게이지 이론 및 양자 중력에서의 루프 표현

표준 모델 이상
시뮬레이션된 대형 하드론 충돌기 CMS 입자 검출기 데이터: 양자를 하드론 제트와 전자로 충돌시켜 생성된 힉스 보손(Higgs boson)을 묘사함
표준 모델
증거 계층 문제 암흑 물질 암흑 에너지 퀸테센스 팬텀 에너지 암흑방사 다크 광자 우주 상수 문제 강력한 CP 문제 중성미자 진동
이론들 브란스-디케 이론 우주검열 가설 5번째 힘 F-이론 만물론 통일장론 대통합론 테크니컬러 칼루자-클레인 이론 위상 양자장 이론 국소 양자장 이론 리우빌장설 6D(2,0) 초적합장 이론 비확정 양자장 이론 양자 우주론 브레인 우주론 끈 이론 슈퍼스트링 이론 엠이론 수학적 우주 가설 거울물질 랜달-선드럼 모델 양-밀스 이론 N = 4 초대칭 양-밀 이론 트위스터 끈 이론 다크 유체 이중 특수 상대성 시터 불변 특수 상대성 인과 페르미온 시스템 블랙홀 열역학 운입자물리학 그라비포톤 그라비스칼라 그라비톤 그라비티노 중력 게이지 중력 이론 게이지 이론 중력 CPT 대칭
초대칭 MSSM NMSSM 슈퍼스트링 이론 엠이론 초중력 초대칭파단 추가 치수 큰 추가 치수
양자 중력 거짓진공 끈 이론 스핀 폼 양자 거품 양자 기하학 루프 양자중력 양자 우주론 루프 양자 우주론 인과 동적 삼각측량 인과 페르미온 시스템 원인 집합 표준 양자중력 반전위중력 초유체 진공 이론
실험 애니 그란 사소 이노 LHC SNO 슈퍼K 테바트론 노바
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게이지 이론을 윌슨 루프나 홀로노믹스와 같은 확장된 물체 측면에서 설명하려는 시도가 있었다.루프 표현은 루프의 관점에서 게이지 이론을 양자 해밀턴식으로 표현한 것이다.양-밀스 이론의 맥락에서 루프 표현의 목적은 물리적 상태(가우스 게이지 불변 상태)의 공간에서 직접 작동할 수 있도록 가우스 게이지 대칭에 의해 도입된 중복성을 피하는 것이다.이 사상은 격자 양-밀스 이론의 맥락에서 잘 알려져 있다(격자 게이지 이론 참조).감비니와 트라이아스가 정론적인 양-밀스 이론을 위해 연속적인 루프 표현을 탐구하려고 시도했지만, 단일한 사물을 나타내기 때문에 어려움이 있었다.우리가 보게 될 루프 형식주의는 단순한 게이지 불변적 설명을 훨씬 뛰어넘을 것이며, 사실 게이지 이론과 양자 중력을 그들의 근본적인 육체적 흥분이라는 관점에서 다루는 것은 자연 기하학적 틀이다.

새로운 변수 집합(아슈테카 변수)의 아슈테카르의 도입으로 일반 상대성이론을 게이지 이론과 같은 언어로 캐스팅하고, 아인슈타인의 이론에 대한 자연적인 비주동적 서술로서 루프 기법을 적용할 수 있게 되었다.표준 양자 중력에서 연속 루프 표현을 사용하는 어려움은 일반 상대성 이론의 공간적 차이점형성 불변성으로 치유된다.루프 표현은 또한 공간적 차이점형성 제약에 대한 자연적인 해결책을 제공하여 표준 양자 중력과 매듭 이론을 연결시킨다.놀랍게도, Ashtekar의 원래 (이미 정의된) 것에 정확한 (정식일 경우) 해결책을 제공하는 일련의 루프 상태들이 있었다.휠러-드위트 방정식.따라서 이 표현에서 표준 양자 일반 중력의 모든 방정식에 대해 정확한 (공식일 경우) 해결책의 무한 집합이 확인되었다!이는 접근법에 많은 관심을 유발했고 결국 루프 양자중력(LQG)으로 이어졌다.

루프 표현은 수학에서 응용을 찾아냈다.위상 양자장 이론이 루프 관점에서 공식화된다면, 그 결과 수량은 매듭 불변제라고 알려진 것이어야 한다.위상학 분야 이론은 한정된 수의 자유만 포함하므로 정확히 해결할 수 있다.결과적으로, 그들은 매듭의 불변인 구체적인 계산 가능한 표현을 제공한다.이것이 바로 체르-시몬스의 계산 루프 의존적 수량과 다른 3차원 위상 양자장 이론들이 매듭 불변제들에 대한 명시적이고 분석적인 표현을 생각해 낼 수 있다는 것을 알아차린 에드워드 위튼의^[1] 통찰이었다.이것에 대한 그의 업적으로, 1990년에 그는 필즈 메달을 받았다.그는 지금까지 수학에서 가장 큰 영광으로 여겨지는 필즈 메달을 받은 최초의 유일한 물리학자다.

맥스웰 이론의 게이지 불변성

게이지 대칭의 사상은 맥스웰의 이론에 소개되었다.맥스웰 방정식은

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\rho \over \epsilon _{0}}\qquad \nabla \times {\vec {B}}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\partial {\vec {E}} \over \partial t}=\mu _{0}{\vec {J}}\qquad \nabla \times {\vec {E}}+{\partial {\vec {B}} \over \partial t}=0\qquad \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

여기서 ${\displaystyle \rho}$은(는) 전하 밀도이고$$, $J{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ 현재$$ 밀도.마지막 두 방정식은 스칼라 전위 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$및 벡터 $전위{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ,${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$의 관점에서 필드를 작성하면 해결할 수 있다$.$

${\displaystyle \stackrel{}{E}}$→ = =$∇$ ${\displaystyle \varphi \frac{}{}\stackrel{}{}}$ -${\displaystyle \frac{\partial }{\mathrm{}}}$ × × ×${\displaystyle \frac{\stackrel{}{}}{}\times }$× × ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \stackrel{}{\times }}$ ${\displaystyle \mathrm{\times }}$ × { ${\displaystyle \stackrel{}{\times }}$ ×$$\\\$vc{\$ \$partial {\$partial {\$partial$ t$}{\vec{A$}}} $\partial$ t$}\$partial t}{\$c{\$bec{\$bec}}}}}}}\bla$

전위는 필드를 고유하게 결정하지만, 전위는 전위를 고유하게 결정하지 않는다 - 우리는 다음과 같이 변경할 수 있다.

${\displaystyle \phi '=\phi +{\partial \lambda \over \partial t}\qquad {\vec {A}}={\vec {A}-\nabla \lambda }}}$

전기장과 자기장에 영향을 주지 않고, 여기서 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}(x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, $){\displaystyle \Lambda({\vec{x},t)}$는 공간 시간의 임의 함수다.이를 게이지 변환이라고 한다.우아한 상대론적 표기법이 있다: 게이지장은

${\displaystyle A^{\mu }=(\phi ,{\vec{A})}}$

위의 게이지 변환 판독값,

${\displaystyle {{\mu }^{}}^{}}$μ${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mu }^{}}$ +${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$μ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ μ μ μ$$ {\$displaystyle {A^{\mu }}}=A^{\mu }+\partial ^{\mu }\lambda$ $\}\}\}.$

소위 자기장 강도 텐서라고 불리는 것이 도입되고,

${\displaystyle F^{\mu \nu \}=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }}}}{\nu }A^{\mu }}}}}}}$

게이지 변환 시 불변성이 쉽게 나타난다.구성 요소에서,

${\$$E^{i},\qquad \epsilon ^{ijk}$$F^{jk}=B^{i$

맥스웰의 출처 없는 조치는 다음과 같다.

${\displaystyle S}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$μ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (F{}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle F^{}}$ μ μ μ ${\displaystyle {\nu }^{}}$ ) $dplaystyle$ S$=-{1 \over$ 2$}\int$ d$^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{}{\mu \nu$ \nu $}{\$Big $)\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

물리학을 변경하지 않고 and(${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Lambda({\vec{x},t$를 변경하여 공간과 ${\displaystyle \mathrm{시간}}$의 서로 다른 지점에서 게이지 전위를 변화시키는 기능을 국부적 침입이라고 한다.${\displaystyle \mathrm{전자기}}$ 이론은 $U{\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ U$(1)}$이라고 하는 가장 단순한 종류의 국소 게이지 대칭을 가지고 있다($$단일 그룹 참조).국소 게이지의 불변성을 표시하는 이론을 게이지 이론이라고 한다.다른 게이지 이론을 공식화하기 위해 우리는 위의 추론을 뒤집는다.이것이 다음 절의 주제다.

연결 및 이론 측정

연결과 맥스웰의 이론

우리는 양자역학을 통해 파동함수인 $\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ $){\displaystyle \psi (x)}$를 대체하면 전자장을 다음과 같이 기술한다는 것을 알고 있다$.$

${\displaystyle \property '(x)=\exp(i\theta )\reason(x)}$

물리적 예측을 변경하지 않고 그대로 둔다는 겁니다.우리는 전자장의 위상에 국부적 불변성을 부과하는 것을 고려한다.

${\displaystyle \psi '(x)=\Oomega \psi(x)=\exp(i\theta(x)\psi(x)}$

$문제$는 : (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi (x)}$의 파생상품이 다음과 같은 변환에서 공변량이 아니라는$$ 점이다.

${\displaystyle \partial _{\mu }(\exp(i\theta (x))\psi (x))=\Omega \partial _{\mu }\psi (x)+\partial _{\mu }\Omega \psi (x)}$.

두 번째 원하지 않는 용어를 취소하기 위해 공변량인$$ $D{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$을(를) 새로 도입한다.$D{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$을$($를) 구성하려면 새로운 필드, $연결{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$을(를) 도입한다$.$

${\displaystyle {\mathcal {D}_{\mu }=\partial _{\mu }}+igA_$$$$(*\mu }(x$

그러면

${\displaystyle({\mathcal{D}_{\mu }\psi )=\partial _{\mu }\psi '+igA_{\mu }'\psi '=\Oomega \partial \partial \partial _}\psi_\psi}$

${\displaystyle {}_{}\mathrm{}}{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$Ω ${\displaystyle \partial _{\mu }\Oomega }$라는 용어는 연결 필드 변환을 다음과 같이 요구하여 정확하게 취소된다$$.

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=$$A_{\mu }(x)+{i \over g}[\partial _{\mu }\오메가(x)]$$\Oomega ^{-1}(x)\quad Eq1.}$.

그러면 우리는 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle ({\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}=}$ = ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ D ${\displaystyle {\mu }_{}}$ {\$displaystyle({\mathcal{D$}_${\mu$}\$psi )=\Oomega{\mathcal{D}_{\mu }\psi$ $\}.$

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{q}}$ 1 ${\displaystyle Eq1$}은$($는)

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{1 \over g}\partial _{\mu }\theta (x)}$

맥스웰 이론의 게이지 전위성의 게이지 변환과 같아 보인다.연결 필드 자체에 대한 불변 동작을 구성할 수 있다.우리는 두 개의 파생상품만 가지고 있는 조치를 원한다. (더 높은 파생상품을 가진 행동은 단일화된 것이 아니기 때문이다.)수량 정의:

${\displaystyle F_{\mu \nu }={-i \over g}[{\mathcal {D}_{\mu }}},{\mathcal {D}_{\mu }]={-i \i \over g}[\partial _}}+IGA]{\mu }(x),\partial _{\nu }+igA_{\nu }(x)]}$

${\displaystyle ={-i \over g}{\Big (}[\partial _{\mu },\partial _{\nu }]+ig(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })-g^{2}[A_{\mu },A_{\nu }]{\Big )}}$

${\displaystyle ={}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mu A}_{}}$ -$$ ν ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$ { { {$${ {\$displaystyle$=\$partial$_{\$mu }$A_{\$nu$}-\$partial _${\$nu$_$\}.$

두 개의 파생상품만 사용하는 고유한 조치는 다음과 같다.

${\displaystyle S}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$μ d ${\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle (F{}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ d ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ μ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ν${\displaystyle {}^{}}$) ${\$}:{2$}}\int d^{4}x{\Big (}F_\mu \nu \f^{}{}{\mu \nu$ }{\big $)\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

따라서 오로지 대칭에 근거한 주장에서 전자기 이론을 도출할 수 있다.

연결과 양-밀스 게이지 이론

우리는 이제 위의 추론을 일반 게이지 그룹에 일반화한다.하나는 어떤 Lie 대수학의 생성기로부터 시작된다.

${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=if^{ijk}T^{k}}}$

로 변신하는 페르미온 들판이 있게 하라.

${\displaystyle \mathbf {\psi } '\mapsto {\hat {\Oomega }}\mathbf {\\psi }(x)=\exp(i\t^{i})(x)\mathbf {\psi}$

다시 말해 $again{\displaystyle \mathbf{}}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \mathbf {\Psi$} ($x)}$의 파생상품은 이 변환에서 공변량이 아니다$$.공변량 파생상품을 도입한다.

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D} _{\mu }=\mathbf {I} \partial _{\mu }+igg\mathbf {A} _{\mu }(x)}$

에 의해 주어지는 연결 필드를 사용하여

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)T^{i}}}}}}}$

$A{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$ 변환을$$ 다음과 같이 요구한다.

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }'(x)={\hat {\Omega }}\mathbf {A} _{\mu }(x){\hat {\Omega }}^{-1}+{i \over g}{\hat {\Omega }}(\partial _{\mu }{\hat {\Omega }}^{-1})}$.

전기장 강도 연산자를 정의한다.

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }=-{i \over g}[\mathbf {\mathcal {D}} _{\mu },\mathbf {\mathcal {D}} _{\nu }]=\partia$$l _{\mu }\mathbf {A} _{\nu }-\partial _{\nu }\mathbf {A} _{\mu }+ig[\mathbf {A} _{\mu },\mathbf {A} _{\nu }]=(\partial _{\mu }A_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{i}+gf^{ijk}$$A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k}}$$T^{i$

$D{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$이(가) 공변성이므로$$, $이$는 ${\displaystyle F_{}^{}}$ μ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ i ${\$ 텐서 역시$$ 공변량이라는 것을 의미한다.

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }\mapsto \mathbf {F} _{\mu \nu}={\Oomega}}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat{\}-1}:{-1}:{-1}$

$^{\$$\mathbf {F} _{\$$mu$ $\$$nu}}}}}$이(가) 스칼라인$$ 경우, 즉 전자석의 경우에만 게이지 변환에 불변한다는$$ 점에 유의하십시오.

우리는 이제 이 텐서로부터 불변적인 행동을 구성할 수 있다.우리는 다시 두 개의 파생상품만 가지고 있는 조치를 원한다.가장 간단한 선택은 정류자의 추적이다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}{\hat {\Omega }}\mathbf {F} ^{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1})=\operatorname {Tr} (\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })}$

두 개의 파생상품만 사용하는 고유한 조치는 다음과 같다.

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}xTr(\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })=-{1 \over 2}\int d^{4}x\operatorname {Tr} {\Big (}F_{\mu \nu }^{i}T^{j}F_{j}^{\mu \nu \}T^{j}{\Big )}}}}}}}$

이것이 양밀스 이론의 작용이다.

맥스웰 이론의 루프 표현

우리는 양자 맥스웰 게이지 이론에서 표현의 변화를 고려한다.아이디어는 연결 상태가 있는 내부 제품이 다음에 의해 제공되는$$ 루프 loo${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ⟩}${ {\$displaystyle \mid \gamma \rangele }$에 의해 라벨이 표시된 상태의 기초를 도입하는 것이다.

$\displaystyle \langle A\mid \gamma \rangle =W(\gamma )=\exp \ie \int _{\gamma }dy^{\alpha }}{\alpha }(y)\right]}}}}}$

루프 기능 $W{\displaystyle }$ (${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle$ W$(\gamma$ $)}$은 아벨리안 U ( $1{\displaystyle }$ ) $displaystyle$ U(1) $케이스에 대한$윌슨 루프다$$.

양-밀스 이론의 루프 표현

단순성을 위해 고려한다(그리고 나중에 이것이 LQG의 관련 게이지 그룹임을 알게 될 것이기 때문에) S ${\displaystyle \mathrm{U}}$( 2$){\displaystyle SU(2)}}$양-밀스$$ 이론은 4차원이다.The field variable of the continuous theory is an ${\displaystyle SU(2)}$ connection (or gauge potential) ${\displaystyle A_{\mu }^{i}(x)}$, where ${\displaystyle i}$ is an index in the Lie algebra of ${\displaystyle SU(2)}$. We can write for this field

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)\tau _{i}}$

where ${\displaystyle \tau _{i}}$ are the ${\displaystyle su(2)}$ generators, that is the Pauli matrices multiplied by ${\displaystyle i/2}$. note that unlike with Maxwell's theory, the connections ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$ are matrix-valued and don't commute, that is그것들은 비아벨라 게이지 이론이다.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ (${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle SU(2)}$양-밀스$$ 이론의 해당 버전을 정의할 때는 이를 반드시 고려해야 한다.

우리는 먼저 연결 변수 측면에서 양자 이론을 설명한다.

연결 표현

In the connection representation the configuration variable is ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ and its conjugate momentum is the (densitized) triad ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$. It is most natural to consider wavefunctions ${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$.이것은 연결 표현이라고 알려져 있다.표준 변수는 양자 연산자로 승격된다.

${\displaystyle {\hat{A}_{a}^{i}\PSI [A]=A_{a}^{i}\PSI [A]}$

(위치 표현 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ^ (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$q${\displaystyle q}$ ($$q ) {\$displaystyle$ {\$q}\properties$ ($q)=q\properties (q$에 해당하며, 트라이애드는 기능성 파생상품이다.

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}_{a}^{i}}\PSI [A]=-i{\delta \Psi [A] \over \delta A_{a}^{i}}}}}}}}}$

($p{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ^ (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\psi }{}}$ (${\displaystyle \frac{q}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$}\pair $(q)=-i{d\pair (q) \over dq$

홀노미와 윌슨 루프

고전적인 양-밀스 이론으로 돌아가자.'루프 같은' 변수의 관점에서 이론의 게이지 불변 정보를 인코딩하는 것이 가능하다.

우리는 홀노미의 개념이 필요하다.홀로노미(holonomy)는 닫힌 루프를 중심으로 병렬 이송 후 스피너 또는 벡터의 초기값과 최종값이 얼마나 다른지 측정하는 것이다.

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$

홀노미에 대한 지식은 연결에 대한 지식과 동등하며, 동등성을 측정하기까지 한다.홀로노미는 가장자리와도 연관될 수 있다; 가우스 법칙 아래 이러한 변환은

${\displaystyle (h'_{e}_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma \beta }.}$

닫힌 $루프{\displaystyle }$x = ${\displaystyle y}${\$displaystyle x=y$}의 경우, 이를 추적하면$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \beta }${\$displaystyle \alpha$=\$beta$}을$$(를) 넣고 합계를 얻는다.

${\displaystyle (h'_{e}_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma \alpha }}(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

또는

${\displaystyle \operatorname {Tr}h'_{\gamma }=\operatorname {Tr}h_{\gamma }}$

따라서 폐쇄 루프 주위의 홀노미의 흔적은 게이지 불변성이다.라고 되어 있다.

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

그리고 윌슨 루프라고 불린다.홀노미의 명시적인 형태는

${\displaystyle h_{\gamma}}[A]={\mathcal{P}\exp {\big \{}-\int_{0}^{0}}}{0}}}}}{1}\gamma_{1}\dot{\gamma}A_{a}^{i}(\gamma(s))T_{i}{\Big \}}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 홀로노미를 평가하는 곡선이고, $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ s$}$은(는) 곡선을 따라가는 파라미터로, $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle s}$의 작은 값에 $대한$ 경로 순서 의미인자가 왼쪽에 나타나고$$, ${\displaystyle {Ti}_{}}$ ${\$을 가리킨다$$.$s{\displaystyle u}$ ( $){\displaystyle su(2)}$대수를$$ 만족하는 행렬이다.

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\엡실론 ^{ijk}T^{k}.\,}$

Pauli 행렬은 위의 관계를 만족시킨다.It turns out that there are infinitely many more examples of sets of matrices that satisfy these relations, where each set comprises ${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$ matrices with ${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$, and where none of these can be thought to `decompose' into two or more examples저차원의$그들$은 s ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle su(2)}$ 대수학의$$ 서로 다른 불가해한 표현이라고 불린다.가장 근본적인 표현은 Pauli 행렬이다.홀로노미는 반정수 $N{\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle N/2}$을(를) 사용해 해석할 수 없는 표현에 따라$$ 라벨을 표시한다.

윌슨 루프로부터의 게이지 전위성에 대한 자일스의 재구성 정리

양-밀스 게이지 이론에 관한 중요한 정리는 자일스의 정리인데, 그 정리에 따르면, 만일 다지관의 가능한 모든 루프에 대한 연결의 동일성의 흔적을 준다면, 원칙적으로 연결의 모든 게이지 불변 정보를 재구성할 수 있다.^[2]즉, Wilson 루프는 연결의 게이지 불변함수의 기초를 구성한다.이 핵심 결과는 게이지 이론과 중력의 루프 표현에 대한 기초가 된다.

루프 변환 및 루프 표현

Wilson 루프를 사용하면 Gauss 게이지 구속조건을 명시적으로 해결할 수 있다.Wilson 루프가 기초를 형성함에 따라 우리는 공식적으로 다음과 같이 Gauss 게이지 불변함수를 확장할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{\psi }}$[ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \gamma }$[ [ ] ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \PSI [A]=\sum _{\gamma }\psi [\gamma ]W_{\gamma }[A$

이것을 루프 변환이라고 한다.우리는 양자역학에서 모멘텀 표현으로 가는 것과 비슷한 것을 볼 수 있다.하나는 숫자 $k{\displaystyle }$ {\$displaystyle k}$로 표시된$$ 상태 $espx$(${\displaystyle \mathrm{ikx}}$) $\exp($ikx$)}$을(를) 기반으로 하고 하나는$$ 확장한다.

$[\displaystyle \x]=\int dk\properties(k)\exp(ikx).}$

확장 $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle \psi (k)}$의 계수를 사용하여 작업한다$.$

역루프 변환은 다음에 의해 정의된다.

$\displaystyle \PSI [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }}[A].}$

이것은 루프 표현을 정의한다.연결 표현에서$$ 연산자 $O{\displaystyle \hat{}}$ ${\$이(가) 지정되면,

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}\PSI [A],\qquad {\text{Eq:1}}}$

$\psi {\displaystyle \mathrm{}[\gamma ]}$ {\$displaystyle {\$o$}}$에 있는 해당 연산자 $O{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$$^$ ${\$$displaystyle {\data$ {$O}$을(를) 루프 표현에서$$ 다음을 통해 정의해야 한다.

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}\Psi[\gamma ],\qquad {\text{Eq2}}}}$

여기서 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$[ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$은(는) 일반적인 역루프 변환에 의해 정의된다$$.

$[\dA]\Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }}[A].\qquad {\text{Eq 3}}$

A transformation formula giving the action of the operator ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ on ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ in terms of the action of the operator ${\displaystyle {\hat {O}}}$ on ${\displaystyle \Psi [A]}$ is then obtained by equating the R.H.S. of ${\displ$${\displaystyle \mathrm{Eq}}$ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\$$displaystyle Eq\;3}$의 R.H.S가 있는$$ $Aystyle Eq\;2},$ ${\displaystyle Eq\mathrm{}}$ 1 {\$displaystyle Eq\;1}$을(를) $Eq{\displaystyle }$ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle Eq\;3}($으$$)로 대체한다$.$

${\displaystyle {\hat {O}'\psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\\gamma }[A]{\hat {O}\PSI [A],}$

또는

${\displaystyle {\hat {O}'\psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}^{\dagger }W_{\gamma }[A]))\PSI [A],}$

여기서 $O{\displaystyle {\hat{}}^{}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ $^{\$은(는) 연산자 $O{\displaystyle \hat{}}$ ${\$을(를) 의미하지만 역인자 순서가 있다(작성 시 연산자의 곱이 역행되는 단순 양자역학에서 기억하십시오.우리는 Wilson 루프에 대한 이 운영자의 동작을 연결부 표현에서 계산으로 평가하고 결과를 순전히 루프 측면에서 조작으로 재배열하는 것으로 평가한다(Wilson 루프에 대한 조치를 고려할 때 o에 대한 반대 요소 순서와 함께 변환하고자 하는 운영자를 선택해야 함을 기억해야 한다).파형 기능 $ctions{\displaystyle \mathrm{}}$[ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$에 대한 동작을 위해 ne가 선택됨.$$

양자 중력의 루프 표현

아슈테카르-바르베로 정석 양자중력 변수

아슈테카 변수의 도입은 게이지 이론과 같은 언어로 일반상대성이론을 주조했다.특히 가우스의 법칙에 대한 해결의 공간과 공간적 차이점형 구속조건을 잘 통제할 수 없는 것이 로벨리와 스몰린이 새로운 대표성, 즉 루프표현을 고려하게 만들었다.^[3]

공간적 차이점형성의 제약을 다루려면 루프 표현으로 넘어가야 한다.위의 추론은 $연산자{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ O ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\hat{O}}}}$의 물리적 의미를 부여한다$.$ 예를 들어 $O{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$^ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ $^{\data$}^{$O}^{\dager }}}}}}$이 공간적 차이점형과 일치한다면$$ 이는 W ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ [$]$의 연결장 $A를$유지하는 것으로 생각할 수 있다.$splaystyle W_{\gamma }}{\gamma }$$여기$서 diffe ${\displaystyle \gamma }$에서 공간 차이점 형상을 대신 수행함.따라서 $O{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ $^$ {\$displaystyle {\hat$ {O$}}$의 의미는 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$에 대한 공간적 차이점형주의로$$,$$$\psi {\displaystyle \mathrm{}}$[${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyle \Psi [\gamma ]}$의 주장이다$.$

루프 표현에서 우리는 루프 $\gamma$의 공간적 차이점 γ [${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ]}$ ${\$$displaystyle$ $\Psi [\$$gamma ]}$ 루프$$ γ의 공간 차이점 γ의 불변함수를 고려하여 공간 차이점형성 제약조건을 해결할 수 있다$.$ 즉, 수학자들이 매듭 불변함수라고 부르는 것을 구성한다.이것은 매듭 이론과 양자 중력 사이의 예상치 못한 연결을 열었다.

기하학적 양자 연산자의 루프 표현 및 고유 특성

가장 쉬운 기하학적 양은 면적이다.표면 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma$}이$($가) x ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x^{3}=0}$으로 특징지어지도록$$ 좌표를 선택하자$.$표면 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$의 작은 평행그램 영역은 각 면의 길이를 ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta}$으로 곱한 곱이며$$, 여기서$$ $\theta {\displaystyle }$ ${\displaysty \theta$}은$$ 면 사이의 각이다.한$$ 에지는 벡터 $u{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\$에 의해, 다른 에지는 $v{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$에 의해 주어진다고 가정해 보십시오$.$

${\displaystyle {\reasoned}A&=\ {\vec {u}}\ \ {\vec {v}}\ \sin \theta ={\sqrt {\ {\vec {u}}\ ^{2}\ {\vec {v}}\ ^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}\\[6pt]&={\sqrt {\ {\vec {u}}\ ^{2}\ {\vec {v}}\ ^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}\end{aligned}}}$

이를 통해 표면 ${\displaystyle \Sigma }$이(가) 제공될$$ 표면적을 얻을 수 있다.

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {\det \;q^{(2)}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle det{}^{}}$ ( ${\displaystyle 2^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {22}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{\mathrm{q}}_{}^{}}$ 12 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$^{{$11}q_{22}-q_{12}^{2$}}:$$$\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }}$에 유도된 메트릭의 결정요인자로 다시$$ 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle \det \;q^{(2)={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc}\over 2.}}}$

역행렬의 표준 공식은

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}}}}}$

Note the similarity between this and the expression for ${\displaystyle \det q^{(2)}}$. But in Ashtekar variables we have ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$.그러므로

${\displaystyle A_{\Sigma }}=\int _{\Sigma }\,dx^{1},dx^{2}{\sqrt{{{E}}^{3}{\tilde{E}}}}}}{{E}}}^{3i}}}}}}}}}}.}$

정량화 규칙에 따라 우리는 양자 연산자를 대상으로$$ 삼종 $E{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$~ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$을(를) 홍보해야 한다.

${\displaystyle {\hat {\tilde{E}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}}}.}$

$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 영역은 두 가지 기능파생상품의 제품을 취급하고 있음에도 불구하고 잘 정의된 양자사업자로 승격될 수 있는$$ 것으로 밝혀졌으며, 더 나쁜 점은 우리가 또한 경쟁할 사각근거가 있다는 것이다.^[4]$N{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle N=2J}$을$($를) 넣으면서 J-th 대표에 있는 것에 대해 이야기한다.우리는${\displaystyle \underset{i}{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ T${\displaystyle {}^{}{i}^{}}$ = J (${\displaystyle J}$+${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sum _{i}$에 주목한다.$T^{i}T^{i}=J(J+1)1$1.이 양은 면적 스펙트럼의 최종 공식에서 중요하다.우리는 단지 그 결과를 아래와 같이 말한다.

${\displaystyle {\hat{A}_{\Sigma }W_{\\gamma }[A]=8\pi \ell _{Planck}^{2}\beta \sum \{I}\sqrt {j_{}}{}}}}}}}}}}I}(j_{I}+1)}}}W_{\gamma }[A]}$

여기서 합계는 표면 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$을(를) 관통하는 윌슨 루프의 $모든$ 가장자리 I ${\displaystyle$ I$}$에 걸쳐 있다$.$

$영역$ R ${\displaystyle R}$ 볼륨 공식은

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int _{R}dx^{3}{\sqrt {\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

볼륨의 정량화는 면적과 같은 방식으로 진행된다.우리가 파생상품을 가져갈 때, 그리고 그렇게 할 때마다 접선 벡터${\displaystyle {\stackrel{}{}\gamma }^{}}$을 내려온다. ${\$ 볼륨 오퍼레이터가 비절연 윌슨 루프에 대해 조치를 취할 때 결과가 사라진다.따라서 부피가 0이 아닌 양자 상태는 교차점을 포함해야 한다.반대칭 합계가 볼륨 공식에서 인수된다는 점을 감안하면 최소한 세 개의 비 코플란라 라인이 있는 교차점이 필요하다.실제로 볼륨 오퍼레이터가 비바니싱이 되려면 최소 4-값 정점이 필요한 것으로 나타났다.

만델스탐 정체성: su(2) 양-밀스

우리는 이제 윌슨이 교차로에서 루프를 하는 것을 고려한다.게이지 그룹이 S ${\displaystyle U}$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle SU(2)}$인 실제 표현을 가정한다$.$ Wilson 루프에는 서로 다른 Wilson 루프와 관련된 ID가 있기 때문에 Wilson 루프는 완전히 기본이다.이는 윌슨 루프가 행렬(홀로노미)을 기반으로 하며 이러한 행렬은 소위 만델스탐 정체성(Mandelstam identity)을 만족한다는 사실에서 비롯된다(만델스탐 변수 참조두$$ 개의 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle U(2}$) ${\displaystyle SU$(2$) 행렬$ $A{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 및 $B$ ${\$ {$B}을($를) 고려할 때 쉽게 확인할 수 있다$$.

${\displaystyle \operatorname {Tr}(\mathb {A} )\mathb {B}=\mathb {A}\mathb {B}+\operatorname {Tr}(\mathb {A}\mathb {B} \mathb {B}^{-1})}$

이는 교차하는$$ 두 $개$의 루프$({\displaystyle \gamma$})와$$ $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta$}을(를) 제공한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\\gamma \circ \eta }[A]+W_{\\gamma \circle \eta ^{-1}[A]}$

where by ${\displaystyle \eta ^{-1}}$ we mean the loop ${\displaystyle \eta }$ traversed in the opposite direction and ${\displaystyle \gamma \circ \eta }$ means the loop obtained by going around the loop ${\displaystyle \gamma }$ and then along ${\displaystyle \eta }$. See figure below.이것을 제2종 만델스탐 정체성이라고 한다.There is the Mandelstam identity of the first kind ${\displaystyle W(\gamma _{1}\circ \gamma _{2})=W(\gamma _{2}\circ \gamma _{1})}$. Spin networks are certain linear combinations of intersecting Wilson loops designed to address the over-completeness introduced by the Mandelstam identities.

네트워크 상태 회전

사실 스핀 네트워크는 루프 베이스의 과완성의 정도를 최소화하는 모든 게이지 불변함수의 기초를 구성하며, 3가 교차로에 대해서는 완전히 제거한다.

위에 언급된 바와 같이, 시험 스핀 반 입자를 전파하는 방법을 알려준다.스핀 네트워크 상태는 공간의 경로를 추적하여 병합 및 분할하는 스핀 하프 입자 집합에 진폭을 할당한다.이것들은 스핀 네트워크들에 의해 설명된다. $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$: 가장자리는 스핀들이 재라우팅되는 다른 방법에 대한 총합에 대한 처방인 정점에 있는 '인터트위너'와 함께 스핀들에 의해 라벨이 표시된다.오버 리라우팅 합계는 가우스 게이지 변환 하에서 인터트위너 불변형 형태를 만들기 위해 선택된다.

LQG에서의 루프 표현 특성

Theorems 루프 표현의 고유성으로 Ashtekar에 의해 정의되는데(알.(는 힐베르트 공간 즉 정확한 구체적 실현과 관련된 기사들이 정확한 루프를 재현하는 대수학 모든 사람들이 사용하는 실현 –)두 그룹에 의해(레반 도프 스키, Okolow, Sahlmann과 Thiemann)[5]고(기독교 F을 받고 있어.화환왁자지껄하다^[6]이 결과가 확립되기 전에는 힐버트 공간의 다른 예가 있을 수 있을지는 알 수 없었으나, 운영자들이 지금까지 사용했던 것과 동등한 루프 대수학, 다른 실현을 호출했다.

위상학장 이론의 매듭 이론과 루프

매듭(또는 서로 얽혀 있는 여러 구성 요소의 매듭인 연결)을 설명하는 일반적인 방법은 매듭 다이어그램이라고 불리는 평면에 투사된 이미지를 고려하는 것이다.주어진 매듭(또는 연결)은 매듭 도표를 사용하여 여러 가지 방법으로 그릴 수 있다.그러므로 매듭 이론의 근본적인 문제는 두 서술이 같은 매듭을 나타낼 때를 결정하는 것이다.매듭 다이어그램에 따라, 사람들은 그것에 불변하는 매듭을 할당하는 방법을 찾으려고 노력한다. 때로는 다항식 - 매듭 다항식이라고 불린다.동일한 절차에 의해 생성되는 서로 다른 다항식을 가진 두 개의 매듭 도표는 반드시 서로 다른 매듭에 대응한다.그러나 다항식이 같다면 같은 매듭에 해당한다는 뜻은 아닐 수 있다.다항식이 매듭을 잘 구별할수록 더 강력하다.

1984년, 존스는 새로운 연결 불변성의 발견을 발표했고, 그것은 곧 엄청난 일반화의 폭로로 이어졌다.그는 존스 다항식이라는 새로운 매듭 다항식을 발견했었다.구체적으로, 그것은 각각의 지향적인 매듭에 할당하거나 정수 계수를 가진 다항식을 연결하는 지향적인 매듭 또는 링크의 불변성이다.

1980년대 후반, 위튼은 관측 가능한 수량의 기대치가 차이점형에서 불변하는 특정 유형의 물리적 이론에 대해 위상 양자장론이라는 용어를 만들었다.

비튼은 체르-시몬스 이론에서 존스의 다항식 이론과 그 일반화를 경험적으로 도출했다.기본이념은 단순히 체르-시몬스 이론에서 윌슨 루프의 진공 기대치가 이론의 차이점형성-상생성 때문에 연계 불변수라는 것이다.그러나 이러한 기대치를 계산하기 위해 비튼은 체르노-시몬스 이론과 웨스-주미노-로 알려진 정합적 필드 이론 사이의 관계를 사용할 필요가 있었다.Witten 모델(또는 WZW 모델)

참조