카시미르 원소

수학에서 Casimir 원소(Casimir invariant 또는 Casimir 연산자로도 알려져 있음)는 Lie 대수학의 보편적 포락 대수 중심에서 구별되는 요소다.원형적인 예로는 3차원 회전 그룹의 카시미르 요소인 각운동량 제곱 연산자가 있다.

카시미르 원소의 이름은 1931년 강체 신체 역학에 대한 그의 설명에서 그들을 확인한 헨드릭 카시미르에서 따온 것이다.^[1]

정의

가장 많이 사용되는 카시미르 불변제는 이차 불변성이다.정의하기 가장 간단하며, 그렇게 먼저 주어진다.그러나 순서가 더 높은 카시미르 불변량도 있을 수 있는데, 이는 순서가 더 높은 동질의 대칭 다항식에 해당하며, 그 정의는 마지막으로 주어진다.

2차 카시미르 원소

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) $n{\displaystyle }${\$displaystyle$n} - 차원$$ Lie 대수라고 가정합시다.Let B be a nondegenerate bilinear form on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ that is invariant under the adjoint action of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ on itself, meaning that ${\displaystyle B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0}$ for all$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 X, Y, Z. (b의 가장 일반적인 선택은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 반실행인 경우 Killing 양식이다.)내버려두다

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}}$

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 어떤 기초가 된다$.$

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}}$

B에 대한$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 이중 기준이 된다.B에 대한$$ Casimir 요소 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$}은 공식으로$$ 주어진 범용 봉투 대수 $U{\displaystyle (g}$) ${\displaystyle$ U$({\mathfrak {g})$의 요소다.

${\displaystyle \Oomega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$

비록 그 정의는 리 대수학의 기초 선택에 의존하지만, Ω은 이 선택과 무관하다는 것을 쉽게 보여줄 수 있다.반면에 Ω은 B형 이선형에 의존한다.B의 불변성은 Casimir 원소가 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$g {\$displaystyle${\$mathfrak{$g$\}$의 모든 원소와 통근하고, 따라서 범용포락 대수 U ($g$)${\displaystyle$ U$({\mathfak$ {$g})}$의 중심에 놓여 있음을 암시한다$.$^[2]

선형 표현과 부드러운 동작의 Casimir 불변성

벡터 공간 V에 $g$ ${\$의 표현 ρ에 따라 ρ의 Casimir 불변량은 공식에 의해 주어진 V의 선형 연산자 ),(Ω)으로 정의된다.

$\displaystyle \rho(\Oomega )=\sum _{i=1}^{n}\rho(X_{i})\rho(X^{i}).}$

이 건축의 구체적인 형태는 미분 기하학 및 글로벌 분석에 중요한 역할을 한다.Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$과(와) 연결된 Lie 그룹 G가 다른 다지관 M에 작용한다고 가정합시다.M의 매끄러운 기능 공간에 해당하는 G의 표현 ρ을 고려한다.$그런{\displaystyle \mathfrak{}}$ 다음 G ${\$의 요소를 M의 첫 번째 순서 차등 연산자로 나타낸다$$.이 상황에서 ρ의 카시미르 불변제는 위의 공식에 의해 정의된 M에 대한 G-invariant 2차 차등 연산자다.

더 전문적으로 말하자면, M이 이등변수에 의해 G가 전이적으로 작용하는 리만니안 측정지표를 가지고 있고, 어떤 점의 스태빌라이저 부분군_x G가 X에서 M의 접선 공간에 불가해하게 작용하는 일이 일어난다면, ρ의 카시미르 불변성은 미터법에서 오는 라플라시안 연산자의 스칼라 배수가 된다.

더 일반적인 카시미르 불변성 물질도 정의될 수 있는데, 프레드홀름 이론의 사이비 차등 연산자의 연구에서 흔히 발생한다.

일반사례

알헤브라를 보편적으로 감싸는 것에 관한 기사는 카시미르 운영자에 대한 상세하고 정확한 정의와 그들의 재산의 일부에 대한 설명을 제공한다.특히 모든 Casimir 연산자는 부선 표현 ${\displaystyle {\mathrm{ad}}_{}}$. ${\displaystyle {g.}_{}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}$의 대칭 대수에서 대칭 동종 다항식에 해당한다.$}}$ 즉$$, 일반적으로는 카시미르 운영자라면 누구나 그 양식을 갖게 된다는 것이다.

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}}}}}}}}$

여기서 m은 대칭 텐서 $\kappa {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\displaystyle {\cdots }^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$의 순서와 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$displaystyle X_{i}}}$는${\displaystyle }g{\displaystyle \mathfrak{}}$. {\$displaystyle {\mathfak {g}$의 벡터 공간 기초를 형성한다$$.$}$ 대칭 동종 다항식에 해당함$$

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}}}$

다항 대수 $K{\displaystyle }$[ ${\displaystyle t_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle \cdots ,}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots,t_{k}]$의 m 불확정 변수 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에서 필드 K에 걸쳐$$ 있다.대칭의 이유는 PBW 정리에서 따르며, 알헤브라를 보편적으로 감싸는 것에 관한 기사에서 훨씬 더 자세히 논의되고 있다.

대칭 텐서(대칭 동종 다항식)만 하는 것이 아니라, 그것은 분명히 Lie bracket과 함께 통근해야 한다.즉, 사람은 반드시 그것을 가져야 한다.

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$

모든 기본 요소 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$. ${\displaystyle X_{i}.$${}$ 제안된$$ 대칭 다항식을 명시적으로 확인하여 구조 상수를 사용할 수 있음

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}}}}}$

얻기 위해

${\displaystyle f_{ij}^{\\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{l}^{kl\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{f_{ij}^;\m}\kl\cdoppa=0}$

이 결과는 원래 이스라엘 겔판드 덕분이다.^[3]정류관계는 카시미르 연산자가 보편적 포락대수의 중심에 놓여 있으며, 특히 언제나 리 대수의 어떤 요소와 함께 통근한다는 것을 암시한다.관계 카시미르 연산자의 고유값으로 리 대수표시를 할 수 있는 것은 이 감화의 속성 때문이다.

위에서 설명한 대칭 다항식의 어떤 선형 조합도 중심에 위치할 것이다. 따라서, Casimir 연산자는 정의에 따라 이 공간을 포괄하는 부분 집합(이 공간에 대한 기초를 제공하는 부분 집합)으로 제한된다.r등급의 반실행 Lie 대수학에는 r Casimir invariants가 있을 것이다.

특성.

유니크함

단순한 거짓말 대수학의 경우 모든 불변 이선형 형태는 킬링 형태의 배수가므로 해당 카시미르 요소는 상수까지 고유하게 정의된다.일반적인 반실행 리 대수학의 경우 불변형 이린어 형태의 공간은 각 단순한 요소마다 하나의 기본 벡터를 가지고 있으며, 따라서 해당 카시미르 연산자의 공간도 마찬가지다.

G 상의 라플라시안과의 관계

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) Lie 대수 g ${\$ {$g}$을(를) 가진 Lie 그룹인$$ 경우$,$ $G{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에서 불변 이선형 형태의 선택은 G ${\$displaysty $G}$의 바이바이맨 메트릭 선택과 일치한다$.$$G{\displaystyle \mathfrak{}}$ {\$displaystyle$$G}$에 왼쪽 불변 미분 연산자가 있는$$ $G{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle$ G}에 있는 G {\$displaystyle {\mathfak$ {$g}$의 바이인바리 $측정지표$와 관련하여, 이선형 형태의 Casimir 요소가 $G{\displaystyle }$ ${\displaystysty$G}의 라플라크에 매핑된다$$$.$$$

일반화

카시미르 연산자는 리 대수의 만능 포락 대수 중심에서 구별되는 이차적 요소다.즉, 리 대수에서 모든 발전기와 통근하는 것은 모든 미분 연산자의 대수적 구성원이다.사실 만능포함대수의 중심에 있는 모든 이차적 요소들은 이렇게 생겨난다.단, 중심에는 다른 비 2차적 요소가 포함될 수 있다.

라카의 정리로는 ^[4]반실행 리 대수학에서 보편적 포락 대수학의 중심 치수는 그 등급과 같다.카시미르 운영자는 일반적인 반실현 Lie 그룹에 라플라시안의 개념을 제시하지만, 이러한 셈법은 1위 이하의 라플라시안의 고유한 아날로그가 없을 수도 있다는 것을 보여준다.

정의에 의해 보편적 포락 대수 중심부의 어떤 구성원은 대수학의 다른 모든 요소들과 통근한다.슈르의 렘마에 의해, 리 대수학의 어떤 돌이킬 수 없는 표현에서, 카시미르 연산자는 따라서 정체성에 비례한다.이 비례성의 상수는 Lie 대수(그리고 그 Lie 그룹의 표현도 분류하는 데 사용될 수 있다.물리적 질량과 스핀은 양자역학에서 발견되는 많은 다른 양자수들과 마찬가지로 이러한 상수의 예들이다.표면적으로 위상 양자수는 이 패턴의 예외를 형성한다; 비록 더 깊은 이론들이 그것들이 같은 현상의 두 면이라는 것을 암시하지만.^{[according to whom?]}

예: sl(2)

리 대수 l ${\displaystyle {\mathfrak{2}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbb{}}$ ${\$ {$sl}_{2}\mathb {C}}}은($는) 트레이스가 0인 2x2의 복잡한 행렬로 구성되어 있다$$.다음과 같은 세 가지 표준 기본 요소, 즉 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$및 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이$($가) 있다.

${\displaystyle e={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle f={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle h={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$.

교신자들은

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$= h ${\displaystyle [e,f]=h$${\displaystyle }$[ h${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ f ${\displaystyle [h,f]=-2f$ 그리고 $[{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle e.}$ ${\displaysty [h,$$e]=2e$.$}$

카시미르 요소가

예: so(3)

리 대수 $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{o}}$ ( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle {\mathfrak{so}}(3)$는 3차원 유클리드 공간의 회전 그룹인 SO(3)의 리 대수다.1등급을 단순화하여 단독의 카시미르를 가지고 있다.회전 그룹에 대한 킬링 폼은 크론커 델타일 뿐이고, 따라서 카시미르 불변량은 단순히 대수학의$$ ${\displaystyle {발전기}_{}{L}_{}}$ ${\displaystyle x{}_{}}$, L ${\displaystyle y_{}}$ ,$$L z {\$displaystyle L_{x},\,L_{$y},\,$L_{z}$의 제곱합이다.즉, 카시미르 불변제는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$

Consider the irreducible representation of ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ in which the largest eigenvalue of ${\displaystyle L_{z}}$ is ${\displaystyle \ell }$, where the possible values of ${\displaystyle \ell }$ are ${\displaystyle 0,1/2,1,3/2,\ldots }$.Casimir 연산자의 침입은 ID 연산자 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 배수임을 암시한다$.$ 이 상수는 명시적으로 계산할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 제공한다^[5].

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell(\ell +1)I.}$

양자역학에서 스칼라 값 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$을(를) 총 각도 운동량이라고 한다.회전 그룹의 유한 차원 매트릭스 값 표현에 대해 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$은(는) 항상$$ 정수 값(보손 표현) 또는 반정수 값(페르미온 표현용)을 취한다.

주어진 값 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell$ $\}$의 경우 행렬 표현은${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \ell }$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (2\ell +$1$)$-차원이다$$.따라서 예를 들어, $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{o}}$ (${\displaystyle 3}$ )$${\$displaystyle${\$mathfrak{\$mathfrak$}{so}}}$에 ${\displaystyle 대한\mathrm{}}$ 3차원 표현은$display$= 1 ${\displaystyle$\ell$$\,=\,1}에 해당하며$,$ 생성자에 의해 주어진다.

${\displaystyle L_{x}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};\quad L_{y}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};\quad L_{z}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$

여기서 발생기는 스큐-자체 점자 연산자여야 한다는 물리학 규약(여기서 사용)과의 합의에 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 요인이 필요하다$$.^[6]

이차적 카시미르 불변제는 그러면 쉽게 손으로 계산할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}}}$

$as{\displaystyle }$(${\displaystyle \ell }$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \ell (\ell +1)\,=\,2}$일 $때{\displaystyle 1}$ =$$1 {\$displaystyle \ell$\,=\,$2$ 마찬가지로, 2차원 표현은 Pauli 행렬에 의해 주어진 근거를 가지고 있는데, 이는 1/2 스핀에 해당하며, 직접 연산에 의한 Casimir 공식도 다시 확인할 수 있다.

아이겐값

$포락{\displaystyle \mathrm{}}$ 대수에서$Ω$ {\$displaystyle \$Oomega}이(가) 중심임을$$ 감안하여 스칼라에 의한 간단한 모듈에 작용한다.Let ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ be any bilinear symmetric non-degenerate form, by which we define ${\displaystyle \Omega }$. Let ${\displaystyle L(\lambda )}$ be the finite dimensional highest weight module of weight ${\displaystyle \lambda }$. Then the Casimir element ${\dis$$Playstyle \Oomega}$은(는) 상수에 의해$$ $L{\displaystyle }$ (${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle L(\lambda )}$에 작용한다$$.

$\displaystyle \langle \langle \langle \langle \langle \langle \langle ,\rho \rho \langle ,}$

여기서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은 양의 근의 절반 합으로 정의된 가중치다.^[7]

중요한 점은 $L{\displaystyle }$ (${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle$ L$(\lambda )}$이(가) 비경쟁(즉, $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda \neq$ 0$}$인 경우)$$이면 위의 상수가 0이 아니라는 점이다.만약 λ 0{\displaystyle \lambda 0\neq}≠ 결국, 이후λ{\lambda\displaystyle}, ⟨ λ,λ ⟩>0{,\lambda \rangle 을 \lambda\displaystyle \langle;0}과⟨ λ,ρ ⟩ ≥ 0{\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0},⟨ λ, λ+2ρ ⟩>0{\displaystyle \langle \lambd을 보여 주는 지배적이다.한 ,\lamb$da +2\rho \랑글 >0$이 관찰은 완전한 환원성에 대한 Weyl의 정리의 입증에 중요한 역할을 한다.또한 고유값에 대한 명시적 공식을 사용하지 않고 카탄의 기준을 사용하여 보다 추상적인 방법으로 고유값의 비반복성을 증명할 수도 있다. 험프리스 책에서 제4.3절과 제6.2절을 참조.

참고 항목

• 하리쉬-찬드라 이소모르피즘
• 파울리-루반스키 유사점자
• 클렙슈-고단 계수

참조

추가 읽기

• Humphreys, James E. (1978). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 9 (Second printing, revised ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Jacobson, Nathan (1979). Lie algebras. Dover Publications. pp. 243–249. ISBN 0-486-63832-4.
• https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element