곡선의 단점

기하학에서, 곡선의 단수점은 매개변수를 매끄럽게 삽입하여 곡선이 주어지지 않는 점이다. 단수점의 정확한 정의는 연구 중인 곡선의 유형에 따라 달라진다.

평면의 대수 곡선

평면의 대수곡선은 $f (x,$ y $)$ = 0 $형식$ 의 방정식을 만족하는 점 $(x,$ $y)$ 의 집합으로 정의할 수 있다. 여기서 f는 다항함수 $f$ : R → $R$ . $f$ 가² $확장$ 된 경우

f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots

원점

(0, 0)

이 곡선에 있으면

a 0

= 0.

b 1

≠

0

이면 암묵 함수 정리는 원점 근처에 y =

h (x)

형태를 갖도록 부드러운 함수 h를 보장한다. 마찬가지로

b 0

≠

0

이면 원점 부근에

x

=

k (y)

형태의 곡선이 형성되도록 매끄러운 함수 k가 있다. 어느 경우든, R에서 평면으로 가는 매끄러운 지도가 있는데, 이 지도가 원점 부근에 곡선을 정의한다. 원점에서 주의하십시오.

b_{0}={\frac {\frac}{\flac}{\flac x},\;b_{1}={\fract f}{\flict y},

따라서 적어도 f의 부분파생상품 중 하나가 0이 아닌 경우 곡선은 원점에서 비결정적이거나 정규적이다. 단수점은 두 부분파생상품이 모두 사라지는 곡선상의 점들이다.

f(x,y)={\frac {\frac}{\frac x}}={\fract f}{\frac y}=0.

정규점

곡선이 원점을 통과한다고 가정하고 y = $mx$ 를 쓰십시오. $그러면$ f를 쓸 수 있다.

f=\좌측(b_{0}+mb_{1}\우측)x+\좌측(c_{0}+2mc_{1}+2mc_{2}{2}\우측)x^{2}+{2}+\cdots .

b 0

+

mb

가₁ 0이 아닌

경우

f =

0

은

x

=

0

에서 다중성 1의 솔루션을 가지며, 원점은

y

=

mx

라인과 단일 접촉 지점이다.

b 0

+

mb 1

=

0

이면

f

=

0

은 다중성 2 이상의 솔루션을 가지며,

y

=

mx

,

bx 0

+

by 1

=

0

은 곡선에 접선된다. 이 경우,

c 0

+

2mc 1

+

cm

가₂² 0이 아닌 경우, 곡선은

y

=

mx

와 이중으로 접촉하는 점을 가진다.

x 2

,

c 0

+

2mc 1

+

cm

의₂² 계수가 0이지만 x의³ 계수가 아닌 경우 원점은 곡선의 변곡점이 된다.

x

와²

x

의³ 계수가 모두 0이면 원점을 곡선의 굴절점이라고 한다. 이 분석은 좌표 축을 변환하여 원점이 주어진 지점에 있도록 하여 곡선의 어느 지점에나 적용할 수 있다.^[1]

더블 포인트

이중 점의 유형을 보여주는 3개의 리마콘. When converted to Cartesian coordinates as

\left(x^{2}+y^{2}-x\right)^{2}=\left(1.5\right)^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right),

the left curve acquires an acnode at the origin, which is an isolated point in the plane. 중심곡선, 심근경색은 원점에 정점이 있다. 오른쪽 곡선은 원점에 크루노드가 있고 곡선은 스스로 교차하여 고리를 형성한다.

위의 팽창에서 $b$ 와₀ $b$ 가₁ 모두 $0$ 이지만 $c 0$ , $c 1$ , $c 2$ 중 적어도 하나가 0이 아니라면 원점을 곡선의 이중점이라고 한다. $다시$ y = $mx$ , $f$ 를 넣을 수 있다.

f=\왼쪽(c_{0}+2mc_{1}+c_{1}{2}{2}\오른쪽)x^{2}+{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{3}m^{3}+{3}x^{3}+\cdots.}}}

이중

점수

는₀ c +

2mc 1

+

mc 22

=

0

의 솔루션에 따라 분류할 수 있다.

크루노드

$c 0$ + $2mc 1$ + $mc 22$ = $0$ 에 $대한$ 두 개의 실제 용액이 있는 경우, 즉 $cc 02 12$ - c < $0$ 이면 원점을 crunode라고 한다. 이 경우의 곡선은 원점에서 자전하며 $c 0$ + $2mc 1$ + $mc 22$ = $0$ 의 두 용액에 해당하는 두 개의 뚜렷한 접선을 가진다. f함수는 이 경우 출발점에 안장점이 있다.

애크노드

$c 0$ + $2mc 1$ + $mc 22$ = $0$ 에 $대한$ 실제 솔루션이 없는 경우, 즉 $cc 02 12$ - c > $0$ 이면 원점을 acnode라고 한다. 실제 평면에서 원점은 곡선의 격리된 지점이지만, 복합 곡선으로 간주되는 경우 원점은 격리되지 않고 $c 0$ + $2mc 1$ + $mc 22$ = $0$ 의 두 개의 복잡한 용액에 해당하는 두 개의 가상 접선을 가진다. f함수는 이 경우 원점에 국소극이 있다.

쿠스프스

$c 0$ + $2mc 1$ + $mc 22$ = $0$ 의 단일 다중성 2 용액이 있는 경우, 즉 $cc 02 12$ - c = $0$ 이면 원점을 cusp라고 한다. 이 경우 곡선은 원점에서 방향을 바꿔 뾰족한 지점을 만든다. 곡선은 두 개의 일치 접선으로 간주될 수 있는 원점에 단일 접선을 가진다.

추가구분

노드라는 용어는 크루노드 또는 ac노드 중 하나를 나타내기 위해 사용되며, 다시 말해, 중단점이 아닌 이중 지점을 나타낸다. 곡선의 노드 수와 쿠스프 수는 플뤼커 공식에서 사용되는 두 개의 불변량이다.

$c 0$ + $2mc 1$ + $mc 22$ = $0$ 의 해법 중 $하나$ 가₀d + $3md 1$ + $3md 22$ + $md 33$ = $0$ 의 해법이라면, 해당 곡선의 가지는 원점에서 변곡점을 가진다. 이 경우 기원을 플랑크노드라고 한다. 만약 두 접선이 모두 이 속성을 가지고 $있으므로 0$ c + $2mc 1$ + $mc$ 의²₂ $인자$ 가₀d + $3md 1$ + $3md 22$ + $md이면 33$ 그 원점을 비플cnode라고 한다.^[2]

다중점

원점에 세 개의 점이 있는

x(t)=\sin 2t+\cos t,\quad

: x

x(t)=\sin 2t+\cos t,\quad

(

x(t)=\sin 2t+\cos t,\quad

)

x(t)=\sin 2t+\cos t,\quad

=

x(t)=\sin 2t+\cos t,\quad

2 t +

x(t)=\sin 2t+\cos t,\quad

x(t)=\sin 2t+\cos t,\quad

x(t)=\sin 2t+\cos t,\quad

{\

2t+\

cos

t

,\quad }

y(t)=\sin t+\cos 2t

)

y(t)=\sin t+\cos 2t

=

y(t)=\sin t+\cos 2t

y(t)=\sin t+\cos 2t

y(t)=\sin t+\cos 2t

+

y(t)=\sin t+\cos 2t

y(t)=\sin t+\cos 2t

2

y(t)=\sin t+\cos 2t

{\displaysty y(t)=\sin

t

+\cos 2t}

일반적으로 k보다 작은 도수의 모든 항이 0이고, 적어도 도 k의 한 항이 f에서 0이 아닐 경우, 곡선은 복수 오더 k 또는 k-플 점을 갖는다고 한다. 이러한 접선 중 일부는 가상일 수 있지만 일반적으로 곡선은 원점에서 k 접선을 가질 것이다.^[3]

모수 곡선

R의² 파라미터화된 곡선은 함수 $g$ : $R$ → $R 2$ , $g (t) =$ ( $g 1 (t),$ g $(t 2)$ 의 이미지로 정의된다. 단수점은 다음과 같은 지점이다.

{\dplaystyle {\frac {dg_{1}:{dt}={\frac {dg_{2}}:{dt}=0.}

세미큐브

y^{2}=x^{3}

y^{2}=x^{3}

2 =

y^{2}=x^{3}

3

y^{2}=x^{3}

{\

displaystyle

y

^{2}=x^{3}}

의 첨자

많은 곡선은 어느 하나의 방식으로든 정의될 수 있지만, 두 정의는 일치하지 않을 수 있다. 예를 들어, 중단은 대수 곡선, $x 3$ - $y 2$ = $0$ 또는 모수화된 곡선, $g (t)$ = $(t 2,$ $t 3$ )에서 정의될 수 있다 $.$ 두 정의 모두 그 기원에 단일한 점을 부여한다. 그러나 원점에서 $y 2$ - $x 3$ - $x 2$ = $0$ 과 같은 노드는 대수곡선으로 간주되는 곡선의 특이점이지만, 이를 $g (t)$ = $(t 2$ - 1, $t (t 2$ - 1)로 매개변수화하면 g g(t $)$ 는 결코 사라지지 않으며, 따라서 노드는 위에서 정의한 파라미터화된 곡선의 특이점이 아니다.

매개변수화 선택 시 주의가 필요하다. 예를 들어, 직선 $y$ = $0$ 은 원점에 특이점이 $있는$ g $(t)$ = $(t 3,$ 0 $)$ 로 매개변수화할 수 있다. $g (t) =$ ( $t, 0)$ 로 파라메타화될 경우 비경상적이다. 따라서 곡선의 단일점보다는 평탄한 맵핑의 단수점을 논하는 것이 기술적으로 더 정확하다.

위의 정의는 매끄러운 함수의 영점 집합⁻¹ f(0)로 정의되는 암묵적 곡선을 포함하도록 확장할 수 있으며, 대수적 다양성만을 고려할 필요는 없다. 정의를 확장하여 곡선을 더 높은 차원으로 적용할 수 있다.

하슬러 휘트니^[4]^[5] 주의 정리

정리 — R의ⁿ 모든 닫힌 집합은 어떤 부드러운 함수 $f$ : R → $R$ 에ⁿ $대한 -1$ f $(0)$ 의 솔루션 집합으로 발생한다.

어떤 파라미터화된 곡선도 암묵적 곡선으로 정의할 수 있으며, 곡선의 단수점 분류는 대수적 다양성의 단수점 분류로 연구할 수 있다.

단수점 유형

가능한 특이점 중 일부는 다음과 같다.

격리된 지점: $x 2$ + $y 2$ = 0, acnode
두 개의 선 교차: $x 2 2$ - y = 0, 크루노드
중단: $x 3$ - y = $0,$ 스핀ode라고도² 함
tacnode: $x-y 42$ = 0
rhamphoid cusp: $x 2$ - $y 5$ = 0.

참고 항목

참조

^ 힐튼 제2장 §1
^ 힐튼 제2장 §2
^ 힐튼 제2장 §3
^ 브뢰커, '차별 가능한 세균과 재난', 런던수학협회 강의 노트 17. 케임브리지, (1975)
^ 브루스와 기브린, 커브와 특이점 (1984, 1992년) ISBN0-521-41985-9, ISBN0-521-42999-4(페이퍼백)

Hilton, Harold (1920). "Chapter II: Singular Points". Plane Algebraic Curves. Oxford.

[1] 힐튼 제2장 §1

[2] 힐튼 제2장 §2

[3] 힐튼 제2장 §3

[4] 브뢰커, '차별 가능한 세균과 재난', 런던수학협회 강의 노트 17. 케임브리지, (1975)

[5] 브루스와 기브린, 커브와 특이점 (1984, 1992년) ISBN0-521-41985-9, ISBN0-521-42999-4(페이퍼백)

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