyle$$\mathbf {J}$ 및$$ $SPIN$ {\displaysty}에 대한 양자 번호와 달리 정수로 제한됨을$$ 보여준다.$\mathbf {S}$.$$반정수 값을 가질 수 있다.[16] 단일 값 파형 함수를 가정하지 않는 대체 파생이 뒤따르며, Lie 그룹을 사용하는 다른 인수는 아래와 같다.

$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ L$^{2}}$ 오른쪽에서 [show] 클릭$$

위의 전통적인 파생의 핵심 부분은 파동 함수가 단일 값이어야 한다는 것이다. 이것은 이제 많은 사람들이 완전히 정확하지 않다고 인식한다: 파동 함수 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$은(는) 관측할 수 없으며$$ 확률 밀도 $\psi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\backslash }^{}}$ ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$만 단일 값으로 하면 된다$$. 가능한 이중 값 반정수파 함수는 단일 값 확률 밀도를 가진다. [17] 이것은 1939년 파울리에 의해 인식되었다(Japaridze et al ) 는 반드시 ... 일부 물리적 상태를 설명하는 파동 함수는 반드시 단일 가치 함수가 되어야 한다고 주장하는 선례가 없다. 파형 함수의 제곱으로 표현되는 물리적 양이 단일 값을 갖기 위해서는 닫힌 윤곽선을 이동한 후 이러한 함수가 인자 exp(iα)를 얻는 것이 상당히 충분하다. Double-valued wave functions have been found, such as ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\rangle =e^{i\phi /2}sin^{\frac {1}{2}}\theta }$ and ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\r$$각도 =e^{-i\phi /2}sin^{\frac {1}{1$}:{2$}}\theta$ $\}\}.$ 이러한[20] 것들은 사다리 연산자 아래에서 잘 동작하지 않지만 경직된 양자 입자를 설명하는 데 유용한 것으로 밝혀졌다. 발렌타인은 오직 운용자 형식주의에 근거하고 단일값으로 파형 함수에 의존하지 않는 주장을 한다. 방위각 각운동량은 다음과 같이 정의된다. ${\displaystyle L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}}}}$ 새 연산자 정의 ${\displaystyle {\begin}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\surd 2}}\\q_{2}&={\frac {Q_{x}-P_{y}}{\surd 2}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\surd 2}}\\p_{2}&={\frac {P_{x}+Q_{y}}{\surd 2}}\end{aligned}}}$ (수치로 1과 동일한 질량 및 단위 각도 주파수의 인자를 삽입하여 치수 정확도를 유지할 수 있다.) 그러면 ${\displaystyle L_{z}={\frac {1}{1}^{2}}(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}-{\frac {1}2}}(p_{2}^{2}^{2}){2}}}$ 그러나 오른쪽의 두 항은 단위 질량과 각진수를 가진 양자 고조파 오실레이터에 대한 해밀턴계일 뿐이다. ${\displaystyle {\reasoned}H_{1}&={\frac {1}{1}:{2}}(p_{1}^{2}+q_{1}^{2})\\H_{2}&={\frac {1}{1}{1}:{2}}(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}}}\ended{aigned}}}}}}}$ 그리고$$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle H_{1$}, $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaysty H_{2}}:$ 모두$$ 통근한다. 통근 에르미트 항공 사업자의 경우 네 사업자의 고유 벡터인 기본 벡터 전체를 선택할 수 있다. (글로리오소의 주장은 출퇴근 사업자의 수에 관계없이 쉽게 일반화할 수 있다.) 이러한 고유 벡터 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi$}의$$ 경우 ${\displaystyle {\reasoned}L^{2}\psi &=\hbar \ell(\ell +1)\psi \\\\l_{z}\psi &=\hbar m\psi \\\\\\\\\cbar m.H_{1}\psi &=\hbar(n_{1}+{\frac {1}{2}})\psi \\\\H_{2}\psi &=\hbar(n_{2}+{\frac {1}{2}})\psi \end{arged}}}$ 일부 정수 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{n\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ ${\displaystyle {\regated}m&=(n_{1}+{\frac {1}{1}:{1}2}}:--(n_{2}+{\frac {1}:{1}2}}:)\&=n_{1}-n_{2}\ended}}}}}}}$ $두{\displaystyle }$ 정수의 차이로 m ${\displaystyle$ m$}$은(는) 정수여야 하며$$, 여기서부터 $from{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$도 정수여야$$ 한다. 양자 조화 발진기의 사다리 연산자를 이용한 이 주장의 보다 복잡한 버전은 Buchdahl에 의해 제시되었다. [24]

시각적 해석

각 모멘텀은 양자 연산자이기 때문에 고전역학처럼 벡터로 그릴 수 없다. 그럼에도 불구하고 이런 식으로 휴리스틱하게 묘사하는 것이 일반적이다. 오른쪽에는 5개의 원뿔에 대해$$ 양자수 ${\displaystyle \mathrm{\ell }}$= 2 ${\displaystyle \ell =2$ $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0,}$ 1, ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,1,2}$이(가) 있는 상태 집합이 그려져 있다. ${\displaystyle L}$= ${\displaystyle L\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$= ${\displaystyle \hslash \sqrt{\mathrm{}}}$ 6 ${\$L$={\sqrt{2}}:}=\hbar {\sqrt{6$ 벡터는 모두 길이 $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle 6\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\${\$sqrt{6}}}$로 표시된다$.$ 고리는 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$이(가) 확실하게 알려져$$ 있지만 ${\displaystyle L_{}}$ x ${\$과 L ${\displaystyle y_{}}$ ${\$는 알 수 없으므로$$ 적절한 길이와 z 성분을 가진 모든 고전 벡터가 그려져 원뿔을 형성한다. $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell$} $및$ ${\displaystyle m_{}}$ {$${\$displaystyle m_{\ell$}}로 특징지어지는 양자 상태의 시스템 앙상블에 대한 각운동량의 예상 값은 단일 시스템에 대해 정의할 수 없는 동안 이 원뿔의 어딘가에 있을$$ 수 있다($L{\displaystyle }${\$displaystyle$L}의 구성 요소가$$ 각 oor).그들의

거시 수시 수시 수시 수시 수시 수시 수시 수수수

정량화 규칙은 회전하는 타이어의 각운동량 L과 같이 거시적인 시스템에서도 참이라고 널리 생각되고 있다. 그러나 그들은 관찰할 수 있는 효과가 없기 때문에 이것은 시험되지 않았다. 예를 들어 ${\displaystyle L_{}}$ z /${\displaystyle {}_{}\hslash }$ ${\displaystyle L_{z}/\hbar }}$이(가) 대략$$ 10000000000인 경우, 정밀한 값이 100000000과 같은 정수인지, 1000000과 같은 정수인지, 아니면 100000000과 같은 비정수인지는 본질적으로 아무런 차이가 없다.2—이별 단계가 현재 너무 작아서 측정할 수 없다.

회전 생성기로서의 각도 운동량

각운동량의 가장 일반적이고 근본적인 정의는 회전의 발생원이다.^[5] More specifically, let ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ be a rotation operator, which rotates any quantum state about axis ${\displaystyle {\hat {n}}}$ by angle ${\displaystyle \phi }$. As ${\displaystyle \phi \rightarrow 0}$, the operator ${\displaystyle R$$({\hat{n},\phi )})$는 0° 회전하면 모든 상태가 자신에게 매핑되기 때문에 ID 연산자에게 접근한다$$. 그런 다음 축 $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$${n}}$에 대한 각도 모멘텀 연산자 ${\displaystyle {Jn\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\$}을(를) 다음과 같이 정의한다$$.^[5]

${\displaystyle J_{\hat{n}\equiv i\hbar \lim_{\phi \rightrow 0}{\frac {R\ref}({\hat{n},\phi \ \른쪽쪽)-1}{\phi }=\pi.)}{\\pi }}{\ \pi =0}}\phbar pi =$

여기서 1은 ID 연산자다. 또한 R이 가법적 형태론($R{\displaystyle )(n\stackrel{}{}}$^,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {\varphi \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$(${\displaystyle n\stackrel{}{}^,}$ ${\displaystyle {\varphi \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$) R${\displaystyle }$(${\displaystyle n\stackrel{}{}}$^,${\displaystyle {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\$}+\$phi _{2$}\rig$)=$라는 것도 $주목$한다.$R\왼쪽({\hat{n},\phi _{1}\오른쪽)$$R\left({\hat{n},\phi _{$2}\$오른쪽)$ ;$$ 결과적으로^[5]

${\displaystyle R\left({\hat {n},\phi \right)=\exp \left(-{\fract {i\phi J_{n}}}{\hbar }}}}오른쪽)}$

여기서 exp는 행렬 지수다.

간단히 말해서, 총각운동량 연산자는 양자 시스템이 회전할 때 어떻게 변화되는지를 특징짓는다. 각운동량 연산자와 회전운동 연산자의 관계는 아래에서 더 자세히 논의한 바와 같이 수학에서 리 알헤브라와 리 그룹의 관계와 동일하다.

J가 회전 연산자의 발전기인 것처럼, L과 S는 변형된 부분 회전 연산자의 발전기이다. 오퍼레이터

${\displaystyle R_{\text{spatial}}\왼쪽({\hat{n},\phi \right)=\exp \left(-{\fract {i\phi L_{\n}}{\hbar }}}\right),}}$

입자의 내부(입자) 상태를 회전하지 않고 모든 입자와 장의 위치(공간 내)를 회전한다. 마찬가지로, 연산자

${\displaystyle R_{\text}}\좌({\hat{n},\phi \오른쪽)=\exp \좌(-{\frac {i\phi S_{\n}}{\hbar }}}오른쪽),}$

우주에서 입자나 장을 움직이지 않고 모든 입자의 내부(입자) 상태를 회전시킨다. J = L + S 관계:

${\displaystyle R\왼쪽({\hat {n},\phi \오른쪽)=R_{\text{internal}}\왼쪽({\hat {n},\phi \오른쪽)R_{\text{spatial}\왼쪽({\hat{n},\phi \오른쪽)}$

즉, 위치가 회전한 다음 내부 상태가 회전한 다음 전체 시스템이 회전된 경우.

SU(2), SO(3) 및 360° 회전

${\displaystyle \mathrm{R}(n\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$, ${\displaystyle {360}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle R\left({\hat {{n},360^{\circle }\right)=1}$을 $$예상할 수 있지만, 이는 양자역학에서는 가정되지 않으며, 종종 사실이 아닌 것으로 판명된다. When the total angular momentum quantum number is a half-integer (1/2, 3/2, etc.), ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$, and when it is an integer, ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$.^[5] 수학적으로 우주의 회전구조는 고전역학에서 3차원 회전군인 SO(3)가 아니다. 대신 작은 회전에 대해서는 SO(3)와 동일하지만, 360° 회전이 수학적으로 0° 회전과 구별되는 SU(2)이다. (단, 720°의 회전은 0°의 회전과 같다.)^[5]

On the other hand, ${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$ in all circumstances, because a 360° rotation of a spatial configuration is the same as no rotation at all. (This is different from a 360° rotation of the internal (spin) state of the particle, which 회전하지 않는 것과 같을 수도 있고 아닐 수도 있다.) 즉, $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 연산자는$$ SO(3)의 구조를, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$과 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{내부}}_{}}$ ${\$는 SU(2)의 구조를 가지고$$ 있다.

From the equation ${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$, one picks an eigenstate ${\displaystyle L_{z} \psi \rangle =m\hbar \psi \rangle }$ and 그리다

${\displaystyle e^{-2\pi im}=1}$

즉 궤도 각운동량 양자수는 반정수가 아닌 정수일 수 있다는 것이다.,

표현 이론과의 연결

Starting with a certain quantum state ${\displaystyle \psi _{0}\rangle }$, consider the set of states ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left \psi _{0}\right\rangle }$ for all possible ${\displaystyle {\hat {n}}}$ and ${\displaystyle \phi }$, i.e. t그는 가능한 모든 방법으로 출발 상태를 회전하면서 생겨나는 일련의 주들 이 세트의 선형 스팬은 벡터 공간이며, 따라서 회전 연산자가 한 상태를 다른 상태로 매핑하는 방식은 회전 연산자 그룹을 나타내는 것이다.

회전 연산자가 양자 상태에 대해 행동할 때, 그것은 Lie 그룹 SU(2)(R과_internal R의 경우) 또는 SO(3)(R의_spatial 경우)의 표현을 형성한다.

J와 회전 연산자의 관계에서,

각운동량 연산자가 양자 상태에 대해 작용하는 경우, Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ s${\displaystyle \mathfrak{u}}$ ( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle$ {$su}(2)}$ 또는$$ s${\displaystyle \mathfrak{o}}$ ( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle${\$mathfrak$ {$so}(3$의 표현을 형성한다.

(SU(2)와 SO(3)의 리알헤브라는 동아일이다.)

위의 래더 연산자 파생은 리 대수 SU(2)의 표현을 분류하는 방법이다.

통계신신결결결

고전적인 회전은 서로 통근하지 않는다. 예를 들어 x축에 대해 1° 회전하고 y축에 대해 1° 회전한 후 x축에 대해 1° 회전하는 것과 약간 다른 전체 회전을 한다. 이 비확산성을 주의 깊게 분석함으로써 각운동량 연산자의 정류 관계를 도출할 수 있다.^[5]

(이 같은 계산 절차는 수학 문제 "거짓말군 SO(3) 또는 SU(2)의 거짓말 대수란 무엇인가?"에 답하는 한 가지 방법이다.)

해밀턴 H는 시스템의 에너지와 역학을 나타낸다. 치대칭 상황에서 해밀턴인은 회전하에서도 불변한다.

${\displaystyle RHR^{-1}=H}$

여기서 R은 회전 연산자다. 그 결과 J와 R의 관계로 인해$$${\displaystyle }$[${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ]}$= 0 ${\디스플레이스타일 [H,R]=0$ [${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle J\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$ 에렌페스트 정리로는 J가 보존되어 있는 것을 따른다.

요약하자면, H가 회전적으로 변화하지 않는 경우(공간적으로 대칭) 총 각도 모멘텀 J는 보존된다. 이것은 노에더의 정리를 보여주는 예다.

H가 하나의 입자에 대한 해밀턴식일 경우, 입자가 중심 전위에 있을 때(즉, 잠재적 에너지 기능이 ${\displaystyle r\mathbf{}}$ $displaystyle \left \mathbf {r} \right }$에만 의존할 때) 해당 입자의 총 각도 운동량이 보존된다.$$ 대안으로 H는 우주의 모든 입자와 들판의 해밀턴인이 될 수도 있고, 그 다음 H는 우주의 물리학의 기본 법칙이 방향과 관계없이 같기 때문에 항상 회전적으로 변한다. 이는 각운동량의 보존이 물리학의 일반적인 원리라고 말하는 근거다.

스핀이 없는 입자의 경우 J = L이므로 궤도 각도 운동량은 동일한 환경에서 보존된다. 스핀이 0이 아닐 때 스핀-오빗 상호작용은 각운동량이 L에서 S로 또는 뒤로 전달되도록 한다. 그러므로 L은 그 자체로 보존되어 있지 않다.

각운동량 커플링

종종 두 종류 이상의 각운동량이 서로 상호작용하여 각운동량이 한 종류에서 다른 종류로 전달될 수 있다. 예를 들어 스핀-오빗 커플링에서 각운동량은 L과 S 사이에서 전달될 수 있지만 총 J = L + S만 보존된다. 또 다른 예에서, 두 개의 전자가 있는 원자에서는 각각 고유한 각운동량 J와₁ J를₂ 가지지만, 총 J = J₁ + J만₂ 보존된다.

In these situations, it is often useful to know the relationship between, on the one hand, states where ${\displaystyle \left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}}$ all have definite values, and on the other h그리고${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$J ${\displaystyle 2_{}{}^{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ ${\$이(가) 일반적으로 보존되기 때문에 모두 확실한 값을 갖는 상태. 이 염기들 사이를 왔다 갔다 하는 절차는 Clebsch-Gordan 계수를 사용하는 것이다.

이 필드의 한 가지 중요한 결과는 $({\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}{}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$1}\$right)^{2},\left(J_{2$}\right$)^{2},J^{2$}}$$$:$

$}$$}$$}}\오른쪽)\오른쪽$

J = L + S를 가진 원자나 분자의 경우, 기호라는 용어는 ${\displaystyle {연산자\mathrm{}}^{}}$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$S 2,${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2},S^{2},J^{2$

구형 좌표에서의 궤도 각도 운동량

각운동량 연산자는 구형 좌표에서 구형 대칭 문제를 해결할 때 주로 발생한다. 공간^[25][26] 표현에서 각운동량은

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&, =i\hbar \left({\hat{\mathbf{x}}}\left(\sin(\phi){\frac{\partial}{\theta\partial}}+\cot(\theta)\cos(\phi){\frac{\partial}{\phi\partial}}\right)+{\hat{\mathbf{y}}}\left(-\cos(\phi){\frac{\partial}{\theta\partial}}+\cot(\theta)\sin(\phi){\frac{\partial}{\phi\partial}}\right)-{\hat{\mathbf{z}}}{\frac{\partial}{\pa.rtial \phi }}\\L_{+}&, =\hbar e^ᆬ\left({\frac{}\partial{\partial \theta}}+i\cot(\theta){\frac{\partial}{\phi\partial}}\right),\\L_{-}&, =\hbar e^ᆰ\left(-{\frac{}\partial{\theta}}+i\cot(\theta\partial){\frac{\partial}{\phi\partial}}\right),\\L^{2}&, =-\hbar ^ᆴ\left({\frac{1}{(\theta\sin)}}{\frac{\partial}{\partial \theta.}}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{정렬}}}$

구형 좌표에서 라플라스 연산자의 각도 부분은 각도 운동량으로 표현할 수 있다. 이것이 인연으로 이어진다.

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}:{\frac {\partial r}}{\partial r}}{{\partial r}}}\{\partial r}\right)-{\l^{{{2}r^{}r^{2}}.}$

연산자 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}$의 고유상태를 찾기 위해 풀었을 때, 우리는 다음과 같은 것을 얻는다$.$

${\displaystyle {\reasoned}L^{2} l,m\rangele &=\hbar ^{2}l(l+1) l,m\rangele \\L_{z} l,m\rangele &=\hbarm l,m\rangele \end}}}}$

어디에

$\displaystyle \left\langle \theta ,\phi l,m\right\angle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )}$

구면 고조파다.^[27]

참고 항목

메모들

참조

추가 읽기

• Quantum Mechanics demystified, D. 맥마흔, 맥 그라우 힐 (미국), 2006, ISBN 0-07-145546 9
• Quantum mechanics, E. 자루르, Y. Pelleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, McGraw Hill(미국), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6
• 원자, 분자, 고체, 핵 및 입자의 양자물리학(2판), R. 아이즈버그, R. 레스닉, 존 와일리 & 선스, 1985년 ISBN 978-0-471-87373-0
• Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed, Addison Wesley, 프렌티스 홀 Inc., 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
• 원자와 분자의 물리학, B.H.브랜스든, C.J.요아친, 1983, ISBN 0-582-44401-2
• 각도 운동량. 화학 및 물리학의 공간적 측면 이해, R. N. Zare, Wiley-Interscience, 1991,ISBN 978-0-47-1858928