포물선 좌표

포물선 좌표는 좌표선이 컨포칼라 포물선인 2차원 직교 좌표계다. 포물선 좌표의 3차원 버전은 포물선의 대칭 축에 대한 2차원 시스템을 회전시켜 얻는다.

포물선 좌표는 예를 들어 스타크 효과의 처리와 가장자리의 잠재적 이론과 같은 많은 응용을 찾아냈다.

2차원 포물선 좌표

2차원 포물선 좌표$({\displaystyle \sigma }$,${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$은 데카르트 좌표 측면에서 방정식으로 정의된다.

$\displaystyle x=\disma \tau }$

${\displaystyle y={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\tau ^{2}-\ma ^{2}\오른쪽)}$

상수 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$의 곡선이 concocal parabolae를 형성함

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}:{\probma ^{2}}-\probma ^{2}}:$

위쪽($예{\displaystyle }$:${\displaystyle }$+ y ${\displaystyle +y})$을 향해 열리는 반면, 상수 constant ${\displaystyle \tau }$의 곡선은 concalcal parabolae를 형성한다$$.$$

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}:{\tau ^{2}}+\tau ^{2}}:$

아래쪽으로 열림(${\displaystyle 예}$: $-{\displaystyle }$ y ${\displaystyle -y})$ 이 모든 포물선의 초점은 기원에 있다.

2차원 척도 계수

포물선 좌표$({\displaystyle }$ factors,${\displaystyle \tau }$ )${\displaystyle(\sigma ,\tau )}$의 척도 계수는 동일함$$

${\displaystyle h_{\data }=h_{\\tau }={\sqrt {\sqrt{2}+\tau ^{2}}:$

따라서 면적의 최소 요소는

${\displaystyle dA=\왼쪽(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\오른쪽)d\sigma d\tau }$

그리고 라플라시아인은 동등하다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}$

Other differential operators such as ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ can be expressed in the coordinates ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ by substituting the scale factors into the general formulae found in orthogonal coordinates.

입체 포물선 좌표

2차원 포물선 좌표는 3차원 직교 좌표 2세트의 기초를 형성한다. 포물선 원통형 좌표는 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ - 방향으로$$ 투영하여 생성된다. 파라볼레의 대칭 축을 중심으로 회전하면 3차원 포물선 좌표의 좌표계인 일련의 콘포칼로리 파라볼로이드들이 생성된다. 데카르트 좌표 단위로 표시됨:

$\displaystyle x=\disma \tau \cos \varphi }$

$\displaystyle y=\disma \tau \sin \varphi }$

${\displaystyle z={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\tau ^{2}-\ma ^{2}\오른쪽)}$

여기서 파라볼레는 $이제{\displaystyle }$ 회전이 수행된 z ${\displaystyle z}$ -축과$$ 정렬된다. 따라서 방위각 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이(가) 정의된다$$.

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {y}{x}}}}$

상수 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$의 표면이 컨포칼로크 파라볼로이드 형태$$

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}}{\\ma ^{2}}-\sigma ^{2}}$

상수 $\tau$의 표면이 concocal paraboloid$($즉$$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ +$z$를 형성하는 반면 상수 whereas의 표면은 위로 열린다(즉, + z {\$displaystyle \tau }).$

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}}{\tau ^{2}}+\tau ^{2}}$

아래쪽으로 열림(${\displaystyle 즉},{\displaystyle }$ - z ${\displaystyle -z}$ 방향).$$ 이 모든 파라볼로이드의 초점은 원점에 위치한다.

이 좌표계와 관련된 리만 미터법 텐서는

${\displaystyle g_{ij}={\bmatrix}\ma ^{2}+\tau ^{0&#0\\0&\tau ^{2}&#0\0&#0&#2}{2}\end{bmatrix}}}}}}}$

3차원 척도 계수

3차원 스케일 계수는 다음과 같다.

${\displaystyle h_{\probma }={\sqrt {\probma ^{2}+\tau ^{2}}:$

${\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sqrt {\bechma ^{2}+\tau ^{2}}:$

${\displaystyle h_{\varphi }=\desma \tau }}$

척도계수 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}}${\$displaystyle h_{\tau$}}}은$$(는) 2차원 사례와 동일하다고$$ 본다. 그러면 최소 볼륨 요소가

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

그리고 라플라시아인은

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}:$

Other differential operators such as ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ can be expressed in the coordinates ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ by substituting the scale factors into the general formulae found in orthogonal coordinates.

참고 항목

• 포물선 원통형 좌표
• 직교 좌표계
• 곡선 좌표

참고 문헌 목록

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 660. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 185–186. LCCN 55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 180. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 96. LCCN 67025285.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9. Morse & Feshbach(1953년)와 동일하며_k, u를 ξ으로_k 대체한다.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2.

외부 링크

• "Parabolic coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• MathWorld 포물선 좌표 설명