일반 원뿔
Generalized conic수학에서 일반화된 원뿔은 고전 원뿔의 속성을 정의하는 합계의 일반화인 속성에 의해 정의되는 기하학적 물체다. 예를 들어, 기초 기하학에서 타원은 평면에서 두 고정점(초점)으로부터의 거리의 합이 상수인 것처럼 평면에서 이동하는 점의 중심점으로 정의될 수 있다. 평면에서 고정된 두 점의 집합이 임의적이지만 고정된 유한한 점 집합으로 대체될 때 얻어진 곡선을 n–엘립스라고 하며 일반화된 타원이라고 생각할 수 있다. 타원은 두 원의 등거리 집합이므로 평면에서 임의의 두 점 집합의 등거리 집합은 일반화된 원뿔체로 볼 수 있다. 직사각형 데카르트 좌표에서 등식 y = x는2 포물선을 나타낸다. 일반화 방정식 y = x는 r r ≠ 0 및 r r 1에 대해 일반화 포물선을 정의하는 것으로 취급할 수 있다. 일반화된 원뿔의 개념은 근사 이론과 최적화 이론에서 응용 분야를 찾아냈다.[1]
원뿔의 개념을 일반화할 수 있는 몇 가지 가능한 방법 중에서 가장 널리 사용되는 접근법은 타원의 일반화로 정의하는 것이다. 이 접근법의 출발점은 타원을 '2-초점 특성'을 만족하는 곡선으로 보는 것이다. 타원은 주어진 두 점으로부터의 거리가 일정하게 되는 점의 위치인 곡선이다. 그 두 점은 타원의 초점이다. 두 고정점 세트를 임의의 고정점 세트로 대체하여 얻은 곡선은 평면에서 고정된 유한점 세트로 일반화된 타원이라고 생각할 수 있다. 세 가지 포커스를 가진 일반화된 원뿔을 하찮은 타원이라고 부른다. 이는 유한한 점 집합에서 거리의 가중 산술 평균 일부가 상수일 정도로 이동하는 점의 로키로서 획득되는 곡선에 더욱 일반화될 수 있다. 거리에 부착된 가중치들이 임의의 기호, 즉 플러스나 마이너스라고 가정하면 더 나아가 일반화가 가능하다. 마지막으로 일반화 원뿔의 초점 집합이라 불리는 고정점 집합이 유한하다는 제한도 제거할 수 있다. 집합은 유한하거나 무한하다고 가정할 수 있다. 무한대의 경우 가중 산술 평균은 적절한 적분으로 대체해야 한다. 이런 의미에서 일반화된 원뿔은 폴리엘립스, 에그립스 또는 일반화된 타원이라고도 불린다. 독일 수학자 에렌프리트 발터 폰 치르난하우스(1651~1708)가 이런 곡선을 고려했기 때문에 츠치르나우스의 스키 아이쿠르브로도 알려져 있다.[2] 또한 그러한 일반화는 르네 데카르트와[3] 제임스 서기 맥스웰에 의해 논의되었다.[4]
다초점 타원 곡선
분석 기하학의 아버지 르네 데카르트(1596년–1650년)는 1637년에 출판된 자신의 라 기하학에서 15페이지 정도의 섹션을 따로 떼어 소위 '비초점 타원'이라고 불렀던 것을 논했다. 거기서 분기점 타원형은 + = AP과 같이 평면에서 이동하는 P 지점의 중심점으로 정의되었다. 여기서 A와 B는 평면에서 고정점이고 λ과 c는 양수 또는 음수일 수 있는 상수다. 데카르트는 현재 데카르트 난자로 알려진 이러한 난자를 도입하여 굴절 후 같은 지점에서 광선이 만나도록 유리의 표면을 결정하였다. 데카르트도 이러한 난자를 중심 원뿔의 일반화로 인식한 바 있는데, 이는 λ의 특정 값에 대해 친숙한 중심 원뿔, 즉 원, 타원 또는 하이퍼볼라로 감소하기 때문이다.[3]
다초점 난자는 제임스 서기 맥스웰(1831–1879)이 아직 학생일 때 재발견했다. 15세의 어린 나이에 맥스웰은 이들 난자에 대한 과학 논문을 '초점 다수와 다양한 비율의 반경을 가진 한정된 인물에 대한 관찰'이라는 제목으로 써서 J.D교수의 발표를 받았다. 포브스는 1846년 에든버러 왕립학회 모임에서 이같이 밝혔다. J. D. 교수 포브스는 또한 에든버러 왕립학회 회보에 이 논문에 대한 기사를 실었다.[4][5] 그의 논문에서, 맥스웰은 "일반화된 원뿔"이라는 용어를 사용하지 않았지만, 타원의 정의 조건의 일반화인 조건에 의해 정의된 곡선을 고려하고 있었다.
정의
다초점 타원형은 다음과 같이 움직이는 점의 중심점으로 정의되는 곡선을 말한다.
여기서 A1, A2, . . A는n 평면에서 고정된 점이고 and1, ,, λ2, . . . λ은n 고정된 이성적인 수이고 c는 상수다. 그는 그러한 난자를 그리기 위해 간단한 핀 스트링 펜슬 방법을 제공했다.
+ 등식으로 정의된 타원형 그리기 = c {\displaystyle 은 그러한 곡선을 그리기 위해 맥스웰이 채택한 일반적인 접근방식을 보여준다. Foci A와 B에 핀 2개를 고정하십시오. 길이가 c + AB인 줄을 잡고 문자열의 한쪽 끝을 A의 핀에 묶으십시오. 연필은 문자열의 반대쪽 끝에 부착되고 문자열은 포커스 B의 핀을 중심으로 핀을 돌린다. 그리고 나서 연필은 끈의 작은 부분에 의해 움직인다. 연필로 추적한 곡선은 P의 중심이다. His ingenuity is more visible in his description of the method for drawing a trifocal oval defined by an equation of the form . Let three pins be fixed at the three foci A, B, C. Let one end of the string be fixed at the pin at C and let the string be passed around the other pins. 연필을 줄의 반대쪽 끝에 붙이도록 하라. 연필이 A와 C사이의 끈에 끼게 한 다음 P까지 늘어나게 한다. 연필은 끈이 팽팽하도록 움직인다. 그 결과로 나타난 수치는 하찮은 타원의 한 부분이 될 것이다. 줄의 위치는 완전한 타원형을 얻기 위해 조정해야 할 수도 있다.
그의 논문이 에든버러 왕립학회에 제출된 지 2년 만에 맥스웰은 이들 난자의 기하학적, 광학적 특성을 체계적으로 개발했다.[5]
Maxwell 접근법의 전문화 및 일반화
맥스웰 접근법의 특별한 경우로서, 다음과 같은 조건이 충족되도록 이동하는 지점의 위치인 n-엘립스를 고려한다.
n으로 나누고 c/n을 c로 대체하면 이 정의 조건은 다음과 같이 명시될 수 있다.
이것은 간단한 해석을 시사한다: 일반 원뿔은 집합 {A1, A2, . . , An}에서 곡선에 있는 모든 점 P의 평균 거리가 동일한 상수 값을 갖는 곡선이다. 일반화된 원뿔의 개념의 이러한 공식화는 몇 가지 다른 방법으로 더욱 일반화되었다.
- 평균의 정의를 변경하십시오. 공식에서 평균은 산술 평균으로 해석되었다. 이것은 거리의 기하학적 평균과 같은 다른 평균 개념으로 대체될 수 있다. 평균을 지정하기 위해 기하 평균을 사용할 경우 결과 곡선은 레미니스케이트로 판명된다. "레미스케이트는 점들이 거리에 대한 동일한 기하학적 평균을 갖는 모든 것을 설정한다(즉, 그들의 생산물은 일정하다). 림니케이트는 근사 이론의 중심 역할을 한다. 홀모형 함수의 다항식 근사치는 나니스카이트를 사용한 수준 곡선의 근사치로 해석할 수 있다. 거리의 산물은 복합 평면에 있는 다항식의 근본적 위치의 절대 값에 해당한다."[6]
- 초점 세트의 카디널리티를 변경한다. 초점이 무한정 설정된 경우에도 정의를 적용할 수 있도록 정의를 수정한다. 이 가능성은 C에 의해 처음 소개되었다. 징그럽고 T.K. Strempel [2]와 그들은 (클래식 사례의) 어떤 결과가 무한히 많은 초점의 경우로 확장될 수 있는지 또는 지속적인 초점 집합으로 확장될 수 있는지에 대해 문제를 제기했다.[7]
- 기본 공간의 크기를 변경하십시오. 점들은 어떤 d차원 공간에 놓여 있다고 가정할 수 있다.
- 거리의 정의를 변경한다. 전통적으로 유클리드 정의가 사용된다. 그 대신 택시캡 거리와 같은 거리에 대한 다른 개념을 사용할 수 있다.[6][8] 이러한 거리 개념을 가진 일반화된 원뿔들은 기하학적 단층 촬영에서 응용 분야를 발견했다.[6][9]
초점 집합의 카디널리티가 무한할 때 가장 일반적인 경우에 일반화된 원뿔의 정의의 공식화에는 측정 가능한 집합의 개념과 르베그 통합이 포함된다. 이 모든 것들은 서로 다른 저자들에 의해 채용되었고 결과적인 곡선은 응용에 특별히 중점을 두고 연구되었다.
정의
: → R be a metric and a measure on a compact set with . The unweighted generalized conic function associated with is
서 : → R 화살표 은 (는) K 와(와) 연관된 커널 함수로 은 (는) 포커의 집합이다. 레벨 세트{ n: ( x)< c\}}}을([6]를) 일반화 원뿔이라고 한다.
극 방정식을 통한 일반화된 원뿔
원뿔이 주어지면 원뿔의 초점을 극축으로, 원뿔의 다이렉트릭스와 평행하게 그려진 극을 통과하는 선을 선택함으로써 원뿔의 극 방정식을 다음과 같은 형태로 작성할 수 있다.
여기서 e는 원뿔의 편심이며 d는 극으로부터의 다이렉트릭스의 거리다. 톰 M. 아포톨과 마미콘 A. Mnatsakanian은 오른쪽 원형 원뿔의 표면에 그려진 곡선에 대한 연구에서 일반화된 원뿔이라고 불리는 새로운 종류의 곡선을 소개했다.[10][11] 이들은 극 방정식이 일반 원뿔의 극 방정식과 유사한 곡선으로, 일반 원뿔은 이러한 일반 원뿔의 특수한 사례로 나타난다.
정의
상수 r0 ≥ 0, λ ≥ 0 및 real k의 경우 극성 방정식으로 설명하는 평면 곡선
일반화된 원뿔이라고 불린다.[11] 원뿔은 λ < 1, λ = 1 또는 λ > 1에 따라 일반화된 타원형, 파라볼라 또는 하이퍼볼라라고 한다.
특례
- k = 1일 때 특수한 경우 일반 원뿔은 일반 원뿔체로 감소한다.
- k > 1일 때의 특수한 경우, 해당 일반화된 원뿔의 생성을 위한 간단한 기하학적 방법이 있다.[11]
- α는 죄 α = 1/k와 같은 각이 되게 하라. 반수직 각도가 α인 오른쪽 원형 원뿔을 고려한다. 이 원뿔의 교차점이 편심률 λ의 원뿔이 되도록 평면에 의한 교차점을 고려한다. 원뿔을 평면에 포장을 푼다. 그렇다면 편심 ity의 원뿔 부분이 풀린 평면의 곡선은 정의에 명시된 극 방정식을 가진 일반화된 원뿔이다.
- k < 1일 때의 특수한 경우, 원뿔 부분을 풀어서 일반화된 원뿔을 얻을 수 없다. 이 경우에 또 다른 해석이 있다.
- 비행기에 그려진 평범한 원뿔을 생각해 보라. 원뿔이 3차원 공간에서 곡선이 되도록 평면을 감아 오른쪽 원형 원뿔을 만든다. 원뿔의 축에 수직인 평면에 곡선을 투영하는 것은 k < 1을 가진 아포톨과 므낫사카니안의 의미에서 일반화된 원뿔이 될 것이다.
예
곡선 근사치의 일반화 원뿔
1996년, 루이빈 퀘는 곡선에 근사치를 생성하기 위한 도구로서 일반화된 원뿔의 새로운 개념을 도입했다.[12] 이 일반화의 시작점은 포인트{ : ,, 의 순서가 정의된 결과로,
원뿔형으로 눕다 이 접근법에서 일반화된 원뿔은 이제 다음과 같이 정의된다.
정의
일반화된 원뿔은 두 점 과 }이 위에 있으면 재귀적 관계에 의해 생성된 점{ k: > {\\{
관계를 만족하는 일부 } 및 의 경우
또한 그 위에 있다.
등거리 집합으로서의 일반화 원뿔
정의
Let (X, d)는 미터법 공간이고 A는 X의 비어 있지 않은 부분집합이 되게 한다. x가 X의 점이라면, A로부터의 x의 거리는 d(x, A) = inf{d(x, a): A}로 정의된다. A와 B가 모두 X의 비어 있지 않은 부분 집합인 경우, A와 B에 의해 결정된 등분위는 X: d(x, A) = d(x, B)의 집합 {x로 정의된다. 이 등거리 집합은 {A = B }(으)로 표시된다. 일반화된 원뿔이라는 용어는 일반적인 등거리 집합을 나타내기 위해 사용된다.[13]
예
고전적 원뿔은 등거리 집합으로 실현될 수 있다. 예를 들어 A가 싱글톤 집합이고 B가 직선이라면 등거리 집합 {A = B }은 포물선 집합이다. A와 B가 완전히 B 안에 있을 정도로 원이라면 등거리 집합 {A = B }은 타원이다. 반면 A가 B의 바깥에 완전히 놓여 있다면 등거리 집합 { A = B }은 하이퍼볼라다.
참조
- ^ Csaba Vincze. "Convex Geometry". Retrieved 11 November 2015.
- ^ Gyula Sz.-Nagy (June 1950). "Tschirnhaus'sche Eiflachen und EiKurven". Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 1 (2): 167–181. doi:10.1007/BF02021309. S2CID 121088250.
- ^ a b Ivor Grattan-Guinness (2005). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940. Elsevier. p. 13. ISBN 9780080457444. Retrieved 15 December 2015.
- ^ a b James Clerk Maxwell (1990). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846–1862 (Paper on the description of oval curves). CUP Archive. pp. 35–42. ISBN 9780521256254. Retrieved 11 November 2015.
- ^ a b P. M. Harman, Peter Michael Harman (February 2001). The Natural Philosophy of James Clerk Maxwell. Cambridge University Press. pp. 11–15. ISBN 9780521005852. Retrieved 15 December 2015.
- ^ a b c d Abris nagy (2015). "A short review on the theory of generalized conics" (PDF). Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis. 31: 81–96. Retrieved 17 December 2015.
- ^ C. Gross and T.-K. Strempel (1998). "On generalizations of conics and on a generalization of the Fermat–Torricelli problem". American Mathematical Monthly. 105 (8): 732–743. doi:10.2307/2588990. JSTOR 2588990.
- ^ Akos G. Horvath, Horst Martini (2011). "Conics in Normed Planes" (PDF). Extracta Mathematicae. 26 (1): 29–43. Retrieved 17 December 2015.
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- ^ Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian (May 2007). "Unwrapping Curves from Cylinders and Cones" (PDF). American Mathematical Monthly. 114 (5): 388–416. doi:10.1080/00029890.2007.11920429. JSTOR 27642220. S2CID 5953158. Archived from the original (PDF) on 4 March 2016. Retrieved 11 December 2015.
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- ^ Ruibin Qu (December 1997). "Generalized conic curves and their applications in curve approximation". Approximation Theory and Its Applications. 13 (4): 57–74.
- ^ Mario Ponce, Patricio Santibánez (January 2014). "On equidistant sets and generalized conics: the old and the new". The American Mathematical Monthly. 121 (1): 18–32. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.01.018. hdl:10533/140755. S2CID 207521114. Retrieved 10 November 2015.
추가 읽기
- 미분 기하학의 관점에서 일반화된 코닉에 대한 자세한 설명은 온라인에서 이용할 수 있는 Csaba Vinze의 볼록스 기하학에서 일반화된 코닉에 관한 장을 참조하십시오.[1]
- ^ Csaba Vincze. "Convex Geometry Chapter 10. Generalized Conics". Digitalis Tankonyvtar. Retrieved 17 December 2015.