편심(수학)

모든 유형의 원뿔 섹션이 편심률이 증가하도록 배열되어 있습니다.곡률은 편심률에 따라 감소하고 이러한 곡선은 교차하지 않습니다.

수학에서, 원뿔 단면의 편심(ity心)은 그 모양을 독특하게 특징짓는 음이 아닌 실수이다.

좀 더 형식적으로 두 원뿔 단면은 같은 이심률을 갖는 경우에만 유사하다.

편심률은 원뿔 단면이 원형에서 얼마나 벗어나는지를 나타내는 척도라고 생각할 수 있다.특히:

원의 편심률은 0이다.
원이 아닌 타원의 이심률은 0보다 크지만 1보다 작습니다.
포물선의 이심률은 1이다.
쌍곡선의 이심률은 1보다 큽니다.
한 쌍의 라인의 편심률은 $\infty$ θ(\ $displaystyle\infty)$ 입니다.

정의들

원뿔의 평면 단면

원뿔 단면은 점(초점)과 선(직행렬)까지의 거리가 일정한 비율인 점의 궤적으로 정의할 수 있다.이 비율을 편심률이라고 하며, 일반적으로 $e$ 라고 합니다.

편심률은 원뿔 단면과 관련된 평면과 이중냅 원뿔의 교차점에 대해서도 정의할 수 있다.원뿔의 축이 수직인 방향이라면 편심률은^[1] 다음과 같습니다.

\displaystyle e = sin frac \ sin \ alpha } , \ 0 < \ alpha < 90 ^ { \ sin } , \ 0 \ leq \ leq 90 ^ { \ leq } \ , }

여기서 β는 평면과 수평 사이의 각도이고 α는 원뿔의 경사 발생기와 수평 사이의 각도이다.β $\beta =0$ $(\displaystyle \display$ = $0)$ 의 $\beta =0$ 경우 평면 단면은 원이고, $\beta =\alpha$ $\beta =\alpha$ α(\ $display \display$ =\ $alpha }$ 의 $\beta=\alpha$ $\beta =\alpha$ 포물선이다.(평면이 원뿔의 정점과 만나면 안 됩니다.)

타원 $또는$ 쌍곡선의 선형 편심( $c$ 또는 때로는 f $또는$ e)은 중심과 두 포시 사이의 거리입니다.편심률은 반조르 $축$ a에 대한 선형 편심률로 정의될 수 있다. $e={\frac {c}{a}}$ , $e={\frac {c}{a}}$ $=$ $e={\frac {c}{a}}$ {\ $displaystyle$ e $=solf$ frac { $c}{a}}($ 중심을 중심으로 포물선의 선형 편심률은 정의되지 않음).포물선은 타원 또는 쌍곡선으로 취급할 수 있지만 한 개의 초점은 무한대에 있습니다.

대체 이름

편심률은 타원에 대해 정의된 두 번째 편심 및 세 번째 편심과 구별하기 위해 첫 번째 편심이라고도 합니다(아래 참조).편심률은 수치 편심이라고도 합니다.

타원 및 쌍곡선의 경우 선형 편심률을 반초점 분리라고 부르기도 합니다.

표기법

일반적으로 다음 3가지 표기법이 사용됩니다.

$e$ 는 편심, $c$ 는 선형 편심입니다.
$θ$ 는 편심, e는 선형 편심.
$편심인$ $경우$ e 또는θ<, 선형 편심인 경우 $f$ (반각 분리인 경우 니모닉).

이 문서에서는 첫 번째 표기법을 사용합니다.

가치

원뿔형 단면	방정식	편심( $e$ )	선형 편심( $c$ )
원형	$x^{2}+y^{2}}=r^{2}$	$0$	$0$
타원	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 2 + ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 2 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 2 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ {\ $displaystyle {x^{2}}$ + ${\frac {y^{2}}$ { $b^{2$ } $= 1$ 또는 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ + ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ 2 $=$ ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ {\ $displaystyle$ { $y^{2$ }} + { $a^2}$ = 1 {\ $frac}$ { $b}$	$({displaystyle {1-{\frac {b^{2}}}{a^{2}}}}})$	$(\displaystyle {a^{2}-b^{2}}})$
포물선	$x^{2}=4ay$	$1$	정의되어 있지 않습니다( $「\displaystyle \infty$ $\infty$ ）
쌍곡선	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ a ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ - ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ b ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ {{ $displaystyle$ { ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ x ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ^ { $2$ ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ } - { $a$ ^ { $2}$ } - { \ $frac {$ y ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ^ { 2 } ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ { \ $displaystyle$ { ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ y ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ ^ { 2 $}$ - x ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ b = 1 { \ $frac$ } - { $b$ } - { b } }	$(\displaystyle {1+{\frac {b^{2}}}{a^{2}}}}})$	${a^{2}+b^{2}}}}$

여기서 타원과 쌍곡선의 $경우$ a는 반장경의 $길이$ , b는 반장경의 길이이다.

원뿔 단면이 일반 2차 형태로 주어질 때

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

다음 공식은 원뿔 단면이 포물선(이심률이 1과 동일), 퇴화 쌍곡선 또는 퇴화 타원이 아닌 경우 $편심$ e를 ^[2]구한다.

e=syslogrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta(A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}}

여기서 3×3 행렬의 행렬식인 $\eta =1$ $\eta =1$ $(\displaystyle \eta$ = $\eta =1$ 1)

{bmatrix} A&B/2&D/2\B/2&C&E/2\D/2&F\end{bmatrix}

행렬식이 양수이면 음수이거나 $=$ - $(\style \eta$ =- $1)$ 입니다 $\eta = -1$ .

상수

a와 편심

e

가 변화하는 타원 및 쌍곡선.

줄임표

타원의 이심률은 엄밀하게는 1 미만입니다.원(편심률 0)을 타원으로 계산하면 타원의 이심률은 0보다 크거나 같고, 원에 특별한 범주가 주어지고 타원 범주에서 제외되면 타원의 이심률은 0보다 크게 됩니다.

모든 타원에 대해 a는 반장축의 $길이$ , b는 반장축의 길이라고 $하자$ .

관련된 추가 개념을 다수 정의합니다(타원형에만 해당).

이름.	기호.	$a$ 와 b의 $관점에서$	e의 $관점에서$
제1편심	$e$	$({displaystyle {1-{\frac {b^{2}}}{a^{2}}}}})$	$e$
두 번째 편심	$(\displaystyle e')$	$({displaystyle {{\frac {a^{2}}}{b^{2}}-1})$	${frac {e}{\displayrt {1-e^{2}}}$
제3편심	$e\} = displayrt {m$	${\frac {a^{2}-b^{2}}{\fracrt {a^2}+b^{2}}}}}$	${frac {e}{\displayrt {2-e^{2}}}$
각편심	$\displaystyle \alpha }$	$\cos ^{-1}\leftfrac {b}{a}}\right$	$\sin ^{-1}e$

타원의 이심률에 대한 기타 공식

타원의 이심률은 가장 단순하게 타원의 중심과 각 초점 사이의 $거리$ c와 $반장축$ a의 길이 사이의 비율이다.

(\displaystyle e=syslogfrac {c}{a})}

편심률은 중심에서 직접 매트릭스까지의 $거리$ d에 대한 반조르 $축$ a의 비율이기도 하다.

(\displaystyle e=syslogfrac {a}{d})}

편심은 평탄화 $f$ (반조르 $축$ a 및 반조르 축 $b$ 의 경우 f $f=1-b/a$ - $f=1-b/a$ / $f=1-b/a$ { $displaystyle$ f $=1-b/a}$ 로 $f=1-b/a$ 정의됨)로 나타낼 수 있습니다.

e=syslogrt {1-(1-f)^{2}}=syslogrt {f(2-f)}}.

(f가 선형 편심인 $경우$ 일부 실험 영역에서 평탄화는 g로 $표시$ 될 수 있습니다.)

$r_{\text{max}}$ 및 최소 반지름(\ $displaystyle r_{\text{max}})$ $r_{\text{min}}$ $r_{\text{min}}$ min $(\$ 을 $r_\text{min}$ 포커스에서 타원까지의 최대 및 최소 거리(즉, 포커스에서 장축 양끝까지의 거리)로 정의합니다.그리고 반조르 축 $a$ 에서 편심도는 다음과 같이 주어진다.

e=miclefrac {r_{\text{max}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}}=miclefrac {r_{\text{min}}{2a}}}}

이 값은 Foci 사이의 거리를 장축의 길이로 나눈 값입니다.

하이퍼볼라

쌍곡선의 편심률은 상한이 없는 1보다 큰 실수일 수 있습니다.직사각형 쌍곡선의 편심률은 2 $(\$ 입니다.

4진수

타원형, 0부터 무한대까지의 모든 편심률을 가진 쌍곡선, 그리고 하나의 입방체 표면에 포물선.

3차원 4차원의 이심률은 지정된 부분의 이심률입니다.예를 들어 3축 타원체 상에서 자오선 편심이란 가장 긴 축과 가장 짧은 축을 모두 포함하는 단면(그 중 하나가 극축)에 의해 형성되는 타원의 편심이며, 적도 편심이란 극축에 수직인 중심부를 통과하는 단면(즉, 에서)에 의해 형성되는 타원의 편심이다.적도면).단, 원뿔 단면은 고차 표면에서도 발생할 수 있습니다(이미지 참조).

천체역학

천체역학에서, 구면 전위에서의 속박 궤도에 대해, 위의 정의는 비공식적으로 일반화된다.원점 거리가 근점 거리에 가까우면 궤도는 이심률이 낮다고 하며, 매우 다르면 이심률이 높거나 이심률이 거의 동일하다고 합니다.이 정의는 케플러에서 1/ $(\displaystyle$ 1/ $r)$ $1/r$ 의 $1/r$ 타원 편심률의 수학적 정의와 일치합니다.

유사분류

이심률에 의한 원뿔 단면 분류에서 파생된 용어를 사용하는 수학 분류는 다음과 같다.

SL(R)의₂ 요소를 타원형, 포물선형 및 쌍곡선으로 분류하는 것과 마찬가지로 실제 뫼비우스 변환인 PSL(R)의₂ 요소 분류에도 분류합니다.
분산 대 평균 비율에 따른 이산 분포 분류. 자세한 내용은 일부 이산 확률 분포의 누적치를 참조하십시오.
편미분방정식의 분류는 원뿔구간 분류와 유사하다. 타원,^[3] 포물선 및 쌍곡선 편미분방정식을 참조한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 토마스, 조지 B;Finney, Ross L.(1979), 미적분과 해석 기하학 (5번째 ed.), Adison-Wesley, 페이지 434. ISBN 0-201-07540-7
^ Ayoub, Ayoub B., "원뿔 섹션의 편심", 대학 수학 저널 34(2), 2003년 3월, 116-121.
^ "Classification of Linear PDEs in Two Independent Variables". Retrieved 2 July 2013.

외부 링크

Math World: 이심률

[1] 토마스, 조지 B;Finney, Ross L.(1979), 미적분과 해석 기하학 (5번째 ed.), Adison-Wesley, 페이지 434. ISBN 0-201-07540-7

[2] Ayoub, Ayoub B., "원뿔 섹션의 편심", 대학 수학 저널 34(2), 2003년 3월, 116-121.

[ornl.gov-3] "Classification of Linear PDEs in Two Independent Variables". Retrieved 2 July 2013.

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줄임표

타원의 이심률에 대한 기타 공식

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4진수

천체역학

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