스텝 함수

수학에서, 실제 숫자의 함수를 구간의 지표함수의 유한한 선형 결합으로 기록할 수 있다면 스텝함수(또는 계단함수)라고 부른다. 비공식적으로 말하면, 단계 함수는 조각이 아주 많은 조각들을 가진 조각상수함수다.

단계 함수의 예(빨간색 그래프) 이 특정 단계 기능은 우측 연속이다.

정의와 첫 번째 결과

$f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ : $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ → $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\$ { $R} \rightarrow \mathb$ { $R}$ 함수 f : R → R {\displaysty f\colon \mathb {R} $}$ 은(으)로^{[citation needed]} 쓸 수 있으면 스텝 함수라고 불린다 $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ .

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

(

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

)

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

=

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

i

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

=

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

n

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

a i (

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

x

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

)

{\displaystyle f(x)=\sum limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi_{A_{i}}}(

x

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

모든

x

에 대해

.

여기서 $n\geq 0$ $n\geq 0$ ${\displaystyle n\geq 0$ $\alpha _{i}$ i ${\$ 은 $\alpha _{i}$ (는) 실제 숫자, $A_{i}$ i ${\$ $displaystyle A_$ ${i}$ 은(는) 간격 $A_{i}$ , $χ$ $\chi _{A}$ ${\displaystystystyle$ $\chi_A$ }의 $지표$ 함수 $\chi _{A}$ $A$

\chi _{A}(x)={\begin{case}1&{\text{{}x\in A\0&{\text}{{}case}}}}

이 정의에서 간격 $A_{i}$ $A_{i}$ ${\$ 는 다음과 같은 두 가지 속성을 갖는다고 가정할 수 있다 $A_{i}$ .

간격은 쌍으로 구분된다. $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ $i\neq j$ $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ A $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ = $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyeset$ }, i $i\neq j$ j ${\displaystyle i\neq$ j $}$
간격의 조합은 전체 실선: $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$ $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$ = $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$ $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$ A $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$ = $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$ . ${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n$ $}}A_{i}=\mathb {R} .}$

실제로, 처음부터 그렇지 않다면, 이러한 가정들이 가지고 있는 다른 일련의 간격을 선택할 수 있다. 예를 들어, 스텝 함수

f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}

라고 쓸 수 있다.

f=0\chi _{(-\ft ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)+3\chi _{[1,6]+0\chi _{[6,\fty )}.

정의의 변화

때때로 간격은 우측으로^[1] 열거나 싱글톤으로 허용되어야 한다.^[2] 구간의 집합이 유한해야 한다는 조건은, 특히 학교 수학에서는 국소적으로 유한해야 하지만,^[3]^[4]^[5] 그 결과 조각처럼 상수함수의 정의가 생기는 경우가 많다.

예

Hubiside step 함수는 자주 사용되는 step 함수다.

상수함수는 스텝함수의 사소한 예다. 그러면 A $A_{0}=\mathbb {R} .$ = $A_{0}=\mathbb {R} .$ . $A_{0}=\mathb {R} .$ 의 구간만 있다.
부호함수 $sgn(x)$ 은 음수의 경우 -1, 양수의 경우 +1이며, 가장 단순한 비정수 단계함수다.
음수의 경우 0이고 양수의 경우 1인 H $(x)$ 는 신호 함수와 같으며, 최대 범위 이동 및 척도( $H=(\operatorname {sgn} +1)/2$ = $H=(\operatorname {sgn} +1)/2$ ( $H=(\operatorname {sgn} +1)/2$ + $H=(\operatorname {sgn} +1)/2$ ) $H=(\operatorname {sgn} +1)/2$ / $H=(\operatorname {sgn} +1)/2$ ${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/$ 2}까지이다 $.$ 그것은 동적 시스템의 스텝 응답을 결정하는 데 사용되는 것과 같은 일부 시험 신호 뒤에 숨겨진 수학 개념이다.

직사각형 함수, 다음으로 간단한 단계 함수.

직사각형 함수인 표준화된 박스카 함수는 단위 펄스를 모델링하는 데 사용된다.

비예시

정수 부분 함수는 무한한 수의 간격을 가지기 때문에 이 글의 정의에 따른 단계 함수가 아니다. 그러나 일부 저자들은^[6] 또한 무한한 수의 간격을 가지고 단계 함수를 정의하기도 한다.^[6]

특성.

두 단계 함수의 합과 산출물은 다시 단계 함수가 된다. 번호가 있는 스텝 함수의 산물도 스텝 함수다. 이와 같이 단계 함수는 실수에 걸쳐 대수적 기능을 형성한다.
단계 함수는 한정된 수의 값만 사용한다. If the intervals $A_{i},$ for $i=0,1,\dots ,n$ in the above definition of the step function are disjoint and their union is the real line, then $f(x)=\alpha _{i}$ for all ${\displaystyle x\in A_{i}.$ $}$
스텝 함수의 확실한 적분은 조각으로 된 선형함수다.
The Lebesgue integral of a step function $\textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$ is $\textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),$ where $\ell (A)$ 구간 $A$ 의 길이 $A$ 이며 $A$ 여기서 모든 구간 $A_{i}$ ${\$ 는 $A_{i}$ 길이가 유한하다고 가정한다. 사실, 이 평등(정의로 보는)은 르베그 적분을 구성하는 첫 번째 단계가 될 수 있다.^[7]
이산형 랜덤 변수는 때때로 누적 분포 함수가 조각으로 상수인 랜덤 변수로 정의된다.^[8] 이 경우 국소적으로 스텝함수(글러볼 때 스텝 수가 무한대일 수 있음)이다. 그러나 일반적으로 가능한 값만 셀 수 있는 임의 변수를 이산 랜덤 변수라고 하는데, 이 경우 누적 분포 함수는 한정된 영역에 무한히 많은 구간이 축적될 수 있기 때문에 국소적으로 반드시 단계 함수가 되는 것은 아니다.