발생(지오메트리)

기하학에서 발생관계는 "점이 선 위에 놓여 있다" 또는 "평면에 선이 포함되어 있다"와 같은 구문을 사용할 때 표현되는 아이디어를 포착하는 이질적인 관계다. 가장 기본적인 발생관계는 점, P와 선, l 사이에 P I l을 나타내기도 한다. 만약 P I l이 쌍(P, l)을 깃발이라고 한다. 발생을 기술하기 위해 공통언어로 사용되는 표현들이 많지만(예를 들어 선이 점을 통과하고, 점이 평면에 놓여 있는 등) 이러한 다른 용어들이 갖는 부가적인 함의가 없고, 대칭적으로 사용할 수 있기 때문에 "인시"라는 용어를 선호한다. "l선과₁ l이 교차하는 l선₂"과 같은 문장은 발생 관계에 대한 문장이기도 하지만, 이 경우₁ "l선과₂ l선 둘 다에 입사하는 p점이 존재한다"는 속기 때문이다. 한 유형의 물체를 다른 유형의 물체 집합(viz, 평면은 점 집합)으로 생각할 수 있는 경우 발생 관계를 격납으로 볼 수 있다.

"평면에 있는 어느 두 줄의 만남"과 같은 문구를 발생 명제라고 한다. 이 특별한 진술은 선들이 평행할 수 있는 유클리드 평면에서는 사실이 아니지만 투영 평면에서는 사실이다. 역사적으로, 유사성의 존재에 의해 야기되는 것과 같이 예외 없이 발생의 명제를 진실하게 만들기 위해 투영 기하학이 개발되었다. 합성 기하학의 관점에서 볼 때, 공리 같은 명제를 사용하여 투영 기하학을 개발해야 한다. 이것은 더 높은 차원에서의 데스아게스의 정리의 보편적 타당성 때문에 투영 평면에 있어서 가장 중요하다.

이와는 대조적으로 분석적 접근방식은 선형대수를 기초로 투영공간을 정의하고 동종 좌표를 활용하는 것이다. 발생의 명제는 벡터 공간에 대한 다음과 같은 기본적인 결과로부터 도출된다: (완료 차원) 벡터 공간 V의 서브 스페이스 U와 W를 주어진다면, 이들의 교차점의 치수는 어둑한 U + 어둑한 W - 어둑한 W - 어둑어둑한 W)이다. V와 연관된 투영 공간 P(V)의 기하학적 치수는 희미한 V - 1이고 하위 공간의 기하학적 치수는 양이라는 점을 염두에 두고, 이 설정에서 발생의 기본 명제는 투영 공간 P가 만나는 선형 서브 스페이스 L과 M의 형태를 취할 수 있다: 투영 공간 P의 딤 L + 딤 P.^[1]

다음 섹션은 필드 위에 정의된 투영 평면으로 제한되며, 흔히 PG(2, F), 여기서 F는 필드 또는 PF로² 표시된다. 그러나 이러한 계산은 자연적으로 고차원 투영 공간으로 확장될 수 있으며, 그 경우 곱셈이 상통하지 않다는 사실에 주의를 기울인다면 필드를 분할 링(또는 스큐필드)으로 대체할 수 있다.

PG(2,F)

V를 필드 F에 정의된 3차원 벡터 공간이 되도록 한다. 투사 평면 P(V) = PG(2, F)는 V의 1차원 벡터 서브스페이스(호칭 포인트)와 V의 2차원 벡터 서브스페이스(선)로 구성된다. 점 및 선의 발생은 2차원 아공간에서 1차원 아공간 격납에 의해 주어진다.

V의 벡터를 좌표 3중으로 설명할 수 있도록 V의 근거를 고정하십시오(그 기준에 대한). 1차원 벡터 서브공간은 0이 아닌 벡터와 그 모든 스칼라 배수로 구성된다. 0이 아닌 스칼라 배수는 좌표 3배로 표기되며, 주어진 점의 균일한 좌표인 점 좌표라고 한다. 이 기준에 관해서 단일 선형 방정식 {(x, y, z) 도끼 + by + cz = 0}의 솔루션 공간은 V의 2차원 하위 공간이며, 따라서 P(V)의 선이다. 이 선은 선 좌표[a, b, c]로 나타낼 수 있다. 또한 0이 아닌 스칼라 배수가 동일한 선을 제공하기 때문에 균일한 좌표다. 다른 명언들도 널리 사용되고 있다. 점 좌표는 열 벡터(x, y, z),^T 콜론(x : y : z) 또는 첨자(x, y, z)로 작성할 수 있다._P 이에 따라 선 좌표는 행 벡터(a, b, c), 콜론[a : b : c] 또는 첨자(a, b, c)_L로 작성할 수 있다. 다른 변주곡도 가능하다.

대수적으로 표현된 발생률

포인트 P = (x, y, z)와 라인 l = [a, b, c], 점 및 라인 좌표 단위로 작성된 점을 볼 때, 포인트는 다음과 같은 경우에만 라인(종종 P I l로 표기됨)과 충돌한다.

도끼 + by + cz = 0.

이것은 다른 명언으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle ax+by+cz=[a,b,c]\cdot(x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot(x,y,z)_{P}=}$

${\displaystyle =[a:b:c]\cdot(x:y:z)=(a,b,c)\left\i\z\end}=0.}$

어떤 표기법을 사용하든 점 및 선의 균일한 좌표를 순서의 3배 정도로만 간주할 때, 그 발생률은 0 도트 곱을 갖는 것으로 표현된다.

구별되는 점 쌍이 있는 선 충돌

P와₁ P를₂ 동일 좌표(x₁₁₁, y, z)와 (x₂, y₂, z₂)를 각각 갖는 구별되는 점의 쌍으로 한다. 이러한 점들은 형식 도끼 + by + cz = 0의 방정식으로 고유한 선 l를 결정하며 다음 방정식을 충족해야 한다.

축₁ + by₁ + cz₁ = 0 및

도끼₂ + by₂ + cz₂ = 0.

행렬 형태에서 이 동시 선형 방정식 시스템은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right).}$

이 시스템은 결정인자가 다음과 같은 경우에만 비경쟁적인 해결책을 가지고 있다.

${\displaystyle \{\put}x&y&z\\x_{1}&y_{1}{1}\n1}\x_{1}\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end}\right =0.}$

이 결정요인 방정식의 확장은 동종 선형 방정식을 생성하는데, 이는 선 l의 방정식이 되어야 한다. 따라서 0이 아닌 일반 상수 요인까지 l = [a, b, c]를 사용할 수 있으며, 여기서 다음을 수행할 수 있다.

a = y₁z₂ - y₂z₁,

b = xz₂₁ - xz₁₂ 및

c = x₁y₂ - x₂y₁.

벡터에 대한 스칼라 3중 제품 표기법 측면에서 이 선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

P ⋅ P₁ × P₂ = 0,

여기서 P = (x, y, z)는 일반적인 지점이다.

공선성

같은 선에 부닥친 점은 일렬로 정렬되어 있다고 한다. 같은 선으로 입사하는 모든 점의 집합을 범위라고 한다.

P₁ = (x₁₁, y, z₁), P₂ = (x₂₂, y, z) 및₃ P = (x₃, y₃, z₂₃)인 경우, 이 점들은 if 및 if, y, z인 경우에만 시준된다.

${\displaystyle \왼쪽 {\ju{1}x_{1}&y_{1}&y_{1}\\x_{2}&z_{2}\x_{3}&y_{3}&j_{3}&z_{3}}\end{3}}\right},0,}$

즉, 점의 균일한 좌표의 결정요인이 0인 경우에만 해당된다.

선 쌍의 교차점

l₁ = [a₁, b₁, c₁]와 l₂ = [a₂, b₂, c₂]를 구별되는 선 쌍으로 한다. 그런 다음 l선과₁ l선의₂ 교차점은 선형 방정식 시스템의 동시 해법(최대 스칼라 계수)인 P₀ = (x₀, y₀, z) 지점이다.

축₁ + by₁ + cz₁ = 0 및

도끼₂ + by₂ + cz₂ = 0.

이 시스템의 솔루션은 다음을 제공한다.

x₀ = BC₁₂ - BC₂₁,

y₀ = ac₂₁ - ac₁₂

z₀ = a₁b₂ - a₂b₁.

또는 P점을 통과하는 다른 선 l = [a, b, c], 즉 P의 균일한 좌표가 다음 등식을 만족한다고 간주한다.

ax+ by + cz = 0.

이 방정식을 P를 정의하는 두 방정식과 결합하면 행렬 방정식의 비종교적 솔루션을 구할 수 있다.

${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right).}$

그러한 해결책은 결정요인을 제공하면 존재한다.

${\displaystyle \{displaystyle \{\b&c\\a_{1}&b_{1}{1}\{1}\n1}\a_{1}\n2}&b_{2}&c_{2}}\end{2}}\right =0.}$

이 방정식에서 a, b, c의 계수는 P의 균일한 좌표를 제공한다.

스칼라 트리플 제품 표기법에서 포인트 P를 통과하는 일반 라인의 방정식은 다음과 같다.

l ⋅ l₁ × l₂ = 0.

컨센서스

같은 지점에서 만나는 선은 동시라고 한다. 같은 점을 가진 평면 사건에서 모든 선의 집합을 그 점을 중심으로 한 선의 연필이라고 한다. 두 선의 교차점 계산은 한 점을 중심으로 한 선의 전체 연필이 그 점에서 교차하는 두 개의 선에 의해 결정된다는 것을 보여준다. 세 개의 선, [a₁, b₁₁, c], [a₂, b₂, c₂], [a₃, b₃, c₃]에 대한 대수적 조건이 동시에 되는 것은 결정인자,

${\displaystyle \좌측 {\put}a_{1}&b_{1}&b_{1}{1}\\\a_{2}&c_{2}\n2}\a_{3}&b_{3}&c_{3}&c_{3}}}\우측 =0.}$

참고 항목

• 메넬라오스 정리
• 세바의 정리
• 컨사이클릭
• 발생 행렬
• 발생 대수
• 발생 구조
• 입사 기하학
• 레비 그래프
• 힐베르트의 공리

참조

• 해럴드 L. 도르와트 (1966) 프렌티스 홀, 발생의 기하학.