원뿔단면

수학에서 원뿔단면(또는 단순히 원뿔단면)은 원뿔 표면과 평면의 교차점으로서 얻은 곡선이다.원뿔 부분의 세 종류는 하이퍼볼라, 포물선, 타원형이다. 원은 역사적으로 네 번째 유형이라고 불리기도 했지만, 타원의 특별한 경우다.고대 그리스 수학자들은 원뿔 단면을 연구하여, 기원전 200년경에 그들의 성질에 대한 Perga의 체계적 연구의 아폴로니우스와 절정을 이루었다.

유클리드 평면의 원뿔 부분은 다양한 구별되는 특성을 가지고 있으며, 그 중 많은 부분을 대체 정의로 사용할 수 있다.그러한 속성 중 하나는 비원형 원뿔을^[1] 포커스라고 하는 특정 지점까지의 거리 및 다이렉트릭스라고 불리는 어떤 특정 선이 편심률이라고 불리는 고정 비율에 있는 점들의 집합으로 정의한다.원뿔의 종류는 편심률의 값에 의해 결정된다.분석 기하학에서 원뿔은 도 2의 평면 대수 곡선, 즉 두 변수에서 좌표가 2차 방정식을 만족하는 점 집합으로 정의될 수 있으며, 이는 행렬 형태로 기록될 수 있다.이 방정식은 원뿔 단면의 기하학적 특성을 대수적으로 추론하고 표현할 수 있게 한다.

유클리드 평면에서 세 종류의 원뿔 부분은 상당히 다르게 나타나지만 많은 성질을 공유한다.무한대에 선을 포함하도록 유클리드 평면을 확장하여 투영 평면을 얻음으로써 겉보기 차이는 사라진다: 하이퍼볼라의 가지가 무한대에서 두 지점에서 만나 하나의 닫힌 곡선이 되고, 포물선의 두 끝이 만나 무한대로 선에 접하는 닫힌 곡선이 된다.추가적인 확장은, 복잡한 좌표를 인정하도록 실제 좌표를 확장함으로써, 이 통일을 대수적으로 볼 수 있는 수단을 제공한다.

유클리드 기하학

원뿔 부분은 수천 년 동안 연구되어 왔고 유클리드 기하학에서 흥미롭고 아름다운 결과의 풍부한 근원을 제공해왔다.

정의

원뿔은 절삭면이라 불리는 평면의 교차점으로서 이중 원뿔의 표면(나프 두 개가 있는 원뿔)으로 얻은 곡선을 말한다.일반적으로 원뿔은 설명하기 쉽도록 우측 원형 원뿔이라고 가정하지만, 이것은 필요하지 않다. 어떤 원형 단면을 가진 더블 원뿔이면 충분하다.원뿔의 정점을 통과하는 평면은 점, 선 또는 한 쌍의 교차 선에서 원뿔을 교차한다.이것들은 퇴보적인 사기꾼이라고 불리며 일부 작가들은 그들을 사기꾼으로 전혀 생각하지 않는다.달리 명시되지 않는 한 이 글에서 "원뿔"은 비원추 원뿔을 가리킬 것이다.

원뿔에는 타원형, 파라볼라형, 하이퍼볼라의 세 종류가 있다.원은 역사적으로 아폴로니우스는 그것을 네 번째 타입으로 여겼지만 특별한 종류의 타원이다.타원은 원뿔과 평면의 교차점이 닫힌 곡선일 때 발생한다.원은 절삭면이 원뿔의 생성 원 평면에 평행할 때 얻는다. 즉, 오른쪽 원뿔의 경우 절삭면이 축에 수직임을 의미한다.절삭면이 원뿔의 정확히 하나의 생성선과 평행하면 원뿔은 한이 없고 포물선이라고 한다.나머지 경우 그림은 하이퍼볼라로, 면은 원뿔의 두 반쪽을 교차하며 두 개의 분리된 무한 곡선을 생성한다.

편심성, 초점 및 다이렉트릭스

또는 원뿔 단면을 평면 기하학 측면에서 순수하게 정의할 수 있다. 원뿔 단면은 고정점 F까지의 거리(초점이라고 함)가 P에서 고정선 L까지의 거리의 일정 배수(이심률 e라고 함)인 모든 점 P의 위치다.0 < e < 1의 경우 타원, e = 1 포물선, e > 1의 경우 하이퍼볼라를 얻는다.

원은 제한 케이스로 유클리드 평면에서 초점과 다이렉트로 정의되지 않는다.원의 편심률은 0으로 정의되고 그 초점이 원의 중심이지만, 투영면에서 그 직접성은 무한대의 선으로만 취할 수 있다.^[2]

타원의 편심성은 타원이 원형에서 얼마나 멀어지는가를 나타내는 척도로 볼 수 있다.^{[3]: 844}

원뿔의 표면과 그 축 사이의 각도가 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta}$이고 절단면과$$ 축 사이의 각도가 $\alpha {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \alpha ,}$인 경우 편심률은$$ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$α ${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ β${\displaystyle {\frac {\cos \alpha}{\cos }}}}}}.$$}$^[4]

포커스-디렉트릭스 속성에 의해 정의된 위의 곡선이 원뿔을 교차하는 평면에 의해 얻어진 곡선과 동일하다는 증거는 Dandelin 구를 사용함으로써 촉진된다.^[5]

또는, 타원은 두 개의 초점(두 개의 초점)에 대한 거리의 합이 2a인 점의 중심점으로서 정의될 수 있다. 반면, 하이퍼볼라는 거리의 차이가 2a인 지점이다. (여기 a는 아래에서 정의한 반주축이다.)포물선은 포커스 및 래투스 직사각형 선(직접에 평행하고 포커스를 통과하는 선)으로 정의될 수 있다. 포물선은 포커스까지의 거리가 2a와 같거나 라이터 직장과 직사각형 사이의 거리가 마이너스인 점의 위치다.

원뿔 파라미터

편심률(e), 초점, 다이렉트릭스 이외에도 다양한 기하학적 특징과 길이가 원뿔 단면과 연관되어 있다.

주축은 타원형 또는 하이퍼볼라의 포커스에 접합하는 선이며, 중간점은 곡선의 중심이다.포물선은 중심이 없다.

선형 편심률(c)은 중심과 초점 사이의 거리다.

라투스 직장은 직격과 평행하며 포커스를 통과하는 현이며, 절반 길이는 세미 라투스 직장( ()이다.

초점 파라미터(p)는 포커스로부터 해당 다이렉트릭스까지의 거리를 말한다.

주요 축은 두 꼭지점 사이의 화음이다: 타원의 가장 긴 화음, 하이퍼볼라 가지 사이의 가장 짧은 화음이다.그것의 절반 길이는 반주축(a)이다.타원형 또는 하이퍼볼라가 아래 방정식과 같이 표준 위치에 있을 때 원점의 x축과 중심에 초점을 맞추고 원뿔의 정점에는 음이 아닌 좌표(-a, 0)와 (a, 0)가 있다.

부축은 타원의 최단 직경이며, 그 절반 길이는 반 미니어 축(b)으로, 아래 표준 방정식과 동일한 값 b이다.유추에 의해, 하이퍼볼라의 경우, 표준 방정식의 매개변수 b를 세미 미니어 축이라고도 한다.

다음 관계는 다음과 같다.^[6]

• $\displaystyle \\ell =pe}$
• $\displaystyle \ c=ae}$
• ${\displaystyle \p+c={\frac {a}{e}}}$

표준 위치에 있는 원뿔의 경우, 파라미터는 , > 0 ${\displaystyle a,b>0}$을(를) 취하면서 다음과 같은 값을 갖는다

원뿔 단면	방정식	편심(e)	선형 편심률(c)	반유성직장(반유성직장	초점 파라미터(p)
원을 그리다	${\displaystyle x^{2}+y^{2}}}=a^{2}\,}$	$0\displaystyle 0\,}$	$0\displaystyle 0\,}$	$a\displaystyle a\,}$	$\displaystyle \infit }$
타원형	${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{a^{2}}+{\frac {y^{2}}:{b^{2}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt{1-{\frac {b^{2}}:{a^{2}}:}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}$	${\displaystyle {\frac{b^{2}}:{a}}$	${\displaystyle {\frac{b^{2}}{\\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
포물선	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	$1\displaystyle 1\,}$	해당 없음	$디스플레이 스타일 2a\,}$	$디스플레이 스타일 2a\,}$
쌍곡선	${\displaystyle {\frac{x^{2}}-{\frac{y^{2}}:{b^{2}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}:{a^{2}}:}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac{b^{2}}:{a}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}$

데카르트 좌표의 표준 양식

데카르트 좌표를 도입한 후 포커스-디렉트릭스 속성을 사용하여 원뿔 단면의 점으로 만족하는 방정식을 생성할 수 있다.^[7]좌표 변경(축 회전 및 변환)을 통해 이러한 방정식을 표준 형태로 넣을 수 있다.^[8]타원 및 하이퍼볼라의 경우, 표준 형태는 x축을 주축으로 하고 원점(0,0)을 중심축으로 한다.정점은 (±a, 0)이고 초점은 (±c, 0)이다.타원의 경우 등식² c² = a - b², 하이퍼볼라의²² 경우 c = a + b로² b를 정의한다.원의 경우 c = 0이므로² a = b².포물선의 경우, 표준 형태는 점(a, 0)에서 x축에 초점을 맞추고, 방정식 x = -a로 라인을 다이렉트릭스한다.표준 형태에서 포물선은 항상 원점을 통과한다.

점근법이 수직인 직사각형 또는 등변형 하이퍼볼라의 경우 점근법이 좌표축이고 선 x = y가 주축인 대체 표준형이 있다.그러면 초점은 좌표(c, c)와 (-c, -c)^[9]를 갖는다.

• 원²²²: x + y = a
• 타원:.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-p.arser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}x2/a2+y2/b2=1
• 포물선: y = 0보다² 큰 4ax
• 하이퍼볼라: x²/a² - y²/b² = 1
• 직사각형 하이퍼볼라:^[10] xy = c²/2

이러한 형태 중 처음 4개는 X축과 Y축(원, 타원, 하이퍼볼라)에 대해 대칭이거나 X축에 대해서만(파라볼라의 경우)이다.그러나 직사각형 하이퍼볼라는 대신 y = x, y = -x 선에 대칭이다.

이러한 표준 형식은 다음과 같이 매개변수로 작성할 수 있다.

• 원 : (cos θ, 죄악 θ)
• 타원: (a cos ,, b sin θ)
• 포물선: (2at², 2at)
• 하이퍼볼라: (1초 θ, b tann θ) 또는 (±a cosh u, b sinh u),
• 직사각형 하이퍼볼라: ($d$ ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle t}$) ${\dplaystyle (d\,$t,{\$frac$ {d$}{t}}},$ $여기$서 d${\displaystyle }$= c ${\displaystyle \frac{\sqrt{2\mathrm{}}}{}}$. ${\displaystyd={\frac {c}{\sqrt{2}}.$$}$

일반 데카르트 양식

데카르트 좌표계에서는 두 변수에 있는 2차 방정식의 그래프는 항상 원뿔 단면(변위될 수 있지만)^[a]이며, 모든 원뿔 단면은 이와 같이 발생한다.가장 일반적인 방정식은 형식이다^[11].

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

모든 계수 실수 및 A, B, C가 모두 0은 아니다.

행렬 표기법

위의 방정식은 행렬 표기법으로^[12] 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}D&E\end{matrix}\오른쪽)\왼쪽({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\오른쪽)+F=0.}$

일반 방정식은 또한 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right)=0.}$

이 형태는 투영 기하학의 보다 일반적인 설정에서 사용되는 동질적 형태의 전문화다(아래 참조).

판별

이 방정식에서 설명하는 원뿔 단면은 ${\displaystyle {B\mathrm{}}^{}2}$ - ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle A}$ 값 ${\디스플레이 스타일$ B$^{2}-4$로 분류할 수 있다.$AC$ 방정식의 판별이라고 한다.^[13]따라서 판별은 - 4Δ이며, 여기서 Δ는 매트릭스 A/ B / C이다{\$displaystyle \왼쪽${\$begin}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}\right .}$

원뿔이 소멸되지 않은 경우:^[14]

• B² - 4AC < 0인 경우 방정식은 타원을 나타낸다.
  • A = C, B = 0인 경우 방정식은 원을 나타내며, 타원의 특별한 경우.
• B² - 4AC = 0인 경우 등식은 포물선을 나타낸다.
• B² - 4AC > 0인 경우, 방정식은 하이퍼볼라를 나타낸다.
  • A + C = 0이면 방정식은 직사각형 하이퍼볼라를 나타낸다.

여기서 사용하는 표기법에서 A와 B는 다항식 계수로, 세미조르와 세미미노르 축을 A와 B로 나타내는 일부 출처와는 대조적이다.

불변제

원뿔 섹션의 2차 방정식(또는 동등하게 2×2 행렬의 결정인 AC – B²/4)의² 판별 B – 4AC와 수량 A + C(2× 2 행렬의 추적)는 위의 3×3 행렬의 결정인 것처럼 좌표 축의 임의 회전과 변환에 따라 불변한다.^{[14][15][16][17]: pp. 60–62} 상수 조건 F와 총 D² + E는² 회전 시에만 불변한다.^{[17]: pp. 60–62}

계수에 따른 편심도

원뿔 부분을 다음과 같이 대수적으로 쓸 때

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,}$

편심률은 2차 방정식의 계수의 함수로 쓸 수 있다.^[18]4AC = B인² 경우 원뿔은 포물선이고 편심률은 1(단, 비감발성인 경우)이다.그렇지 않으면 방정식이 비감속형 하이퍼볼라 또는 타원을 나타낸다고 가정하면 편심률은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta(A+C)+{\sqrt{(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}$

여기서 위 3 × 3 행렬의 결정인자가 음인 경우 if = 1이고 그 결정인자가 양인 경우 η = -1이다.

또한 이심률은 방정식의 양의 해법임을 알 수^{[17]: p. 89} 있다.

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$

여기서 다시 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$- B ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ 4${\displaystyle }$. ${\displaystyle \Delta =AC-{\frac{B^{2}}{4}}.$$}}$ 이것은$$ 포물선이나 타원의 경우 정확히 하나의 포지티브 솔루션인 편심(편심)을 가지고 있는 반면, 하이퍼볼라의 경우에는 두 가지 포지티브 솔루션을 가지고 있는데, 그 중 하나가 편심이다.

표준형식으로 변환

타원형 또는 하이퍼볼라의 경우 방정식

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

${\displaystyle 변환\stackrel{}{}}$^[19] 변수 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$, y${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에서 표준 형식으로 변환할 수 있음

${\displaystyle {\frac {{\tilde{x}^{2}}:{-S/(\lambda_{1}{1}^{1}\lambda_{2}}}}}}}+{\frac {{\lambda _{1}{2}}}}}}}}}}}$

또는 동등하게

${\displaystyle {\frac {{\tilde{x}}^{2}}:{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}}{\frac {{\lambda _{2}}}}},}$

where ${\displaystyle \lambda _{1}}$ and ${\displaystyle \lambda _{2}}$ are the eigenvalues of the matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)}$ — that is, the solutions of the equation

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2}=0}$

— 및 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은 위의 3 × 3 행렬의 결정요인이며, $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$1 ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}는 다시 2 × 2 행렬의 결정요인이 된다$$.타원의 경우 두 개의 반축의 정사각형은 정격 형태로 분모에 의해 주어진다.

극좌표

극좌표에서 원점에 한 포커스가 있고, X축에 다른 포커스가 있을 경우 다른 포커스가 음수 값(타원형) 또는 양수 값(하이볼라형)인 원뿔 부분은 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta},}$

여기서 e는 편심이고 l는 반유성직장이다.

위와 같이 e = 0의 경우 그래프는 원이고, 0 < e < 1>의 경우 그래프는 타원이고, e = 1 파라볼라, e > 1의 경우 하이퍼볼라다.

원뿔 방정식의 극형은 종종 역학적으로 사용된다. 예를 들어, 태양 주위를 회전하는 물체의 궤도를 결정하는 것이다.^[20]

특성.

두 개의 점(간결함)이 선을 결정하는 것처럼 다섯 개의 점이 원뿔을 결정한다.형식적으로, 세 개의 콜린어가 없다는 의미의 일반 선형 위치에서 평면의 어떤 5개의 점을 주어, 그것들 사이를 통과하는 독특한 원뿔이 있는데, 그것은 비감발적이 될 것이다; 이것은 유클리드 평면과 실제 투영 평면 양쪽 모두에서 사실이다.실제로, 5개의 점을 고려했을 때, 원뿔이 그것들을 통과하는 것이 있지만, 만약 세 개의 점이 일치한다면, 원뿔은 퇴보될 것이고, 독특하지 않을 수도 있다. 자세한 논의를 참고하라.

일반 선형 위치의 평면에서 4개의 점이 첫 번째 세 점을 통과하고 네 번째 점을 중심점으로 하는 독특한 원뿔을 결정한다.따라서 중심을 아는 것은 곡선을 결정할 목적으로 원뿔의 두 점을 아는 것과 같다.^[21]

또한 원뿔은 0≤k³5 동안 통과하는 일반 위치의 k 포인트와 그것에 접하는 5 – k 라인의 조합에 의해 결정된다.^[22]

평면의 모든 점은 원뿔의 0, 한두 개의 접선 선에 있다.한 개의 접선 선에 있는 점이 원뿔에 있다.접선이 없는 선의 점은 원뿔의 내부점(또는 내부점)인 반면, 두 접선선의 점은 외부점(또는 외부점)이라고 한다.

모든 원뿔 부분은 다음과 같이 나타낼 수 있는 반사 특성을 공유한다: 비감기 원뿔 섹션 모양의 모든 거울은 다른 초점으로부터 또는 멀리 한 초점을 향해 오는 빛을 반사한다.포물선의 경우 두 번째 포커스는 무한히 멀리 떨어져 있는 것으로 생각할 필요가 있어 두 번째 포커스로 가거나 두 번째 포커스에서 오는 광선이 평행하도록 한다.^[23][24]

파스칼의 정리는 어떤 퇴화되지 않은 원뿔체의 6개 점 집합에서 구성된 세 점의 공선성에 관한 것이다.이 정리는 두 개의 선으로 구성된 퇴행성 원뿔도 가지고 있지만, 그 경우에는 파푸스의 정리로 알려져 있다.

퇴화되지 않은 원추형 부분은 항상 "매끄러움"이다.이것은 층류 흐름을 보장하고 난류를 방지하기 위해 매끄러운 표면이 필요한 공기역학 같은 많은 용도에 중요하다.

역사

메네크무스와 초기 작품

원뿔 부분의 첫 번째 정의는 메네흐무스(기원전 320년경)가 델리 문제 해결의 일환으로 내린 것으로 생각된다.^[b][25]그의 작품은 이러한 곡선에 사용한 이름조차 살아남지 못했고, 이차적인 계정을 통해서만 알려져 있다.^[26]그 당시에 사용된 정의는 오늘날 흔히 사용되는 정의와 다르다.원뿔은 그것의 다리 중 하나에 대해 직각 삼각형을 회전시켜 만들어졌고 그래서 하이포테누스는 원뿔의 표면을 생성한다(이런 선을 제네라트릭스라고 부른다).3가지 유형의 원뿔은 정점 각도에 의해 결정되었다(하이포텐유에 의해 형성되는 각도와 오른쪽 삼각형에서 다리가 회전하는 각도의 두 배로 측정된다).원뿔 부분은 이러한 원뿔들 중 하나를 제네릭스에 수직으로 그려진 평면과 교차함으로써 결정되었다.원뿔의 유형은 원뿔의 유형, 즉 원뿔의 꼭지점에 형성된 각도에 의해 결정된다.각도가 급하면 원뿔은 타원형이고, 각도가 맞으면 원뿔은 포물선이고, 각도가 둔하면 하이퍼볼라(단, 곡선의 한 가지 가지)이다.^[27]

유클리드(기원전 300년)는 원뿔에 관한 책을 4권이나 썼다고 하지만 이것들 역시 잃어버렸다.^[28]아르키메데스(기원전 212년 죽음)는 파라볼라의 사분법에서 포물선과 화음으로 경계된 영역을 결정하면서 원뿔학을 연구한 것으로 알려져 있다.그의 주된 관심사는 코닉스와 관련된 영역과 수량의 측정에 관한 것이었고 이 작품의 일부는 코노이드와 스페로이드의 혁명의 고형물에 관한 그의 책에서 살아남았다.^[29]

페르가의 아폴로니우스

고대 그리스인들의 코닉 연구에서의 가장 큰 진보는 페르가의 아폴로니우스(기원전 190년 경) 때문인데, 8권으로 된 코닉섹션이나 코닉스가 현존하는 지식을 요약하고 크게 확장한 것이다.^[30]아폴로니우스가 이러한 곡선의 성질을 연구한 결과, 각도와 상관없이 고정된 이중 원뿔(2나선)을 자르는 평면이 어떤 평면이든 이전의 정의에 따라 원뿔을 생성하여 오늘날 흔히 사용되는 정의를 이끌어 낼 수 있다는 것을 알 수 있었다.초기 방법으로는 구성할 수 없는 원도 이런 방법으로 얻을 수 있다.이것이 아폴로니우스가 원을 더 이상 만들어지지 않는 구별인 네 번째 형태의 원뿔 부분으로 간주한 이유를 설명해 줄지도 모른다.아폴로니우스는 이 곡선에 '엘리프스', '파라볼라', '하이퍼볼라'라는 명칭을 사용했는데, 이 명칭은 초기 피타고라스 작품에서 유래한 용어였다.^[31]

알렉산드리아의 파푸스(AD 350년)는 원뿔의 초점 개념의 중요성에 대해 상세히 설명하고, 포물선(아폴로니우스의 알려진 작품에는 부족한 것)의 경우를 포함하여 다이렉트릭스의 관련 개념을 상세히 기술한 것으로 인정받고 있다.^[32]

알쿠히

원뿔 부분을 그리는 도구는 서기 1000년에 이슬람 수학자 알 쿠히에 의해 처음 설명되었다.^{[33]: 30 [34]}

오마르 하얀

아폴로니우스의 작품은 아랍어로 번역되었고, 그의 작품 대부분은 아랍어 버전을 통해서만 살아남는다.페르시아인들은 이 이론의 응용을 발견했는데,^[35] 가장 두드러진 것은 원뿔 단면을 사용하여 입방정식을 푸는 기하학적 방법을 발견한 페르시아 수학자 오마르 카이얀 시인이었다.^[36][37]

유럽

요하네스 케플러는 한계 개념의 선구자인 '연속성의 원리'를 통해 원뿔 이론을 확장시켰다.케플러는 1604년에 처음으로 '포커스'라는 용어를 사용했다.^[38]

Girard Desargues와 Blaise Pascal은 초기 형태의 투영 기하학을 이용한 원뿔 이론을 개발했고, 이것이 이 새로운 분야의 연구에 자극을 주는데 도움을 주었다.특히 파스칼은 원뿔의 다른 많은 성질을 추론할 수 있는 육각형 신비라고 알려진 정리를 발견했다.

르네 데카르트와 피에르 페르마트는 둘 다 새로 발견된 분석 기하학을 원뿔학 연구에 적용했다.이것은 원뿔소의 기하학적 문제를 대수학상의 문제로 축소시키는 효과를 가지고 있었다.그러나, 원뿔 부분을 2차 방정식의 사례로 처음 정의한 사람은 1655년 논문 <Tractatus de sectionibus conicis>의 존 월리스였다.^[39]앞서 작성되었으나 나중에 간행된 얀 드 위트의 원소 곡선 선형음(Elementa Curvearum Linearum)은 케플러의 원뿔체 구성에서 시작하여 대수 방정식을 개발한다.페르마의 방법론과 데카르트의 표기법을 사용한 이 작품은 이 주제에 관한 최초의 교재로 기술되었다.^[40]De Witt는 '디렉트릭스'라는 용어를 발명했다.^[40]

적용들

원뿔 부분은 천문학에서 중요하다: 뉴턴의 만유인력의 법칙에 따라 상호작용하는 두 거대한 물체의 궤도는 만약 그들의 공통적인 질량의 중심이 정지된 것으로 간주된다면 원뿔 부분이다.만약 그것들이 함께 묶여 있다면, 그들은 둘 다 타원을 추적할 것이고, 그것들이 떨어져 움직이면, 그들은 모두 포물선이나 하이퍼볼라를 따라갈 것이다.두 신체 문제를 보아라.

원뿔 부분의 반사 성질은 탐조등, 무선 텔레스코프 및 일부 광학 망원경의 설계에 사용된다.^[41]서치라이트는 포물선 거울을 반사체로 사용하며, 포물선 마이크로폰에도 비슷한 구조를 사용한다.카나리아 섬의 라 팔마섬에 있는 4.2미터 허셜 광학 망원경은 1차 포물선 거울을 사용하여 2차 쌍곡 거울을 향해 빛을 반사하며, 이는 1차 거울 뒤의 초점에 다시 반사된다.

실제 투영 평면에서

원뿔 부분은 유클리드 평면에서 매우 유사한 성질을 가지고 있으며, 원뿔을 더 큰 기하학적 관점에서 볼 때 그 이유는 더 명확해진다.유클리드 평면은 실제 투영 평면에 삽입될 수 있으며 원뿔은 투영 기하학에서 물체로 간주될 수 있다.이를 위한 한 가지 방법은 균일한 좌표를 도입하고 좌표가 세 변수(또는 동등하게, 불가역 2차 형태의 0)에서 불가역 2차 방정식을 만족하는 점 집합으로 원뿔을 정의하는 것이다.좀 더 기술적으로 말하면, 2차원의 형태(변수의 수에서)의 0인 점 집합을 4차원이라고 하고, 2차원 투영 공간(즉, 3개의 변수를 갖는 것)의 무적화 4차원을 전통적으로 원뿔이라고 한다.

유클리드 평면 R은² 모든 평행 등급의 선들이 이 선에서 일치하도록 무한도(그리고 무한도에서의 해당 지점들)에서 선과 결합하여 실제 투영 평면에 삽입된다.한편, 실제 투사면에서 시작하여, 유클리드 평면은 어떤 선을 무한대의 선으로 구분하여 그것과 그 모든 점을 제거함으로써 얻는다.

무한대 교차로

어떤 분할 링 위에 있는 투사적 공간에서는, 그러나 특히 실제 또는 복잡한 숫자에 걸쳐서, 모든 비 탈구체적 원뿔은 동등하며, 따라서 투사 기하학에서는 활자를 특정하지 않고 단순히 "원뿔"을 말한다.즉, 비감기 원뿔을 다른 비감기 원뿔에 매핑하는 투영적 변환이 있다.^[42]

원뿔 섹션의 세 가지 유형은 무한대의 선이 될 투사 공간의 선을 선택하여 얻은 아핀 평면에 다시 나타난다.세 가지 유형은 무한대의 이 선이 투영 공간에서 원뿔을 어떻게 교차시키느냐에 의해 결정된다.해당 아핀 공간에서는 원뿔이 무한에서 선을 교차하지 않으면 타원을 얻고, 원뿔이 축에 해당하는 하나의 이중 지점에서 무한에서 선을 교차하면 포물선을 얻고, 원뿔이 점근에 해당하는 두 점에서 무한에서 선을 교차하면 하이퍼볼라를 얻는다.^[43]

동일좌표

균일한 좌표에서 원뿔 부분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

또는 행렬 표기법

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

위의 3 × 3 행렬을 원뿔 부분의 행렬이라고 한다.

일부 저자들은 일반 동질 방정식을 다음과 같이 쓰기를 선호한다.

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

원뿔 섹션의 행렬이 더 단순한 형태를 갖도록 (또는 이것의 일부 변형)

${\displaystyle M=\왼쪽({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}\오른쪽),}$

그러나 이 표기법은 이 글에서 사용되지 않는다.^[c]

원뿔단면 행렬의 결정인자가 0이면 원뿔단면이 퇴화한다.

6개의 계수를 모두 0이 아닌 동일한 스칼라로 곱하면 0의 등식이 동일하므로 (A, B, C, D, E, F)로 표현되는 원뿔을 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 투영 공간 $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ 5.${\displaystyle \mathbf$ {$P}{5}$의 점으로 고려할 수 있다.$}$

원의 투영적 정의

유클리드 기하학의 계량적 개념(길이와 각도 측정과 관련된 개념)은 실제 투영 평면으로 즉시 확장할 수 없다.^[d]그들은 이 새로운 기하학에서 재정의되어야 한다(그리고 일반화되어야 한다).이것은 임의의 투영 평면에 대해 할 수 있지만, 실제 투영 평면을 확장된 유클리드 평면으로 얻기 위해서는 몇 가지 구체적인 선택이 이루어져야 한다.^[44]

절대선이라고 해야 하는 투영 평면에 임의선을 고정한다.절대선에서 구별되는 두 점을 선택하고 절대 점으로 표시한다.이러한 선택과 관련하여 몇 가지 계량적 개념을 정의할 수 있다.예를 들어, 점 A와 B를 포함하는 선이 주어진 경우, 선 세그먼트 AB의 중간점은 A와 B에 대해 AB와 절대 선의 교차점의 투영적 조화 결합점인 점 C로 정의된다.

두 개의 절대점을 포함하는 투영 평면의 원뿔을 원이라고 한다.원뿔은 5점이 결정되기 때문에 원(퇴행될 수 있음)은 3점으로 결정된다.확장된 유클리드 평면을 얻기 위해, 절대선은 유클리드 평면의 무한에 있는 선으로 선택되며, 절대점은 무한에 있는 원형 점이라고 불리는 그 선의 두 개의 특수 지점이다.실제 좌표가 있는 두 점을 포함하는 선은 무한대의 원형 지점을 통과하지 못하므로 유클리드 평면에서 이 정의에 따라 원은 시준되지 않은 세 점에 의해 결정된다.^{[45]: 72}

유클리드 평면의 원은 포커스-디렉트릭스 속성으로 정의할 수 없다는 것이 언급되어 왔다.그러나 무한대의 선을 다이렉트릭스(directrix)로 간주할 경우 편심률을 e = 0으로 취함으로써 원이 포커스-다이렉트릭스 속성을 갖지만 여전히 이 속성에 의해 정의되지 않는다.^[46]이러한 상황에서 편심 정의를 0의 한계값을 주는 다이렉트릭스(이 거리는 무한)에 대한 원상의 한 점의 초점 거리(반경의 길이)에 대한 비율로서 올바르게 사용하기 위해 주의해야 한다.

슈타이너의 투사 원뿔 정의

1867년 Jakob Steiner는 투영 평면에서 원뿔 부분을 정의하는 합성(조율이 없는) 접근법을 제공했다.

• Given two pencils ${\displaystyle B(U),B(V)}$ of lines at two points ${\displaystyle U,V}$ (all lines containing ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$ resp.) and a projective but not perspective mapping ${\displaystyle \pi }$ of ${\displaystyle B(U)}$ onto ${\displaystyle B(V)}$$[\displaystyle B(V$ 그러면 해당 선의 교차점이 비감발 투사 원뿔 단면을 형성한다.^{[47][48][49][50]}

연필 $B{\displaystyle (U)}$ ${\displaystyle B(U)}$에 대한 원근법 매핑 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$} $연필{\displaystyle }$ B${\displaystyle (B}$)$${\$displaystyle$ B$(V)}$에 대한 원근법 매핑은 해당$$ 선들이 고정선 a$({\displaystystyle$$$$\pi)$에 교차하는 편향($1$이다..

투영적 매핑은 원근법 매핑의 유한한 시퀀스다.

필드 위에 투영된 평면(파피안 평면)의 투사적 매핑은 세 선의 이미지를 규정함으로써 고유하게 결정되므로,^[51] 원뿔 섹션의 Steiner 세대에 대해서는 두 점 $,$ ${\displaystyle V}$ {\$displaystyle U,V}$ 외에 세 선의 영상만 제공하면 된다$$.이들 5개 항목(2점, 3선)이 원뿔 단면을 고유하게 결정한다.

라인코닉스

투영 평면에서 이중성의 원리에 의해 각 점의 이중은 선이며, 점의 위치(일부 조건을 만족하는 점의 집합)의 이중은 선의 봉투라고 한다.관련 연필 두 자루의 해당 광선을 만나는 것으로서 스테이너의 원뿔(지금의 이 위치들은 포인트 원뿔이라고 불릴 것이다)의 정의를 이용하면, 서로 다른 베이스(선상의 점)에서 두 개의 관련 범위(선상의 점)의 해당 점의 결합으로 구성된 해당 봉투를 이원화하여 얻을 수 있다.켜져 있다그러한 봉투를 라인 코닉(또는 이중 코닉)이라고 한다.

실제 투영면에서 점 원뿔은 모든 선이 두 점(이 점이 일치하거나 복잡할 수 있음)에서 이를 충족시키는 특성을 가지며, 이 특성을 가진 점 집합은 점 원뿔이다.선 원뿔은 모든 점을 통해 그 선들 중 두 개를 가지고 있고 이 성질을 가진 선들의 어떤 봉투도 선 원뿔형이라는 것을 알게 된다.점 원뿔의 모든 점에는 독특한 접선 선이 있고, 한 달 동안 점 원뿔의 모든 선에는 점이라는 독특한 점이 있다.중요한 정리는 점 원뿔의 탄젠트 선이 선 원뿔을 형성하고, 한 달에 걸쳐 선 원뿔의 접촉점이 점 원뿔을 형성한다고 기술한다.^{[52]: 48–49}

폰 스토트의 정의

칼 게오르크 크리스티안 폰 스토트는 원뿔체를 절대점을 가진 극성의 모든 절대점들이 부여한 점으로 정의했다.폰 스토트는 투사 기하학에서 모든 계량적 개념을 제거하려는 시도의 일환으로 기하학적 리 데어 라게(1847)에서 이 정의를 소개했다.

투영면 P의 극성인 π은 발생 관계를 보존하는 P의 선과 점 사이의 무의식적인 (즉 순서 2의) 편향이다.따라서 극성은 점 Q와 선 Q와 관련되며, 게르곤느에 이어 Q와 Q의 극성이라고 불린다. ^[53]극성의 절대점(선)은 그 극성(극성)과 충돌하는 것이다.^[e]

실제 투영 평면의 폰 스토트 원뿔은 슈타이너 원뿔에 해당한다.^[54]

시공

원뿔의 연속 호는 직선자와 나침반으로 구성할 수 없다.그러나 호에 있는 개별 점의 수에 관계없이 여러 개의 직선 및 컴포넌스 구조가 있다.

그 중 하나는 파스칼의 정리의 역, 즉 육각의 반대편의 교차점이 일직선으로 되어 있으면 6개의 정점이 원뿔에 놓여 있다.구체적으로는 A, B, C, D, E, E를 통과하는 선 등 5점을 주어, EG라고 말하는데, EG는 이 선에 놓여 있고 5점에 의해 결정되는 원뿔에 있는 F점이라고 한다.AB는 L에서 DE를 만나고, BC는 M에서 EG를 만나고, CD는 N에서 LM을 만나도록 한다.그러면 A는 필요한 지점 F에서 EG를 만난다.^{[55]: 52–53} E에서 선을 변화시킴으로써 원뿔에 원하는 만큼 많은 추가 지점을 구성할 수 있다.

또 다른 방법은, 슈타이너의 구조에 기초하고 공학적 응용에 유용한 평행사변형법으로, 원뿔은 수평선과 수직선에 일정한 균일한 간격으로 점들을 연결함으로써 점별로 구성된다.^[56]구체적으로는 방정식²² x/a² + y²/b = 1로 타원을 구성하려면 먼저 정점 A(a, 0), B(a, 2b), C(-a, 2b), D(-a, 0)로 직사각형 ABCD를 생성한다.측면 BC를 n개의 동일한 세그먼트로 나누고 대각선 AC에 대해 병렬 투영을 사용하여 측면 AB에 동일한 세그먼트를 형성한다(이 세그먼트의 길이는 BC의 세그먼트 길이의 b/a배임).측면 BC에는 B에서 시작하여 C 방향으로 향하는 세그먼트의 왼쪽 끝점에 A부터₁ A까지_n 레이블이 붙는다.측면 AB에는 A에서 시작하여 B 방향으로 가는_n 상단 끝점 D부터₁ D까지 라벨이 붙어 있다.1 , i ≤ n의 교차점인 AA_i ∩ DD는_i A와 P(0, b) 사이의 타원점일 것이다.라벨링은 A를 통한 연필의 선과 D를 통한 연필의 선을 투영적으로 연결하지만, 관점으로 연결하지는 않는다.원뿔을 구하는 것은 3개의 점 A, D, P와 두 개의 접선(A와 D의 수직선)이 원뿔을 고유하게 결정하기 때문에 이 구조로 얻는다.타원의 주축과 부축 대신 다른 직경(및 그 결합 직경)을 사용할 경우, 직사각형이 아닌 평행사변형이 공사에 사용되어 방법의 명칭이 붙는다.연필의 선 연결을 연장하여 타원상의 다른 포인트를 얻을 수 있다.하이퍼볼라와^[57] 파라볼라의^[58] 구조는 비슷하다.

그러나 또 다른 일반적인 방법은 원뿔(선 원뿔)의 접선 봉투를 구성하기 위해 극성 속성을 사용한다.^[59]

복잡한 투영 평면에서

복합 평면 C에서² 타원과 하이퍼볼라는 구별되지 않는다. 하이퍼볼라는 상상의 축 길이를 가진 타원으로 간주할 수 있다.예를 들어, $타원{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$2 = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ x$^{2}+y^{2}=$1}는${\displaystyle }대체{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$= w$,$ {\$displaystyle y$=iw$$$,}$ 기하학적으로 복잡한 회전 아래 하이퍼볼라가$$ ${\displaystyle {되며\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$= 1 - w = 1$${\$displaystyle x^{$2}-$w^{2}=1}=1$}가 발생한다$.$따라서 타원/하이퍼볼라 및 파라볼라 2방향 분류가 있다.곡선을 복잡한 투영 평면으로 확장하면, 이는 2개의 구별되는 점(두 개의 점근에 대응함) 또는 1개의 이중 점(파라볼라의 축에 대응함)에서 무한대로 선을 교차하는 것에 해당한다. 따라서 실제 하이퍼볼라는 2개의 (실제)도 있기 때문에 복합 타원/하이퍼볼라에 대해 더 암시적인 실제 이미지인 것이다.무한궤도선과의 교차점

추가적인 통일은 복잡한 투영 평면 CP에서² 발생한다: 비 탈기 원뿔은 투영 선형 변환에 의해 다른 것으로 가져갈 수 있기 때문에 서로 구별할 수 없다.

CP에서는² 원뿔형 구간 2개가 4개의 공통점(1개가 다수를 설명하는 경우)을 가지므로 교차로점 1~4개가 있음을 증명할 수 있다.교차로 가능성은 4개의 구별점, 2개의 단수점, 1개의 복수점, 2개의 복수점, 1개의 복수점, 4개의 복수점이다.교차로 지점이 1보다 많은 경우, 두 곡선은 접선이라고 한다.최소 3개의 다중성의 교차점이 있을 경우, 두 곡선은 오스카한다고 한다.다중성 4가 있는 교차로 지점이 하나뿐이면 두 곡선은 초보정이라고 한다.^[60]

또한, 각 직선은 각 원뿔 부분을 두 번 교차한다.교차점이 이중이면 선은 접선이다.무한에서 선과 교차하는 각 원뿔 부분은 무한에서 두 점을 가진다.이 점들이 진짜라면 곡선은 하이퍼볼라, 상상의 접합점이라면 타원형이고, 2중점만 있으면 포물선형이다.무한대의 점이 순환점(1, i, 0)과 (1, –i, 0)인 경우 원뿔 부분은 원이다.원뿔 단면의 계수가 실제인 경우, 무한대의 점들은 실제 또는 복잡한 결합이다.

퇴보 사건

원뿔의 변질된 경우로 간주되어야 하는 것은 사용 중인 정의와 원뿔 단면의 기하학적 설정에 따라 달라진다.원뿔을 2차원 비데오제 사분면으로 정의한 저자들이 있다.이 용어로는 퇴보된 원뿔형( 퇴보된 사분위수만)은 없지만, 우리는 더 전통적인 용어를 사용하고 그 정의를 피해야 한다.

유클리드 평면에서 기하학적 정의를 이용하여 절삭 평면이 원뿔의 정점을 통과할 때 퇴행 사례가 발생한다.퇴행 원뿔은 평면이 꼭지점에서만 원뿔을 교차하는 점, 원뿔에 접하는 직선(원뿔의 생성기를 정확히 한 개 포함) 또는 한 쌍의 교차선(원뿔의 생성기 두 개)이다.^[61]이것들은 각각 타원형, 포물선형, 하이퍼볼라의 제한된 형태에 해당한다.

유클리드 평면의 원뿔체가 2차 방정식(즉, 4차 방정식)의 0으로 정의되는 경우, 퇴행 원뿔은 평행할 수 있는 빈 집합, 점 또는 한 쌍의 선으로, 한 점에서 교차하거나 일치한다.빈 세트 케이스는 방정식 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle$ x$^{2}+1=0,}$과 같은 복잡한 결합 평행선 쌍에 해당하거나$$, $x{\displaystyle {}^{}}$ 2 +${\displaystyle {}^{}{y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0$과 같은 가상 타원에 해당할 수 있다$.$$}$ 상상의$$ 타원은 퇴행성의 일반적 정의를 충족하지 못하므로, 일반적으로 퇴행된 것으로 간주되지 않는다.^[62]두 개의 선은 2차 식 인자가 두 개의 선형 인자로, 각 인자의 0이 선을 제공하는 경우에 발생한다.인자가 같은 경우, 해당 선이 일치하여 이중선(다중성 2)으로 표시하며, 이것이 접선 절단면의 이전 사례다.

실제 투영 평면에서 평행선은 선의 한 지점에서 무한히 만나므로 유클리드 평면의 평행선 케이스를 교차 선으로 볼 수 있다.그러나 교차점이 원뿔의 정점이기 때문에 원뿔 자체는 원통으로, 즉 무한의 정점을 가지고 변한다.이 경우 다른 구간을 원통형 섹션이라고 한다.^[63]비감소 원통형 단면은 타원(또는 원)이다.

복잡한 투영 평면의 관점에서 볼 때, 실제 4중방(즉, 2차 방정식은 실제 계수를 가지고 있다)의 퇴행적인 경우는 모두 한 쌍의 선으로 간주될 수 있으며, 아마도 일치할 수 있다.빈 집합은 이중 선으로 간주되는 무한대의 선일 수 있으며, (실제) 점은 두 개의 복잡한 결합 선과 앞에서 언급한 다른 사례의 교차점이다.

매트릭스 표기법을 사용하여 퇴행된 사례와 비퇴행 사례(후자가 있는 빈 세트 포함)를 구별하려면 β = (AC² - B/4)F + BED - CD² - AE²/4인 원뿔 섹션의 3 × 3 행렬의 결정 인자가 되도록 하고, α = B² - 4AC를 구별이 되도록 한다.그러면 원뿔 부분은 β β 0 0일 경우에만 비감산이다. β = 0일 때 α < 0일 때, α = 0일 때 두 개의 평행선(아마도 우연일 때) 또는 α > 0일 때 두 개의 교차선이 있다.^[64]

원뿔 연필

A(비퇴행) 원뿔은 평면에서 일반 위치(콜린어 3개 없음)에서 5개 점으로 완전히 결정되며, 4개 점의 고정 세트를 통과하는 원뿔 시스템을 원뿔의 연필이라고 한다.^{[65]: 64} 이 네 가지 공통점은 연필의 기본점이라고 불린다.기준점 이외의 어떤 지점을 통해서도 연필의 원뿔 하나가 통과한다.이 개념은 원의 연필을 일반화한다.^{[66]: 127}

두 원뿔 교차

두 변수에서 두 개의 2차 방정식의 시스템에 대한 해법은 두 개의 일반 원뿔 섹션의 교차점 좌표로 볼 수 있다.특히 두 개의 원뿔은 하나도, 두 개 또는 네 개의 일치 교차점을 가질 수 있다.이러한 솔루션을 찾는 효율적인 방법은 원뿔 단면의 동질적 행렬 표현, 즉 6개의 매개변수에 의존하는 3 × 3 대칭 행렬을 이용한다.

교차점을 찾는 절차는 원뿔이 행렬로 표시되는 다음 단계를 따른다.^[67]

• 두 개의 원뿔 ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$${1$}, $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle C_{2$}}:$$$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2$}}}}에 의해 주어진 원뿔의 연필을 고려하십시오$.$
• 연필의 퇴행 원뿔에 해당하는$$ 균일한 파라미터(${\displaystyle }$( ,${\displaystyle \mu }$ )${\displaystyle (\\da ,\mu )}$을(를) 식별한다.이것은 ${\displaystyle det}$ (${\displaystyle {}_{}}$ C${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ + ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ C${\displaystyle {}_{}}$2${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \det(\lambda C_{1}+\mu C_{2}=0})$의 조건을 부과하고 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$과 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaysty$ sty $\mu }$에 대한 해결로 판명된다$.$
• 퇴행 원뿔 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 고려할 때$,$ 이를 구성하는 두 개의 선(우연의 일치일 수 있음)을 식별한다.
• 식별된 각 선을 두 개의 원뿔 중 하나와 교차시킨다. 이 단계는 ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$의 이중 원뿔 표현을 사용하여 효율적으로 수행할 수 있다.
• 교차점은 초기 방정식 시스템에 대한 해답을 나타낼 것이다.

일반화

원뿔은 다른 분야(즉, 다른 파피안 기하학)에 걸쳐 정의될 수 있다.그러나 일부 공식은 사용할 수 없으므로 필드에 특성 2가 있을 때는 주의를 기울여야 한다.예를 들어 위에서 사용한 행렬 표현은 2로 나누어야 한다.

투영 평면에서 비탈진 원뿔을 일반화하는 것은 타원형이다.타원형은 다음과 같은 특성을 가진 점 집합으로, 원뿔에 의해 보유된다: 1) 어떤 선은 없는 타원형을 교차하고, 한 두 점은 교차하며, 2) 타원형의 어느 지점에서나 고유한 접선선이 존재한다.

세 개 이상의 포커스가 있는 경우에 코닉의 포커스 속성을 일반화하면 일반화 코닉이라고 불리는 세트가 생성된다.

수학의 다른 영역에서는

타원형, 포물선형, 쌍곡선으로 분류되는 것은 수학에 만연해 있으며, 종종 분야를 뚜렷하게 구별되는 하위 분야로 나눈다.분류는 대부분 2차적 형태(관련 판별에 해당하는 두 변수)의 존재로 인해 발생하지만 편심에도 해당할 수 있다.

2차 형태 분류:

2차 형태

Quadratic forms over the reals are classified by Sylvester's law of inertia, namely by their positive index, zero index, and negative index: a quadratic form in n variables can be converted to a diagonal form, as ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2$$}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},}$ where the number of +1 coefficients, k, is the positive index, the number of −1 coefficients, ℓ, is the negative index, and the remaining variables are the zero index m, so ${\displaystyle k+\ell +m=n.$$}$ 두 변수에서$$ 0이 아닌 2차 형식은 다음과 같이 분류된다.

• ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $$– 양수(음수도 포함), 타원에 해당하는
• ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}$$– 퇴화(파라볼라에 해당)
• ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ x$^{2}-y^{2$}}$$– 하이퍼볼라에 해당하는 비한정.

두 변수에서 이차적 형식은 원뿔과 유사하게 판별에 의해 분류되지만, 높은 차원에서는 더 유용한 분류가 확정적, (모든 양수 또는 모든 음수), 퇴보적, (일부 0) 또는 무한정(양수 및 음수, 0은 없지만 0은 없음)으로 분류된다.이 분류는 뒤에 오는 많은 것의 기초가 된다.

곡률

표면의 가우스 곡면성은 최소 기하학을 설명하며, 각 지점에서 양의 타원형 기하학, 0 – 유클리드 기하학(평평면, 파라볼라) 또는 음의 쌍곡 기하학일 수 있다. 두 번째 순서로 $표면$은 x 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$,${\displaysty x^{^{$2}의$그래프$처럼 ${\displaystyle {보인다}^{}}$$.$${\displaystyle x^{2}}($또는 0) 또는 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ x$^{2}-y^{2$ 실제로 균일화 정리함으로써 모든 표면이 양적으로 곡선, 평면 또는 음성으로 곡선 처리될 수 있다.더 높은 차원에서는 리만 곡률 텐서가 더 복잡한 물체지만, 일정한 단면 곡률을 가진 다지관은 흥미로운 연구 대상이며, 단면 곡률에서 논의된 바와 같이 현저하게 다른 특성을 가지고 있다.

두 번째 순서 PDE

두 번째 순서의 부분 미분 방정식(PDE)은 각 점에서 타원형, 포물선형 또는 쌍곡선형 2차 순서에 해당하므로 타원형, 포물선형 또는 쌍곡선으로 분류된다.이러한 서로 다른 유형의 PDE의 행동과 이론은 현저하게 다르다 – 대표적인 예로 포아송 방정식은 타원형이고, 열 방정식은 포아봉식이며, 파동 방정식은 쌍곡형이다.

편심성 분류는 다음과 같다.

뫼비우스의 변신

그들의 half-trace은 레알 뫼비우스 변환(PSL2(R의 요소들)또는 그2-fold 커버, SL2(R)), 포물선, 쌍곡선 타원으로 그에 따라 분류된다 0≤ tr ⁡/2<>1,{\displaystyle 0\leq \operatorname{tr}/2<, 1,}tr⁡/2=1,{\displaystyle \operatorname{tr}/2=1,}또는tr ⁡. /> ,${\displaystyle \propername {tr} /2>1,}$편심률에 의한 분류 미러링.

분산 대 평균 비율

분산 대 평균 비율은 이산형 확률 분포의 몇 가지 중요한 패밀리를 분류한다. 즉, 상수 분포는 원형 분포(편심성 0), 이항 분포는 타원 분포, 포아송 분포는 포아송 분포는 포아송 분포는 포아송 분포는 포아송 분포는 포아송 분포는 포아송 분포는 포아볼릭 분포, 음이항 분포는 쌍곡 분포로 분류한다.이것은 일부 이산 확률 분포의 누적분포에서 상세하게 설명된다.

참고 항목

• 할레코닉과 결실금
• 코닉섹스 반란, 예일대학생 시위
• 이사 서클
• 타원 좌표계
• 등거리 집합
• 9점 원뿔
• 포물선 좌표
• 이차 함수
• 구면 원뿔

메모들

참조

참고 문헌 목록

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• Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry (fifth ed.), Addison-Wesley, p. 434, ISBN 0-201-07540-7
• Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (Revised ed.), D.C. Heath and Company

외부 링크

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위키미디어 커먼즈에는 코닉 섹션과 관련된 미디어가 있다.

위키북스는 다음과 같은 주제에 관한 책을 가지고 있다:코닉 섹션

위키소스는 1911년 브리태니커 백과사전 기사 "코닉 섹션"의 원문을 가지고 있다.

• 콘에서 원뿔 포뮬라를 추출할 수 있는가? 아카이브 2007-07-15 Gary S. 스투트(펜실베이니아 인디애나 대학교)
• 특수 평면 곡선의 원뿔 단면.
• Weisstein, Eric W. "Conic Section". MathWorld.
• 원뿔의 발생. 자연과 다른 곳에 있는 코닉들.
• 유한 원뿔 섹션이 타원형이라는 명확한 증거는 코닉 섹션(Conic Sections at the Knot)을 참조하고, 다른 원뿔의 유사한 취급은 자 리(Xah Lee)를 참조한다.
• 동적 지오메트리 스케치의 8점 원뿔
• 2차 암묵적 방정식 대화형 자바 원뿔 그래프; 일반적인 2차 암묵적 방정식을 사용한다.