스핀 커넥션

미분 기하학 및 수학적 물리학에서 스핀 연결은 스피너 번들에 대한 연결이다.그것은 표준적인 방법으로 아핀 연결에서 유도된다.국소 로렌츠 변환에 의해 생성되는 게이지장으로도 간주할 수 있다.일반 상대성 이론의 일부 표준적 공식에서 스핀 연결은 공간 슬라이스에서 정의되며 국소 회전으로 생성된 게이지장으로도 간주할 수 있다.

스핀 연결은 레비-시비타 스핀 연결에서 파생될 때 레비-시비타 스핀 연결과 아핀 연결에서 얻을 때 아핀 스핀 연결의 두 가지 일반적인 형태로 발생한다.이들 둘 사이의 차이점은 리바이-시비타 연결은 정의상 고유한 비틀림 없는 연결인 반면, 아핀 연결부는 비틀림을 포함할 수 있다는 것이다.)는 비틀림을 포함할 수 있다는 것이다.

정의

$e_{\mu }^{\;\,a}$ $e_{\mu }^{\;\,a}$ a ${\$ 을(를) 로컬 로렌츠 프레임 필드 또는 비어베인(테트라드라고도 함)으로 $e_{\mu }^{\;\,a}$ 두십시오. 이 필드는 메트릭 텐서를 대각선으로 하는 직교 공간 시간 벡터 필드 집합입니다.

g_{\mu \nu }=e_{\nu }^{\\;\,a}e_{\nu }^{}^{\;\,b}\eta _{ab}}}}}}

여기서 $g_{\mu \nu }$ ${\$ 은 $g_{\mu \nu }$ 시간 측정 기준이고, $\eta _{ab}$ 은 b ${\$ 은 $\eta _{{ab}}$ 민코스키 측정 기준이다.여기서 라틴 문자는 국부 로렌츠 프레임 지수를 나타내고, 그리스 지수는 일반 좌표 지수를 나타낸다. $e_{\mu }^{\;\,a}$ 은 단순히 $g_{\mu \nu }$ e $e_{\mu }^{\;\,a}$ $e_{\mu }^{\;\,a}$ μ a {\ $displaystyle g_$ ${\mu$ $\$ nu $}}}$ 을 $e_{\mu }^{\;\,a}$ 를) 국부적으로 평탄하다는 것을 나타낸다.그리스 바이에르베인 지수는 미터법으로 올리거나 내릴 수 있다. 즉, $g^{\mu \nu }$ $g^{\mu \nu }$ ${\$ 또는 $g^{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ ${\$ $g_{\mu \nu }$ 라틴어 또는 "로렌츠어" 비어베인 지수는 각각 $\eta ^{ab}$ $\eta _{ab}$ ${\$ 또는 $\eta ^{ab}$ $\eta _{ab}$ ${\$ 에 의해 $\eta _{ab}$ 또는 하강할 수 있다.예를 들어 $e^{\mu a}=g^{\mu \nu }e_{\nu }^{\;\,a}$ $e^{\mu a}=g^{\mu \nu }e_{\nu }^{\;\,a}$ $e^{\mu a}=g^{\mu \nu }e_{\nu }^{\;\,a}$ = g $μa$ $^{\mu$ a $}=g^{\$ a}=g $^{\nu$ }^{\ $nu }^{}^{\nu$ $}^{\a$ $}$ 및 e $e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}$ = a = $e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}$ $e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}$ $e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}$ $e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}$ η a _a ${\$ } $e_{ab}e_$ {\ $nu}e$ }e}e_{}e}e_{\nu }e}e}{\ $nu$ }^{\nu $e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}$ }^{\b.

비틀림 없는 스핀 연결은 다음에 의해 제공된다.

\omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}+e_{\nu }^{\ a}\partial _{\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}-e^{\nu b}\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a},

여기서 $\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }$ $\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }$ μ ${\$ 은 $\Gamma _{{\mu \nu }}^{\sigma }$ 크리스토펠 기호다.이 정의는 비틀림 없는 스핀 연결을 정의하는 것으로 간주해야 하는데, 관습에 의해 크리스토펠 기호는 리바-시비타 연결에서 파생되며, 리만 다지관의 비틀림 없는 고유한 미터법 호환성이 있는 비틀림 없는 연결은 리바-시비타 연결에서 파생된다.일반적으로 제한은 없다: 스핀 연결에도 비틀림이 포함될 수 있다.

Note that $\omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\partial _{;\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}(\partial _{\mu }e^{\nu b}+\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b})$ using the gravitational covariant derivative $\partial _{;\mu }e^{\nu b}$ $\partial _{;\mu }e^{\nu b}$ ; $\partial _{;\mu }e^{\nu b}$ $\partial _{;\mu }e^{\nu b}$ $\partial _{;\mu }e^{\nu b}$ $\partial _{;\mu }e^{\nu b}$ ${\$ \ \ $_{;\mu }e^{\nu b}$ $e^{\nu b}$ b ${\$ e $^{\nu b$ 스핀 연결은 순수한 바이얼빈 필드 측면에서 다음과^[1] 같이 작성될 수 있다.

\omega _{\mu }^{\ ab}={\frac {1}{2}}e^{\nu a}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ b}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ b})-{\frac {1}{2}}e^{\nu b}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ a})-{\frac {1}{2}}e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial _{\rho }e_{\sigma c}-\partial _{\sigma }e_{\rho c})e_{\mu }^{\ c},

정의에 따르면 내부 $지수$ a $,$ $b$ {\ $displaystyle$ a $,b}$ 에서 반제곱이다 $a,b$

스핀 연결 $\omega _{\mu }^{\ ab}$ $\omega _{\mu }^{\ ab}$ a $\omega _{\mu }^{\ ab}$ ${\$ ^{\ $ab}}}$ 은(는) 일반화된 텐더에 $D_{\mu }$ 공변량 파생 $D_{\mu }$ $D_{\mu }$ ${\$ μ $}$ 을 $\omega _{\mu }^{\ ab}$ 정의한다.예를 들어, $V_{\nu }^{\ a}$ $V_{\nu }^{\ a}$ a ${\$ 에 대한 동작은 $V_{\nu }^{\ a}$

D_{\mu }V_{\nu }^{\ a}=\partial _{\mu }V_{\nu }^{\ a}+{{\omega _{\mu }}^{a}}_{b}V_{\nu }^{\ b}-\Gamma _{\ \nu \mu }^{\sigma }V_{\sigma }^{\ a}

카르탄의 구조 방정식

카르탄 형식주의에서 회전 연결은 비틀림과 곡률 모두를 정의하는데 사용된다.이것들은 차등형식으로 작업하면 가장 읽기 쉬운데, 이것은 많은 인덱스를 감추기 때문이다.여기에 제시된 방정식은 연결 형태와 곡률 형태에 관한 글에서 찾을 수 있는 방정식의 재작성이다.주요한 차이점은 이것들이 바이얼빈에 있는 지수를 완전히 숨기는 대신 유지한다는 것이다.보다 좁게, 카르탄 형식주의는 그것의 역사적 배경에서 해석될 것이다. 동질적 공간에 대한 아핀 연결의 개념을 일반화한 것이다.; 그것은 섬유 묶음에 대한 주요한 연결의 개념만큼 아직 일반적이지 않다.리만 기하학의 좁은 설정과 완전히 추상적인 섬유다발 설정 사이의 적절한 중간점 역할을 하므로 게이지 이론과의 유사성을 강조한다.여기서 표현된 바와 같이 카르탄의 구조 방정식에는 직접적인 아날로그가 있다는 점에 유의하십시오: 리 그룹에 대한 마우르-카탄 방정식(즉, 그것들은 같은 방정식이지만 다른 설정과 표기법).

바이얼빈을 차등 폼으로 쓰기

e^{a}=e_{\mu }^{\\\,a}dx^{\mu }}}

코탄젠트 번들의 정형 좌표에 대해, 어핀 스핀 연결 원폼은

\omega^{ab}=\omega_{\mu}^{\\;ab}dx^{\mu }}}

비틀림 2 형식은 다음과 같다.

\theta ^{a}=de^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge e^{b}}}

곡률 2-폼이

R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}={\frac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}

이 두 방정식을 합쳐서 카르탄의 구조 방정식이라고 한다.^[2]일관성을 위해서는 비안치족의 정체성이 지켜져야 한다.첫 번째 비앙치 아이덴티티는 비틀림의 외부 파생물을 취함으로써 얻는다.

d\theta ^{a}+\omega _{\\b}^{a}\wedge \theta ^{b}=R_{\;\,b}^{a}\wedge e^{b}}}}

곡면성을 구분하여 두 번째 항목:

dR_{\\;b}^{a}+\omega _{\\;c}^{a}\wedge R_{c}-R_{\\;c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}=0.

p의 일반 $V_{\;\,b}^{a}$ 차등 형태 $V_{\;\,b}^{a}$ $V_{\;\,b}^{a}$ $V_{\;\,b}^{a}$ ${\$ 에 대한 공변량 파생상품은 다음과 같이 정의된다.

DV_{\;\,b}^{a}=dV_{\\\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge V_{\\;b}^{c}-(-1)^{p}V_{\\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}.

그러자 비안치의 두 번째 정체가 된다.

DR_{\\;\,b}^{a}=0.

비틀림과의 연결부와 비틀림 없는 고유한 비틀림 연결부 사이의 차이는 비틀림 텐서(tension tensor)에 의해 주어진다.비틀림과의 연관성은 흔히 원격병행론, 아인슈타인-카르탄 이론, 게이지 이론 중력, 초중력 이론에서 발견된다.

파생

미터법

It is easy to deduce by raising and lowering indices as needed that the frame fields defined by $g_{\mu \nu }={e_{\mu }}^{a}{e_{\nu }}^{b}\eta _{ab}$ will also satisfy ${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=\delta _{b$ $}^{a}}$ and ${e_{\mu }}^{b}{e^{\nu }}_{b}=\delta _{\mu }^{\nu }$ . We expect that $D_{\mu }$ will also annihilate the Minkowski metric $\eta _{ab}$ ,

D_{\mu }\eta _{ab}=\partial _{\mu }\eta _{\mu }-{c}\eta _{cb}-{\mu b}}{c}\eta _{ac}=0.

이는 연결부가 내부 지수에서 ${\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.$ ${\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.$ a ${\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.$ = - ${\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.$ ${\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.$ ${\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.$ ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{\omega$ _ $}=-{\$ omega $_{\$ mu }}}}{\ $mu$ }^{\mu $}{\ba}}}.$ $}$ This is also deduced by taking the gravitational covariant derivative $\partial _{;\beta }({e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b})=0$ which implies that ${\displaystyle \partial _{;\beta }{$ $e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=-{e_{\mu }}^{a}\partial _{;\beta }{e^{\mu }}_{b}}$ thus ultimately, ${\omega _{\beta }}^{ab}=-{\omega _{\beta }}^{ba}$ .이것을 미터법 조건이라고 부르기도 한다.^[2] $g_{\mu \nu ;\alpha }=0.$ $g_{\mu \nu ;\alpha }=0.$ ; $g_{\mu \nu ;\alpha }=0.$ $g_{\mu \nu ;\alpha }=0.$ $g_{\mu \nu ;\alpha }=0.$ $g_{\mu \nu ;\alpha }=0.$ 이 조건은 일반적으로 부속 회전 연결부가 아닌 Levi-Civita 스핀 연결에만 유지된다는 점에 유의한다 $g_{\mu \nu ;\alpha }=0.$ .

By substituting the formula for the Christoffel symbols ${\Gamma ^{\nu }}_{\sigma \mu }={1 \over 2}g^{\nu \delta }(\partial _{\sigma }g_{\delta \mu }+\partial _{\mu }g_{\sigma \delta }-\partial _{\delta }g_{\sigma \mu })$ written ${e_{\mu }}^{a}$ ${e_{\mu }}^{a}$ ${e_{\mu }}^{a}$ ${\$ 의 관점에서 스핀 연결부는 완전히 ${e_{\mu }}^{a}$ ${e_{\mu }}^{a}$ ${e_{\mu }}^{a}$ ${\$ $a},$

{\omega _{\mu }}^{ab}=e^{\nu [a}({{e_{\nu }}^{b]}}_{,\mu }-{{e_{\mu }}^{b]}}_{,\nu }+e^{\sigma  b]}{e_{\mu }}^{c}e_{\nu c,\sigma })

여기서 지수의 대칭성이 1/2의 암묵적 인자를 갖는 경우.

메트릭 호환성 기준

이 공식은 다른 방법으로 도출될 수 있다.To directly solve the compatibility condition for the spin connection ${\omega _{\mu }}^{ab}$ , one can use the same trick that was used to solve $\nabla _{\rho }g_{\alpha \beta }=0$ for the Christoffel symbols ${\displaystyle {\Gamma ^{\gamma$ $}}}{\alpha \beta$ }}} $우선$ 호환성 조건을 계약해 주어

{e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}(\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}+{\omega _{[\alpha a}}^{d}\;e_{\beta ]d})=0

.

그런 다음 자유 지수 $a$ , $b$ , ${\displaystyle a$ $c$ $b,}$ 및 $a,b,$ $c$ $c$ 의 주기적 순열을 수행하고 다음과 같은 세 가지 결과 방정식을 더하고 빼십시오.

\Oomega_{bca}+\Oomega_{abc}-\Oomega_{cab}+2{e^{\alpha }}}{b}\omega_{\alpha ac}=0

$\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ 서 $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ b $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ [ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ a ${\$ $={e^{\eff}}{e^{\$ b}{ $e^{\b}}}{c}\properties _{\e_{\properties$ a}}}}.스핀 연결을 위한 해결책은

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

c

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

=

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

e

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

(

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

+

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

-

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

\omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})

)

{\displaystyle \omega \{\alpha ca}={1 \over

2}{

e_{\

alpha }}}}}^{

b}(\Oomega _

{bca

}+\Oomega_

{ab

}-\c

이것으로부터 우리는 전과 같은 공식을 얻는다.

적용들

회전 연결은 곡면 스페이스타임 언어로 표현될 때 Dirac 방정식에서 발생한다.특히 중력을 스피너 장과 결합시키는 문제가 있다: 일반 공분산 그룹의 유한 차원 스피너 표현은 없다.그러나 로렌츠 그룹의 스핀오럴적 표현은 물론 있다.이 사실은 스페이스타임의 모든 시점에서 평평한 접선 공간을 설명하는 테트라드 장을 채택함으로써 활용된다.Dirac 행렬 $\gamma ^{a}$ ${\$ 은 $\gamma ^{a}$ (는) 비어바이엔스에 계약되어 있다.

\gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x)

\gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x)

\gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x)

\gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x)

(

\gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x)

)

\gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x)

=

\gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x)

(

\gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x)

)

{\displaystyle

\ \ \ \ \

gamma \{ ^{a}{e

^{\mu }}}}

_{a}}(

x)=\}

^{\mu }(x

우리는 일반적으로 공변량 Dirac 방정식을 만들고 싶다.평평한 접선 공간 아래에서 로렌츠 변환기는 다음과 같이 변환한다.

\mapsto e^{i\epsilon ^{ab}(x)\probma _{ab}\probled }

$\epsilon _{ab}$ $\sigma _{ab}$ $\epsilon _{ab}$ b {\ $displaystyle \sigma _{$ ab $\sigma _{ab}$ s에 의해 생성된 평평한 접선 공간에 로컬 로렌츠 변환을 도입하여, $\epsilon _{ab}$ {\ $displaystyle \epsilon _{ab}$ 은 시공간 함수를 의미한다 $\epsilon _{ab}$ .이것은 스피너의 부분적 파생상품이 더 이상 진정한 텐서가 아니라는 것을 의미한다.여느 때처럼 로렌츠 그룹을 가늠할 수 있는 ${\omega _{\mu }}^{ab}$ 연결장 ${\omega _{\mu }}^{ab}$ ${\omega _{\mu }}^{ab}$ a ${\omega _{\mu }}^{ab}$ ${\$ 를 소개한다.스핀 연결로 정의된 공변량 파생상품은,

\nabla _{\mu }\psi =(\partial _{\mu }-{i \over 4}{\omega _{\mu }}^{ab}\sigma _{ab})\psi =(\partial _{\mu }-{i \over 4}e^{\nu a}\partial _{;\mu }{e_{\nu }}^{b}\sigma _{ab})\psi

,

그리고 진정한 텐서(tensor)이며 디락의 방정식은 다음과 같이 다시 쓰여진다.

(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0

(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0

(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0

μ μ

(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0

- m

(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0

)

(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0

=

(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0

(i\gamma ^{\mu }\}la _{\mu }-m)\psi =0

.

일반적으로 공변성 페르미온 작용은 첫 번째 순서인 테트라디 팔라티니 작용에 페르미온을 중력에 결합시킨다.

{\mathcal {L}}=-{1 \over 2\kappa ^{2}}e\,{e^{\mu }}_{a}{e^{\nu }}_{b}{\Omega _{\mu \nu }}^{ab}[\omega ]+e{\overline {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi

여기서 $e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}$ $e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}$ $e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}$ $e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}$ $e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}$ $e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}$ a $e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}$ = $e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}$ - g ${\$ e $:=\det {e_{\mu }^{-g}},$ ${\Omega _{\mu \nu }}^{ab}$ ${\Omega _{\mu \nu }}^{ab}$ ${\Omega _{\mu \nu }}^{ab}$ ${\Omega _{\mu \nu }}^{ab}$ ${\$ Oomega $_{\mu \nu }^{ab}}}$ 는 스핀 연결의 ${\Omega _{\mu \nu }}^{ab}$ 곡률이다.

아인슈타인의 첫 번째 순서 공식인 일반 상대성 이론의 테트라딕 팔라티니 공식테트라드와 스핀 연결이 기본 독립 변수인 힐버트 작용.팔라티니 공식의 3+1 버전에서 공간적 메트릭에 $q_{ab}(x)$ 정보인 $q_{ab}(x)$ $q_{ab}(x)$ ( x $q_{ab}(x)$ ) ${\displaystyle q_{ab}(x$ 는 triad $e_{a}^{i}$ $e_{a}^{i}$ $e_{a}^{i}$ ${\$ 3차원, 테트라드의 공간 버전)로 인코딩된다.Here we extend the metric compatibility condition $D_{a}q_{bc}=0$ to $e_{a}^{i}$ , that is, $D_{a}e_{b}^{i}=0$ and we obtain a formula similar to the one given above but for the spatial spin connection ${\di$ $splaystyle \감마_{a}^{ij$

공간 스핀 연결은 3+1 일반 상대성이론을 특수 $\mathrm {SU} (2)$ 의 $\mathrm {SU} (2)$ U $\mathrm {SU} (2)$ ( $\mathrm {SU} (2)$ $){\displaystyle \mathrm {SU}(2$ )}양-밀스 $\mathrm {SU} (2)$ 게이지 이론으로 다시 쓸 수 있는 Ashtekar-Barbero 변수의 정의에 나타난다.하나는 $\Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}$ a $\Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}$ i = $\Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}$ $\Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}$ j $\Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}$ $\Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}$ a $\Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}$ k ${\$ ^{ $ijk}\Gamma _{a}^{jk}}}}$ 를 정의한다 $\Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}$ The Ashtekar-Barbero connection variable is then defined as $A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta c_{a}^{i}$ where $c_{a}^{i}=c_{ab}e^{bi}$ and $c_{ab}$ is the extrinsic curvature and ${\displays$ $tyle \beta }$ 은 $\beta$ (는) Imirzi 매개 변수다.With $A_{a}^{i}$ as the configuration variable, the conjugate momentum is the densitized triad $E_{a}^{i}= \det(e) e_{a}^{i}$ . With 3+1 general relativity rewritten as a special type of $\mathrm {SU} (2)$ Yang–Mills게이지 이론은 양자 색역학에서 표준 양자 일반 상대성 이론에 사용되는 비침습적 기법의 수입을 허용한다.

참고 항목

참조

^ M.B. 그린, J.H. 슈바르츠, E. 위튼, "수퍼스트링 이론", 제2권.
^ ^a ^b 토후루 에구치, 피터 B.Gilkey와 Andrew J. Hanson, "중력, 게이지 이론 및 미분 기하학", 물리학 보고서 66 (1980) 페이지 213-393.

F.W. Hal, F.W.; 폰 데르 헤이드, P.; G.D. Kerlick; J.M. (1976), "돌림과 비틀림을 가진 일반 상대성: "기초와 전망", Mod.체육관 48번, 393번.
키블, T.W.B.(1961), "로렌츠 불변성과 중력장", J. 수학.체육관 2,212호
Poplawski, N.J.(2009), "스팩타임 및 필드", arXiv:0911.0334
시카마, D.W. (1964년), "일반 상대성 이론의 물리적 구조" 모드 목사.체육관 36, 463호

[1] M.B. 그린, J.H. 슈바르츠, E. 위튼, "수퍼스트링 이론", 제2권.

[eguchi-2] 토후루 에구치, 피터 B.Gilkey와 Andrew J. Hanson, "중력, 게이지 이론 및 미분 기하학", 물리학 보고서 66 (1980) 페이지 213-393.

[1]

[2]

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카르탄의 구조 방정식

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