거짓말 그룹의 표현

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거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학과 이론 물리학에서, 리 그룹의 표현은 벡터 공간에서 리 그룹의 선형 작용이다. 동등하게, 표현은 벡터 공간의 변환 불가능한 연산자 그룹으로 집단이 매끄러운 동형상이다. 표현은 연속적인 대칭을 연구하는 데 중요한 역할을 한다. 그러한 표현에 대해 많은 것이 알려져 있는데, 그들의 연구에서 기본적인 도구는 리 알헤브라의 상응하는 '적극적' 표현을 사용하는 것이다.

유한차원 표현

표현

그룹의 복잡한 표현은 필드 $[\$ 위에 있는 유한 차원 벡터 공간에 있는 그룹에 의한 작용이다$.$ Lie 그룹 G의 표현은, N 차원 벡터 공간 V에 $작용$하여 C$${\$displaysty \mathb {C}}$에 대한 부드러운 그룹 동형상이다.

${\displaystyle \mathrm{\pi }}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \mathrm{GL}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (V}$) ${\displaystyle \Pi :G\오른쪽$ 화살표 $\operatorname {GL}(V$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{GL}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \operatorname {GL}(V)}$은 구성 하에서$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 모든 변환 불가능한 선형 변환의 일반 선형 그룹이다. Since all n-dimensional spaces are isomorphic, the group ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ can be identified with the group of the invertible, complex ${\displaystyle n\times n}$ matrices, generally called ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ).}$ Smoothness of the map ${\displaystyle \mathrm{\Pi }}$$모든$ 연속적인 동형성이 자동으로 부드러워진다는 점에서 기술성으로 볼 수 있다$$$.$^[1]

We can alternatively describe a representation of a Lie group ${\displaystyle G}$ as a linear action of ${\displaystyle G}$ on a vector space ${\displaystyle V}$. Notationally, we would then write ${\displaystyle g\cdot v}$ in place of ${\displaystyle \Pi (g)v}$ for the way a group element ${\displaystyle g\in }$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$은(는) $벡터{\displaystyle }$ v ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$에 작용한다$.$

물리학에서 발현되는 대표적인 예가 대칭군 $[\displaystyle G}$를 갖는 선형 부분 미분 방정식의 연구일 것이다$.$ $비록{\displaystyle }$ 방정식의 개별 해법이 G ${\displaystyle G}$의 작용에 따라 불변할 수 없겠지만$,$ 모든 해법의 $공간$ V ${\displaystyle V}$은 다음과 같다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 작용에 따라 불변함$.$ 따라서 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 표현을 구성한다$.$ 아래에서 설명하는 SO(3)의 예를 참조하십시오.

기본 정의

동형성 ${\displaystyle \Pi}$가 주입성(즉, 단형성)이라면$$ 그 표현은 충실하다고 한다.

복합 벡터 공간 V에 대한 기초를 선택한 경우, 일반적인 선형 그룹 ${\displaystyle \mathrm{GL}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n\mathbb{}}$; C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathb {C} )}$에 동형성으로 표현될 수 있다$.$ 이것은 행렬 표현이라고 알려져 있다. 벡터 공간 V, W에 대한 G의 두 가지 표현은 V와 W에 대한 베이스의 일부 선택과 관련하여 동일한 행렬 표현을 가진 경우 등가물이다.

Given a representation ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$, we say that a subspace W of V is an invariant subspace if ${\displaystyle \Pi (g)w\in W}$ for all ${\displaystyle g\in G}$ and ${\displaystyle w\in W}$. The representation is said to be irreducible V의 유일한 불변 서브스페이스가 0 공간과 V 그 자체일 경우. 특정 유형의 Lie 그룹, 즉 콤팩트^[2] 및 반실행^[3] 그룹에 대해 모든 유한차원 표현은 완전 환원성이라고 알려진 속성인 수정 불가능한 표현들의 직접적인 합으로 분해된다. 그러한 집단의 경우, 대표이론의 전형적인 목표는 주어진 집단의 모든 유한차원적 불가해한 표현을 이등형성까지 분류하는 것이다. (아래 분류 섹션을 참조하십시오.)

유한한 차원 내부 제품 공간에 대한 단일 표현은 동일한 방식으로 정의되며, 단, $un{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$이(가) 유니터리 연산자 그룹에 매핑되어야 한다$$. G가 콤팩트한 Lie 그룹이라면 모든 유한차원 표현은 단일체 표현과 동등하다.^[2]

리 대수적 표현

리 그룹 G의 각 표현은 리 대수학의 표현을 낳는다. 이 대응은 후속 절에서 자세히 논의된다. 리 대수 이론에 대한 리 알헤브라의 표현을 참조하십시오.

예: 회전 그룹 SO(3)

양자역학에서는 시간독립형 슈뢰딩거 방정식인 $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$^ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi }${\$displaystyle {\H}\$psi $=E\psi$ }이$($가) 중요한 역할을 한다$$. 3차원 사례에서 $H{\displaystyle \hat{}}$ ${\$이(가) 회전 대칭을 가지고$$ 있다면, $H{\displaystyle \hat{}}$ ^ ${\displaystyle \psi }$= ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi }$ = E$display$ {\$displaystyle {\H}\$psi = E\$psi}}}$에 ${\displaystyle {대한}_{}}$ 용액의 공간 V {\\$displaystyty V_{{E$$}$은 SO(3)가 불변한다$$. 따라서 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$은(는) $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 각 고정 값에 대해 일반적으로$$ 유한 치수인 SO(3)를 나타낸다$.$ $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ^${\displaystyle \psi }$ = ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {\H}\psi =E\psi }}$을(를) 해결하려고 할 때 SO(3)의 가능한 모든 유한차원 표현이 어떻게 생겼는지 아는 데 도움이 된다$.$ 예를 들어 수소 원자의 수학적 분석에서 SO(3)의 대표이론은 핵심적인 역할을 한다.

양자역학에 관한 모든 표준교재에는 기본적으로 SO(3)의 유한차원 불가역적 표현을 Lie ${\displaystyle \mathrm{대수적}}$으로 분류하는 분석이 포함되어 있다.(각운동량 연산자 간의 정류관계는 S의$$ Lie 대수 $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{o}}$ (${\displaystyle }$3$){\displaystyle{\mathfak{so}}}}}}$에 대한 관계일 뿐이다.O(3) 이 분석의 한 가지 미묘한 점은 집단의 표현과 리 대수학이 일대일 대응관계에 있지 않다는 것인데, 이는 정수 스핀과 반정수의 스핀의 구분을 이해하는 데 중요한 점이다.

통상적 표현

회전 그룹 SO(3)는 콤팩트한 Lie 그룹이며 따라서 SO(3)의 모든 유한차원 표현은 되돌릴 수 없는 표현들의 직접적인 합으로 분해된다. 그룹 SO(3)는 각 홀수 차원에 하나의 수정할 수 없는 표현을 가지고 있다.^[4] 각 음이 아닌 정수 k{k\displaystyle} 들어, 치수 2의 기약 표현 k+, R3{\displaystyle \mathbb{R}^{3}에 균질 조화 다항식의 공간 Vk{\displaystyle V_{km그리고 4.9초 만}}}도 k{k\displaystyle}.[5]여기, SO(3)의 1{2k+1\displaystyle}실현될 수 있다.a$회전$은 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 함수에 작용하는 일반적인$$ 방법으로 ${\displaystyle V_{}}$ k$${\$displaystyle V_{k}}$에 cts $:$

$\displaystyle (\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatorname {SO}(3)}$

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 원소의 단위$$ 구 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ $2 {\$ S$^{2}}$에 대한 제한은 도 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 구형 고조파 입니다$.$

예를 $들어{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$= 1 {\$displaystyle$k$=1$}이면 도 1의 동질적인 모든 다항식이 조화되어 있고$,$ $우리$는 선형 $다항식{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$x$\},$$${\$displaysty y$ $그리고{\displaystyle }$ z$${\$displaysty$ $z}$에 $의해$ 확장된 3차원 공간 $V{\displaystyle {}_{}}$ $1 {\$displaystyleylease k$=2$$\}$을 얻는다.$\}\},$ V ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ V_{$2}} 공간$은 다항식 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}\},$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle xz$ y z ${\displaystyle yz$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ x$^{2$}-$y^{2$$},$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -$${\$displaystystystypaystypaystypypyleasestyleasesty$}-$z$2}로 확장 스타일 $x-z^$

위에서 언급한 바와 같이 SO(3)의 유한차원 표현은 문제의 회전 대칭의 반영으로서 수소 원자와 같은 방사상 전위에 대한 시간 독립적 슈뢰딩거 방정식을 연구할 때 자연적으로 발생한다. (수소의 수학적 분석에서 구면 고조파들이 하는 역할을 참조한다.)

투영적 표현

SO(3${\displaystyle )}$의 Lie 대수 $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{o}}$ ( 3 ) ${\displaystyle {\mathfak{so}(3)}$을(를) 살펴보면, 이 Lie 대수는 SU(2${\displaystyle )}$의 Lie 대수 $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{u}}$( 2 ) ${\displaystystyle {\mathfak{su}(2)}$에 이형이다. $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{u}}$ ( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle {\mathfrak{su}}(2$의 표현 이론에 의해, 모든 $차원$에 s ${\displaystyle \mathfrak{o}}$(${\displaystyle 3}$ $){\displaystyle${\$mathfrak{so}}(3)$의 해석 불가능한 표현이 존재한다. 그러나 짝수차원 표현은 그룹 SO(3)의 표현과 일치하지 않는다.^[6] 그러나 이러한 소위 "굴절 회전" 표현은 SO(3)의 투영적 표현에 해당한다. 이러한 표현은 전자와 같은 부분 스핀을 가진 입자의 양자역학에서 발생한다.

표현 작업

이 절에서는 표현에 대한 세 가지 기본 연산을 설명한다.^[7] Lie 대수 표현에 대한 해당 구조를 참조하십시오.

직접합계

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$},$represent ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$ L${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \Pi _{1$}의 두 가지 표현이 있는 경우$:$$G\rightarrow$ GL($V_{1})$및${\displaystyle {}_{}{and}_{}}$ ${\displaystyle 2}$ : G${\displaystyle }$→ G ${\displaystyle L}$(${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \Pi _{2}:$$G\rightarrow GL(V_{2$ 그러면 직접 합은 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}개를 기본 벡터 공간으로 하고$$, 그룹 작업은 다음에서 부여한다.

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}v_{1},\Pi _{2},)}$

모든 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle v_{1}\in V_{1},}$ $v$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$}}$$및 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \in }$ G ${\displaystyle g\in G}$에 대해$.$

특정 유형의 거짓말 집단(명확하게, 콤팩트한 거짓말 집단)은 모든 유한차원 표현이 되돌릴 수 없는 표현들의 직접적인 합에 대해 이형성이라는 속성을 갖는다.^[2] 이 경우 표현의 분류는 취소할 수 없는 표현의 분류로 감소한다. 완전 환원성에 대한 Weyl의 정리를 참조하십시오.

표현 텐서 제품

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$},$represent ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$ L${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \Pi _{1$}의 두 가지 표현이 있는 경우$:$$G\rightarrow$ GL($V_{1})$및${\displaystyle {}_{}{and}_{}}$ ${\displaystyle 2}$ : G${\displaystyle }$→ G ${\displaystyle L}$(${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \Pi _{2}:$$G$$\$$rightarrow GL(V_{2$ 그러면 표현의 텐서 제품은 Tensor 제품 벡터 공간 V ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ V 2 {\$displaystyle V_{1}\otimes V_{2$}}개를 기본 벡터 공간으로 하고$$, G {\$displaysty G}$의 동작은 $다음$과 같은 가정에 의해 고유하게$$ 결정된다.

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2}=(\Pi _{1}v_{1}}\otimes(\Pi _{2}(g)v_{2})}$

for all ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$ and ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$. That is to say, ${\displaystyle \Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)}$.

텐서 제품 표현 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ {\displaystyle $\Pi$$$}과(와$)$ 관련된$$ Lie 대수 표현 $\pi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \Pi$ $}$은(^[8]는) 다음 공식으로 주어진다$$.

${\displaystyle \pi(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).}$

두 개의 수정 불가능한 표현들의 텐서적 생산물은 보통 수정 불가능한 것이 아니다; 표현 이론의 기본적인 문제는 수정 불가능한 하위 영역의 직접적인 합으로 수정 불가능한 표현들의 텐서적 생산물을 분해하는 것이다. 이 문제는 물리학 문헌에서 "각운동량의 추가" 또는 "클렙슈-고단 이론"이라는 이름으로 진행된다.

이중표현황

Let ${\displaystyle G}$ be a Lie group and ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow GL(V)}$ be a representation of G. Let ${\displaystyle V^{*}}$ be the dual space, that is, the space of linear functionals on ${\displaystyle V}$. Then we can define a representation ${$$\디스플레이 스타일 \Pi ^{*}:$공식별$$ $G\오른쪽$ 화살표 $GL(V^{*}})$

${\displaystyle \Pi ^{*}(g)=(g^{-1})^{\propername {tr} },}$

여기서 연산자 $A{\displaystyle :}$ ${\displaystyle V}$→ V ${\displaystyle A:$$V\오른쪽$ 화살표 V$},$ 전치 $연산자$ $A{\displaystyle {}^{}}$ tr${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{tr}}^{}}$ → V $∗${\$displaystyle$ A$^{\operatorname {tr}:$$V^{*}\오른쪽$ 화살표 $V^{*}}$는 "$A{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ A$\}"$ $연산자$로 정의된다.

${\displaystyle(A^{\operatorname {tr}}}\phi )(v)=\phi(Av).}$

(근거로 작업하면 A ${\displaystyle {\mathrm{tr}}^{}}$ ${\$ A$^{\operatorname$ {$tr}}}}}}}$은(는) A ${\displaystyle A}$의 일반적인 전치 행렬일$$ 뿐이다.)$$ The inverse in the definition of ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ is needed to ensure that ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ is actually a representation of ${\displaystyle G}$, in light of the identity ${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname$${tr}$ $\}\}.$

불가해한 표현 중 이중은 항상 취소할 ^[9]수 없지만 원래 표현과 이형화될 수도 있고 아닐 수도 있다. 예를 들어 그룹 SU(3)의 경우, 수정할 수 없는 표현은 음이 아닌 정수의$$ 쌍$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$m ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle(m_{1},m_{2})$으로 레이블이 지정된다. $({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (m_{1},m_{2}}$에 연결된 표현 중 이중은${\displaystyle }$(${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$, m ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (m_{2},m_{1}}$에 연결된 표현이다$.$^[10]

Lie group 대 Lie 대수 표현

개요

관련된 리 대수학의 표상을 연구함으로써 리 그룹 표상을 연구하는 것이 편리하다는 경우가 많다. 그러나 일반적으로 리 대수학의 모든 표현이 집단의 표현에서 나오는 것은 아니다. 예를 들어 이 사실은 양자역학에서 정수 스핀과 반정수 스핀의 구별 뒤에 놓여 있다. 반면에 G가 단순히 연결된 집단이라면, 사실 우리는 그 집단과 리 대수표현 사이에 일대일 서신을 얻는다고 정리되어^[11] 있다.

G는 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$g {\$displaystyle${\$mathfrak{g$}와$$함께 Lie 그룹이 되게 하고, g ${\$의 표현 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이(가$$) 있다고 가정한다. Lie 통신문은 G의 연결된 구성요소의 집단표현을 얻기 위해 사용될 수 있다. 대략적으로, 이것은 Lie 대수표현의 행렬 지수(matrix index)를 취함으로써 발생한다. G가 단순히 연결되지 않으면 미묘한 점이 생긴다. 이것은 투영적인 표현이나 물리학 용어로 G의 다값을 나타낼 수 있다. 이것들은 실제로 G의 범용 커버 그룹을 나타낸 것이다.

이 결과는 아래에서 좀 더 충분히 설명될 것이다.

Lie communications는 그룹의 연결된 구성요소에 대해서만 결과를 제공하며, 따라서 전체 그룹의 다른 구성요소는 각 구성요소에 대해 각각 하나씩 이러한 구성요소를 대표하는 행렬에 대해 대표자를 부여함으로써 별도로 처리된다. 이 형태는 G의 제로 호모토피 집단을 나타낸다. 예를 들어 로렌츠 4개 성분의 경우 공간 역전과 시간 역전의 대표자를 손으로 넣어야 한다. 아래의 로렌츠 그룹의 대표이론에서 더 많은 삽화가 그려질 것이다.

지수 매핑

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) Lie 대수 g ${\$$mathfrak$${g}$을(를) 가진 Lie 그룹이라면, $우리$는 G ${\$에서 $G{\displaystyle }$ ${\displaysty G}$까지의 지수 지도를 가지고 있다$.$

${\displaystyle X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g}.}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 매트릭스 Lie 그룹인 경우 e ${\displaystyle X^{}}$ ${\$ 식을 지수용 일반 파워 시리즈로 계산할 수 있다$$. 모든 Lie 그룹에는 G ${\$$displaystyle G}$에 $ID$의 U$${\$displaystyle U}$과(와)$G$ {\displaystyle {$g}$에 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$이(가) 있으며, $U{\displaystyle }${\$displaystystyle U}$의 모든 G${\\displaystystystystysty$}은 $g{\displaystyle \}}$로 ${\displaystyle {고유}^{}}$하게 작성될 수 있는$$ 속성이 있다$$$.$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X\in V}$이(가) 있는 $displaystyle g=e^{X$$\}.$ 즉 지수 지도는 국소 역수를 가지고 있다. 대부분의 그룹에서 이것은 단지 국부적이다; 즉, 지수 지도는 일반적으로 일대일 지도나 위에 있지 않다.

집단표현의 리 대수표현

Lie 그룹 G의 표현에서 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}$의 표현으로 전달하는 것은 항상 가능하다.$}$ } : G → GL(V)이 일부 벡터 공간 V에 대한 그룹 표현이라면$$, ID에 대한 푸시포워드(차이) 또는 Lie map, ${\displaystyle \pi \mathfrak{}}$: g${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{End}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak{g}\text}V}$는 Lie 대수 표현이다$$. 다음을 사용하여^[12] 명시적으로 계산한다.

$\displaystyle \pi(X)=\왼쪽.{\frac {d}{dt}\Pi(e^{tX})\right _{t=0},\quad X\in {\mathfrak {g}.}$

(G6)

$\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$ 및$$ $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$과(와) 관련된 기본 속성은 다음 지수 지도를 포함한다$$.^[12]

${\displaystyle \Pi(e^{X})=e^{\pi(X)}}$

우리가 조사하고자 하는 의문은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfak{g}}$의 모든 표현이 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 그룹의 표현에서 이런 식으로$$ 발생하는가 하는 것이다$.$ 우리가 보게 되겠지만, $G{\displaystyle }${\$displaystyle G}$이(가) 단순히 연결되었을$$ 때 그렇다.

리 대수표현에서 그룹표현

이 절의 주요 결과는 다음과 같다.^[13]

정리: $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 단순히 연결된 경우, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$$}$의 Lie 대수 g ${\$ {$g}}}$의 모든 표현 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystystyle G$} $자체$의 표현$$$itself$ ${\displaystystyle$ \Pi}에서 가져온 것이다$$.

이를 통해 우리는 다음과 같은 것을 쉽게 추론할 수 있다.

Corollary: If ${\displaystyle G}$ is connected but not simply connected, every representation ${\displaystyle \pi }$ of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ comes from a representation ${\displaystyle \Pi }$ of ${\displaystyle {\tilde {G}}}$, the universal cover of ${\displaystyle G}$. If $$${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi}$은(는) 수정할 수 없으며$$, $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi$}은$($는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$\}$의 투영적 표현으로 이어진다.

투영적 표현은 각 ${\displaystyle \pi }$( g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G,}$이 상수에 의해 최대 곱셈까지만 정의되는 표현이다. 양자물리학에서는 상태가 실제로 상수까지만 정의되기 때문에 일반적인 것 외에 투영적인 표현을 허용하는 것이 당연하다(즉, $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi}$이(가) 양자 힐버트 공간의 벡터라면$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle c\psi}$은 어떤 상수 $c$에 대해서도 동일한 물리적 상태를 나타낸다$$).우리가 아래, 모든 할 수 있는 평범한 표현을 논의할 것이다{\displaystyle c}.)연결된 '리 그룹 G의 모든 유한 차원의. 사영 표현{G\displaystyle}가 보편적인 표지의 G의 평범한 표현 G일{\displaystyle{\tilde{G}}}로부터{G\displaystyle}.[14]반대로 나온다. 의 ${\displaystyle \stackrel{}{G}}$~ ${\$은(는$)$ G {\$displaystyle G}$의 투영적 표현으로 설명된다$.$ 물리학 문헌에서 투영적 표현은 다값 표현(즉, 각 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle g}$) ${\displaysty \Pi (g)$은 단일 값이 아니라 전체 가치군을 가지고 있다). 이 현상은 양자역학에서 부분 스핀 연구에 중요하다.

우리는 이제 위의 주요 결과의 증거에 대해 개략적으로 설명한다. $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle g}$→ g ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \pi :{\mathfrak{g}\to {\mathfrak{g}(V)}$이(가) 벡터 공간 V에 $g{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystystyle {\mathfak{g}}}$을 나타낸다고$$ 가정합시다. 관련된 Lie 그룹 표현 ${\displaystyle \Pi }$이$($가) 있으려면 이전 하위 섹션의 지수적 관계를 충족해야 한다. 이제 지수화의 국부적 역전성에 비추어, 다음과 같은 관계에$$ 의해 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $G$$}$에 있는 ID의$$ $근린{\displaystyle }$U ${\displaystyle$ $\Pi }$에서 $지도{\displaystyle \mathrm{}}$ ${{\$displaystyle G}

${\displaystyle \Pi(e^{X})=e^{\pi(X)},\quad g=e^{X}\U.}$

중요한 질문은 다음과 같다. 이 국지적으로 정의된 지도가 "로컬 동형성"인가? (이 질문은 지수 매핑이 전지구적으로 일대일 및 그 이상인 특수한 경우에도 적용된다. 이 경우 $\$ {\$디스플레이$ 스타일 \$Pi}$은(는) 세계적으로 정의된 지도가 되겠지만$$ $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\디스플레이$ 스타일 $\Pi$}이$($가) 동형성인 이유는 분명하지 않다. 이 질문에 대한 답은 그렇다: $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$은(는) 국소 동형상이며, 이는 베이커-캠프벨-하우스도르프 공식을 사용하여 성립할 수 있다.^[15]

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 연결된$$ 경우 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 요소는 적어도 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 요소 지수 산물이 된다$$$.$ 따라서 ${\displaystyle \Pi }$을(를) 전세계적으로$$ 다음과 같이 잠정적으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi (g=e^{X})&\equiv e^{\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e^{X}\in \operatorname {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \operatorname {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\in \operatorname {im} (\exp ).\end{정렬}}}$

(G2)

그러나 주어진 그룹 요소를 지수 산물로 나타내는 것은 고유하지 않기 때문에 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$이(가) 실제로 잘 정의되어 있다는$$ 것은 명확하지 않다.

$\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$이(가) 제대로 정의되어 있는지에$$ 대한 문제를 해결하기 위해 각 그룹 요소 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$을(를) 연속 경로를 사용하여 ID에$$ 연결한다. 그런 다음 경로를 따라$$ $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi$ ${\displaystyle \}}$을(를) 정의할 수 있으며,$$ (g ) {\$displaystyle \Pi (g)}$의 값이 엔드포인트가 고정된 경로의 연속적인 변형에서 변경되지 않음을$$ 보여줄 수 있다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 단순히 연결된 경우, $ID$에서 시작하여 g ${\displaystyle g}$에서 끝나는 모든 경로를 다른 경로로 계속 변형할 수 있으며$$, 이는 $path{\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle g}$) ${\displaysty \Pi (g)}$이 경로 선택과 완전히 독립되어 있음을$$ 보여준다. $정체성$에 가까운$$$display${\$displaystyle$ \Pi $}$의 초기 정의가 국소 동형상이었음을 감안할 때, 세계적으로 정의된 지도 역시 만족(G2)하는 동형상임을 보여주는 것은 어렵지 않다.^[16]

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 단순히 연결되지 않은$$ 경우 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 범용 $표지{\displaystyle \stackrel{}{}}$ G${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에 위의 절차를 적용할 수 있다$.$ ${\displaystyle P\stackrel{}{}}$: G${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$→ G ${\displaystyp:{\tilde}\}\오른쪽$ 화살표 G$}$가 표지$$ $맵$이 되도록 한다. If it should happen that the kernel of ${\displaystyle \Pi :{\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ contains the kernel of ${\displaystyle p}$, then ${\displaystyle \Pi }$ descends to a representation of the original group ${\displaystyle G}$. Even if this is not the case, note that the kernel of ${\displaystyle p}$ is a discrete normal subgroup of ${\displaystyle {\tilde {G}}}$, which is therefore in the center of ${\displaystyle {\tilde {G}}}$. Thus, if ${\displaystyle \pi }$ is irreducible, Schur's lemma implies that the kernel of ${\displaystyle p}$ will act by scala그 정체성의 배수 따라서 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 투영적 표현$,$ 즉 ID의 modulo 스칼라 배수만 정의되어 있다.

유니버설 커버 그룹이 그러한 호모토피 클래스를 어떻게 모두 포함하고 있는지 그림으로 표시한 뷰와 그것에 대한 기술적 정의(세트로서 그리고 그룹으로서)가 기하학적 뷰로 주어진다.

예를 들어, 이것이 이중으로 연결된 SO(3, 1)에 특화된 경우,⁺ 범용 커버 그룹은 ${\displaystyle \text{SL}}$(${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\text{$$SL}(2,\mathb {C} )}$및 해당하는 표현이 충실한지 여부에 따라 π이 투영적인지 여부가 결정된다.

콤팩트 케이스의 분류

G가 연결된 콤팩트한 리 그룹이라면, 그것의 유한한 차원 표현은 되돌릴 수 없는 표현들의 직접 합으로 분해될 수 있다.^[17] 불분명한 것들은 "가장 높은 무게의 이론"에 의해 분류된다. 우리는 여기서 이 이론에 대해 간략하게 설명한다. 자세한 내용은 연결된 컴팩트한 Lie 그룹의 표현 이론과 반실행된 Lie Algebras의 표현을 분류하는 평행 이론에 관한 기사를 참조하십시오.

T를 G의 최대 토러스라고 하자. 슈르의 보조정리법으로 T의 불가해한 표현은 1차원이다. 이러한 표현은 쉽게 분류될 수 있으며 특정 "분석적으로 통합된 요소" 또는 "가중치"로 분류된다. $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$이(가) G를 수정할 수 없는 표현인 경우, $일반적$으로 {$${\$displaystyle \Sigma }$에서 T까지의 제한은 변경할 수 없는 표현들의 직접적인 합으로 분해되며, 관련 가중치로 라벨이 지정된다.(동일한 가중치가 두 번 이상 발생할 수 있음) 고정 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma$ $\}$의 경우, 가중치 중 하나를 "가장 높은 값"으로 식별할 수 있으며, 표현은 이 가장 높은 중량으로 분류된다.

표현 이론의 중요한 측면은 인물의 관련 이론이다. 여기서 G의 $representation$ ${\displaystyle \Sigma }$ 표현에 대해서는 문자가 함수임

$\displaystyle \chi _{G:G\rightarrow \mathb {C} }$

에 의해 주어지는.

${\displaystyle \chi _{G}(g)=\operatorname {trace}(\Sigma(g)).}$

동일한 문자의 두 가지 표현은 이형성이 있는 것으로 판명되었다. 게다가, Weyl 문자 공식은 그것의 가장 높은 무게의 측면에서 표현 특성에 대한 놀라운 공식을 제공한다. 이 공식은 표현에 관한 유용한 정보를 많이 줄 뿐만 아니라, 최고 무게의 정리 증명에 결정적인 역할을 한다.

힐베르트 공간에서의 단일 표현

V는 무한한 차원일 수도 있는 복잡한 힐버트 공간이 되게 하고 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle V}$) ${\디스플레이$ 스타일 $U(V)}$는 V의 단일 운영자 그룹을 나타내도록 하라$$. V에 대한 Lie 그룹 G의 단일 표현은 그룹 동형상 ${\displaystyle \pi }$: ${\displaystyle G}$→ U${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow U(V)}$이며, 각 $고정{\displaystyle V}${\$displaystyle v\in$V$\}$에 대한 속성이 있다$$.

$\Pi(g)v}$

G를 V로 연속해서 그린 지도야

유한 차원 단일 표현

If the Hilbert space V is finite-dimensional, there is an associated representation ${\displaystyle \pi }$ of the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ of ${\displaystyle G}$. If ${\displaystyle G}$ is connected, then the representation ${\displaystyle \Pi }$ of ${\displaystyle G}$ is unit$\pi {\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \pi (X)}$이(가) 각 ${\displaystyle X\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \in }$ g ${\$에 대해 스큐-자체-수정인 경우만 해당$.$^[18]

If ${\displaystyle G}$ is compact, then every representation ${\displaystyle \Pi }$ of ${\displaystyle G}$ on a finite-dimensional vector space V is "unitarizable," meaning that it is possible to choose an inner product on V so that each ${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G}$ is unitary.^[19]

무한 차원 단일 표현

Hilbert 공간 V가 무한 차원일 수 있도록 허용된다면, 유한 치수 사례에는 존재하지 않는 많은 흥미로운 특징들이 단일 표현에 관한 연구에 포함된다. 예를 들어, Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\${\$mathfrak{g}}$의 적절한 표현 구성이 기술적으로 어려워진다$$. Lie 대수표현이 잘 이해되는 한 가지 설정은 관련 Lie 대수표현이 a (g,K)-module을 형성하는 세미 구현(또는 환원) Lie 그룹의 설정이다.

단수체 표현의 예는 양자역학과 양자장 이론에서 발생하지만, 다음 예와 같이 푸리에 분석에서도 나타난다. Let ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$, and let the complex Hilbert space V be ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$. We define the representation ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))}$ by

$[\displaystyle [\displaystyle [\a)(f)](x)=f(x-a)]}$

여기 리 그룹의 단일 표현들이 분석된 몇 가지 중요한 예들이 있다.

• 스톤-본 노이만 정리는 하이젠베르크 집단의 불가해한 단일적 표현에 대한 분류를 부여하는 것으로 이해할 수 있다.
• 위그너의 푸앵카레 집단의 대표 분류는 입자의 질량과 스핀을 어떻게 집단 이데올로기적 용어로 이해할 수 있는지를 보여주면서 양자장 이론에서 주요한 개념적 역할을 한다.
• SL(2,R)의 대표이론은 V. 바그만(V. Bargmann)이 고안한 것으로, 비컴팩트 반이 구현된 Lie 집단의 단일 대표 연구에 대한 시제품 역할을 한다.

투영적 표현

양자물리학에서는 흔히 Lie $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 투사적인 단일 표현에 관심이 있다$.$ 이러한 관심의 이유는 양자 시스템의 상태가 Hilbert $공간{\displaystyle \mathbf{}}$ H ${\$ {$H}$에서 벡터로 표현되지만 상수에 의해 다른 두 상태가 ac라는 이해와 함께 나타나기 때문이다$.$물리적으로 같은 상태. 힐버트 공간의 대칭은 그 후 유니터리 운영자에 의해 설명되지만, ID의 배수인 유니터리 운영자는 시스템의 물리적 상태를 변경하지 않는다. 따라서 우리는 일반적인 단일적 표현(즉, $G{\displaystyle }${\$displaystyle G}$을(를) 단일적 $그룹{\displaystyle }$ U (${\displaystyle H\mathbf{})}${\$displaystyle$ U$(\mathbf {H})$에 대한 동형 표현$)$보다는 투영적 단일적 표현(즉, $G{\displaystyle }$ ${\displaysty G}$을 투영적 단일 그룹에 대한$$ 동형 표현)에 관심이 있다.

${\displaystyle PU(\mathbf {H}):=U(\mathbf {H} )/\{e^{i\ta }I\}}$

다르게 표현하면, ${\displaystyle \mathrm{투영적}}$ 표현을 위해, $un{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g),\,\,$g\,$g\in G}$의 단일 운영자 패밀리를 구성한다$.$ 여기서 ${\displaystyle \rho }$( g$){\displaysty \rho (g)$를 절대값 1의 상수로 변경하는 것은 "동일한" 운영자로 간주된다. 연산자 $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \rho (g)}$이(가) 다음 상수까지 동형동성 속성을 충족해야 한다$$.

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=e^{i\theta_{g,h}\rho (gh)}$

우리는 이미 위의 회전 그룹 SO(3)의 수정 불가능한 단일 돌출 표현에 대해 논의했다; 투영 표현을 고려할 때 정수 회전 외에 부분 회전도 허용된다.

Bargmann의 정리에서는 $특정{\displaystyle }$ 유형의 Lie 그룹 G ${\displaystyle G}$에$$대해$$G {\$displaystyle G}$의 불가해한 투영적 단일 $표현$은 G$${\$displaystyle$G}의 보편적 표지의 일반적인 단일 표현과 일대일 일치한다고 밝히고$$ 있다$.$ Bargmann의 정리가 ar를 적용하는 중요한 예들e SO(3)(앞서 언급한 바와 같이)와 푸앵카레 그룹. 후자의 경우는 위그너가 양자장 이론에 응용하여 푸앵카레 집단의 투영적 표현을 분류하는 데 중요하다.

바르그만의 정리가 적용되지 않는 한 가지 예는 $그룹{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$^{$2n}$이다$.$ The set of translations in position and momentum on ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ form a projective unitary representation of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ but they do not come from an ordinary representation of the universal cover of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}$$}$——${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}${\$displaystyle \mathb {R}$^{$2n}$ 그 자체$$. 이 경우 통상적인 대표성을 얻기 위해서는 하이젠베르크 그룹으로 넘어가야 하는데, 이는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$의 1차원 중앙 확장이다(여기서 토론 참조).

상쇄 케이스

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 상호 작용 Lie 그룹이라면 복잡한$$ 벡터 공간에서 $G$ ${\displaystyle$ G$}$의 모든 수정 불가능한 단일 표현은 1차원이다. (이 주장은 슈르의 보조마에서 따르며, 표현들이 유한한 치수라고 미리 가정하지 않더라도 유지된다.) 따라서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 불가해한 단일 표현은 $단순히$ G ${\displaystyle G}$이(가) 단위 서클 그룹 U(1)에$$ 대한 연속적인 동형상일 뿐이다. 예를 들어 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$인 경우$,$ 수정할 수 없는 단일 표현은 형식을 가진다.

${\displaystyle \mathrm{\pi }}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ e ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \Pi (x)=[e^{iax$

실제 번호 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$을(를) 선택하십시오$.$

이 경우 폰트랴긴 이중성을 참조하십시오.

참고 항목

• 연결된 컴팩트 그룹의 표현 이론
• 리 대수 표현
• 투영적 표현
• SU(2)의 표현 이론
• 로렌츠 그룹의 표현 이론
• 홉프알제브라의 표현 이론
• Lie 그룹의 부호 표현
• 거짓말 그룹 주제 목록
• 양자역학의 대칭
• 위그너 D 매트릭스

메모들

참조

• Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, 140 (2nd ed.), Boston: Birkhäuser.
• 2003년 재인쇄는 몇몇 인쇄상의 실수를 바로잡는다Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7.
• Weinberg, S. (2002) [1995], Foundations, The Quantum Theory of Fields, 1, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7