포아송 방정식

시메온 드니 푸아송

포아송 방정식은 이론 물리학에서 광범위한 효용의 타원 편미분 방정식이다.예를 들어, 포아송 방정식의 해는 주어진 전하 또는 질량 밀도 분포에 의해 발생하는 전위장입니다. 전위장이 알려진 상태에서 정전기장 또는 중력장(힘)을 계산할 수 있습니다.이것은 물리학에서도 자주 볼 수 있는 라플라스 방정식의 일반화이다.이 방정식은 프랑스의 수학자이자 물리학자 시메옹 드니 ^[1]^[2]푸아송의 이름을 따서 명명되었다.

방정식의 명세서

포아송의 방정식은

\displaystyle \Delta \varphi =f}

여기서

\Delta

{

displaystyle

\

Delta }

는

\Delta

Laplace

f

이고

f {

displaystyle

f

}

및

f

{\

{

displaystyle

\

varphi }

는

\varphi

매니폴드 상의 실수 또는 복소수 함수입니다.

보통

f

{\

displaystyle

f

}

가

f

\varphi

주어지고

\varphi

\

displaystyle \varphi

가 검색됩니다

.

다양체가 유클리드 공간일 때, 라플라스 연산자는 종종

2

θ로 표시되며, 그래서 포아송의 방정식은 종종 다음과 같이 쓰여진다.

\displaystyle \displayla ^{2}\varphi = f.}

3차원 데카르트 좌표에서, 그것은 다음과 같은 형태를 취한다.

\displaystyle \frac {\frac ^{2}}+{\frac {\frac ^{2}+{\frac {\frac ^{2}}{\frac z^{2}}\right)\varphi(x,y,z)=f(x,y,z)\frac.}

f $f=0$ $(\displaystyle$ f $=0)$ 일 $f=0$ 때 라플라스 방정식을 구한다.

푸아송 방정식은 녹색 함수를 사용하여 풀 수 있습니다.

)=-\^{displaystyle \varphi (\mathbf {r}) int= {f}-int}

여기서 적분은 모든 공간에 있습니다.포아송 방정식에 대한 그린 함수의 일반적인 설명은 선별된 포아송 방정식에 대한 기사에 제시되어 있다.수치해법에는 이완법, 반복 알고리즘 등 다양한 방법이 있다.

밀도 θ의 질량이 큰 물체를 끌어당겨 중력장 g의 경우, 가우스의 미분 형태의 중력 법칙을 사용하여 대응하는 포아송 방정식을 구할 수 있다.

\cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ~

중력장은 보수적이기 때문에 (그리고 비회전적이기 때문에) 스칼라 전위 δ로 표현될 수 있다.

\displaystyle \mathbf {g} =-\displayla \phi ~.}

가우스의 법칙으로 대체하다

\displaystyle \cdot (\displayla \phi )=-4\pi G\rho }

포아송의 중력에 대한 방정식을 산출합니다.

(\displaystyle \displayla ^{2}\phi = 4\pi G\rho )

질량 밀도가 0이면 포아송 방정식은 라플라스 방정식으로 감소합니다.해당하는 녹색 함수를 사용하여 중심점 $질량$ m(즉, 기본 솔루션)에서 $거리$ r의 전위를 계산할 수 있습니다.3차원의 가능성은

(\displaystyle \phi (r)=dfrac {-Gm}{r}).}

뉴턴의 만유인력의 법칙과 맞먹습니다.

정전학

정전학의 초석 중 하나는 포아송 방정식으로 설명된 문제를 설정하고 해결하는 것입니다.포아송 방정식을 푸는 것은 주어진 전하 $\rho _{f}$ 에 대한 전위 $\rho _{f}$ f $\rho _{f}$ { $displaystyle \rho$ _ { $f$ 를 찾는 것입니다.

정전학에서 푸아송 방정식의 수학적 세부 사항은 다음과 같다(전자석에서도 자주 사용되는 가우스 단위 대신 SI 단위가 사용된다).

가우스의 전기 법칙(또한 맥스웰 방정식 중 하나)을 미분 형태로 시작하여,

\_{f}\displaystyle \mathbf \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}

여기서

\mathbf {\nabla } \cdot

{

displaystyle \mathbf }

\

cdot

}는

\mathbf {\nabla } \cdot

발산 연산자, D = 전위장, ρ_f = 자유 전하 부피 밀도(외부에서 가져온 전하)입니다.

매체가 선형, 등방성 및 균질하다고 가정하면(편광 밀도 참조), 구성 방정식이 있습니다.

=displaystyle \mathbf {D} = \varepsilon \mathbf {E} }

여기서

θ

는 매질의 유전율이고 E는 전계이다.

이를 가우스의 법칙에 대입하여 $θ$ 가 관심 영역에서 공간적으로 일정하다고 가정한다.

}{\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathbf {E} = frac {rho }{\varepsilon }} ~ .}

\rho

서

{\

{

displaystyle \rho

}는

\rho

총 볼륨 전하 밀도입니다.정전학에서는 자기장이 없다고 가정합니다(이 후의 인수는 일정한 자기장이 존재하는 경우에도 유지됩니다).그러면 그거 있잖아요

=displaystyle \times \mathbf {E} = 0,}

여기서

\times\times

는 컬 연산자입니다.이 방정식은 모든 구배의 컬이 0이기 때문에 스칼라 함수

δ

(전위라고 함)의 구배로서 전기장을 쓸 수 있다는 것을 의미합니다.그래서 우리는 글을 쓸 수 있다.

displaystyle \mathbf {E} =-\displayla \varphi ,}

여기서 마이너스 부호가 도입되어

단위

전하당 전위 에너지로 식별된다.

이러한 상황에서 푸아송 방정식의 도출은 간단하다.하여 전계 전위 구배를 대입하여

{\displaystyle \cdot \mathbf {E} =\displayla \cdot (-\sysla \varphi) =-{\sysla }^{2}\varphi =sfrac \rho }{\varepsilon }},

정전학을 위한 포아송 방정식을 직접 생성합니다.

\varphi =-{\frac {rho }{\varepsilon }}.

포아송의 전위 방정식을 풀려면 전하 밀도 분포를 알아야 합니다.전하 밀도가 0일 경우 라플라스 방정식이 생성됩니다.전하 밀도가 볼츠만 분포를 따를 경우 포아송-볼츠만 방정식이 생성됩니다.포아송-볼츠만 방정식은 데바이의 발전에 중요한 역할을 한다.묽은 전해액 휘켈 이론

Green's Function을 사용하면 중심점 $충전$ Q(즉, 기초 솔루션)로부터의 $거리$ r에서의 전위는 다음과 같습니다.

(\displaystyle \varphi (r)=pi {Q}{4\pi \varepsilon r}).}

이것은 쿨롱의 전기정전학의 법칙입니다.(역사적인 이유로, 그리고 위의 중력의 모델과 달리,

(\displaystyle

4

\pi)

4\pi

는

4\pi

가우스의 법칙이 아니라 여기에 나타납니다.)

위의 설명에서는 자기장이 시간에 따라 변화하지 않는다고 가정합니다.같은 포아송 방정식은 쿨롱 게이지를 사용하는 한 시간이 달라지더라도 발생합니다.이 보다 일반적인 맥락에서, E는 독립적으로 계산되어야 하는 자기 벡터 퍼텐셜 A에 의존하기 때문에, $E$ 를 계산하기에 더 이상 충분하지 않다.맥스웰 방정식의 θ와 A에 대한 자세한 내용과 이 경우 포아송 방정식이 어떻게 얻어지는지에 대한 자세한 내용은 맥스웰 공식의 맥스웰 방정식을 참조하십시오.

전하

정적 구형 대칭 가우스 전하 밀도가 있는 경우

_ rt }, e^{-\sigma2}},\displaystyle \rho _{f}(r)={3}{}, e},

여기

서 Q는 총 전하이고, 다음으로 푸아송 방정식의 솔루션

θ

(

r)

이다.

\ {\displaystyle \varphi =-{\rho _{f} \over \varepsilon }

라는 글자가 주어집니다.

\r \ \varphi (r) pi = {1\pi}{1\pi } {r

여기서

erf(x)

는 에러 함수입니다.

$이$ 솔루션은 을 평가함으로써 명시적으로 확인할 수 있습니다 $. 2$

r이 $θ$ 보다 훨씬 클 $경우$ erf 함수는 유니티에 접근하고 전위 $θ$ ( $r)$ 는 포인트 전하 전위에 접근합니다.

{ \varepsilon displaystyle \varphi \frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}}}}

예상대로또한 인수 증가에 따라 오류 함수는 1에 매우 빠르게 접근합니다.실제로 r >

3

'의 경우 상대 오차는 1,000분의 1보다 작습니다.

표면 재구성은 역문제입니다.목표는 많은 점 p(점 구름)를_i 기반으로 매끄러운 표면을 디지털 방식으로 재구성하는 것입니다. 여기서 각 점에는 국소 표면_i ^[3]법선 n의 추정치도 포함됩니다.포아송의 방정식은 포아송 표면 ^[4]재구성이라는 기술로 이 문제를 푸는 데 사용될 수 있습니다.

이_i 기법의 목적은 p점에서 값이 0이고 p점에서_i 기울기가 정규 벡터 n인_i 암묵적 함수 f를 재구성하는 것이다.따라서 (p_i, n_i)의 세트는 연속 벡터장 V로 모델링된다.벡터장 V를 적분함으로써 암묵함수 f를 구한다.모든 벡터장이 함수의 구배는 아니기 때문에 문제는 해답을 가질 수도 있고 갖지 않을 수도 있다. 매끄러운 벡터장 V가 함수 f의 구배인 필요충분조건은 V의 컬이 동일하게 0이어야 한다는 것이다.이 조건을 적용하기 어려운 경우에도 최소 제곱 적합을 수행하여 V와 f의 구배 차이를 최소화할 수 있습니다.

표면 재구성 문제에 포아송 방정식을 효과적으로 적용하기 위해서는 벡터장 V의 양호한 이산화를 찾는 것이 필요하다.기본적인 접근법은 데이터를 유한한 차분 그리드로 묶는 것이다.이러한 그리드의 노드에서 가치가 있는 함수의 경우, 그 구배는 시차 그리드, 즉 원래 그리드의 노드 사이에 노드가 있는 그리드에 가치가 있는 것으로 나타낼 수 있다.세 개의 엇갈린 그리드를 정의하는 것이 편리하며, 각 그리드는 정규 데이터의 구성요소에 해당하는 한 방향으로만 이동됩니다.각 엇갈린 그리드에서 포인트 세트에 대해 [삼선형 보간]을 수행합니다.보간 무겐 다음 특정한 엇갈림식 격자 세포 파이 값을 포함하는 노드에 ni의 관련된 구성 요소의 크기 배포하는 데 사용되고 있다.Kazhdan와 공동 저자 불연속화의 그리드의 세포 더 작은 자세한 내용은 송전망이 점점 더 많이 곱게 나뉘어 져 있다. 즉 보다 정확한 방법 만든 적응적 유한 차이망을 이용해 준다.더 ^[4]많은 데이터 포인트가 있는 경우).이들은 적응형 옥트리를 사용하여 이 기술을 구현할 것을 제안합니다.

압축할 수 없는 나비에용–스토크스 방정식, 다음 식:

{\displaystyle{\begin{정렬}{\partial{\bf{v}}\over{\partial지}}+({\bf{v}}\cdot \nabla){\bf{v}}&=-{1\over{\rho}}\nablap+\nu \Delta{\bf{v}}+{\bf{g}}\\\nabla \cdot{\bf{v}}&=0\end{정렬}}}{\displaystyle}{\displaystyle}{\bf{v}+(\bf{v}}\cdot \bf{v}}{\bf{v}}&){1\over{rho}\nu)델타{남자 친구{v}+{\bf{g}}={년.cd}

$압력장$ p의 $방정식은 비선형$ 포아송 $p$ 방정식의 예입니다.

{displaystyle {begin{aligned}\Delta p&=-\rho \cdot {v}\&=\rho\big}(\displaystyle {bf {v}\big}\displaystyle p&=-\rho\cdot}\ {alignedend aligned {}

위의 트레이스는 부호정의가 아닙니다.

「」도 .

^ Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E., eds. (2005), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer, p. 503, ISBN 9780922152766
^ Poisson (1823). "Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement" [Memoir on the theory of magnetism in motion]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France (in French). 6: 441–570.463페이지부터: "Donc, d'aprés ce qui précéde, nous aurons enfin: ${\frac {\,=-pi,=\pifracstyle ^{2}}{\frac style}$ selon que le point M sera sité en dehors, a la surface ou en dedans du volume que'on requirere." (따라서, 앞서 설명한 내용에 따라, 우리는 마침내 다음을 얻게 됩니다.) ${\frac {\,=-pi,=\pifracstyle ^{2}}{\frac style}$ 인 볼륨의 에 따라 달라집니다 M은 고려 중인 볼륨의 외부, 표면 또는 내부에 하는지 여부에 따라 달라집니다.는 다음과 같이462 $V={\ {displaystyle Vfrac {k'}, frho,$ 정전기의 경우, 적분은 하전체의 체적에 대해 수행되며, 하전체의 체적에 있는 점의 좌표는 ( $(x',y',z')$ $(x',y,'z')$ 、 $(x',y',z')$ $(x',y,'z')$ $(x',y',z')$ $(x',y,'z')$ { $displaystyle$ $(x$ ' , y ' $(x',y',z')$ , $(x',y,'z')$ ' ) $(x',y',z')$ } , $k 、$ $(x',y,'z')$ \ $(x',y,'z')$ k $(x',y,'z')$ 는 주어진 $k'$ $(x',y,'z')$ 이다 $.$ $splaystyle (x',y,z')$ 및 $(x',y,'z')$ $k'$ 에서는 kµ { $displaystyle$ $\rho$ k $'}$ 는 $k'$ 전하 밀도의 측정값이며, $θ$ {displaystyle \ $rho}$ 는 $\rho$ M 지점에서 전하 본체의 내부 또는 위에 있는 점까지의 반지름의 길이로 정의됩니다.점 M의 좌표는 ( $(x,y,z)$ $(x,y,z)$ $)$ { $displaystyle (x,y,z)}$ 로 $(x,y,z)$ $(x,y,z)$ 나타내며 $,$ k {\ $displaystyle$ k`(전하 밀도)는 $k$ M에서의 k ${\$ { $displaystyle$ k $`}($ 전하 밀도)의 $k'$ 을 나타냅니다.
^ Calakli, Fatih; Taubin, Gabriel (2011). "Smooth Signed Distance Surface Reconstruction" (PDF). Pacific Graphics. 30 (7).
^ ^a ^b Kazhdan, Michael; Bolitho, Matthew; Hoppe, Hugues (2006). "Poisson surface reconstruction". Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing (SGP '06). Eurographics Association, Aire-la-Ville, Switzerland. pp. 61–70. ISBN 3-905673-36-3.

추가 정보

Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. Providence (RI): American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Mathematical Methods of Physics (2nd ed.). New York: W. A. Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
Polyanin, Andrei D. (2002). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton (FL): Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

외부 링크

"Poisson equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
EqWorld의 포아송 방정식:수학 방정식의 세계
PlanetMath에 대한 푸아송 방정식입니다.

[1] Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E., eds. (2005), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer, p. 503, ISBN 9780922152766

[2] Poisson (1823). "Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement" [Memoir on the theory of magnetism in motion]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France (in French). 6: 441–570.463페이지부터: "Donc, d'aprés ce qui précéde, nous aurons enfin: ${\frac {\,=-pi,=\pifracstyle ^{2}}{\frac style}$ selon que le point M sera sité en dehors, a la surface ou en dedans du volume que'on requirere." (따라서, 앞서 설명한 내용에 따라, 우리는 마침내 다음을 얻게 됩니다.) ${\frac {\,=-pi,=\pifracstyle ^{2}}{\frac style}$ 인 볼륨의 에 따라 달라집니다 M은 고려 중인 볼륨의 외부, 표면 또는 내부에 하는지 여부에 따라 달라집니다.는 다음과 같이462 $V={\ {displaystyle Vfrac {k'}, frho,$ 정전기의 경우, 적분은 하전체의 체적에 대해 수행되며, 하전체의 체적에 있는 점의 좌표는 ( $(x',y',z')$ $(x',y,'z')$ 、 $(x',y',z')$ $(x',y,'z')$ $(x',y',z')$ $(x',y,'z')$ { $displaystyle$ $(x$ ' , y ' $(x',y',z')$ , $(x',y,'z')$ ' ) $(x',y',z')$ } , $k 、$ $(x',y,'z')$ \ $(x',y,'z')$ k $(x',y,'z')$ 는 주어진 $k'$ $(x',y,'z')$ 이다 $.$ $splaystyle (x',y,z')$ 및 $(x',y,'z')$ $k'$ 에서는 kµ { $displaystyle$ $\rho$ k $'}$ 는 $k'$ 전하 밀도의 측정값이며, $θ$ {displaystyle \ $rho}$ 는 $\rho$ M 지점에서 전하 본체의 내부 또는 위에 있는 점까지의 반지름의 길이로 정의됩니다.점 M의 좌표는 ( $(x,y,z)$ $(x,y,z)$ $)$ { $displaystyle (x,y,z)}$ 로 $(x,y,z)$ $(x,y,z)$ 나타내며 $,$ k {\ $displaystyle$ k`(전하 밀도)는 $k$ M에서의 k ${\$ { $displaystyle$ k $`}($ 전하 밀도)의 $k'$ 을 나타냅니다.

[3] Calakli, Fatih; Taubin, Gabriel (2011). "Smooth Signed Distance Surface Reconstruction" (PDF). Pacific Graphics. 30 (7).

[Kazhdan06-4] Kazhdan, Michael; Bolitho, Matthew; Hoppe, Hugues (2006). "Poisson surface reconstruction". Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing (SGP '06). Eurographics Association, Aire-la-Ville, Switzerland. pp. 61–70. ISBN 3-905673-36-3.

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