일반 상대성에서의 프레임 필드

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "일반 상대성 분야의 틀 필드" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2008년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

일반상대성이론에서 프레임 필드(테트라드 또는 비어베인이라고도 함)는 로렌츠 다지관에 정의되어 있는 4개의 점근관형 벡터 장으로 이루어진 집합체로서, 한 개의 시간절과 세 개의 공간절차가 있으며, 이는 물리적으로 시간절차의 모델로 해석된다.The timelike unit vector field is often denoted by ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ and the three spacelike unit vector fields by ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3}}$. All tensorial quantities defined on the manifold can be expressed using프레임 영역 및 이중 코프레임 영역

프레임은 1928년^[1] 알버트 아인슈타인에 의해 일반 상대성 이론에 도입되었고, 1929년 헤르만 베일에 의해 도입되었다.^[2]

테트라드에 대한 인덱스 표기법은 테트라드(인덱스 표기법)로 설명된다.

물리적 해석

프레임 필드는 항상 주어진 스페이스타임에 몰입한 이상적인 관찰자 패밀리에 해당한다. 시간 단위 벡터 필드의 일체형 곡선은 이러한 관찰자의 월드라인이며, 주어진 월드라인을 따라 각 이벤트에서 3개의 공간적 단위 벡터 필드는 관찰자가 운반하는 공간적 3중첩을 지정한다.삼합회는 관찰자의 세계선 근처에서 유효하며, 국소 실험실 프레임의 공간 좌표 축을 정의하는 것으로 생각할 수 있다.

일반적으로 이러한 관찰자의 세계선은 시간적 지오데틱이 될 필요는 없다.만약 세계선들 중 어떤 것이라도 어떤 지역의 지오데틱 경로로부터 구부러진다면, 우리는 관찰자들을 그들의 가속 벡터의 크기와 같은 추력을 가진 이상적인 로켓 엔진을 사용함으로써 가속하는 시험 입자로 생각할 수 있다.또는, 우리의 관찰자가 정수 평형상태의 유체덩어리에 있는 물질의 일부에 부착되어 있다면, 이 물질의 일부분은 일반적으로 자신의 중력에 대항하여 유체공을 지탱하는 압력의 순효과에 의해 바깥쪽으로 가속될 것이다.다른 가능성에는 로렌츠 힘에 의해 가속되는 전기 진공 용액의 자유 충전 시험 입자에 부착된 관찰자 또는 스핀- 스핀 힘에 의해 가속될 수 있는 회전 시험 입자에 부착된 관찰자가 포함된다.

프레임은 기하학적인 물체라는 것을 인식하는 것이 중요하다.즉, 벡터 장은 좌표 차트의 선택과 독립적으로 (매끄러운 다지관에서는) 타당하며, (로렌츠 다지관에서는) 정형성과 길이의 개념도 타당하다.따라서 벡터장이나 다른 기하학적 수량과 마찬가지로 프레임장도 다양한 좌표도로 나타낼 수 있다.주어진 프레임에 관해서, 태스토리얼 수량의 구성요소를 계산하면, 어떤 좌표도 프레임을 나타내기 위해 사용되든지 간에 항상 동일한 결과를 산출할 것이다.

이 필드는 Dirac 방정식을 곡선 스페이스타임으로 작성하기 위해 필요하다.

프레임 지정

프레임을 적으려면 로렌츠 다지관의 좌표도를 선택해야 한다.그런 다음, 다지관의 모든 벡터 필드는 4개의 좌표 기준 벡터 필드의 선형 조합으로 기록할 수 있다.

${\displaystyle {\vec{X}=X^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

여기서 아인슈타인 합계 규약을 사용하며 벡터 장은 1순위의 선형 미분 연산자로 생각되며, $성분{\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ${\$ X$^{\mu}}$는 흔히 반대 성분이라고 불린다$$.이것은 접선 번들의 섹션에 대한 표준 공칭 규약을 따른다.공통으로 사용되는 좌표기준 벡터 필드의 대체 명칭은 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$/${\displaystyle \mathrm{}{}^{}}$ x${\displaystyle {\mathrm{}}_{}{\mu }^{}}$ ${\displaystyle {{\mu }^{}}_{}}$ x${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$μ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x^{\mu }\partiv _{x^{\mu }}\$partial \$equiv \partial _{\partial$ _{\partial }}}}}이다$.$

특히 프레임의 벡터 장은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\vec{e}_{a}={e_{a}^{\mu }\,\mu _{x^{\mu }}.}$

프레임을 "설계"할 때, 4개의 벡터 필드가 정형화된 모든 곳에 있는지, 주어진 측정 기준을 사용하여, 자연스럽게 확인할 필요가 있다.

보다 현대적인 본문에서는 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ x ${\displaystyle {{\mu }^{}}_{}}$ ${\$$}}$에 대해 $표기법{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ g $μ$$${\$displaystyle$$\partial \x^{\$$mu{\displaystyle {}_{}}$$$}}, ${\displaystyle e_{}}$ → ${\$ $\sigma_$${\vec_$을 채택한다.이를 통해 좌표 접선 벡터의 외부 산물로 스페이스타임 메트릭을 작성하는 시각적으로 영리한 속임수를 사용할 수 있다.

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {g} _{\mathbf {g}\cdot \mathbf {g} _{\nu }}}}$

밍코프스키의 평판 공간 메트릭스는 다음과 같다.

${\displaystyle \eta _{ab}=\reason _{a}\cdot \reason_{b}}$

표기법에 대해$$ ${\$를 선택한 것은 디락 행렬에 사용된 표기법과 의도적인 합체로서, ${\$를 벡터로서뿐만 아니라, 대수적 요소로서 스페이스타임 대수로서도 취할 수 있다$$.적절히 사용하면 스핀 연결 작성에 사용된 표기법 중 일부를 단순화할 수 있다.

일단 서명이 채택되면, 이중성에 의해, 기초의 모든 벡터는 코베이스에 이중 코브터를 가지고 반대로 된다.따라서 모든 프레임 필드는 고유한 코프레임 필드와 연관되어 있으며, 그 반대의 경우도 마찬가지며, 코프레임 필드는 등탄재 번들의 4개 직교 섹션 세트다.

코프레임을 사용하여 메트릭 지정

또는 좌표 기준으로 코프레임을 기록하고 미터법 텐셔너는 다음과 같이 지정될 수 있다.

${\displaystyle g=-\bma ^{0}\otimes \hotimes \hostma \i}{0}+\sum _{i=1}^{3}\ma ^{i}\otimes \hotimes \ma ^{i}}}}}$

여기서 $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$은(는) 텐서 제품을 의미한다$$.이것은 단지 코프레임이 직교라고 말하는 화려한 방법이다.프레임을 적은 후(및 이중 코프레임으로 전달) 미터법 텐서를 얻는 데 이 프레임을 사용하는지 또는 미터법 텐서부터 시작하여 프레임이 다른 방법으로 획득되었는지 확인하는 데 사용하는지 여부는 항상 참이어야 한다.

좌표 기준의 메트릭 텐서와의 관계

${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {필드}_{}^{}}$는$$μ {\$displaystyle e_{}^{\mu$ $\}\}$의 두 가지 종류의 지수를 가지고 있다. $\mu {\displaystyle }$ ${\$은(는) 일반 스페이스타임 좌표를, ${\$ a$\}$은(는) 로컬 로렌츠 스페이스타임 또는 로컬 실험실 좌표를 나타낸다.

Vierbein 필드 또는 프레임 필드는 좌표 기준으로 볼 때 $메트릭{\displaystyle {}^{}}$ 텐서, g ${\displaystyle {\mathrm{\mu \nu }}^{}}$ $displaystyle$ g$^{\mu \nu$ $\}\backslash ,\},\}$의 "매트릭스 제곱근"으로 간주할 수 있다.

${\displaystyle g^{\mu \nu }=e_{\\}^{\mu }e_{\b}^{\nu }\eta ^{ab}\,}$

여기서 $\eta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle b^{}}$ $displaystyle \eta ^{ab}\,}$은(는) 로렌츠 메트릭이다.

로컬 로렌츠 지수는 로렌츠 메트릭과 함께 일반적인 스페이스타임 좌표를 미터법 텐서(tensor)로 올리고 내리는 것과 같은 방식으로 상승 및 하강한다.예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle T^{a}=\eta ^{ab}T_{b}}$

Vierbein 필드는 Spacetime과 로컬 로렌츠 지수 사이의 변환을 가능하게 한다.예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle T_{a}=e_{\\}^{\mu }{}}}$

Vierbein 필드 자체는 다음과 같은 방식으로 조작될 수 있다.

${\displaystyle e_{\ a}^{\nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ \mu }^{\nu }\,}$, since ${\displaystyle e_{\ \mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$

그리고 이것들은 결합할 수 있다.

${\displaystyle T^{a}=e_{\mu }^{\}\T^{\mu }}}$

몇 가지 다른 예: Spacetime과 로컬 로렌츠 좌표를 함께 혼합할 수 있다.

${\displaystyle T^{\mu a}=e_{\nu }^{\}T^{\mu \nu }}}$

로컬 로렌츠 좌표는 일반 스페이스타임 좌표와 다르게 변한다.일반적인 좌표 변환에서는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle T'^{\mu a}={\frac {\partial x'^{\mu}{\partial x^{\nu }}T^{\nu a}}}}}}$

로컬 로렌츠 변환에서는 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle T'^{\mu a}=\Lambda (x)_{\ b}^{a}T^{\mu b}.}$

좌표 기준과의 비교

좌표 기반 벡터는 그들의 쌍으로 된 눕는 괄호가 사라지는 특별한 속성을 가지고 있다.국부적으로 평평한 지역을 제외하고, 적어도 프레임에서 벡터 필드의 일부 눕는 괄호는 사라지지 않는다.프레임에 관한 (좌표기준에 관한 것은 아니지만) 텐더링 객체의 구성요소는 프레임에 해당하는 이상적인 관찰자 가족이 측정한 측정의 측면에서 직접적인 해석을 가지고 있기 때문에 그들과 함께 계산하는 데 필요한 결과 수하물은 허용된다.

좌표 기준 벡터는 null일 수 있으며, 이는 정의상 프레임 벡터에 대해 발생할 수 없다.

비피닝 및 관성 프레임

어떤 액자는 다른 액자보다 더 좋다.특히 진공 또는 전기 진공 솔루션에서 관성 관측자(힘이 느껴지지 않는 사람)의 물리적 경험은 특히 흥미로울 수 있다.관성 프레임의 수학적 특성화는 매우 간단하다: 시간 단위 벡터 장의 적분 곡선은 지오데틱 결합을 정의해야 한다. 즉, 가속 벡터는 다음과 같이 사라져야 한다.

${\displaystyle \nabla _{\vec {e}_{0}\,{\vec {e}_{0}=0}$

또한 각 관찰자가 휴대하는 공간적 삼합체가 회전하지 않도록 하는 것이 바람직할 때가 많다.이 경우 삼합창은 교토 안정화된 것으로 볼 수 있다.비피닝 관성(NSI) 프레임의 기준은 다시 매우 간단하다.

${\displaystyle \epla _{\vec {e}_{0}\,{\vec {e}=0,\;j=0\message 3}$

이것은 우리가 각 관찰자의 세계선을 따라 움직일 때, 그들의 공간적 3중창은 병렬로 전달된다는 것을 말해준다.비피닝 관성 프레임은 우리가 특수 상대성 이론에 사용되는 로렌츠 프레임에 곡선 로렌츠 다지관에서 얻을 수 있는 만큼 가깝기 때문에 일반 상대성 이론에서 특별한 위치를 차지하고 있다(민코스키 진공에서 비피닝 관성 프레임은 특수 비피닝 관성 프레임이다).

보다 일반적으로 관찰자의 가속도가 0이 아닌${\displaystyle {\mathrm{}}_{if{\stackrel{}{}}_{}}}$ e${\displaystyle {{\stackrel{}{}}_{}}_{}}$→ 0 ${\displaystyle e{{}_{}}_{}{\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle 0}$ {\$displaystyle \nabla$ \nabla $\{\vec{e}_{0}\\\vec{e}\{0}\eq$ 0$\}$이면 공변량 유도체를 대체할 수 있다.

${\displaystyle \nabla _{\vec {e}_{0}\,{\vec {e}_{j},\;j=1\message 3}$

(약간 예상)과 함께비피닝 프레임을 정의하기 위한 Fermi-Walker 파생 모델.

로렌츠 다지관을 부여하면 관성 운동과 같은 추가 특성이 필요하더라도 무한히 많은 프레임 장을 찾을 수 있다.단, 주어진 프레임 장은 다지관의 일부에만 매우 잘 정의될 수 있다.

예제: 슈바르츠실트 진공 상태의 정적 관찰자

몇 가지 간단한 예를 좀 상세히 고려하는 것이 유익할 것이다.스타와 같이 고립된 비피닝으로 대칭되는 거대한 물체 밖에서 스페이스타임을 모델링하는 유명한 슈바르츠실트 진공 상태를 생각해 보자.대부분의 교과서에서는 다음과 같이 정적 극구형 차트의 관점에서 작성된 미터법 텐서를 발견한다.

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2m/r)\,dt^{2}+{dr^{2}}:{dr^{dr^{2}}+r^{2}\,\좌측(d\theta ^{2}+\sin(\ta )^{2}\,d\phi{2}\}}}$

$[\\displaystyle -\nothy,\nothy,\pi,\-\pi,\pi,\pi,\pi,\pi,\pi,\pi,\pi,\pi,\pi,\pi,\}}$

보다 형식적으로, 좌표 코바이에 관해서 미터법 텐서는 다음과 같이 확장할 수 있다.

${\displaystyle g=-(1-2m/r)\dt\otimes dt+{\frac {1}{1-2m/r}\,d\time dr+r^{2}\,d\ta\time d\time d\r+r^{2}\sin(\ta )^{2},d\phi}$

코프레임은 다음과 같은 표현에서 읽을 수 있다.

${\displaystyle \prossma ^{0}={\sqrt{1-2m/r}\\\frac {1}{\dr}{\sqrt{1-2m/r}}}}}\\\frchma ^{2}=rdeta ,\;{3}=rsin(\dph)\i}$

이 코프레임이 실제로 슈바르츠실트 메트릭 텐셔너와 일치하는지 확인하려면 이 코프레임을 다음 코프레임에 연결하십시오.

${\displaystyle g=-\cH00ma ^{0}\otimes \hosts \\ma ^{0}+\ma ^{1}\1}\otimes \ma ^{2}+\ma ^{3}\otimes \ma ^{3}}}}}}}\otimportma \ma \ma ^{3}}}}}}}}}$

프레임 듀얼은 다음과 같은 코프레임 역행이다. (프레임 듀얼은 국소 지수를 동일한 위치에 유지하기 위해 변환되기도 한다.)

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-2m/r}}}\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\partial _{r},\;{\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\partial _{\theta },\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\partial _{\phi }}$

($\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 더하기 기호를${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}통해{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle e_{\mathrm{}}}$ →$$0 {\$displaystyle {\vec{e}_{$0}}}}이(가) 향후에 가리킬 수 있도록 보장$$)로켓엔진을 이용해 거대한 물체를 '호버'하는 정적 관찰자들의 경험을 모델로 한 프레임이다.위치를 유지하기 위해 필요한 추력은 가속 벡터의 크기에 의해 주어진다.

${\displaystyle \e}_{\vec {e}_{0}{\vec {e}_{0}=-{\frac {m/r^{2}}:{\sqrt{1-2m/r}}\,{\vec {e}_{1}:{1}$

관찰자가 물체 쪽으로 떨어지지 않으려면 물체로부터 가속해야 하기 때문에 방사상으로 안쪽을 가리키는 것이다.한편, 공간 기반 벡터의 공간적으로 투영된 페르미 $파생상품{\displaystyle {\stackrel{(}{}e}_{\mathrm{}}}$ →$$0 {\$displaystyle {\vec{e}_{$0$\})$은 사라지므로, 이것은 비피닝 프레임이다.

우리의 프레임과 그것의 이중 코프레임에 관한 다양한 시간적 수량의 구성요소는 이제 계산될 수 있다.

예를 들어, 정적 관찰자에 대한 조력 텐서는 다음과 같이 텐서 표기법(좌표 기준)을 사용하여 정의된다.

${\displaystyle E[X]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}}$

$여기$서 X${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= e${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle e_{\mathrm{}}}$ → 0 ${\$을 써서 표기법을 혼동하지 않도록 한다$$.코프레임과 관련하여 0이 아닌 유일한 구성 요소는

${\displaystyle E[X]_{11}=-2m/r^{3}\;E[X]_{22}=E[X]_{33}=m/r^{3}}}}}$

해당 좌표 기준 성분은

${\displaystyle E[X]_{rr}=-2m/r^{3}/(1-2m/r),\;E[X]_{\theta \ta \theta }=m/r,\;E[X]_{\phi \m\sin(\ta ){2}/r}$

(표기법에 관한 짧은 참고사항: 많은 저자들은 프레임을 언급하는 추상적 지수에 주의를 기울인다.When writing down specific components, it is convenient to denote frame components by 0,1,2,3 and coordinate components by ${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$. Since an expression like ${\displaystyle S_{ab}=36m/r}$ doesn't make sense as a tensor equation, there should be no possibility of confusion.)

뉴턴 중력의 헤시안 중력전위 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 미량 없는 부분인 뉴턴 중력의$$ 조력 텐서 ${\displaystyle \Phi }$를 비교해 보십시오$.$ 3차원 유클리드 공간에 정의된 텐서 장에 텐서 표기법을 사용하면 이 내용을 기록할 수 있다.

$\phi _{ij}Phi _{ij}=U_{,ij}-{\frac {1}{1}{3}}{U^{,k}_{,k}\,\eta _{ij}}}}}$

독자는 이를 통해 이를 크랭킹하고(U가 조화일 때 추적 용어가 실제로 동등하게 사라짐을 알음) 결과를 다음과 같은 기본적인 접근법과 비교하기를 원할 수 있다:우리는 동일한 방사선에 놓여 있는 두 개의 인근 관찰자에 대한 중력을 비교할 수 있다.

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

왜냐하면 우리는 멀티라인 대수학을 논할 때 첫 번째 순서 용어만을 보유하기 때문에, $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}{11}_{}}$= - ${\displaystyle \mathrm{2m}}$ ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$ 이와 마찬가지로 같은 $구체{\displaystyle }$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 놓여 있는 근처 관찰자의 중력을 비교할 수 있다$.$리그노메트리와 작은 각도 근사치, 우리는 힘 벡터가 크기를 가진 구에 접하는 벡터에 의해 다르다는 것을 발견한다.

${\displaystyle {\frac {r_{0}^{2}}\,\sin(\theta )\약 {\frac {m}{r_{0}^{2}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\m}{0}}}}}}}}}},},}$

작은 각도 근사치를 사용함으로써, 우리는 모든 순서 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle O(h^{2$의 항을 무시하였으므로 접선성분은 ${\displaystyle {22}_{}}$22 = ${\displaystyle {33}_{}}$33 = ${\displaystyle m}$/ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}}$ ${\$displaystystyle \$Phi _{33}=m/r^{3$ 여기서 우리는 극구형 차트에서 얻은 명백한 프레임을 3차원 유클리드 공간에 대해 언급하고 있다.

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Plainly, the coordinate components ${\displaystyle E[X]_{\theta \theta },\,E[X]_{\phi \phi }}$ computed above don't even scale the right way, so they clearly cannot correspond to what an observer will measure even approximately. (By coincidence, the Newtonian tidal tensor components agree exactly with the re위에 기술한 래티비스트 조력 텐서 성분)

예: 슈바르츠실트 진공 상태의 레마슈트레 관찰자

관성 프레임을 찾기 위해서는 결정되지 않은 부스트 파라미터(레이디얼 좌표에 따라)로${\displaystyle {\stackrel{}{}e}_{\mathrm{}}}$ → 1 ${\$1} 방향의 정적 프레임을 상승시키고, 새로운 미결정 프레임의 가속 벡터를 계산하여 이것을 0으로 설정하고, 알 수 없는 부스트 파라미터에 대해 해결하면 된다.그 결과는 우리가 그 거대한 물체를 향해 자유롭고 방사적으로 떨어지는 관찰자들의 신체 경험을 연구하는 데 사용할 수 있는 프레임이 될 것이다.적정한 통합 상수를 선택함으로써 우리는 공간 무한대의 정지 상태에서 빠져드는 르메르트르 관찰자의 프레임을 얻는다.(이 구절은 말이 되지 않지만, 독자는 틀림없이 우리의 뜻을 이해하는 데 어려움이 없을 것이다.)정적 극구형 차트에서 이 프레임은 Lemaître 좌표에서 얻으며 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\vec{f}_{0}={\frac {1}{1-2m/r}\,\cHB _{t}-{t}-{sqrt{2m/r}\,\cHB_{r}}}}$

${\displaystyle {\vec{f}_{1}=\cHB_{r}-{r}-{\frac {\sqrt{2m/r}}\,\cHB_{t}}}$

${\displaystyle {\vec{f}_{2}={\frac {1}{r}\,\cHB _{\theta }}}$

${\displaystyle {\vec{f}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}\,\cHB_{\phi }}}}}$

Note that ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\neq {\vec {f}}_{0},\;{\vec {e}}_{1}\neq {\vec {f}}_{1}}$, and that ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ "leans inwards", as it should, since its integral curves are timelike geodesics representing the world lines o폭주하는 관찰자들을 만나보십시오실제로 4가지 기본 벡터($e{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$의 공변량 파생상품이 동일하게 소멸되기 때문에, 우리의 새로운 프레임은 비피닝 관성 프레임이다.

만약 우리의 거대한 물체가 사실 (비회전) 블랙홀이라면, 우리는 아마도 레마슈트레 관찰자들의 경험을 따라 $r{\displaystyle }$= $[\displaystyle r=2m]$에서 사건 지평선을 통해 떨어질 것이다. 정적 극구형 좌표는 수평선에 좌표 특이점이 있기 때문에, 우리는 좀 더 적절한 코디네이터로 전환해야 할 것이다$.$먹음차트.가능한 가장 간단한 선택은 다음을 기준으로 새 시간 좌표를 정의하는 것이다.

${\displaystyle T(t,r)=t-\int {\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,dr=t+2{\sqrt {2mr}}+2m\log \left({\frac {{\sqrt {r}}-{\sqrt {2m}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {2m}}}}\right)}$

이것은 Pinlevé 차트를 제공한다.새로운 선 요소는

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+\왼쪽(dr+\sqrt{2m/r}\,dT\right)^{2}+r^{2}\{2}\(d\teta ^{2}+\sin(\ta )^{2}\d\phi{2}\rig}}$

$[\\displaystyle -\t.\ft.\t.\pi.\-\pi <\pi }$

Pinlevé 차트와 관련하여 Lemaître 틀은

${\displaystyle {\vec{f}_{0}=\partial _{T}-{\sqrt {2m/r}\partial _{r}}}$

${\displaystyle {\vec{f}_{1}=\reason _{r}}$

${\displaystyle {\vec{f}_{2}={\frac {1}{r}\,\cHB _{\theta }}}$

${\displaystyle {\vec{f}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}\,\cHB_{\phi }}}}}$

그들의 3차원 공간은 우리가 위에서 언급했던 3차원 유클리드 공간의 프레임과 정확히 닮아있다는 것을 주목하라. (우리가 뉴턴 조력 텐서를 계산했을 때)실제로 공간초음파 $T{\displaystyle }$= ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$는 국소적으로 평탄한 3차원 유클리드 공간에 대한 등축으로 판명된다!(이것은 슈바르츠실트 진공에서 주목할 만하고 다소 특별한 특성이다; 대부분의 스페이스타임은 평탄한 공간 부분으로의 슬라이싱을 인정하지 않는다).

레마슈트르 관찰자에 대해 취한 조력 텐서는

${\displaystyle E[Y]_{ab}=R_{ambn}\,Y^{m}\,Y^{n}}}$

여기서 우리는 표기법을 혼동하지 않도록$$ $Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle f_{\mathrm{}}}$→ 0 ${\$ Y$={\vec{f}_{0}}$라고 쓴다.이것은 다른 관찰자 집단을 사용하여 정의되기 때문에 우리가 앞에서 얻은 것과 다른 텐서다.그럼에도 불구하고 비파니싱 구성 요소는 익숙해 보인다.${\displaystyle E[Y]_{11}=-2m/r^{3},\,E[Y]_{22}=E[Y]_{33}=m/r^{3}}$. (This is again a rather special property of the Schwarzschild vacuum.)

이벤트 지평선 위 또는 내부에서 정적 관찰자를 정의할 수 있는 방법이 없다는 점에 유의하십시오.한편, Lemaître 관찰자는 정적 극구형 차트에서 다루는 전체 외부 영역에도 정의되어 있지 않기 때문에, 이러한 예에서 Lemattre 프레임이나 정적 프레임은 전체 다지관에 정의되어 있지 않다.

예:슈바르츠실트 진공상태의 하기하라 관측자

레마슈트레 관찰자를 발견한 것과 같은 방법으로, 우리는 결정되지 않은 매개변수(레이디얼 좌표에 따라)에 $의해{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$e → ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ 방향으로$$ 정적 프레임을 증강하고 가속 벡터를 계산하며, 적도 평면에서 이것이 사라지도록 요구할 수 있다. $\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystytype \ta$=$\pi /2$ 새로운 하기하라 프레임은 우리의 거대한 물체 주위에서 안정적인 원형 궤도를 그리며 관찰자들의 신체 경험을 묘사하고 있다.천문학자인 하기하라 유스케가 처음 논의한 것으로 보인다.

정적 극구형 차트에서 하기하라 프레임은

${\displaystyle {\vec{h}_{0}={\frac {1}{\sqrt{1-3m/r}}\,\frac _{t}+{\m/r^{3}}}{\sqrt{{1-3m/r}}},\sin(ta)\,\{pi}}$

${\displaystyle {\vec{h}_{1}={\sqrt{1-2m/r}\,\cHB_{r}}}$

${\displaystyle {\vec{h}_{2}={\frac {1}{r}\,\cHB_{\theta }}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

적도면에서는 어떤 것이 된다.

${\displaystyle {\vec{h}_{0}={\frac {1}{\sqrt{1-3m/r}}\,\fract _{t}+{t}+{\sqrt{3}}{\sqrt{1-3m/r}},\phi }}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\vec{h}_{1}={\sqrt{1-2m/r}\,\cHB_{r}}}$

${\displaystyle {\vec{h}_{2}={\frac {1}{r}\,\cHB_{\theta }}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

조력 텐서 $E{\displaystyle }$[ Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$ $여기$서 Z${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= h${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$은(적도면)에 의해 주어지는 것으로$$ 확인된다.

${\displaystyle E[Z]_{11}=-{\frac {m}{r^{3}\,{\frac {2m/r}{1-2m/r}}}}=-{\frac {2m}{3}-{\m^{2}}:{r^{4}}}+O(1/r^{5}}}}}})$

${\displaystyle E[Z]_{22}={\frac {m}{r^{3}}\,{\frac {1}{1}{1-3m/r}}}=-{\frac {m}{3}}+{\frc^{3m^{4}}}}}}+O(1/r^{5}}}}})}}}}}}$

${\displaystyle E[Z]_{33}={\frac {m}{r^{3}}}}}}}}}$

따라서, 주어진 좌표 반지름을 맴도는 정적 관찰자와 비교하여, 동일한 좌표 반지름을 가진 안정적인 원형 궤도에서 하기하라 관찰자는 크기가 약간 큰 방사형 조력력과 더 이상 등방성이 아닌 가로 조력력(그러나 움직임의 방향에 직교하는 약간 더 큰)을 측정할 것이다.

하기하라 프레임은 영역 > ${\displaystyle$ r > $3m$$}$에만 정의되어 있다는 점에 유의하십시오 실제로 안정적인 는 >6m {\$displaystyle r$ >6m에만 존재하므로 프레임은 이 위치 안에서 사용해서는 안 된다.

Fermi 파생 모델을 계산하면 방금 주어진 프레임 필드가 실제로 회전하는 것이 안정화 프레임임을 알 수 있다.발견하기 쉬운 주된 이유: 이 틀에서 각 하기하라 관찰자는 공간 벡터를 방사상으로 정렬하여 유지하므로, ${\displaystyle h_{\mathrm{}}}$→ 1${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle h{\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\vec{h}_{\$vec}{{$h$$}},\\$vec${$$h}}}{\vec}}{3}}}}$는 관찰자 또는 ${\displaystyle {중심}_{\mathrm{}}}$ 거대한 물체 주위를 도는 것으로서$$$$ 회전한다.그러나, 이 관찰에 대해 정정하고 나서, 하기하라 관찰자가 운반하는 자이로스코프의 스핀 축의 작은 전이가 여전히 남아 있다; 이것은 디 시터 전치 효과(지질 전치 효과라고도 한다)이다.

일반화

이 기사는 일반 상대성 이론에 대한 프레임의 적용, 특히 그들의 물리적 해석에 초점을 맞추었다.여기서 우리는 일반적인 개념을 간략하게 개략적으로 설명한다.n차원 리만 다지관 또는 사이비-리만 다지관에서 프레임 장은 다지관의 각 지점에서 접선 공간의 기초를 이루는 정형화된 벡터장의 집합이다.이는 다지관이 평행할 수 있는 경우에만 연속적인 방식으로 전세계적으로 가능하다.이전과 같이 프레임은 주어진 좌표 기준으로 지정할 수 있으며, 평평하지 않은 영역에서는 이들의 쌍방향 Liebracket 중 일부가 사라지지 않는다.

사실, 내부 제품 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle$ V$}$을$($를) 고려할 때, $우리$는 V ${\displaystyle V}$을(를) 위한 정형화된 기초의 모든 튜플로 구성된 새로운 공간을 정의할 수 있다$.$ 이 구조를 각 접선 공간에 적용하면 (seudo-)Remanian 매니폴드의 정형화된 프레임 다발이 산출되며 프레임 필드는 이 번들의 한 부분이다.보다 일반적으로는 벡터 번들 또는 임의의 주섬유 번들과 관련된 프레임 번들을 고려할 수 있다.기표법은 베이스를 가리키는 지수와 섬유를 가리키는 지수를 구별하는 것을 피하기 어렵기 때문에 좀 더 관여하게 된다.많은 저자들이 섬유에 의해 색인된 구성요소를 언급할 때 내부 구성요소에 대해 언급한다.

참고 항목

• 일반 상대성에서의 정확한 해결책
• 조르주 르메르트르
• 카를 슈바르츠실트
• 프레임 이동 방법
• 폴 파넬레베
• 비에르베인
• 하기하라 유스케

참조

• Manuel Tecchiolli (2019). "On the Mathematics of Coframe Formalism and Einstein-Cartan Theory -- A Brief Review". Universe. 5(10) (Torsion Gravity): 206. arXiv:2008.08314. Bibcode:2019Univ....5..206T. doi:10.3390/universe5100206.
• Flanders, Harley (1989). Differential Forms with Applications to the Physical Sciences. New York: Dover. ISBN 0-486-66169-5. E의³ 프레임은 4장을 참조한 다음, 리만 다지관의 프레임 필드는 8장을 참조한다.이 책은 사실 로렌츠 다지관을 다루지는 않지만, 이 배경과 함께 독자는 다음 인용문을 잘 준비한다.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. 이 책에서 프레임 필드(코프레임 필드)는 벡터(커버터)의 무공칭 기반이라고 한다.필수 정보는 널리 퍼져있지만 광범위한 지수를 이용하면 쉽게 찾을 수 있다.
• 란다우, L.D.;Lifschitz, E.F(1980년).그 고전 이론 들판의(4판).런던:Butterworth-Heinemann.아이 에스비엔 0-7506-2768-9.이 책에서는 프레임 필드를 테트라드(Newman-Penrose 형식주의에서 NP용어 테트라드와 혼동해서는 안 된다현재의 표준 사용되는)라고 부른다.섹션 98을 참조하십시오.
• De Felice, F.; Clarke, C. J. (1992). Relativity on Curved Manifolds. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42908-0. 프레임 및 코프레임은 4장을 참조하십시오.프레임 필드에 대해 더 많은 정보가 필요하다면, 이 곳을 찾아보는 것이 좋을 것이다!