구조물 상수

수학에서, 한 분야에 걸친 대수학의 구조 상수 또는 구조 계수를 사용하여 대수에서 두 개의 기본 벡터의 곱을 선형 결합으로 명시적으로 명시한다.구조 상수를 고려할 때 결과물은 이선형으로 되어 있으며 벡터 공간의 모든 벡터까지 고유하게 확장될 수 있으므로, 대수에 대한 곱을 고유하게 결정할 수 있다.null

구조 상수는 대수학에 대한 명시적 형식을 제공해야 할 때마다 사용된다.따라서 기초 벡터는 물리적 공간에서 구체적인 방향을 나타내거나 특정 입자에 해당하기 때문에 물리학에서 리알헤브라를 논할 때 자주 사용된다.리알헤브라는 들판 위에 있는 알헤브라스라는 것을 상기하라. 이린어 제품은 리 브라켓이나 정류자에 의해 주어진다.null

정의

대수학의 기본 벡터 공간에 대한$$ 기본 벡터${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$} {e${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}\}}}$의 기본 벡터 집합이 주어지면 구조 상수 또는 구조 $계수$가 ${\displaystyle {ci}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$${\displaysty$ $c_{ij}^{\$$k}^\}}}}$을 선형 조합으로 표현한다$$.

${\displaystyle {\mathbf{e}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ k ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \mathbf {e$} $_{i}\cdot \mathbf$ {$e} _{j}=\sum _{k}c_{ij}^{\;k}\mathbf {e} _{k$

대수가 이를 필요로 하는 다른 구조(예: 사이비-리만 메트릭스, 무기한 직교 그룹 so(p,q)의 대수에서)를 부여받지 않는 한 상위 지수와 하위 지수를 구별하지 않는 경우가 많다.즉, 구조 상수는 종종 올-상위 또는 올-하위 인덱스로 작성된다.상하의 구별은 그 다음 하나의 관습으로, 하한 지수는 이중 벡터의 성분처럼 작용한다는 것을 독자에게 상기시킨다. 즉, 하한 지수는 기초의 변화 하에서 공변량인 반면 상한 지수는 반비례한다는 것이다.null

구조 상수는 분명히 선택된 기준에 따라 달라진다.리 알헤브라의 경우, 그 기준으로 자주 사용되는 한 가지 관습은 카르탄 아발지브라에 의해 정의된 사다리 연산자에 관한 것이다. 이는 몇 가지 예비 예시를 거친 후 이 글에서 더 아래에 제시된다.null

예:리알헤브라스

Lie 대수의 경우, 기본 벡터는 대수 생성기라고 불리며, 제품은 Lie 괄호 안에 의해 주어진다.즉 대수제품${\displaystyle }$product${\displaystyle \cdot$ $}$은(는) Lie bracket으로 정의된다. 대수의 $두$ 벡터 A ${\displaystyle$ A$}$와 $B$ ${\$$displaystyle B}$에 대해 제품은 A ] B${\displaystyle \equiv }$[$A$ $B]$$이다.$}}특히 대수제품 ⋅ᆩ을(를)매트릭스 제품과 혼동해서는 안 되며, 따라서 다른 표기법이 필요할 때도 있다.null

이 경우 상위 지수와 하위 지수를 구분할 필요가 특별히 없으며, 모두 위 또는 아래로 기록할 수 있다.물리학에서는 생성자의 경우$$ T ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 구조 상수에 ${\displaystyle {\mathrm{대해서}}_{}^{}}$는 ${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ ${\$ 또는$$ f ${\displaystyle c^{}}$ ${\$상하위 구분을 무시함)를 사용하는 것이 일반적이다.발전기 쌍의 Lie Bracket은 세트로부터 발전기의 선형 결합이다.

${\$$T_{c$

선형 확장에 의해 구조 상수는 Lie 대수학의 모든 원소의 Lie 괄호를 완전히 결정한다.null

모든 리 알헤브라는 자코비의 정체성을 만족시킨다.기본 벡터의 경우 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle [T_{a}, [T_{b},T_{c}]]+[T_{b}, [T_{c},T_{a}]+[T_{c}, [T_{a},T_{b}]=0}$

그리고 이것은 구조 상수의 측면에서 직접적으로 상응하는 정체성으로 이어진다.

${\displaystyle f_{ad}^{\\;e}f_{bc}^{\\;\;d}+f_{bd}^{\\\;e}f_{cd}^{\;e}^{cd}^{\;e}f_{ab}^{\;;;\;d}=0.}$

위와 이 글의 나머지 부분은 아인슈타인 종합 규칙을 반복 지수에 활용한다.null

구조 상수는 Lie 대수표현에서 역할을 하며, 사실, 부선표현의 행렬 요소를 정확히 제공한다.킬링 폼과 카시미르 불변성체도 구조 상수 측면에서 보면 특히 단순한 형태를 가지고 있다.null

구조 상수는 종종 Lie 그룹의 두 요소들의 곱에 대한 Baker-Campbell-Hausdorff 공식의 근사치에 나타난다.Lie 대수의$$ $작은{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{원소}}$X${\displaystyle }$, Y {\$displaystyle$ X$,Y}$의 경우, ID 요소 근처에 있는 Lie 그룹의 구조는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)\약간 \exp(X+Y+{\tfrac {1}{1}{1}:{2}}[X,Y]).}$

1/2의 인자를 기록해 두십시오.$또한{\displaystyle {}^{}}$ e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ X ${\$ e$^{-X}de^{X}}$와 같은 미분류에 대한 명시적 표현에도 나타난다$;$ 자세한 내용은 Baker-Campbell-Hausdorff 공식#Infinitimal case를 참조하십시오.null

리 대수 예제

𝔰𝔲(2) 및 𝔰𝔬(3)

특수 유니터리 그룹 SU(2$){\displaystyle {{\mathfak{s}u($2)}의 대수$$ $s{\displaystyle \mathfrak{}}$$u$는 3차원이며, Pauli ${\displaystyle {Mattresses}_{}}$ {$$i {\$displaystyle \sigma _{$i}}}가 제공하는 발전기가 있다$.$그룹 SU(2)의 생성기는 정류 관계를 만족시킨다(여기서 $ϵ{\displaystyle {}^{}}$ a ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ ${\$는 Levi-Civita 기호임).null

${\displaystyle [\displaystyle [\displayma _{a},\disma _{b}]=2i\epsilon ^{filename}\ma _{c}}}}$

어디에

${\displaystyle \pmatrix _{1}={\pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \pmatrix _{2}={\pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \pmatrix}{3}={\pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

In this case, the structure constants are ${\displaystyle f^{abc}=2i\epsilon ^{abc}}$. Note that the constant 2i can be absorbed into the definition of the basis vectors; thus, defining ${\displaystyle t_{a}=-i\sigma _{a}/2}$, one can equally well write

${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\epsilon ^{filen}t_{c}}}$

그렇게 함으로써 Lie group SU${\displaystyle (2}$){\$displaystyle {{\mathfak{s}u}(2)$는 SO(3)의$$ Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ s ${\displaystyle o}$( $){\displaystyle {{\mathfrak{s}(3)$와 이형성이라는 것을 강조한다.이것은 구조 상수를 회전 그룹 SO(3)의 상수와 일치시킨다.즉, 각운동량 연산자의 정류자는 일반적으로 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\epsilon ^{ijk}L_{k}}}$

어디에

${\displaystyle L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}}}$

$[\displaystyle L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\0&0&0\\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0\\0&0\end{pmatrix}}}}$

3차원 공간에서의 회전에 대한 오른손 법칙을 따르도록 쓰여져 있다.null

이 두 구조 상수들 사이의 2i 인자의 차이는 약간의 미묘한 차이를 수반하기 때문에 격분할 수 있다.따라서 예를 들어 2차원 복합 벡터 공간에는 실제 구조가 부여될 수 있다.이것은 이형이지만 복잡한 결합${\displaystyle \mathrm{표현}}$인$$s${\displaystyle u}$ ( 2 ){\displaystyle ${{\mathfrak{s}u}(2)$의 두 가지 불평등한 2차원 기본 표현으로 이어진다. 그러나 두 가지 모두 실제 표현으로 간주되는데$,$ 이는 실제 구조가 있는 공간에 작용하기 때문이다.^[1]3차원의 경우, 실제 표현인 3차원 표현, 즉 부선 표현은 단 하나일 뿐이며, 보다 정확히 말하면 위에 나타낸 것과 같은 이중 표현과 동일하다.즉, 전치 자체가 마이너스라는 것을 가지고 있다: ${\displaystyle {Lk}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle L_{}}$ .${\displaystyle L_{k}^{T}=-L_{k}.$$}$

어떤 경우든, 거짓말 집단은 구조 상수를 쓸 수 있기 때문에, 정확히는 그들이 순전히 진짜라고 간주된다.null

𝔰𝔲(3)

SU(3)에 의해 덜 사소한 예가 제시된다.^[2]

정의 표현에서 생성자 T는 다음과 같다.

${\displaystyle T^{a}={\frac {\lambda ^{a}}.\,}$

$여기$서 Gell-Mann 행렬은$$Pauli 행렬의 SU(3) 아날로그인 $\$displaystyle $\lambda$ \,}이다.

${\displaystyle \lambda ^{1}={\\pmatrix}0&1&0\\1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}}$	${\displaystyle \lambda ^{2}={\\pmatrix}0&-i&0\\i&0\\\0&0&0\end{pmatrix}}}}$	${\displaystyle \lambda ^{3}={\pmatrix}1&0&0\\0&0\\0&0\nd{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda ^{4}={\\\pmatrix}0&0&1\\0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}}$	${\displaystyle \lambda ^{5}={\\\pmatrix}0&-i\\0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}}$	${\displaystyle \lambda ^{6}={\\pmatrix}0&0&0\\0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}}$
${\displaystyle \lambda ^{7}={\\pmatrix}0&0&0\\\0&i\\0&i&0\end{pmatrix}}}}$	${\displaystyle \lambda ^{8}={\frac {1}{\sqrt{3}{\\\\\\pmatrix}{pmatrix}1}{\\\pmatrix}1&0&0\\\0&0&0\-2\end{pmatrix}}}}}.}$

그들은 관계를 따른다.

$왼쪽[왼쪽]T^{a},T^{b}\right]=if^{abc}T^{c}\,}$

${\displaystyle \{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{1}{3}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,}$

구조 상수는 완전히 비대칭이다.이러한 정보는 다음에서 제공된다.

${\displaystyle f^{123}=1\,}$

${\displaystyle f^}=-f^{f^}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{1}2}}\,}$

${\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt{3}:{2}},\,}$

그리고$$ 이것들과 ${\displaystyle {\mathrm{관련}}^{}}$이 ${\displaystyle {없는}^{}}$ 다른 ${\displaystyle {\mathrm{모든}}^{}}$f a c {\$displaystyle$ f$^{abc}$은(는) 0이다.null

d는 다음과 같은 값을 취한다.

${\displaystyle d^}{d^}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt{3}}\,},}$

${\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt{3}}},}$

${\displaystyle d^{1}=d^{d^}=-d^{247}=d^{256}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{1}{2}},}$

다른 알헤브라의 예

홀 다항식

홀 다항식은 홀 대수의 구조 상수다.null

홉프 알헤브라스

제품 외에, Hopf 대수학의 coproduct와 대척점은 구조 상수의 관점에서 표현될 수 있다.호프 대수에서 일관성 조건을 정의하는 연결 공리는 이러한 다양한 구조 상수 사이의 관계로서 표현될 수 있다.null

적용들

• 거짓말 그룹은 모든 구조 상수가 0일 때 정확히 아벨 그룹이다.
• 거짓말 그룹은 그것의 구조 상수가 진짜일 때 정확하게 진짜다.
• 구조 상수는 리 대수학이 단순한 콤팩트 리 알헤브라의 직접적인 합인 경우에만 모든 지수에서 완전히 반대칭이다.
• nilpotent Lie 그룹은 그것의 Lie 대수학에서 합리적인 구조 상수를 가진 기초를 인정하는 경우에만 격자를 인정한다: 이것이 Malcev의 기준이다.모든 nilpotent Lie 그룹이 격자를 인정하는 것은 아니다. 자세한 내용은 Raghunathan을 참조하십시오.^[3]
• 양자 색역학에서 기호 $G{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ μ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$a {\$displaystyle$G_{\$mu \nu$}^{$a}\,}$는 양자 전기역학에서 전자기장 강도 텐서 F와^μν 유사한 게이지 공변량 글루온 자기장 강도 텐서(gage gluon intensor)를 나타낸다$$.본 문서는 다음에서 제공된다.^[4]

${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c}\,,}$

여기서 f는_abc SU(3)의 구조 상수다.a, b 또는 c 인덱스를 푸시업하거나 풀다운하는 규칙은 사소한(+,...)이라는 점에 유의하십시오.+), 즉 f^abc = f인_abc^a
_bc 반면 μ 또는 μ 인덱스의 경우 미터법 시그니처(+ - - -)에 해당하는 비파생 상대론적 규칙이 있다.

Lie 대수학의 기초 선택

리 대수학의 기초를 제공하는 전통적인 접근방식은 카르탄 아발지브라(Cartan subalgebra)의 고유 벡터로 나타나는 소위 "사다리 연산자"에 의한 것이다.이 기초의 구성은, 종래의 표기법을 사용하여, 여기에 재빨리 스케치된다.대체구축(Serre construction)은 반실행 Lie 대수학 기사에서 찾아볼 수 있다.null

Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfrak {g}$이$($가) 주어지면 카르탄 하위 대수 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$은 최대$$ 아벨 하위 대수다.정의에 따르면, 그것은 1-another와 함께 통근하는 요소들로 구성된다.정형외과적 기초는 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에서 자유롭게 선택할 수 있다$.$ 이 기초는$$ H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\cdots ,{}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$로 작성한다.

${\displaystyle \langle H_{i},H_{j}\랑글 =\delta _{ij}}$

여기서 ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle ,}$ , {${\displaystyle \{}$ { ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \angle }$은 벡터 공간의 내부 제품이다.이 하위골격의 $치수$ r ${\displaystyle r}$을 대수 등급이라고 한다.부선 표현에서 행렬 $a{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}(}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle \mathrm {ad}(H_{i})$는 상호 통근이며$$ 동시에 대각선으로 표시할 수 있다.The matrices ${\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})}$ have (simultaneous) eigenvectors; those with a non-zero eigenvalue ${\displaystyle \alpha }$ are conventionally denoted by ${\displaystyle E_{\alpha }}$. Together with the ${\displaystyle H_{i}}$ these span the entire vector space ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ${\$그때의 감화 관계는

${\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{and}\quad [H_{i},E_{\alpha }}=\alpha _{i}{\alpha }}}}}}}}}$

고유 벡터 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) 전체 척도까지만 결정되며$$, 하나의 일반적인 정규화는 설정된다.

${\displaystyle \langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\angle =1}$

이로써 나머지 감화관계는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i}}}$

그리고

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }}}}$

마지막으로 루트(아래 정의) $\alpha {\displaystyle }$, ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta$ beta$}$ 합이 0이 아닌 값에 해당하는$$ 조건:${\displaystyle }$α${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \\$ +\$neq$ 0$\}.$$E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta}$의 값을 올리거나 낮추는 이 속성을 가지고 있기 때문에 래더 연산자라고 부르기도 한다$$$.$

주어진 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ $\}$의 경우 ${\displaystyle {Hi}_{}}$ ${\$ H_${i}만큼$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ i ${\$가 많으므로$$ 벡터 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ $\$를 정의할 수 있다.$H_{i$ 이 벡터는 대수학의 뿌리라고 불린다.리 알헤브라의 뿌리는 규칙적인 구조로 나타난다(예를 들어, 단순한 리알헤브라의 뿌리는 단지 두 개의 다른 길이만 가질 수 있다). 자세한 내용은 루트 시스템을 참조하라.null

구조물 상수 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$, ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$은(는) $\alpha {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha$+\$beta$}이$($가) 루트일$$ 때만 0이 아니라는 속성을 갖는다$$.또한, 대칭성이 다음과 같다.

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha }}}$

그리고 항상 그렇게 선택될 수 있다.

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta }}}$

그들은 또한 다음과 같은 cocycle 조건을 준수한다.^[5]

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta,\gamma }=N_{\gamma,\alpha }}}}$

$\alpha {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ +${\displaystyle \gamma }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma$ =$0}$이(가) 있을 때마다$,$ 그리고 그것 또한.

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }N_{\gamma ,\delta }{\delta }{\delta }}N_{\delta }}}\delta }}}N_{\delta }=0}$

$\alpha {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ +${\displaystyle \beta }$ +${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$= 0 {\$displaystyle \property +\properties +\properties$+\properties =$0$

참조