실린더 세트 측정

수학에서 실린더 세트 측정(또는 프로메서치, 사전 측정, 준 측정, CSM)은 무한 차원 벡터 공간에 대한 측정의 시제품의 일종이다.힐버트 공간의 가우스 실린더 세트 측정치가 그 예다.

실린더 세트 측정은 일반적으로 측정이 아니라(특히 계산적으로 첨가할 필요는 없고 미세하게만 첨가할 필요가 있음) 유클리드 공간의 원점에서 시작되는 연속 경로 집합에 대한 고전적인 위너 측정과 같이 측정치를 정의하는 데 사용할 수 있다.

정의

E를 분리할 수 있고, 실제적이고, 위상적인 벡터 공간이 되게 하라.Let $A{\displaystyle \mathcal{}}$( $){\displaystyle {\mathcal{A}(E)}}$는 E에 정의된 모든 굴절적이고 연속적인 선형 지도 T : E → F의_T 컬렉션을 나타내며$$, 그 이미지는 어떤 유한 차원 실제 벡터 공간 F_T:

${\displaystyle {\mathcal{A}(E):=\{T\in \mathrm {Lin}(E;F_{T})\mid T{\mbox{굴절 및 }}}\dim _{\mathb {R}{{}F_{}}{{}}}}}T}<+\inful \}}$

E에 대한 실린더 세트 측정은 확률 측정의 집합이다.

${\displaystyle \{\mu_{T}\mid T\in {\mathcal {A}(E)\}.}$

여기서 μ는_T F에_T 대한 확률 측정값이다.이러한_ST 조치들은 다음과 같은 일관성 조건을 만족시키기 위해 필요하다: : : F_S → F가_T 허탈적 투영이라면, 조치의 추진은 다음과 같다.

$\displaystyle \mu _{T}=\left(\pi _){ST}\오른쪽)_{*}(\mu _{S}).}$

언급

일관성 조건

$\displaystyle \mu _{T}=\left(\pi _){ST}\오른쪽)_{*}(\mu _{S}}}$

참된 측정이 앞으로 나아가는 방법을 모델링한다(섹션 실린더 세트 측정 대 참 측정 참조).단, 실린더 세트 측정의 경우, 이것은 결과가 아닌 정의의 일부인 요건임을 이해하는 것이 중요하다.

실린더 세트 측정은 위상 벡터 공간 E의 실린더 세트에 정밀하게 첨가된 함수를 정의하는 것으로 직관적으로 이해할 수 있다.실린더 세트는 F에서_T 측정 가능한 세트의 E에 있는 사전 이미지로, $만약{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ B ${\displaystyle T_{}}$ ${\$가 μ가_T 정의된 F에_T 있는 σ-algebra를 나타내는$$ 경우,

${\displaystyle \mathrm {Cyl}(E):=\{T^{{T^{-1(B)\mid B\in {\mathcal{B}_{T},T\in {\mathcal {A}(E)\}.}$

$실제로$ $B{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ T ${\$$F$에 Borel_T l-algebra가 될$$ T$}.$이 경우 E가 분리 가능한 바나흐 공간인 경우 실린더 세트에 의해 생성되는 σ-알지브라(Borel l-algebra)가 정확히 E:의 보렐 σ-알지브라(Borel :-algebra)임을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Borel}(E)=\sigma \left(\mathrm {Cyl}(E)\right).}$

실린더 세트 측정값 대 측정값

E에 대한 실린더 세트 측정은 실제로 E에 대한 측정이 아니다. E의 모든 유한 치수 영상에 정의된 측정의 집합이다.E에 이미 정의된 확률 측정 μ가 있는 경우, μ는 푸시 포워드(fush_TT forward: f에 μ = T_∗(μ)를 설정하여 E에 실린더 세트 측정치를 발생시킨다.

이러한 방법으로_T μ_∗ = T(μ)와 같은 측정 μ가 E에 있을 때는 표기법을 약간 남용하여 실린더 세트 측정값${\displaystyle }${${\displaystyle \mu T{}_{}}$ T${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle A}$( ${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$} ${\displaystyle \{\mu _{T} T\in {\mathcal{A}(E)\}}}$이 측정값 μ라고 말하는 것이 관습이다.

Hilbert 공간의 실린더 세트 측정

Banach 공간 E가 실제로 Hilbert 공간 H인 경우, H의 내부 제품 구조에서 발생하는 표준 가우스 실린더 세트 측정값 is이^H 있다. 구체적으로 ⟨ , ⟩이 H의 내부 제품을 가리킨다면, let , _Tlet은 F의_T 내부 제품을 가리킨다.F에_T 대한 측정값 γ은_T^H F에_T 대한 표준 가우스 측정값으로 정의된다.

${\displaystyle \gamma _{T}^{H}=i_{*}\왼쪽(\gamma ^{\dim F_{T}\오른쪽),}$

여기서 i : R^dim(F_T) → F는_T R의^dim(F_T) 유클리드 내측 제품을 내측 제품 ⟨, F의_T ⟩,_T γ은ⁿ R의ⁿ 가우스 표준 측정값으로 하는 힐버트 공간의 등계법이다.

무한 분리형 힐버트 공간 H에 대한 표준 가우스 실린더 세트 측정은 H에 대한 실제 측정과 일치하지 않는다.증거는 꽤 간단하다: 반지름 r (및 중심 0)의 공은 N차원 힐버트 공간에서 반지름 r 공의 그것과 최대 동등하게 측정되며, n은 무한대로 경향이 있기 때문에 0이 되는 경향이 있다.그래서 반지름 r의 공은 0을 가지고 있다; 힐버트 공간은 그러한 공들의 계수 가능한 결합이기 때문에 그것은 또한 0을 가지고 있다, 이것은 모순이다.

가우스 실린더 세트 측정치가 측정치가 아니라는 대안적인 증거는 카메론-마틴의 정리 및 측정의 준침투성에 대한 결과를 사용한다.만약 γ^H = γ이 정말로 측정이었다면, H의 식별 기능이 그 측정치를 라돈화하여 id : H → H를 추상적인 Wiener 공간으로 만들 것이다.카메론-마틴 정리에 의해 γ은 H의 어떤 요소에 의한 번역에 의해 준불변성이 될 것이며, 이는 H가 유한 치수이거나 γ이 영점 척도임을 암시한다.어느 경우든 우리는 모순을 가지고 있다.

사조노프의 정리는 정식 가우스 실린더 세트 측정의 추진이 참된 측정으로 바뀔 수 있는 조건을 제시한다.

핵 공간 및 실린더 세트 측정

핵 프레셰트 공간의 이중에서 실린더 세트 측정은 푸리에 변환이 연속적인 경우 측정치로 자동 확장된다.

예: S가 유한 치수 벡터 공간에서 슈워츠 함수의 공간이 되게 하자; 그것은 핵이다.L함수의² Hilbert 공간 H에 포함되어 있으며, 이는 핵 프레셰트 공간 S:의 이중인 강화 분포 S distributions 공간에 차례로 포함되어 있다.

$(\displaystyle S\subseteq H\subseteq S')$

H에 대한 가우스 실린더 세트 측정은 강화 분배 공간에 대한 실린더 세트 측정값을 제공하며, 강화 분배 공간 S′까지 확장된다.

Hilbert 공간 H는 H에 대한 표준 가우스 실린더 세트 측정치가 H에 대한 측정으로 확장되지 않는다는 것을 보여주기 위해 위에서 사용한 첫 번째 논거에 의해 S에서 0을 측정한다.

참고 항목

• 원통형 σ-알지브라

참조

• I.M. Gel'fand, N.그래, 빌렌킨, 일반화 기능. 조화 분석의 적용, Vol 4, Acad.누름(1968년)
• R.A. Minlos (2001) [1994], "cylindrical measure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• R.A. Minlos (2001) [1994], "cylinder set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• L. 슈워츠, 라돈 측정.