다중성(수학)

수학에서 멀티셋 멤버의 다중성은 멀티셋에 나타나는 횟수다. 예를 들어, 주어진 시점에서 주어진 다항식이 루트를 갖는 횟수는 그 루트의 다중성이다.

예외를 명시하지 않고 정확하게 계산할 수 있는 다중성의 개념(예: 이중 루트를 두 번 세는 것)이 중요하다. 따라서 "다중성으로 계산됨"이라는 표현은 다음과 같다.

다중성을 무시하는 경우, "별도의 뿌리 수"에서와 같이 구별되는 원소의 수를 세어 이를 강조할 수 있다. 그러나 (다중 집합과 반대되는) 집합이 형성될 때마다 "간결함"이라는 용어를 사용할 필요 없이 자동으로 다중성이 무시된다.

주요 인자의 다중성

주요 인자화에서 주요 인자의 다중성은 그것의 p-adic 순서다. 예를 들어, $정수$ 60의 주요 인자화는 다음과 같다.

60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5,

주요 요인 $2$ 의 다중성은 $2인$ 반면, 각 주요 $요인$ $3$ 과 5의 $다중성$ 은 1이다. 따라서 $60$ 은 승수를 허용하는 4가지 주요 요인을 가지지만 뚜렷한 주요 요인은 3가지에 불과하다.

다항식 루트의 다중성

Let $F$ be a field and $p(x)$ be a polynomial in one variable with coefficients in $F$ . An element $a\in F$ is a root of multiplicity $k$ of $p(x)$ if there is a polynomial ${\d$ $s(a)\neq 0$ ( $s(a)\neq 0$ ) $s(a)\neq 0$ 0 ${\$ $displaystyle s(a)\$ $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ 0 $}$ 및 $s(a)\neq 0$ $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ p ( $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ ) $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ = ( $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ - $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ ) $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ ( x $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ ) ${\displaystyle$ p( $x)=(x-a)^{k(x$ $)}}.$ $k=1$ = $k=1$ ${\displaysty k=1$ }이면 $s(x)$ a를 단순 루트라고 한다 $k=1$ $k\geq 2$ $k\geq 2$ $k\geq 2$ ${\displaystyle k\geq 2$ 인 $경우$ ${\displaystyle$ a $}$ 을(를 $a$ ) 다중 루트라고 한다.

For instance, the polynomial $p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4$ has 1 and −4 as roots, and can be written as $p(x)=(x+4)(x-1)^{2}$ . This means that 1 is a root of multiplicity 2, and −4 is a simple root (of multiplicity 1). 뿌리의 다중성은 다항식의 완전한 인자화에서 대수학의 근본 정리를 통해 이 뿌리가 발생하는 횟수를 말한다.

${\$ $displaystyle$ $a}$ 이(가) 다항식의 $k$ k $k$ 의 루트인 $a$ 경우, 필드 특성이 $k$ 의 다중성인 $k-1$ ${\displaystyle$ a $}$ 이 $($ 가 $k-1$ $)$ $a$ $k$ ${\displaystyle$ }의 다중성 루트인 경우는 제외한다.파생상품의 $k$ $k}.$

다항식이 다중 루트를 갖는 경우에만 다항식의 판별은 0이다.

다중 루트 주변의 다항식 함수의 거동

x³=-4에 단순 루트(다중성 1)가 있고 x=1에 다중성 2의 루트가 있는 x + 2x² - 7x + 4의 그래프. 그래프는 단순 루트에서 x축과 교차한다. 다중 루트의 x축에 접하고, 다중성이 균일하기 때문에 교차하지 않는다.

다항함수 f의 그래프는 다항함수의 실제 루트에서 x축에 닿는다. 그래프는 f의 여러 뿌리에서 그것에 접하고 단순한 뿌리에서 접하지 않는다. 그래프는 홀수 다중의 뿌리에서 x축을 교차하고 짝수 다중의 뿌리에서 교차하지 않는다.

0이 아닌 다항식 함수는 모든 루트가 고른 다항성을 가지며 $f(x_{0})>0$ ) > 0 $(x_{0})$ 과 $x_{0}$ $f(x_{0})>0$ x $x_{0}$ ${\$ $displaystyle x_{0}$ 이 있는 경우에만 음이 아닌 모든 곳에 있다 $f(x_{0})>0$

교차 다중성

대수기하학에서 대수종류의 두 하위분리의 교차점은 불가해한 품종의 유한 결합이다. 그러한 교차점의 각 구성요소에 교차 다중성이 부착된다. 이 개념은 이 구성요소의 어떤 일반적 지점의 근방에서 일어나는 일을 살펴봄으로써 정의될 수 있다는 점에서 지역적이다. 따라서 일반성을 상실하지 않고 교차 다중성을 정의하기 위해 두 부속품종(부속공간)의 교차점을 고려할 수 있다.

따라서, 두 가지 부속품종₁ V와₂ V가 주어진 경우, V와₁₂ V의 교차점에 있는 수정 불가능한 구성요소 W를 고려한다. d를 W의 치수가 되게 하고, P를 W의 어떤 일반적 지점이 되게 하라. P를 통과하는 일반 위치에 있는 d 하이퍼플레인과 W의 교차점은 단일 지점 P로 축소되는 수정 불가능한 구성요소를 가지고 있다. 그러므로 교차로 좌표 링의 이 구성 요소에 있는 국부 링은 단 하나의 주요한 이상만을 가지고 있으며, 따라서 아르티니안 링이다. 따라서 이 링은 지면 위에 있는 유한 치수 벡터 공간이다. 그것의 치수는 W에서의 V와₁ V의₂ 교차점이다.

이 정의는 베주트의 정리와 그 일반화를 정확하게 진술할 수 있게 해준다.

이 정의는 다항식의 루트의 다중성을 다음과 같은 방법으로 일반화한다. 다항식 f의 뿌리는 아핀 선의 점으로, 다항식으로 정의된 대수 집합의 성분이다. 이 아핀 집합의 좌표 링은 $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ = $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ [ $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ / $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ , $R=K[X]/\langle f\angle ,$ 이다. 여기서 $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ K는 f의 계수를 포함하는 대수적으로 닫힌 필드다. If $f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}$ is the factorization of f, then the local ring of R at the prime ideal $\langle X-\alpha _{i}\rangle$ is ${\displaystyle K[X]/\langle (X-\a$ $lpha )^{m_{i}}\rangele .}$ K $K[X]/\langle (X-\alpha)^{m_i}\rangle.$ 위에 있는 벡터 공간인데, 이 공간은 루트의 다중성 $m_{i}$ $m_{i}$ i ${\$ 을 치수로 가지고 있다.

본질적으로 장-피에르 세레가 자신의 저서 '로컬 대수'에서 기인하는 이 교차로 다중성의 정의는 내장된 구성요소가 아닌 교차로에 설정된 이론적 구성요소(격리된 구성요소라고도 함)에만 작용한다. 임베디드 케이스를 다루기 위한 이론이 개발되었다(자세한 내용은 교차점 이론 참조).

복합분석에서

z를₀ holomorphic 함수 f의 루트가 되게 하고 n을 최소의 양의 정수로 하여₀ z에서 평가한 f의 n 유도체는^th 0과 다르다. 그 후 f about₀ z의 파워 시리즈는^th n 용어로 시작되며, f는 다중성(또는 "순서") n의 뿌리를 가지고 있다고 한다. n = 1이면 그 뿌리를 단순근이라고 한다.^[1]

우리는 또한 영점 함수의 0과 극의 다중성을 정의할 수 있다. ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ 우리가 meromorph 함수 f ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ = g ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ , ${\textstyle$ f $={\frac{g}{h}}$ 를 가지고 있다면, g와 h의 taylor 확장을 약 1점 z에₀ 대해 취하고 ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ , 각 항에서 첫 번째 0이 아닌 항을 찾는다(각각각 m과 n의 순서를 나타냄). m = n이면 점의 값이 0이 아니다. $m>n,$ > $m>n,$ $m>n,$ 인 $m>n,$ 경우 점수는 $m-n.$ m - $m-n.$ {\ $displaystyle m-n$ $m<n$ $m<n$ m < $m<n$ {\ $displaystyle m>인$ 경우 점에는 다중성 $n-m.$ . ${\displaystyn-m$ 의 극이 있다 $.$ $}$