시간파생상품

Time derivative

시간파생상품시간에 관한 함수의 파생상품으로, 보통 함수의 가치변동률로 해석된다.[1] 시간을 나타내는 변수는 대개 로 기록된다

표기법

다양한 명세는 시간 파생을 나타내기 위해 사용된다. 일반(라이브니즈) 표기법 외에,

특히 물리학에서 사용되는 매우 일반적인 단손 표기법은 '오버닷'이다. I.E.

(이것을 뉴턴의 표기법이라고 한다)

더 높은 시간 파생상품도 사용된다. 시간에 관한 두 번째 파생상품은 다음과 같다.

sh의 해당 속기와 함께

벡터의 시간적 파생인 일반화로서 다음과 같이 말한다.

원래 벡터의 성분의 파생상품인 벡터로 정의된다. 그것은

물리학에 사용

시간파생물은 물리학의 핵심 개념이다. 예를 들어 변경 위치 x의 경우 시간 파생 모델 ˙ {속도이고 시간에 대한 두 번째 파생 인 x¨ x이 가속도 입니다. 심지어 더 높은 파생상품도 가끔 사용된다: 시간에 관한 위치의 세 번째 파생상품은 저그로 알려져 있다. 모션 그래프와 파생 모델을 참조하십시오.

물리학의 많은 기본 방정식은 1차 또는 2차 수량의 파생물을 포함한다. 과학의 다른 많은 기초적인 양은 서로간의 시간적 파생물이다.

등등.

물리학에서 흔히 일어나는 일은 속도나 변위와 같은 벡터의 시간적 파생이다. 그러한 파생상품을 다룰 때 규모와 방향 모두 시간에 따라 달라질 수 있다.

예: 원형 운동

데카르트 좌표(x,y)와 극좌표(r,cs) 사이의 관계.

예를 들어, 원형 경로에서 이동하는 입자를 생각해 보십시오. 위치는 그림에서 정의한 각도, θ, r과 관련된 변위 r= x + 에 의해 주어진다

이 예에서는 θ = t라고 가정한다. 따라서 언제든지 t에 의해 변위(위치)가 주어진다.

형식은 r(t)의 크기가 다음과 같이 주어지기 때문에 r(t)가 설명한 운동이 r(반경)의 원 안에 있음을 보여준다.

삼각계 ID sin2(t) + cos2(t) = 1을 사용하고 여기서where }은는) 일반적인 유클리드 도트 제품이다.

변위를 위한 이 형태와 함께, 속도는 지금 발견된다. 변위 벡터의 시간 유도체는 속도 벡터다. 일반적으로 벡터의 파생상품은 각각 원 벡터의 해당 성분의 파생상품인 성분으로 구성된 벡터다. 따라서 이 경우 속도 벡터는 다음과 같다.

따라서 입자의 속도는 위치의 크기(즉, 경로의 반지름)가 일정하더라도 0이 아니다. 속도는 도트 제품을 사용하여 설정할 수 있는 변위에 수직으로 향한다.

가속은 속도의 시간적 변이가 된다.

가속은 회전 축을 향해 안쪽으로 향한다. 위치 벡터와 반대쪽을 가리키며 속도 벡터에 수직이다. 이 내향 가속을 구심 가속이라고 한다.

차동 기하학에서

차등 기하학에서 수량은 종종 지역 공변량 인 e 에 대해 표현된다 여기서 i는 치수 수를 초과한다. 벡터 의 구성요소는 아인슈타인 요약 규약호출하는 = i = 라는 표현에서 볼 수 있듯이 이러한 변환을 반대 텐서로 표현했다. 궤적을 따라 이러한 구성 요소의 시간 파생값을 계산하여 )= ) ) 를 얻으려면)_{i}(t)}, 새로운 연산자를 정의할 수 있는데, 이 연산자는 다음과 같은 상쇄 텐서를 계속 반환하게 될 불변 파생상품 {\ 입니다[2]

where (with being the jth coordinate) captures the components of the velocity in the local covariant basis, and are the Christoffel symbols for the coordinate system. t에 대한 명시적 의존은 표기법에서 억제되었다는 점에 유의한다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

다음 사항뿐 아니라:

공변량 파생상품 대해 다음과 같은 내용을 가지고 있다.

경제학에서 사용

경제학에서는 다양한 경제변수의 진화에 대한 많은 이론적 모델들이 연속적인 시간에 구성되므로 시간파생상품을 채택한다.[3]: ch. 1-3 상황은 주식변수와 그 시간파생상품인 흐름변수를 포함한다. 예를 들면 다음과 같다.

때로는 흐름 변수의 시간 파생상품이 모형에 나타날 수 있다.

  • 생산량 증가율은 생산량 흐름을 생산량 자체로 나눈 시간 파생이다.
  • 노동력 증가율은 노동력을 노동력 자체로 나눈 시간적 파생물이다.

그리고 때로는 위의 예와 달리 통화 단위로 측정되지 않는 변수의 시간 파생상품이 나타나기도 한다.

참고 항목

참조

  1. ^ Chiang, Alpha C, 수학 경제학의 기본 방법, McGraw-Hill, 제3판, 1984, Ch. 14, 15, 18.
  2. ^ Grinfeld, Pavel. "Tensor Calculus 6d: Velocity, Acceleration, Jolt and the New δ/δt-derivative".
  3. ^ 예를 참조하십시오.