무한대의 원형 점

투영 기하학에서 무한대의 원점(순환점 또는 등방성점이라고도 함)은 모든 실제 원의 복잡화에 포함된 복잡한 투영면에서 무한대의 두 개의 특수점이다.

좌표

복합 투영 평면의 점은 동종 좌표(x : y : z)의 3배수로 설명할 수 있다. 여기서 한 3배의 좌표가 동일한 비영점 인수로 곱되는 것 외에 다른 3배의 좌표와 동일할 때 2개의 3배가 평면의 동일한 점을 설명한다.이 시스템에서 무한대의 지점은 z 좌표가 0인 지점으로 선택할 수 있다.무한대에 있는 두 개의 원형 지점은 이 중 두 개이며, 보통 균일한 좌표를 가진 지점으로 간주된다.

(1 : i : 0) 및 (1 : -i : 0)

삼선 좌표

A. B. C를 기준 삼각형 ABC의 정점 각도의 측도가 되게 한다.그 다음 기준 삼각형의 평면에서 무한대에 있는 원형 점의 삼선 좌표는 다음과 같다.

$[\displaystyle -1:\cos C-i\sin C:\cos B+i\sin B,\qquad -1:\cos C+i\sin C:\cos B-i\sin B}$

또는 동등하게

$\displaystyle \cos C+i\sin C:-1:\cos A-i\sin A,\qquad \cos C-i\sin C:-1:\cos A+i\sin A}$

아니면, 다시 말해, 동등하게,

$\displaystyle \cos B+i\sin B:\cos A-i\sin A:-1,\qquad \cos B-i\sin A:1,}$

여기서 $i{\displaystyle }$=${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{1}}$ ${\$^[1]

복잡한 서클

중심점(x₀,y₀) 및 반지름 r에 의해 정의되는 실제 원은 방정식에 대한 실제 해법 집합으로 설명될 수 있다.

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.}$

이것을 동질 방정식으로 변환하고 모든 복잡한 수치의 해법 세트를 취하면 원의 복잡성이 생긴다.두 개의 원형 지점은 모든 실제 원들의 복잡화에 놓여 있기 때문에 그 이름이 있다.보다 일반적으로, 두 점 모두 유형의 균일한 방정식을 만족한다.

${\displaystyle Ax^{2}+Aay^{2}+2B_{1}xz+2B_{2}yz-Cz^{2}=0.}$

계수가 모두 실제인 경우는 (실제 투영 평면의) 일반 원의 방정식을 제공한다.일반적으로 이 두 점을 통과하는 대수적 곡선을 원곡선이라고 한다.

추가 속성

무한대의 원형 지점은 등방성 선의 무한대에 있는 지점이다.^[2]그들은 비행기의 번역과 회전에도 불변한다.

각도의 개념은 원점, 자연 로그 및 교차 비율을 사용하여 정의할 수 있다.^[3]

두 선 사이의 각도는 두 선과 그 교차점을 원형 점으로 연결하는 선으로 형성된 연필의 교차 비율의 로그의 특정한 배이다.

소머빌은 원점에 $u{\displaystyle }$ = ${\displaystyle x}$ tan${\displaystyle }$configures${\displaystyle y,u}$′ : y${\displaystyle }$= x ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \theta {}^{}{\prime .}^{}}$ ${\displaystyle u:y=x$\tan $\theta,\quad$ u$':y=x\tan }.}$ 원점을 Ω과 Ω으로 나타냄으로써$$ 교차비를 얻는다.

${\displaystyle (uu',\omega \omega ')={\frac {\tan \theta -i}{\tan \theta +i}}\div {\frac {\tan \theta '-i}{\tan \theta '+i}},}$ so that

${\displaystyle \phi =\theta ={\tfrac {i}{2}}\log(uu'),\omega \omega '.}$

참조

• Pierre Samuel(1988) 투사 기하학, 스프링어, 섹션 1.6;
• Semple and Nevone (1952) 대수 투영 기하학, 옥스포드, 섹션 II-8.